对采空区渗流流场和瓦斯浓度场控制微分方程的分析 毕业论文.doc

i 对采空区渗流流场和瓦斯浓度场控制微分方程的分析 本论文以煤矿采空区瓦斯所带来的安全隐患为背景，以偏微分方程理论为 基础，通过对采空区渗流流场和瓦斯浓度场控制微分方程的分析，将偏微分方 程的有限差分法应用到采空区流场的数值计算中，重点求解了采空区的瓦斯浓 度分布。 本论文总共分成四部分对问题进行讨论。首先，主要对煤炭资源在能源上 的重要地位，煤炭在开采过程中所发生的安全事故和国内外对减轻瓦斯存在所 带来的隐患在领域中所进行的研究状况进行了概述。其次，对与采空区流场相 关的基础理论进行分析，其中针对流体力学中的质量守恒，动量守恒，能量守 恒等定理引出了文中的连续方程，动量方程和能量方程等一组控制方程。而根 据控制方程所涉及的瓦斯浓度变量可以得到浓度场方程。再次，对偏微分方程 的有限差分法进行了简单介绍，本论文重点就是用该方法求解浓度场方程。最 后，则是用介绍的有限差分法进行数值计算的求解过程，该部分对流场控制方 程用有限差分法进行的数值计算构成了本论文的核心内容。 关键词 采空区 有限差分 瓦斯浓度场 数值计算 ii abstract this paper brought by coal gob gas in the safe hidden trouble as a background, based on the pde theory as a foundation, and through the analysis of seepage flow field and gob gas concentration field control differential equation, the pde of the finite difference method is applied to the numerical calculation of gob flow field, focus on solved the gob gas concentration distribution. this paper divides into four chapters in total for the discussion. at the first is the overview of coal resources of the important position as the main energy, the accident occurred in the process of mining coal and the study conducted in the field at hone and abroad to reduce hidden dangers posed by the existence of gas. at the second is related of analysis of the basic theory about flow field with the gob, which for the basic theory about mass conservation, momentum conservation, energy conservation etc in fluid mechanics raised the continuous equation and energy equations, momentum equations etc a group of control equations. and according to the control equations of gas concentration variables can be obtained concentration field equations. then the finite difference method of pde were a brief introduction, the key of this paper is use this method to solve the concentration field equations. finally, it is the solving process of numerical calculation with finite difference method, at the part using finite difference method of numerical calculation for control equations constitutes the core content of this paper. key words gob the finite difference gas concentration field numerical calculation 目 录 摘 要 i abstract .ii 第 1 章 绪 论 .1 1.1 研究背景 1 1.2 国内外研究现状 2 1.3 本论文主要工作 4 第 2 章 采空区流场介绍 .5 2.1 采空区流场的数学模型 5 2.2 多孔介质模型 6 2.3 采空区渗流控制方程 8 2.3.1 连续性方程（质量守恒方程） .8 2.3.2 动量守恒方程 .9 2.3.3 能量守恒方程 .11 2.3.4 组分输运方程 .12 2.3.5 控制方程的通用形式 .13 第 3 章 偏微分方程的有限差分法 .15 3.1 有限差分基本思想 15 3.2 用 taylor 级数展开方法建立差分格式 .16 第 4 章 瓦斯分布浓度场求解 .19 4.1 物理模型区域网格剖分 19 4.2 求解压力场和速度场 20 4.2.1 压力场问题分解 .20 4.2.2 差分法求解压力场 .21 4.2.3 差分法求解速度场 .23 4.3 求解瓦斯浓度场 24 结 论 .27 致 谢 .28 参考文献 .29 contents abstract .i abstractii chapter 1 pretace .1 1.1 background of reseach1 1.2 current research at home and abroad 2 1.3 this subject mainly contents.4 chapter 2 the introduction of gob flow field 5 2.1 the gob flow field of mathematical model .5 2.2 porous media model.6 2.3 the seepage control equation of gob area 8 2.3.1 the continuous equation (mass conservation equation).8 2.3.2 the momentum conservation equation9 2.3.3 the energy conservation equation .11 2.3.4 the component transport equation12 2.3.5 the general form of control equation .13 chapter 3 the finite difference method of partial differential equations .15 3.1 the basic idea of finite difference method 15 3.2 taylor series expansion method used to establish difference scheme.16 chapter 4 solution concentration field of gas distribution.19 4.1 physical model regional mesh subdivision19 4.2 solving the pressure field and velocity field20 4.2.1 problem decomposition of the pressure field.20 4.2.2 solving the pressure field with finite difference method .21 4.2.3 solving the velocity field with finite difference method .23 4.3 solving the gas concentration field24 conclusion 27 acknowledgments 28 references.29 1 第 1 章 绪 论 1.1 研究背景 众所周知，煤炭是现代工业的“粮食” ，而在像我国这样其它资源相对匮 乏而煤炭资源比较丰富的发展中国家，煤炭更是国民经济和社会发展的基础。 长期以来，煤炭在我国一次能源生产结构和消费结构中均占 70左右。截至 到 2010 年煤炭仍占 60左右，2050 年仍将占到 50以上。由此可见，煤炭 在今后相当长的一段时期内仍将是我国经济发展的主要依赖能源。2000 年我 国煤炭总产量为 9.9 亿吨, 2001 年为 11 亿吨 , 2005 年煤炭产量尽管达到 19.5 亿吨 ,但仍不能满足社会经济发展的需求。当前，国民经济的快速增长对 煤炭工业的发展提出了更高的要求。因此，必须确保煤炭工业持续、稳定、健 康地发展 1。 我国煤矿工业开采方式主要是井工开采，生产条件复杂，生产事故频发， 所以安全生产是煤炭生产的头等大事，对煤炭生产起着保证、支撑和推动的作 用。从建国初到现在，煤炭开采行业一直是我国严重生产事故频发的行业，部 分生产事故甚至还造成大量的人员伤亡，因此保证煤矿职工的生命安全是煤炭 工业可持续发展的前提。 据统计，我国每年因瓦斯爆炸造成的重大事故死亡人数约 2000 人，占煤 炭行业工伤事故死亡人数的 40左右，占全国重大事故伤亡人数的 70 - 80。而瓦斯事故多发生在采煤工作面，因为采煤工作面是瓦斯集中涌出的区 域，容易引起瓦斯超限。采煤工作面的瓦斯来源主要有以下 4 个 2：采落煤 瓦斯涌出；放落煤瓦斯涌出；工作面煤壁瓦斯涌出；采空区瓦斯涌出， 这 4 部分瓦斯的多少除主要取决于煤层本身瓦斯含量外，还与开采强度密切 相关。而采空区瓦斯涌出受产量和采出率的影响，采出率越小则采空区瓦斯涌 出越大。调查表明，综放工作面的采出率只有 55% - 80% ，采空区的大量遗 煤将使采空区瓦斯涌出量显著增加。 采煤工作面上隅角瓦斯超限问题如一把利剑悬在煤炭企业的头上，是我国 煤炭安全生产的第一大难题。在工作面所在的巷道，由于工作面和与其相联结 的采空区之间很难有较好的密封效果，因而漏风显著。通常采空区的漏风主要 从工作面进风口附近流入，而工作面上隅角则是采空区的漏风汇，采空区的瓦 2 斯就是经漏风风流携带从漏风源流入漏风汇的。同时由于工作面上隅角风流容 易形成局部漩涡，再加上瓦斯气体的升浮效应，采空区流出的瓦斯容易在上隅 角处汇聚，造成瓦斯超限，严重威胁工作面的正常生产。 因此预测、模拟和计算矿井采空区瓦斯浓度流场，分析瓦斯在采空区中的 运移规律和浓度分布对保证煤炭企业的安全生产、提高煤炭企业的经济效益均 具有重大现实意义。 1.2 国内外研究现状 1.采空区渗流力学研究现状 采场由工作面和相邻的采空区组成，进入采场的风流绝大部分经过工作面 达到回风流中，而一小部分进入采空区，形成采空区漏风风流。采空区是由开 采过程中遗留的煤炭和冒落的破碎岩石组成的多孔介质空间，对采空区中的气 体流动、浓度分布、氧化反应和温度分布等内容的研究，涉及渗流力学、岩石 力学、采矿及安全工程等多学科，但主要是渗流力学理论的研究 3。渗流力学 是研究流体在多孔介质内运动规律的科学，自 1856 年法国工程师达西 （darcy） 提出线性渗流定律以来，渗流力学一直在不断发展，并与其他学科 交义而形成许多新兴的边缘学科。由于其理论范围广、学科多、且研究人员无 法进入采空区、研究难度大，至今尚未形成独立、完善的学科体系。 瓦斯渗流力学研究瓦斯在煤层、采空区等多孔介质内的运动规律，是多学 科相互交义、渗透的边缘学科。采空区气体流动理论涉及：线性瓦斯流动理论、 非线性瓦斯流动理论等。 2.线性瓦斯流动理论的发展 渗流力学最先在水利工程、水的净化和地下水资源开发等部门应用；20 世纪 20 年代，渗流力学开始成为石油和天然气开发工业的理论基础；20 世纪 40 年代末，随着采矿业的发展，控制瓦斯成为当时研究的关键技术之一。线 性瓦斯渗流理论认为，煤层内瓦斯运动基本符合线性渗透定律达西定律 (darcys law)。20 世纪 60 年代，周世宁等人从渗流力学角度出发，认为瓦 斯的流动基本上符合达西定律，把多孔介质的煤层看成一种大尺度上均匀分布 的虚拟连续介质，在我国首次提出了瓦斯流动理论线性瓦斯流动理论，对我 国瓦斯流动理论的研究具有极为重要的影响 4。 20 世纪 80 年代，瓦斯流动理论的研究主要是修正和完善瓦斯流动的数学 3 模型。1984 年，郭勇义结合相似理论，研究了一维瓦斯流动方程的完全解， 采用朗格缪尔方程描述瓦斯的等温吸附量，提出了修正的瓦斯流动方程式。 1986 年，谭学术认为应用瓦斯真实气体状态方程更符合实际，提出了修正的 煤层瓦斯渗流方程。1986 年起，孙培德进一步修正和完善了均质煤层的瓦斯 流动数学模型，发展了非均质煤层的瓦斯流动数学模型，提出的新的线性瓦斯 流动模型比国内外三大典型模型更接近实际。1989 年余楚新、鲜学福四认为 煤层中参与渗流的瓦斯量只是可解吸的部分量，在煤体瓦斯吸附与解吸过程完 全可逆的条件下，建立起了瓦斯渗流的控制方程。 20 世纪 80 年代初以来，应用计算机研究瓦斯流场内的压力变化规律成为 主流。80 年代初，魏晓林、李英俊应用计算机研究了瓦斯流动；文献 5结合 煤矿实际问题，用有限差分法(pde) ，首次对瓦斯流场中压力分布及其流量 变化实现了数值模拟，成功地预测了流场内瓦斯压力变化规律。1989 年，文 献 6用有限单元法(fem)、1990 年文献 7用边界单元法 (bem)对瓦斯渗流进行 了数值模拟 3.非线性瓦斯流动理论 国外许多学者对线性渗流定律 darcys law 是否完全适用于均匀多孔介 质中的气体渗流问题做了大量的研究，归纳出达西定律偏离的原因为： (1)流量过大； (2)分子效应； (3)离子效应； (4)流体本身的非牛顿态势等。 一般认为，达西定律只能适用于线性阻力关系的层流运动，当渗流速度或 压力梯度增大时，由于惯性力的增加，支配层流的粘阻力渐渐失去其主控作用， 使得渗流速度与压力梯度的直线关系变化为曲线。总起来说，作为达西定律上 限的临界雷诺数 re 约在 l-10 之间，或确切一些说等于 5。著名的流体力学家 em . allen 给出 8：将达西定律用于描述从均匀固体煤中涌出瓦斯的试验，结 果导致了与实际观测不符合的结论。1984 年，日本国北海道大学教授通口澄 志在大量试验研究的基础上提出了瓦斯流动的幂定律。1991 年文献经过实验 研究，提出考虑克式(klinkenber)效应的修正形式的达西定律一一非线性瓦斯 渗流规律，并建立了相应的瓦斯流动数学模型，指出了达西定律的适用范围 9。 在非线性的达西定律基础上研究和发展瓦斯流动理论是有意义的探索方向之一。 4 1.3 本论文主要工作 关于煤矿中瓦斯的赋存一直是煤炭开采过程中最大的安全隐患，为了有效 防患瓦斯事故，该领域专家长期以来做出了不懈的努力与探索。本文计划通过 对采空区流场控制方程的了解，对涉及浓度场的方程运用有限差分的数值解法 来考察采空区瓦斯浓度分布规律。将数值解与瓦斯浓度的预警值进行比较，若 有数值达到预警值，则找出该值的区域位置，在什么时候出现的该值等，以便 能较好的确定瓦斯抽放量、抽放时间等参数，有效地提高瓦斯抽放效果，消除 或减轻瓦斯爆炸威胁，提高工作面安全水平。 本论文从生活实际和理论分析出发，结合数值计算中的有限差分法对瓦斯 浓度分布进行计算的思路，将课题分成以下 4 个步骤进行了讨论。 (1)论文针对研究的背景，对煤炭在开采过程中所发生的安全事故和国内 外为减轻瓦斯隐患在涉及领域中所进行的研究现状进行了概述。 (2)对采空区流场相关的基础理论进行分析，其中针对流体力学中的质量 守恒，动量守恒，能量守恒等定理引出了文中的连续方程，动量方程和能量方 程等一组控制方程，根据控制方程所涉及的瓦斯浓度变量得到了浓度场方程。 为浓度分布的求解提供理论方程模型。 (3)对偏微分方程的有限差分法进行简单介绍，包括向前差分、向后差分 和中心差分。本论文重点是用中心差法求解浓度场方程。 (4)论文最后一部分用介绍的有限差分法进行数值计算，对控制方程用有 限差分法进行的数值计算是本论文的核心内容。 5 第 2 章 采空区流场介绍 2.1 采空区流场的数学模型 通常将采空区视为由松散煤体与岩层混合体组成的多孔介质, 其中的流场 可以应用多孔介质渗流模型。由于松散煤体及冒落岩层中的孔隙通道极不规则， 气体在其中的流动状态非常复杂。为了抓住问题的主要矛盾，需要对问题进行 简化处理。本论文对采空区漏风流场及瓦斯运移的研究基于如下几条基本假设： (1)采空区渗透率不随时间变化，即采空区固体骨架不可压缩。 (2)采空区渗透率各向同性假设。由于采空区冒落岩石堆积的随机性，通 常无法区分来自哪个方向的孔隙发育更大，因此将采空区某处的冒落介质视为 各向同性。 (3)线性渗流假设。通常采空区漏风速度很小，只是在靠近工作面的有限 区域风速较大。因此就整个采空区而言，其中气体的流动整体上符合线性渗流 规律，即达西定律。 (4)采空区气体不可压缩假设。通常工作面两端的压差不大，采空区的漏 风速度很小，因此可近似认为采空区气体为不可压缩气体。 (5)采空区气体粘性恒定假设。采空区各处的气体组分各异，因此实际采 空区各处的气体粘性系数也是不同的。本文为方便起见，假设采空区各处流体 粘性系数相同。 (6)二维流场假设。通常采空区冒落高度相对于采空区的长度和宽度而言 很小，因此可将采空区流场视为二维流场。 (7)采空区温度恒定假设。温度变化对采空区气体粘性、气体密度等均有 影响。本文为了方便起见，假设采空区各处温度恒定，这样本论文将不考虑传 热问题。 (8)采空区瓦斯扩散系数恒定假设。采空区各组分之间是互相扩散的，任 意两种组分之间的扩散系数都随着组分的浓度变化而变化。本文主要关心瓦斯 在混合空气中的扩散系数，为方便起见，假设瓦斯的扩散系数保持不变。 (9)稳态流动假设。实际采空区随工作面的推进其中各处的物理量发生变 6 化。当工作面推进速度比较均衡、工作面风量波动不大时，在一个矿压周期内， 采空区内距离工作面相同位置的各种物理量基本保持不变，即稳态流动。 多孔介质模型及采空区渗流控制方程是采空区流场数值模拟的理论基础。 2.2 多孔介质模型 1.多孔介质的定义 简单说来，多孔介质是指含有大量孔隙的固体。也就是说，是指固体材料 中含有孔隙、微裂隙等各种类型毛细管体系的介质。从渗流角度来定义多孔介 质时，还需要规定从介质一侧到另一侧有若干连续的通道，并且孔隙和通道在 整个介质中有着广泛的分布。概括起来可用以下几点来描述多孔介质 10: (1)多相物质占据一部分空间，在多相物质中至少有一相不是固体，它们 可以是气相或液相。固体相称为固体骨架。在多孔介质范围内没有固体骨架的 那一部分空间叫做孔隙空间。 (2)在多孔介质所占据的范围内，固体相应该遍及整个多孔介质。在每一 个表征体元内必须存在固体相。多孔介质的一个基本特点是固体骨架的比面较 大。这个特点在很多方面决定着流体在多孔介质中的性状。多孔介质的另一个 主要特点是构成孔隙空间的孔隙比较狭窄。 (3)至少构成孔隙空间的某些孔洞应当互相联通。互相联通的孔隙空间也 叫做有效孔隙空间。就流体通过多孔介质流动而言，不联通的孔隙可以视为固 体骨架部分。实际上，相互联通的孔隙空间的某些部分对流体在多孔介质中的 流动也可以是无效的。例如，孔隙可以是死端孔隙，即只有一条狭缝和相互联 通的孔隙空间联系着的盲孔隙。在这样的死端孔隙中，几乎不发生流动。因此， 有效孔隙空间不应包含盲孔隙部分。 2.多孔介质的特征 多孔介质的主要特征是它的孔隙度、渗透性等。 (1)孔隙度孔隙率 通常多孔介质的结构是非常复杂的，不可能精确地描述这些孔隙表面的几 何形状，也很难确切地阐明孔隙空间所包含的流体及其与固体表面相互作用所 出现的有关微观物理现象，为了克服这些困难，首先把孔隙度定义为一个连续 函数。 定义多孔介质中任意一点 处的孔隙率为：(,)pxyz 7 (2-1)*()()limpivnp 式中， 为围绕点 取的一个包含足够多孔隙的体元，iv,xyz 为 内孔隙的体积， 称为表征单元体 rev 。表征单元体方面必须()pii * 比单个孔隙的体积大得多，即应该包含足够数量的孔隙；另一方面，它必须比 整个流场的尺寸小得多，以便它能代表所讨论的点 p 处的物理量。 把孔隙介质看作连续介质，实际上是指孔隙率是平滑变化的。设点 临近p 有点 则有：p (2-2)()lim()pn 这样就把孔隙率定义为空间点的函数。 上面所定义的孔隙率是从体元出发定义的，确切地说称为体孔隙率。类似 的可以定义多孔介质内一点处的面孔隙率(也称透明度）和线孔隙度。可以证 明，三者是相等了，因而只要定义一个孔隙率就足够了。 (2)渗透性 多孔介质的渗透性用渗透率来衡量，即渗透率是多孔介质对流体的渗透能 力。渗透率是依赖 darcy 定律而被定义的，darcy 定律可以表述为 11： (2-3)kpvkx 式中， 为渗流表面速度（superficial velocity ) ，单位 m /s , k 为渗透率，v 单位 ； 为压力梯度； 为流体的动力粘性系数，单位只 pa s ；k 为渗2mpx 透系数(或水力传导系数)，单位 / pa s。2m 达西定律表征了多孔介质中的一种速度与压力梯度之间的线性关系。需要 指出的是，渗透率 k 仅与多孔介质的组成结构 (颗粒大小、形状、排列等)有 关，与其中的流体性质无关；而渗透系数 k 则不但与多孔介质的组成结构有 关，而且还与其中的流体的动力粘性 有关。另外，渗流表面速度 是指全断v 面上的平均流速，并非断面上孔隙中的平均流速 (physical velocity )，二者之v 间的关系为： (n 为多孔介质的孔隙率)v 现有文献中关于渗透率的计算公式，多为经验性的和半经验性的，各种公 式的普遍形式是： 8 (2-4)2()kfngsd 式中， 为孔隙率因数， 为形状因数， 为某种粒径、有效粒径等。()fn 2.3 采空区渗流控制方程 流体流动要受物理守恒定律的支配，采空区渗流也不例外。基本的守恒定 律包括：质量守恒定律、动量守恒定律、能量守恒定律。如果流动包含有不同 成分(组元)的混合或相互作用，系统还要遵守组分守恒定律。如果流动处于紊 流状态，系统还要遵循附加的紊流输运方程。 2.3.1 连续性方程（质量守恒方程） 任何流动问题都必须满足质量守恒定律。该定律可以表述为：单位时间内 流体微元体中质量的增加，等于同一时间间隔内流入该微元体的净质量。按照 这一定律，可以得出质量守恒方程(mass conservation equation )12： (2-5)()()0uvwtxyz 引入矢量散度符号 ，上式可以写成：a (2-6)()0ut 以上三式中， 为流场的密度， 为时间， 为速度矢量， 、 、 分t uvw 别为流速在 、 、 方向上的速度分量。xyz 上面给出的是瞬态三维可压缩流体的质量守恒方程。若流体处于稳态，则 密度 不随时间变化，式(2-5)变为： (2-7)()()0uvwxyz 若流体不可压缩，则密度 为常数，式（2-5）变为： =0 (2-8)()()z 根据 2.1 节的基本假设，采空区漏风流场属于二维粘性不可压缩流体的稳 态流动，这样其连续性方程可简化为： 9 =0 (2-9)()uvxy 2.3.2 动量守恒方程 动量守恒定律也是任何流动系统都必须满足的基本定律。该定律可以表述 为：微元体中流体的动量对时间的变化率等于外界作用在该微元体上的各种力 之和。该定律实际上是牛顿第二定律。按照这一定律，可导出 、 、 三个xyz 方向的动量守恒方程 (momentum conservation equation )12: (2-10)yxxzxuuft (2-11)(xyyzyvt (2-12)()yzxzzwt 式中，p 是流体微元体上的压力； ， ， ：分别是垂直于微元体xyz 三个互相垂直的微向的应力，称为正应力(normal stresses) ，其余的 6 个 是因 分子粘性作用而产生的作用在微元体表面上的切应力(shearing stresses)，正应 力和切应力都属于表面力(surface force)； ， ， 是微元体上的体力(body xfyz force)，若体力只有重力，且 z 轴竖直向上，则 o， = o， = 。yzfg 式(2-10)、(2-11)、(2-12)是对任何类型的流体（包括非牛顿流体）均成立 的动量守恒方程。对于牛顿流体，应力与流体的变形率成比例，有： (2-13)2()xupux (2-14)yvy (2-15)()zwz (2-16)xyvuxy (2-17)()yzz 10 (2-18)()xzuwzx 式中， 是动力黏度(dynamic viscosity), 是第二黏度 (second viscosity)， 一般可取 。将式(2-13)- (2-18)代入式(2-10)- (2-12)，整理得：2/3 (2-19)()()uupugradst x (2-20)( vv (2-21)()()wwrt x 式中， ，符号 , , 是动量守恒方程的广义源gradxyzusv 项， ， ， ，而其中的 、 、 的表达式如uxsfsvsswzfsxsyz 下： (2-22)()()()()xuvuyxx (2-23)yszy (2-24)()()()()zuvwxzyz 一般来讲， 、 、 是小量，对于粘性为常数的不可压缩流体，s = = =0。方程(2-19)- (2-21)的展开形式为：xsyz (2-25) ()()()()()()uuuvtxyzpsx (2-26)()()()v vuvwtxyzpsy 11 (2-27) ()()()()wwuwvtxyzps 式(2-19)- (2-21)及(2-25)- (2-27)是动量守恒方程，简称动量方程 (momentum equations)，也称作运动方程，还称为 navier -stokes 方程。 对于采空区渗流来说，其动量方程通常是通过试验获得压力与速度的耦合 关系，然后依据该关系对标准动量方程(2-25)- (2-27)进行简化，常见的几种简 化模型有二项式模型和指数模型： (2-28)2xpjaub (2-29)mxk 式中， 为 方向的压力梯度， 为 的渗透系数， 为多孔介质的 方xj xax 向粘性阻力系数， 为 方向惯性阻力系数。在式 (2-28)和(2-29)中xb b=0，m=1，则这两式变为著名的达西定律： (2-30)1xxpuja 类似地在 y 方向有 (2-31)yyvk 当渗透系数各向同性时，有 ；进一步地，当渗透系数均质时，x k 不随空间位置而变化，是一个常量；否则当渗透系数非均质时， k 是空间位 置的函数，即 。(,)xy 2.3.3 能量守恒方程 能量守恒定律是包含有热交换的流动系统必须满足的基本定律。该定律可 表述为：微元体中能量的增加率等于进入微元体的净热流量加上体力与表面力 对微元体所做的功。该定律实际上是热力学第一定律。 流体的能量 e 通常是内能 、动能 和势能 p 三项之和，i221/()kuvw 我们可针对总能量 e 建立能量守恒方程。但是，这样得到的能量守恒方程并不 是很好用，一般是从中扣除动能的变化，从而得到关于内能 的守恒方程。而i 12 内能 与温度 t 之间存在一定的关系，即 ，其中 是比热容。这样，可i pictpc 以得到以温度了为变量的能量守恒方程( energy conservation equation ) 12 : (2-32)()()tpkutgradst 该式可写成展开形式： (2-33) ()()()()tpppuvwtxyzktkksccc 其中， 是比热容， 为温度，k 为流体的传热系数， 为流体的内热p 源及由于粘性作用流体机械能转换为热能的部分，有时简称 为粘性耗散项。t 通常将式(2-32)或式(2-33)简称为能量方程(energy equation)。 综合各基本方程(2-5)、(2-25)、(2-26)、(2-27) 和(2-32)，发现有 、u 、 、 、 、 六个未知量，还需要补充一个联系 和 的状态方程(state vwptp equation)，方程组才能封闭： (2-34)(,)pt 该状态方程对理想气体有： (2-35)r 其中 r 是摩尔气体常数。 虽然能量方程是流体流动与传热问题的基本控制方程，但对于不可压流动， 若热交换量很小以至可以忽略时，可不考虑能量守恒方程。根据 2.1 节的恒温 假定，本文不考虑传热问题，也就不需要解能量守恒方程，这里为了流动方程 的完整性，将能量方程一并列出。 2.3.4 组分输运方程 采空区气体通常视为瓦斯与空气的混合物，这样，采空区渗流流体的组成 在空间上有所变化，流体运动的参数除速度、压力等以外，还必须考虑表示组 分变化的参数，而每一种组分都需要遵守组分质量守恒定律。对于一个确定的 系统而言，组分质量守恒定律可表述为：系统内某种组分质量对时间的相对变 13 化率，等于通过系统界面净扩散通量与通过化学反应产生的该组分以及以离散 相加入的该组分的生产率之和。 根据组分质量守恒定律，可写出组分 s 的组分质量守恒方程 (species mass - conservation equation)12: (2-36)()()()ssssscudgradcsrt 将组分守恒方程各项展开，式(2-36)可改写为： (2-36) ()()()()sssssssssssucvwtxyzcdsrz 式中， 为组分 的质量分数， 是该组分的质量浓度， 为该组分的cscsd 扩散系数， 为系统内部单位时间内单位体积通过化学反应产生的该组分的sr 质量，即生产率， 为以其它方式加入到系统的该组分的生产率。式(2-36) 左ss 侧第一项、第二项，右侧第一项和第二项、第三项，分别称为瞬态项、对流项、 扩散项、源项和反应项。 该方程左端包含了流体运动速度，表明运动介质中组分的转移不仅仅依赖 于组分的分子扩散，而且还依赖于流体运动所引起的对流扩散。这种对流扩散 的作用，取决于空间各点的流体速度。所以，运动流体中的浓度场依赖于速度 场。 另外，由于浓度场的存在，会使各点流体的密度、黏度不同，可能出现附 加的自然对流以及分子扩散流，从而影响原有的速度场。可见，运动流体中的 速度场和浓度场是相互耦合的。严格来说，不能单独进行研究，必须联立求解 运动方程和扩散方程。但是在一定条件下，为使问题简化，常认为浓度场依赖 于速度场，而速度场受浓度场的影响较小，可以忽略不计。因而，通常是先研 究速度场，然后在已知的速度场基础上研究浓度场，这样通过求解组分输运方 程可得浓度场。 2.3.5 控制方程的通用形式 为了便于对各控制方程进行分析，并用同一程序对各控制方程进行求解， 现建立各基本控制方程的通用形式。 14 比较 4 个基本控制方程(2-5)、(2-19)- (2-21)、(2-32)和(2-36)，可以看出， 尽管这些方程中因变量各不相同，但它们均反映了单位时间单位体积内物理量 的守恒性质。如果用 表示通用变量，则上述各控制方程都可以表示成以下通 用形式： (2-38)()()()ugradst 其展开形式为： (2-39) ()()()uvwtxyzs 式中， 为通用变量，可以代表 、 、 、 、 等求解变量； 为广uvtsc 义扩散系数；s 为广义源项。式(2-38)中的各项依次为瞬态项 (transient term)、对流项(convective term)、扩散项(diffusive term)和源项(source term)。 对于特定的方程， ， ， 具有特定的形式，下表给出了三个符号与各s 特定方程的对应关系。 表 2-1 控制方程通用函数表 s 连续方程 1 0 0 动量方程 iu/iipx 能量方程 t/kcts 组分方程 ssdsr 所有控制方程都可以经过适当的数学处理，将方程中的因变量、时变项、 对流项和扩散项写成标准形式，然后将方程右端的其余各项集中在一起定义为 源项从而化为通用的微分方程，这样只需要考虑通用微分方程(2-39)的数值解， 写出求解方程(2-39)的源程序，就足以求解不同类型的流动及传热问题。对于 不同的 ，只需要重复调用该程序，并给定 和 s 的适当的表达式以及适当 的初始条件和边界条件，便可求解。 符 号方 程 15 第 3 章 偏微分方程的有限差分法 3.1 有限差分基本思想 用 有 限 差 分 法 求 解 微 分 方 程 数 值 解 方 法 的 基 本 思 想 是 把 连 续 的 定 解 区 域 用 有 限 个 离 散 点 构 成 的 网 格 来 代 替 ， 这 些 离 散 点 称 作 网 格 的 节 点 ； 把 连 续 定 解 区 域 上 的 连 续 变 量 的 函 数 用 在 网 格 上 定 义 的 离 散 变 量 函 数 来 近 似 ； 把 原 方 程 和 定 解 条 件 中 的 微 商 用 差 商 来 近 似 ， 于 是 原 微 分 方 程 和 定 解 条 件 就 近 似 地 代 之 以 代 数 方 程 组 有 限 差 分 方 程 组 ， 解 此 方 程 组 就 可 以 得 到 原 问 题 在 离 散 点 上 的 近 似 解 。 然 后 再 利 用 插 值 方 法 便 可 以 从 离 散 解 得 到 定 解 问 题 在 整 个 区 域 上 的 近 似 解 13， 也 就 是 把 求 解 偏 微 分 方 程 的 问 题 转 换 成 求 解 代 数 方 程 的 问 题 。 此 过 程 分 为 如 下 三 个 步 骤 ： (1)区 域 离 散 化 ， 即 把 所 给 偏 微 分 方 程 的 求 解 区 域 细 分 成 由 有 限 个 格 点 组 成 的 网 格 ； (2)近 似 替 代 ， 即 采 用 有 限 差 分 公 式 替 代 每 一 个 格 点 的 导 数 ； (3)逼 近 求 解 。 换 而 言 之 ， 这 一 过 程 可 以 看 作 是 用 一 个 插 值 多 项 式 及 其 微 分 来 代 替 偏 微 分 方 程 的 解 的 过 程 。 区 域 离 散 化 的 剖 分 网 格 ： (1)双曲型方程和抛物型方程的初边值问题，求解区域见图 3-1，为1(,)|,0dxtt 图 3-1 双曲和抛物型方程区域 网格1d 16 双曲型方程和抛物型方程的初边值问题，设其求解区域见图 3-2，为2(,)|0,dxtlt 这个区域的网格由平行于 t 轴的直线族 ( j=0,1,， j)与平行于 xjx 轴的直线族 所构成，其中 ， ； 。ntjxjh/lnt (2)椭圆型方程的边值问题，求解区域是 x-y 平面上的一个有解区域 d，其 边界 为分段光滑曲线，见图 3-3。 图 3-2 双曲和抛物型方程区域 网格 图 3-3 椭圆型方程区域 网格2dd 3.2 用 taylor 级数展开方法建立差分格式 以对流方程的初值问题 (3-1)0,0(,)() uaxrttxg（ ） 和扩散方程的初值问题 (3-2) 20,0(,)()uaxrttxg（ ） 为例来说明 taylor 级数展开方法建立差分格式 14。 17 假定偏微分方程初值问题的解 是充分光滑的。由 taylor 级数展开有(,)uxt (3-3) 112111 2(,)(,)()2(,)(,)()(,)(,2,)jnjnnjjj jjnjnnjjj jjnjnnjjjuxttotuuxttohhxuuxttohhxu122(,)()j njtu 其中 表示括号内的函数在节点 处的值，利用(3-3)中的第 1 式和nj (,)jnxt 第 3 式有 11(,)(,)(,)(,)()jnjnjnjnnjuxttuxttuaaohhtx 如果 是满足对流方程初值问题的光滑解，则(,)t 0njuatx 那么对流方程初值问题(3-1)在 处可以近似的用如下方程来代替：(,)jnt (3-4) 110,12,0,12)nnjjjjuuah； 式(3-4)成为逼近对流方程初值问题(3-1) 的有限差分方程，或简称为差分方 程。为便于计算，将上式写为 (3-5)11=-()nnjjjjuau 18 称为网格比。/h 将初始条件离散化为 则0,1,jju， (3-6) 110 (,2,0,12)0,nnjjjjjjuajnh ； （ ） 由第 n 个时间层推进到第 n+1 个时间层时，差分方程提供了逐点直接计 算 的表达式，因此差分方程(3-6)称为显示格式。1ju 利用式(3-3)第 1 式和第 4 式，可以得到逼近微分方程(3-1)的另一差分方 程 (3-7)10 nnjjjjuuah 式(3-4)和式(3-7)这两个差分方程均为偏心差分格式。 利用式(3-3)中的第 1 式和第 5 式，可以得到逼近微分方程(3-1)的中心差分 格式，即 (3-8)102nnjjjjuuah 同样，也可以得到扩散方程初值问题的差分方程 (3-9) 1112,0,12nnnjjjjjuajnh； 用 taylor 级数展开建立差分格式，实际上也等价于用差商来近似微商得 到相应的差分格式。在用使用 taylor 级数展开时，取前两项即可以得到相应 的差分格式。本论文主要是对时间向前差分，对空间中心差分来进行浓度场方 程的求解。 19 第 4 章 瓦斯分布浓度场求解 4.1 物理模型区域网格剖分 设有如下图 4-1 所示的理想正方形多孔介质区域： 图 4-1 介质区域 图 4-2 介质区域网格化 假设图 4-1 中所考虑的物理模型为长宽各 300m 的正方形区域，网格剖分 如图 4-2 所示，取 m，网格内点数为 。10xy29 当瓦斯浓度场和速度场耦合求解时，不仅浓度场受速度场的影响，速度场 反过来也受浓度场的影响，因此对浓度场而言是非线性微分方程，但是，通常 浓度场受速度场的影响很大，而速度场受浓度场的影响很小，忽略浓度场对速 度场的影响不会对速度场的分布产生太大影响。这样，可以将速度场和浓度场 分开来求解，即先不考虑浓度场而求解速度场，在获得速度场之后，再求解浓 度场，这时在求解浓度场的组分输运方程中的各方向速度分量成为仅与空间位 置有关、与浓度场无关的变量，方程成为变系数线性微分方程，因而可以应用 速度场来求解一定边界条件的浓度场 15。在 darcy 定律中，通过渗透率关系， 已知压力场时就可以得出速度场。关于压力场值，在所涉及的控制方程中通过 变形后满足 laplace 方程，只要给定压力边界条件，用有限差分法对 laplace 方程差分时就能求出压力场值。 20 4.2 求解压力场和速度场 4.2.1 压力场问题分解 采用第二章中采空区渗流问题的假设，将表示达西定律的方程(2-3)、(2-30)和 (2-31)代入质量方程(2-9)，可得： (4-1)()()0yxkkp 气体动力粘性系数 为常量，则上式展开之后可以写成： (4-2) 2 2yxx ypkk 由于假设多孔介质骨架不变，上式中渗透率 ， 仅为 （ x ， y）的 函数，xy 而与压力无关，故上式对未知函数 p 而言是二阶变系数线性偏微分方程；当各 向渗透率为常数时，上式第二、三项为 0，上式变为二阶常系数偏微分方程： (4-3) 22xyk 进一步地，当渗透率各向同性时， ，上式变为 laplace 方程：xyk (4-4) 220p 以上几式表明： (1) 由式(4-1)可知，当渗透率非均质时（包括各向同性和各向异性），多 孔介质中渗透率的分布形态影响多孔介质的压力分布形态和大小；当渗透率分 布形态不变，仅对应点上各向渗透率同比例变化时，采空区压力分布形态及大 小都不变。 (2)由式(4-3) 可知，当渗透率均质各向异性时，其各向渗透率不同比例变 化影响多孔介质压力分布形态和大小，各向渗透率同比例变化不影响多孔介质 压力分布形态和大小 (3)由式(4-4) 可知，对于渗透率均质各向同性的多孔介质区域，其压力场 分布与渗透率大小无关。 以上式(4-1)至(4-4)均为线性偏微分方程，因而可以应用线性差分方程。满 足同一微分方程的解有无穷多个，要想获得确定的解，还必须给定边界条件。 21 对于如图 4-1 所示的多孔介质区域，若设其渗透率均质各向同性，边界条件为 第一类边界条件（即给定压力在四边上的值）则该区域内的压力场的定解问题 可以表述为： (4-5