对称思想在几何中的应用研究 毕业论文.doc

对称思想在几何中的应用研究 摘 要对称思想是一种重要的数学思想，存在于数学的很多领域，我们对其应该给予足够的重视。对称思想是研究数学问题常用的思想方法，对称是一种美， 数学中的对称美主要表现在几何图形的对称、式子的对称、解题方法的对称等方面。本文讨论对称思想在平面几何、解析几何、立体几何、射影几何中的应用并举例说明分析。关键词 对称思想 几何应用 the research of symmetrical idea in the gemmetry （school of mathematical science，huaibei normal university，huaibei，235000） abstract symmetrical idea is an important mathematical thought, which exists in manyareas of mathematics, of which we should give enough attention. symmetrical idea is thinking method which is the study math problems commonly used .symmetry is a beauty, the symmetrical beauty of mathematics is mainly manifested in the symmet-rical geometric figure, the symmetrical formula, the symmetrical method of solving problem,ect. this paper discusses symmetrical ideas in plane geometry, and analytic geometry, three-dimensional geometry, projective geometry, and illustrates the appli-cation. key words: symmetry idea geometrical application 目 录引 言1一 对称思想的意义1二 几何的对称性1 （一）几何公式的对称性2 （二）几何图形的对称性2 （三）对称的广泛应用2三 对称思想在初等数学中的应用3（一）对称思想在平面解析几何中的应用3（二）对称思想在立体几何中的应用11四 对称思想在高等数学中的应用12（一）对称思想在射影几何中的应用12（二）对称思想在微分学中的应用15（三）对称思想在积分学中的应用16五 对称思想的进一步探讨18（一）数学思想方法的探讨18（二）对称思想方法对教学的影响19 1 对称思想方法对学生的影响19 2 对称思想方法对教师的影响19参考文献20后 记21引 言 从中国数学发展的历程和数学本身的特征看，中国数学表现出对称性、统一性等科学美学特征。中国数学美的思想方法对数学、数学教育的发展起到过积极作用，在今后的科学研究、数学教育中还会起到一定的启迪作用。数学中的对称思想蕴涵着丰富的美学思想和思维方法，充分挖掘教材中的对称思想，具有重要的理论意义和现实意义，特别具有审美教育的价值。一 对称思想的意义对称似乎是世间万事万物的一种表现形式或现象，而且它成为各种学科，如数学、物理、化学、生物、医学、建筑、美学、绘画等的基本理论和表现形式之一。哥白尼说：“在这种有条不紊的安排之下，宇宙中存在着奇妙的对称”对称是广义的，字母的对称，结构的对称，图形的对称，解法的对称，无论是哪种对称都是美好的。数学对称包括狭义的对称、常义的对称和泛对称。狭义的对称又包括代数对称和几何对称。 对称思想是数学思想中的一个重要组成部分，它普遍表现在初等数学与高等数学的各个分支。笛卡儿创建的解析几何学可以说是对称思想在数学领域成功的运用。在这种坐标几何学中，代数方程与几何图形之间建立了一种对称，使代数与几何化为一体，达到完美的统一。在高等数学里，对称的例子也经常遇到。矩阵和行列式被人们称为“美丽的花园”，即使不懂数学的人，也能感到其排列的整齐和处处对称，从而领略它们的形式之美。从更广泛的意义上讲，数学中的对称思想不仅在几何中得到体现，在数学的知识体系中同样有着广泛的体现。从运算角度看：加与减、乘与除、乘幂与开方、指数与对数、微分与积分、矩阵与逆矩阵等，这些互逆运算都可以看作一种“对称”关系。从函数角度看，函数与反函数也可视为一种“对称”,还有变换与反变换、映像与逆映像等也属对称。从命题的角度看，正定理与逆定理、否定理、逆否定理等也存在着“对称”关系。“对偶”关系也可视为“对称”的一种形式。集合论中的棣莫弗公式就是关于差集的对偶原理。在逻辑代数(布尔代数)运算中也相应的有对偶原理。在射影几何中，点和直线之间建立了对偶关系，进而得出对偶原理：在平面几何的任一定理中，如果把点换成直线，直线换成点，并把诸种关系换成相应的对偶关系，所得到的新命题依然成立。二 几何的对称性1 （一）几何公式的对称性很多数学公式中的字母是对称的，地位是平等的，如、这里可以互换，公式仍然成立。 （二）几何图形的对称性几何图形的对称性是对数学对称思想最通俗直观的解释。对称是最能给人以美感的一种形式。对称性在数学上表现为图形或数式的对称，概念、命题、法则或结构的对偶、对应等等。毕达哥拉斯就曾经说过“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是图形”，就是因为它们是对称的图形。对称的几何图形有很多：如等腰三角形、平行四边形、菱形、正方形、圆、抛物线等。在几何图形中，平行四边形是中心对称的；等腰三角形是轴对称的；圆关于圆心是对称的；关于直径也是对称的；正方形关于其中心是对称的；球则最为特殊，它既是中心对称、又是轴对称、也是面对称的图形。又如，解析几何中的圆柱、圆锥、旋转曲面、椭球面等这图形都有鲜明的对称性，直观地给人以美的享受。正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称，才构成了美丽的图案，精美的建筑，巧夺天工的生活世界，也才给我们带来丰富的自然美，多彩的生活美。 （三） 对称的广泛应用1 数学中的对称美在规划论中的应用在现代生活中, 我们常常遇到这样的问题：(1)利用有限的资源(人力、物力、财力)去完成最大的任务；(2)利用最少的资源完成规定的任务。这两类问题就是规划论中的对偶问题，我们把问题(1)视为原问题，问题(2)视为原问题的对偶问题。由于它们具有对称性，我们要求原问题的最大值，就是求对偶问题的最小值；要求对偶问题的最小值，就是求原问题的最大值。当原问题的约束条件不等式的个数比决策变量的个数多时，用求解对偶问题代替原问题的求解，可使计算量大大减少。2 数学中的对称思想在定积分中的应用 在计算旋转体、立体图形的体积时, 我们运用数学中的对称性使计算简捷。比如圆锥体 2 : 设圆锥体的高为，底圆半径为，由图可知圆锥体关于轴对称，于是我们可以将它看作是由平面图形，绕 轴旋转一周而得。截面面积函数是连续函数，从而在 上可积，所以其体积为三 对称思想在初等数学中的应用（一）对称思想在平面解析几何中的应用 在平面解析几何中所研究的对称是狭义对称中的几何对称。 平面解析几何是通过一种代数的方法来研究点与点、点与线、线与线的关系，比如通过两点的坐标来求两点间的距离，圆上一点与直线距离等等，解析几何是以强大的代数运算为基础，突出了代数的数学化和运算化。中学阶段平面解析几何的大致结构包括：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线。它们的解析式，它们的具体性质，它们相互之间的关系也就是我们中学所要学习的内容。先看一个实例：一条笔直的小河同侧有两个村庄、，问在河上何处建造一个抽水机泵房，使这个泵房到、两村架设的管道最短我们知道，两点之间线段最短，只要找出（或）关于小河的对称点3（或）连接（或）与小河的交点即为所找的建造泵房的位置，这就是生活中关于对称问题的应用。1 点关于点的对称点的求法设点关于点的对称点为，由中点坐标公式、，解得、，因此有点关于点的对称点坐标为2 点关于直线的对称点的求法（1）点关于 轴、 轴、原点、直线、直线、直线、直线的对称点分别为、（2）点关于直线的对称点的坐标为；点关于直线的对称点的坐标为 4 曲线关于点的对称曲线的求法 曲线关于点的对称曲线的方程为：特别地，关于原点对称曲线方程为 曲线关于直线的对称曲线的求法曲线关于直线的对称曲线为曲线关于直线的对称曲线为例一：已知点关于原点的对称点为求点关于轴的对称点关于轴的对称点关于直线的对称点解：因为点关于原点的对称点为所以点的坐标为,故点关于轴、轴、直线的对称点分别为、例二：求点关于直线的对称点的坐标。分析：两点、关于直线对称，即为垂足为线段的中点。解：设对称点为，直线的斜率存在且不为0；直线ab 的斜率存在。5 ，即又中点（垂足）在直线上；则有。将联立解得:对称点为例三：求直线关于点的对称直线。解：设对称直线上的点坐标为则它关于的对称点为该点在上，得，即 例四：求直线关于的对称直线方程。解法一：，解得：对称直线过，在上取点则关于的对称点在上，易得用两点式可算出为： 6解法二：设为对称直线上任一点坐标为，关于的对称点，用、表、可得： 代入即可求得。例五：求圆，关于的对称圆的方程。分析：只要求出圆心关于的对称点，即为对称圆的圆心，半径不变，方可写出圆的方程。解：设圆心关于的对称点为；直线的斜率，直线的斜率存在；即又中点（垂足）在直线上，则有 7将联立，解得即对称圆的圆心为故所求圆的方程为：以上示例说明，无论是求曲线关于直线的对称方程，还是解答涉及对称性的最值问题，关健在于掌握点关于直线的对称点的求法。在几何中，我们利用数学中的对称性，建立适当的坐标系，可以使运算简单，所得的曲线曲面的方程简洁明了。比如椭圆 (如下图) :(图1：任意建立坐标系，图2：取两定点、所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系)比较之下，我们发现：图1让我们漫无头绪，图2中，我们看到图形的对称美，萌发了解题的思路。设、 、为椭圆上的任意 8一点，由定义可以得到曲线的方程。在三维立体空间中，我们将图2 中的椭圆绕轴旋转，得到长形旋转椭球面。而在方程中保留坐标轴不变，用代替，便得椭圆绕轴旋转的曲面方程：。由此可见，数学中的对称性不仅推动了数学的发展，而且使数与形结合得更紧密。例六：已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于该直线对称。 解：设椭圆上关于直线对称的两点为、，其所在直线方程，代入椭圆方程并整理，得： 由于 、是曲线上不同的两点，因为 解得： 另一方面，、 是的两跟，由韦达定理有 9而点 又在直线上，将代入上式，得的取值范围是例七：平面上向量满足，求中点的轨迹方程。分析：此题有多种解法，但如果能利用对称这一条件进行对称变换，此题可得到简便解答。由条件，如图，是长为的线段的中点，轴，且，在轴上取点，则易知,于是题设对称地转换为“求到定点的距离之和为定长的动点的轨迹方程”，如图，不难知道点的轨迹是以为焦点，长轴长是的椭圆，其方程为 10 反思：此题中，我们用了一个对称变换，将原题转化为一个我们很熟悉的问题。（三）对称思想在立体几何中的应用 立体几何除了点、线的关系，又增加了面、体两方面，同样是研究点、线、面、体的关系，是一个开放式的体系。立体几何中有具体的长度、面积和夹角等等。由于多了面和体，于是就有了同面和异面之分，又有了正方体、长方体、柱体和椎体之分，这样的立体几何就是围绕着这些主要的面、体而展开的。转化思想是立体几何中最重要的思想方法, 贯穿在立体几何教学的始终. 有意识地将问题进行转化, 转化为熟悉的、简单的、基本的问题, 有助于化难为易, 化繁为简, 使问题得到解决. 转化的方式,灵活多样, 如空间问题向平面问题转化, 位置关系的转化, 位置关系中的定性与定量的转化, 又如化曲为直, 化折为直, 等等.例八：求函数的最小值。 解：如图5,考虑点,和，则,动点的轨迹方程是直线：关于直线的对称点,由 11图5例九：已知二面角的大小为度，点分别在平面内，点到平面的距离分别是，求周长的最小值。分析：作关于平面的对称点交平面于易证： 图6四 对称思想在高等数学中的应用（一）对称思想在射影几何中的应用 12初等几何与解析几何是射影几何的基础和特殊化，而射影儿何是初等几何与解析几何的发展。我们知道，初等几何与解析几何是研究欧氏空间的，而射影空间是欧氏空间的扩大空间，因而通过对射影几何的学习，使我们能居高临下地加深对这两门课程的理解与认识，这对于一个中学教师来说是十分必要的。尽管从射影几何的结构本身来看已经很完美了，也许从中不可能再发掘一些有重大意义的课题，但是随着抽象代数理论的发展，高维的和实数域以外的各种数域的几何体系相继建立了起来也就是有关代数几何方面的内容还有待我们进一步去研究，而学习射影几何也就为进一步学习代数几何以及拓扑学等打下基础。秩序性是最重要、最基本的数学原则之一，它贯穿整个射影几何，不论哪种变换都要求有序。对称也是一种匀称，是指整体与部分之间的相称与平衡，有着协调的美感。对称性在射影几何中最具体的表现就是“对偶原理”了。平面射影几何对偶原理：关于平面上元素（点与直线）的每个射影命题，都对应着另一个对偶命题，第二个命题由第一个命题得来，即将每一个元素换为其对偶元素，如果两个命题之一成立，那么另一命题也成立。对偶原理是射影几何所固有的，它只适用于点线结合性命题( 仅指平面射影几何)。射影几何之所以有对偶原理， 是因为射影平面上没有平行线，点和直线的结合关系有了新的变化，两直线总相交，即相交和平行得到完美的统一。“对偶性”的思想也就是要充分发挥对偶原理的功效。运用对偶原理有事半功倍之效。在证明两个互成对偶命题的命题时，可将易于证明的命题先证，然后由对偶原理可知其对偶命题成立。例十：如果两个完全四线形的五对对应顶点的连线通过同一点，则第六对对应顶点的连线也通过此点，且其四对对应边的交点在同一直线上。见图7所给命题的对偶命题：如果两个完全四边形的五对对应边的交点在同一直线上，则其第六对对应边的交点也在此直线上且其四对对应顶点的连线交于一点。见图8 13图7 图8在所给原命题中，是用一个小写字母表示直线，把点看成直线的包络， 这是线几何学的观点，而其对偶命题，则是用一个大写字母表示点, 直线看成点的轨迹，这是点几何学的观点，是人们比较习惯的观点。因此这两个互为对偶的命题只须 14证明所给命题的对偶命题成立，由对偶原理知所给命题成立。例十一：利用对偶原理证明梅涅劳斯定理。分析：梅涅劳斯定理：如果一条直线与的三边 或其延长线交于点，那么塞瓦定理：设是内任意一点 分别交对边于则由于“三点共线”与“三线共点”，正好是对偶命题问题， 因此梅涅劳斯定理和塞瓦定理构成对偶命题，而且在平面射影中，梅涅劳斯逆定理和塞瓦逆定理也构成对偶命题。证明：过点作交的延长线于则三式相乘得：在欧氏平面几何中，人们常常用梅涅劳斯定理来证明塞瓦定理。现在我们知道，若梅涅劳斯定理获得证明，那么塞瓦定理自然成立，用不着再证明，这就达到简化证明的效果。但却称该法为“丑陋的证明”。他认为：“虽然这个证明稍微简单些，它却不能令人满意。因为证明中使用了一条辅助线，它和要证明的命题的内容并无关系，还有证明无理地偏爱顶点而命题关于和的确是对称的。”依据“对偶原理”我们可以发现新命题，而且此新命题无须证明，因为其证明性是对偶原理本身所赋予的，你是我的对偶，我也是你的对偶。对偶原理就像一个纽带把点和线联系在了一起，从而使我们对“点”和“线”又有了更高层次的认识。它们之间的变化是那么微妙，堪称是一门美学艺术。 （二）对称思想在微分学中的应用在微分学中也有大量的对称现象存在。如有限与无限，无穷小与无穷大，连续与间断，曲线的凹凸等概念前后呼应，成对出现. 15从函数角度看，函数与反函数也可认为是一种“对称”，而且它们的图形在几何上也是对称的；从运算关系角度看, 微分和积分也可视作是“对称”关系；在多元复合函数求偏导数时，可以利用函数关于自变量的对称性简便计算。定义:若函数中任意两个自变量对调后,仍表示原来的函数, 则称函数关于自变量对称。命题一：若即若求函数关于的偏导数,只需将函数关于的偏导数中的与交换位置即可, 该结论还可推广到阶偏导数。例十二：设函数：，证明：证明：由于函数关于自变量的对称性，所以：因此：（三）对称思想在积分学中的应用对称性在积分学中的应用更是极为常见。在定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算中，如果合理利用对称性在几何中的应用,则可以大大地简化计算, 达到事半功倍的效果。利用几何的性质，我们可以更加形象的理解以下的命题。命题二：设在连续，则：（1）：若，则 16（2）：若，则命题三：设积分区域关于轴对称，在上连续，则其中是中对应于的部分，即若积分区域 关于轴对称, 则也有类似的结论。命题四：设积分区域关于面对称，在上连续,则其中是中对应于的部分。若积分区域关于面或面对称,则也有类似地结论。例十三：设是平面上以和为顶点的三角形域, 是在第一象限部分,求：解：记连结记围成的区域为,围成的区域为，则关于轴对称, 为在轴右侧的部分。关于轴对称,注意到为的奇函数, 为 17的偶函数, 为的奇函数。所以.五 对称的进一步探讨（一）对称思想方法的探讨对称就是事物的合理性。矛盾的对立统一，广义对称，还包含着“一分为二”，的观点（它也可以看作是广义对称的一种表现）。指出，世界上一切事物都具有两面性。强调在一定条件下的比较和转化，等等，如，没有绝对好的事物，也没有绝对不好的事物。“好”和“坏”都是有条件的相对的。病根据一定条件转化。都在我们的教学和学生的学习过程和思考过程中时时表现出来。如能注意运用，可立即使思考高瞻远瞩。举个例子：把一块地耕完，用拖拉机完成的快呢？还是一个人用铁锹来翻快呢？很多人会不假思索地回答：“当然是拖拉机快！”这个回答就离开了一分为二。如果是在茫茫的北大荒平原上，拖拉机和铁锹比赛，当然拖拉机快，但如果把窗前一小块种花的三角地翻完，开拖拉机进来，倒不如手那铁锹来翻地更快些了。这就是“一分为二”的观点。它不但再具体的知识学习中帮助我们，而且将指导我们的学习方法、工作方法和统筹安排，根据条件全面考虑，并随时调整、不要绝对化。对称思想是数学思想的重要一部分，每种数学思想都是历史的结晶，每种数学思想的策略和方法是解题经验的归纳与总结，都是数学的发现。并且这条数学发现的道路永无止境，数学思想系统还有待于充实、创新和完善。数学思想系统是一个永无完结的开放系统。数学思想方法的教学是以知识为载体，在知识教学的过程中来实现数学思想的教学。思想和数学思维活动紧密联系在一起，它是实现从知识向能力转化的中介和桥梁。 18（二）对称思想方法对教学的影响 1 对称思想方法对学生的影响对称思想方法的研究有助于对学生的发散性思维能力的提高。发散思维是吉尔福特在他的“智力结构三维模式”中提出的思维方式。发散思维又叫求异思维，是从已知信息中产生大量变化的、独特的新信息的一种沿不方向、在不同范围、不因循传统的思维方式。如，为了求证三角形中位线定理，学生尽可能多地说出添加辅助线的方法。发散思维需要从不同方向考虑解决问题的多种可能性，因而发散思维富于联想，思路宽阔、善于分解组合和引伸推广，善于采用各种变通方法，培养了思维的灵活性。对刚入初中学生，用哲理，特别是广义对称思想的耳濡目染的过程，站在系统的高度八方联系、浑然一体、浮想联翩，思如泉涌的过程，超前思维，向老师挑战，在思维运动中训练思维的过程，一题多解，多解归一，多题归一，学生的思维水平提高，智力水平也大大提高，造就一个强大的头脑而使自己变的聪明和更加聪明的效果已日益显著，因此，可以缩短知识的讲授周期，加快教学进度，且质量提高了。应让学生学会如何去学习新的知识和技能。让学生看到自己的思维过程。老师无法送你到对岸，只能送你一叶小舟；老师无法送你上山顶，只能指给你上山之路；老师无法给你智慧，只能教你获取的方法。2 对称思想方法对老师的影响在整个数学中都存在着对称思想，如何能够领略到这种对称思想要靠我们来探索，现在数学对称思想应该越来越受到重视，特别在教学过程中，教师要通过形象的讲解、巧妙的启发、严密的推理、生动的语言和讲究的板书使学生在学习数学时得到美的享受，提高兴趣，在教师不断揭示数学的对称思想的过程中接收并获得对数学的审美能力，并通过观察、联想和耐心的解决去挖掘这种特殊的对称，致力于它的研究和发展。数学思想方法是数学中联系各项知识的纽带，也是学生获取知识的手段，它较数学知识有更大的抽象性和概括性，也比数学知识具有更强的稳定性和更普遍的适用性，能使学生透彻理解知识，终身受益。现性教材的知识体系是纵向展开的，而数学思想方法蕴涵其中，需要我们去挖掘。数学思想方法与数学思维活动紧密联系在一起，它是实现知识向能力转化的中介和桥梁，数学思想方法的教学应贯穿于教学全过程。教师应充分挖掘教材中所