导数和极限在经济学中的应用 毕业论文.doc

导数和极限在经济学中的应用 摘 要 极限和导数是微风中的重要内容，是应用微积分的方法解决实际问题的重要思想来源.经济学中的边际、弹性、消费者剩余等诸多问题都涉及到极限和导数这两个思想方法.本文就针对这几个问题简单分析一下极限和导数在经济学中的应用.关键词 导数；极限；弹性；边际；消费者剩余经过十余年的初等数学教育和四年的专业数学学习，可以说，我们到目前为止已经学习并掌握了许多数学的理论知识，但是在实践的生活和学习中，能够被真正用到的具体的数学定理并不是很多.而在这些年的数学学习过程中，我们形成的思维习惯、思考方式、所领悟到的数学思想、数学的精神实质，却在我们的学习和生活中，时时刻刻都在发挥这积极的作用.也可以说，正是由于数学的特殊性，更使得我们这些天天从事数学学习和数学工作的数学人受益终生.在学习数学的过程中，我们会接触到许许多多的概念、性质、方法和结论，在学习这些概念、性质、方法和结论的同时，更要了解和领会其中的精神实质和独特的思想方法.如果仅把数学的学习看做是知识的“复制”，那么，即使你学习了再多的数学定理和公式，也避免不了教条的形式，成为一堆“死”的知识的堆砌，缺乏灵活的应用，难以发挥数学本身所蕴含的积极的作用.如果我们在学习数学知识的时候真正掌握到数学思想和精神实质，那么，我们也就可以说做到了对数学知识的灵活应用，可由现有的有限的定理、公式、方法来演绎出千变万化的结论，这也便显示出了数学的巨大力量.因而，从某种意义上讲，数学的细想方法和精神实质的学习比数学本身的学习更具有实用价值.经济学中，边际、弹性、消费者剩余等许多问题都涉及到极限和导数这两个思想方法.下面我们就针对这几个问题简单分析一下极限和导数在经济学中的应用.1 极限导数的基本概念“极限”和“导数”的概念是微积分中最基本的概念.微分中大量的其他概念都是由极限来表达的.如导数的概念和定积分的概念都是建立在极限的基础之上的，而在微积分中，又有很大一部分知识是用导数来表示和解决得.微积分建立在初等数学之上，能解决诸多初等数学说解决不了的问题，其基本原因在于它引进了新的思想方法，即“极限”和“导数”的思想方法.“极限”思想揭示了常量与变量，有限与无限，匀速运动与变速运动等一系列对立统一及矛盾相互转化的辩证关系.“导数”的思想是一个相关变化率的思想，因变量由于自变量的改变而产生的相关变化量.其几何意义为某点切线的斜率，在物理学中也可以理解为瞬时变化率.“极限”和“导数”的思想方法是微积分中的一个重要内容，是应用微积分来解决实际问题的重要思想来源.而经济学中的边际、弹性、消费者剩余等许多问题恰好运用“极限”和“导数”的思想方法来解决的.运用“极限”和“导数”的思想方法来研究经济学以及相关学科的内容，对于我们学习者来说，真我知识的本质变得更加容易和轻松.以我国古代数学家刘徽的“割圆术”为例来说明极限的思想方法.“割圆术”亦即求单位圆周长.以1为单位作圆，然后将其六等分，作圆的内接正六边形，这个内接正六边形的周长比较接近该单位圆的周长.然后一次作内接正十二边形、内接正二十四边形、内接正四十八边形等等.刘徽说：“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”就是说，所作的圆内接正多边形越来越接近圆周.如此一直下去，则圆内接正多边形无限接近圆周.即这一串内接正多边形的周长是，由此所构成的数列记为：，当越大时，内接正多边形与圆的差异也越小，当无限增大时，则就无限接近于常数.在数学中，我们就把这个值称为数列的极限，记为：（当）.以下说明对极限概念语言的理解.一是对的理解.是可任意给定的正数，但它是可变的，而当被给定之后，又是固定不变的，它可以比任意正数都小.二是对无限逼近的理解.判定当时，等价于判断趋于，用代数式子距离来描绘这个无穷的过程.距离越来越小，就越来越逼近固定数.结合前面对的理解，用描述越来越逼近的过程.三是存在性的理解.描述无限过程中的稳定性，与任意相对应的必是一个稳定的，这里只是一个界定，表示描述后面的无穷多项具有.综合以上各个分析，我们就可以用语言来描述极限的定义，对于任意给定的，存在，当时，有，则称数列的极限是.记为.在学习了极限的概念之后，倒数的概念就容易理解多了.设函数在的某领域有意义，当自变量有改变量（，且仍在该领域内）时，函数的相应的改变量为，如果极限：存在，则称此极限为函数在点处的导数（或微商），记为或.下面我们就经济学中的几类重要概念所蕴含的数学极限和导数思想方法作一些探讨.2 经济学中的有关概念2.1 弹性弹性概念是经济学中的一个重要的概念，用定量的描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反映程度.或者说，经济变量变化百分之一会使另一个经济变量变动百分之几. 我们先给出一般函数的弹性定义如下： 设函数在点的某领域内有定义，且，如果极限：存在，则称此极限值为函数在点处的点弹性，记为；而称比值：为函数在点与点之间的弧弹性.由定义可知：且当很小时，有：弧弹性如果函数在区间内可导，且，则称为函数在区间内的点弹性函数，简称为弹性函数.2.2 需求对价格的弹性需求对价格的弹性是指假设某商品的市场需求量为，价格为，需求函数为可导，则称：为该商品的需求价格弹性，简称为需求弹性，记为，且为负值.2.3边际边际概念是经济学中的另一个重要的概念，通常指经济变量的变化率.利用导数研究经济变量的边际变化的方法，即边际分析方法，是经济理论中的一个重要的分析方法.2.3.1 边际成本在经济学中，边际成本定义为产量增加一个单位时所增加的总成本.设某产品长临危单位时，所需的总成本为，称为总成本函数，简称为成本函数.但产量由变为时，总成本函数的改变量为，这时，总成本函数的平均变化率为：，它表示产量由编导时，在平均意义治安的边际成本.当总成本函数可导时，其变化率表示该产品产量为时的边际成本，即边际成本函数是中成本函数的导数.其经济学意义是：近似等于产量为时再生产一个单位产品时所需增加的成本，这是因为：2.3.2 边际收入在经济学中，边际收入定义为多销售一个单位产品所增加的销售收入.该产品的销售量为时的总收入为，称为总收入函数，简称收入函数.当可导时，收入函数的变化率，称为销售量为时该产品的边际收入.它近似等于销售量为时再销售一个单位产品说增加（或减少）的收入.2.3.3 边际利润在经济学中边际利润定义为多销售一个单位产品时所加的利润.设产品销售量为时的总利润为，称为（总）利润函数.当可导时，称为销售量为时边际利润，它近似于销售量为时，再多销售一个单位产品所增加（或减少）的利润.由于总利润函数可以改写为总收入与总成本之差.即有：由导数的运算法则可知：即边际利润利润为边际收入与边际成本之差.2.3.4 边际替代率和消费者剩余在经济学中，边际替代率定义为在维持效用水平或满足程度不变得前提下，消费者增加一单位某种商品的消费时，需要放弃另一种商品的消费数.消费者剩余定义为商品的价值与价格之间的差额，或者是消费者愿意支付的价格与实际支付的价格的差额.显然，就消费者剩余这一概念而言，一种商品对不同的消费者存在不同的消费者剩余，即存在个体差异.其原因就在于不同的消费者对同一商品的需求是不同的.例如可乐对于一部分人是很受欢迎的，那么，他们会认为花2块5买一瓶是很值得的，而对那部分不喜欢可乐的人而言，花2块5买一瓶可乐可以说是浪费.3 极限和导数在经济学方面的应用3.1 在弹性中极限和导数的应用以需求价格弹性为例.先看一下需求弧弹性的概念，需求弧弹性是指用表示某商品的需求曲线上两点之间的需求量的相当变动对价格的相对变动的反应程度，间单的说表示需求曲线上两点间的弹性（平均值）.设某产品的单位售价为，该产品的市场需求量为，它的需求函数为.如图：则两点之间的需求弹性系数为：再看需求点弹性的概念.需求点弹性是指价格水平上，但价格波动很小是所引起的需求量变化的敏感程度.在上述程度下，需求点弹性系数为： 由需求的弧弹性系数和需求的点弹性系数表达式，我们可以发现，需求的弧弹性系数与需求的点弹性系数本质上是相同的，区别在于前者为价格变动量较大的需求曲线上两点间的弹性（平均值），后者为价格变动量无穷小的需求曲线上某一点的弹性.用式计算点弹性，其优点在于只需知道需求曲线的形状，就可以求出与点相对应的精确地弹性系数.为了求出某一点的弹性，用在需求曲线上“两点间的弹性”代替“某一点的弹性”求得弹性这个亮的近似值，然后在通过取极限的方法实现从近似到精确的过渡.在这里，使“两点间的弹性”与“某一点的弹性”转化的条件是取极限，不取极限同样也就不能实现从近似到精确地转化.例1. 若某种商品的需求函数为，为需求量，为价格，讨论其弹性变化.解 由弹性定义可得，需求量对价格的弹性为：于是当取某个确定的值时，在此价格处的点的弹性也就不确定了. 我们首先分析当需求相对变化率与价格相对变化率相等，即：时的值，由可知：. 当时，即在这一价格范围内，随价格的减少， 也递减.也就是说，在这是，若采取压价措施，因需求增加的百分比小与价格下降的百分比，所以企业总收入会减少. 当时，即在这一价格范围内，随价格的增加而增加.如果采取提价措施，因需求下降的百分比大于价格增加时的百分比，所以总收入也会减少.通过以上分析，如果该企业进行价格调整时，参照以上分析方法，当弹性时，采取降价措施，能达到薄利多销的目的；当弹性时，最好的方法时按兵不动，毫不费力就可以获得最大收益；当弹性时，可以提高价格，不会因盲目降价促销而影响利润.否则随意的调价会因产品的积压或不能回收成本而使企业陷入困境，难以在竞争中谋发展，下面我们用一个图标来概括一下弹性与价格及收益的关系：3.2 在编辑问题中，极限和导数的应用我们现在以边际利润和边际成本为例，探讨一下导数思想在边际利润和边际成本中的应用.现在假设产品数是连续变化的，于是单位产品可以无限的细分.如果产品已经是在此水平上，若产量增至，那么总成本相应的增量是，它与的比为.这表示在和之间总成本的平均变化率.若令，取极限就可以得到边际成本.显然，它近似地表示若已经生产了个单位产品，使增加一个单位产品总成本的增加量.同理我们可以利用导数定义边际收入、边际利润、边际需求等等.下面我们结合立体分析这几个概念在经济学中的意义.例2. 设某产品的成本函数为，需求函数为：，其中为成本，为需求量，为单价，, , , , 均为正常数，且.求：利润最大的产量及最大利润；需求对价格的弹性；需求对价格的弹性的绝对值为1时的产量.解 利润函数为：（观察容易发现为只关于的函数，故应将用来表示，并参与计算，）故：此处运用数学分析中的最值问题的理论来解决最大利润问题.两边对求导数，得：再令：，有再对对求导数，得：显然,故当时，最大，其值为：需求函数对单价的导数为：，所以需求对价格的弹性为：由上式，根据题意有：，解之得即需求对价格的弹性的绝对值为1时的产品生产量为.例3 某企业对销售进行分析指出，总收入万元与每月产量吨的函数关系式为：，试确定当月产量为，的边际利润.解：由边际利润的定义，可知：则，当，25，35时，因此，有上述结果表明，当产量为每月时，再生产，利润将增加50万元；当产量为每月时，扩大再生产就不能获得更大的利润；当产量为每月时，再生产，利润将减少100万元.通过上面的这个实际的例子，我们可以看出，当企业决策时，如何采用边际利润进行分析，可以减少企业投资的盲目性，时企业再扩大再生产都是了解投资前景，减少企业投资风险和可能造成的损失.另外，如果该企业是生产多种产品的综合企业，通过以上这种方法计算出各种产品的边际利润率（边际利润与总利润之比），而使企业生产投资转向边际利润相对较大的产品，使企业资金流转更加合理，从而提高了经济效益，不仅有利于企业本身，也有利于市场经济.3.3 在边际替代率中，极限和导数的应用边际替代率是指在维持效用水平或满足程度不变的前提下，消费者增加一单位某种商品的消费时所放弃的另一种商品的消费数.如图：当时，有边际替代率：第一步，根据边际替代率的定义，如果消费者增加单位商品的消费时所放弃的另一种商品的消费数是，则边际替代率为：这是一个点到点的平均替代率.第二步，求极限（无限变化的精确值）.当逐渐变小，即时，这是一个量变的过程，但是当量变达到一个界限，平均变化率问题向某点的边际变化率发展，并最终发生质的变化.从而有：在仔细分析过上述例子之后，我们清楚的发现，为了求出某一点的边际替代率，用具不“以匀代非匀”求得这个量的近似值，然后再过渡到用极限的方法求出该量的准确值.在这里，我们通过应用极限，实现了从近似值向准确值的转化，这也正是极限解决实际问题的基本思想方法.3.4 在消费者剩余中，数学极限思想的应用如图，表示实际支出的价格，表示需求曲线，是需求量，阴影线部分的长度表示愿意支付的价格与实际支付的价格的差额，面积(消费者剩余的英文缩写为)就是消费者剩余.设需求曲线以反需求函数给出，计算由,所围成的图形的面积.如图：第一步，计算曲边梯形的面积的近似值（以直代曲）.把分成等份，从而将曲边梯形分成个小曲边梯形，每个曲边梯形的面积用相应的小矩形来代替，如图所示，并求和得到曲边梯形面积的近似值： .第二步，求极限.当是有限数时，面积永远时曲边梯形面积的近似值.只有当增加才能提高近似的程度.当时，通过取极限的方法实现从近似到精确的过渡，从而实现了近似值向曲边梯形面积精确值的转变，即：（其中）这也就是数学中的另一个重要的模型定积分，即：（其中）因此：以上就是本人对极限和导数在经济学中应用的一点感受，由于能力有限，多有纰漏，望老师多予批评指正.本文在写作过程中得到了韩刚老师多次精心指导，在此表示感谢.参考文献1. 高鸿业，西方经济学，中国人民大学出版社，2004年9月2. 龚德恩、范培华、胡显佑，经济学基础，四川人民出版社，2004年7月3. 陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中，数学分析，高等教育