微元法在物理解题中的应用 毕业论文.doc

i 微元法在物理解题中的应用 the apply of element method in solving physics problems 摘 要 微元法是分析连续过程积累的一种方法，故在普通物理学中应用广泛在进入大学学 习之初，常常因从中学的恒力问题过渡到变力问题，时而思路混乱，于是牛顿采用“微 元”方法处理分析物理现象，创立微积分学本文追随着大师的思想，介绍物理解题所 采用的微元法在力学和电磁学方面的具体的应用 关键词：微元法，万有引力，牛顿运动定律，磁通量 the apply of element method in solving physics problems abstract element analysis is the process of continuous accumulation of a method, therefore, in general physics widely used. at the beginning of the study to enter university, often because of the constant force from the secondary issue of the transition to change, sometimes confusing ideas, so newton used“element method”dealing with the physical phenomena analysis, the creation of calculus. this paper recovery with a master of thinking on solving physics problems by using the element method in mechanics and electromagnetic fields of science, the specific application. key words: element method, universal gravitation, newtons laws of motion, flux ii 目 录 第一章 绪 论 1 第二章 微元法的定义及应用理论基础 1 2-1 微元法的定义 1 2-2 微元法的应用理论基础 3 第三章 微元法在力学中的应用 4 第四章 微元法在电磁学中的应用 6 第五章 总结 8 参考文献 9 致 谢 10 1 第一章 绪 论 “微元法”是在物理解题时所采用的一种特殊的分析方法这种方法的精髓就是把确定的研究对象 分割为无限多个无限小的部分，然后抽取其中一部分加以研究，通过对所抽取的这一部分的研究，就 可以认为是整体或全过程的性质和规律，它实质上是“从复合到单一，从单一到复合”的分析与综合 思维方法，因此微元法具有广泛的应用性 第二章 微元法的定义及应用理论基础 2-1 微元法的定义 所谓微元法就是指将连续的（线，面，体）看成无数个无限小（线元，面元，体元）的集合，整 个物体的物理量就变为无限个小微元相应物理量的“无限积累” ，从而将物理问题“翻译”成为数学问 题的一种方法微元法在某些文献中被命名为元过程分析法，它把一个极小的微元过程和一个大过程 视为本质上的相同只要分析透了微元的物理状况（实际上可推广到一切动态变化）及其边界条件的 相互关系，就可以根据定积分去推倒全过程的基本规律 在科学技术领域中，有大量的问题，定量求解它们的途径都可以归结为一种和的极限的运动，这 种运算，经过数学抽象，就成为定积分微元法概念这类问题，在力学中比比皆是，也就是说，在力 学中，有不少的物理量，可以借助于微元法来计算其满足条件的数值大小或分析其作为变量的变化期 间和变化规律，所以，定积分在力学中得到广泛的应用 应用定积分理论解决力学实际问题的第一步是将实际问题数学化，这一步往往比较困难，而微元 法（亦称为微元法分析法，元素法）恰是解决这一困难，实现这种转换的有力 设求解的实际问题可化为在区间 上的某个量 ，如果我们在具有代表性的任一小区间,abf 上，以 “匀代不匀”或“不变代变”找到这个量的微元,则根据微元 ,则根据微,xd ()dffx 分基本定理，这个量就可以应用定积分 计算显然，解决问题的关键是在微()()bafxd 小的局部上进行数量分析，寻找并列出正确的微分式，故而这种方法称为微元法 2-2 微元法的应用理论基础 2-2-1 微元法的理论基础 我们知道，能够应用微元法求解的量 应该具备下列条件：f 2 （1）它是一个与变量的变化区间 有关的量；,ab （2）它对于区间 具有可加性，即如果把 分成若干个小区间，则它能相应地分成若干,ab, 个对应的部分量，且该量就等于所有部分量之和； （3）部分量 的近似值可以表示为 ，这样就可以用定积分来表示这个量 if()ifxf 将满足上述条件的量 写成可运算的积分表达式的步骤可归纳为： （1）根据问题的具体情况，选取一个变量（例如 ）作为积分变量并确定它的变化区间 ；,ab （2）将区间 分成若干个小区间，取其中任一小区间并记作 ，求出相应与这个小,ab ,xd 区间的部分量 的近似值，如果 能近似地表示为 x 的一个连续函数 与 的乘积（这里fff 与 相差一个比 高阶的无穷小） ，就可以将它记作为 ，即 ；fxddx f()x （3）以所求量 的微元 为被积表达式，在区间 上作定积分得：f ,ab ()baffxd 结果即为所求的实际量，根据所求问题的不同，它可以是一个具体的数值，也可以是一个函数 作为微元法应用的实例，我们考察一个以速度定积分 作变速运动的质点，欲求它在时间vt 间隔 内产生的位移的大小,ab 在这里，速度是一个随时间变化的量，因此求该质点在时间 内产生的位移就不能冒失的应,ab 用 这样的简单公式了，但只要我们注意到质点的速度是连续变化的，即它是时间的连续函数，xvt 在一段很短的时间内，它的变化很小，近似不变，这就为我们提供了以“不变代变”的条件，而且所 取的时间间隔越短，这种近似代替的精确度就越高 我们所求的位移具有可加性，即质点在时间间隔 内的总位移等于每一个小区间的位移之和，,ab 这样就使它具备了用微元法求解的条件具备了条件就可以着手解决问题了，首先“化整为零” ，把时 间区间 用分点 、 、 、 ，分为 段，而且满足 ，这样,ab0t12t1ntn011nttb 各段区间长为 ， ， ，设质点在第 个时间间隔内所产生的位11ti 移为 ，在这一短暂时间间隔内，质点的速度变化很小，可近似视为不变，因此质点在这一短暂时ix 间内的运动就可视为匀速运动而利用公式 求其位移了，即 ;把各个时间间隔内的xvt ()iixvt 位移相加，即得 ，当 ，即可得到此变速运动的质点在 时间内的位移 10()niixvt0it,ab 3 ，当全部的 同时趋于 0 时， 的极限存在，则此极限值就是质点的位移，也就 10lim()nitxvtitx 是函数 在区间 上的定积分 yt,ab()bavtd 由此，我们可以归纳出如下的解题步骤： （1）由于质点的速度 是随时间变化的，因此选取 作为积分变量，其变化区间为 ；vt ,ab （2）将 分为若干个小区间 ， ，在任意小区间 内，质点的位移 ，,ab0t1ntit()iixvt 因为速度的变化是连续的，因此 可以表示为一个连续函数 与 的乘积，此时可将它记作 ，ixvdd 即 ；dxvt （3）以所求量 的微元 为被积表达式，在区间 上作 ，对于具体问题，xvtd,ab()bafvt 的积分后代入，下限 即可得到运动质点在在区间 上的位移vt ,ab 上述步骤亦可规律化为： （1）根据实际问题性质确定积分变量及其变化区间； （2）将变量的变化区间划分为若干个小区间，求出每一个小区间内待求量的表达式，这就是所谓 的“化整为零” ； （3）待求量在变量的变化区间内具有可加性，利用求和的方法将对应于每一个小区间的待求量的 部分量相加，这就是所谓的“集零为整” ，得到待求量的近似值； （4）当每一个小区间的原宽度趋与零时，即可得到待求量的极限，也就是待求量的准确值 2-2-2 本文所涉及的物理学知识： 万有引力定律 质量分别是 和 的两个质点之间的引力为 其中 是1m2 12123mfgr12f 作用在 上的引力， 是由 指向 的矢径 是万有引力系数；年国际科学联1m212r12 盟理事会科技数据委员会 推荐的数值为 ；codat1326.72590gmkgs 重力加速度 ；gmg29.8/gms 牛顿第二运动定律 ；fa合 水的静压力 为水的比重； v液 功率 由欧姆定律 ； pir2vpir 功 ；wfs 2t 4 转动惯量 对于空间形体，绕 , , 轴及原点的转动惯量定义为xyz ，22()()xiyzdmdv ， y z ，22()()zixyxyv ；22221()o xyzzdmzdi 真空中的静电荷场强公式 ， 其中 k 是静电力常量；2qeknr ， ，其中 是电磁感应强度；eblvcblv 电磁感应定律 ， 其中磁通量 dts 第三章 微元法在力学中的应用 下面举例说明说明微元的具体应用 1 液体静压力 例 1 如图（1）所示为一管道的圆形闸门（半径为 3 米）问水平面齐及直径时，闸门所受到的水 的静压力为多大？ 解：该圆的方程为 ，29xy 由于在相同深度处水的静压力相同，其值等于水的比重 与() 深度的乘积，故当 很小时，闸门上从深度 到 这一狭xxx 小 上所受的静压力为a29pd 从而闸门上所受的总压力为 图（1） 320918x 2 转动惯量 例 2 计算半径为 ，质量为 的均匀分布球体绕任一直径及原点的转动惯量rm 解 在高等数学中对物体转动惯量的计算，是微分法在物理学中的重要应用之一对于空间形体， 绕 , , 轴及原点的转动惯量定义为xyz ，22()()izdmyzdv ， (1)yxx 5 ，22()()zixydmxydv 22221()o xyzzzi 在（1）式中 或 为质量元或体积元，或积分元在不同的坐标系中 有不同的表达式 为球dv dv 体密度，一般为 , , 的函数，在本题中因质量均匀分布，故 为常量考虑到对称性，xyz 34mr （球心在原点）应有 ，只要求出其中一个如 ，则 ， 及 即可得到xyziixiyzio 对（1）式微分，有 ,它表示质量为 的质量元绕 x 轴的转动22ddmyzdvdm 惯量，( )是 dm 到 x 轴的距离的平方，求出所有的 dm 对 轴的转动惯量，即得到整个球体的2yz x 转动惯量 在本题中，如用直角坐标系，则有 ,则由（1）式有dxyz 222 2() ()rrxyx xiyzx zd 2 322213()rxdy 212()rd 563m 因 ，所以 25yzii 23125()oxyziimr 如用柱坐标系，有 ， 则dmrz2r222 30rxzi ddz3204rrr3222500()45rrrdr2325()4rr 25mr 6 如用球坐标系有 , ,有2sindmrd22sinyxr 43 342500si rzirmridr 25m 在该问题中用球坐标系，计算较为简便 然而，在物理学中，转动惯量的计算，往往不是通过计算三重积分的方法来进行的如在本问题 中通常以圆板的转动惯量 （ 为圆板质量， 为圆板半径）为基础，把球体看成是由许多21imrr 薄圆板组成，并把任一薄圆板的转动惯量记为 , (2)21xdi 其中 为薄圆板质量求出所有的薄圆板的转动惯量之和技即得到整个球体绕直径的转动惯dm 量每一个薄圆板都绕同一轴线转动，且 ,将此式代入（2）式，注意到 ，dmyx22yxr 有 42211225()rxiyxmr 有时， 常常选取薄球壳，计算也非常方便，把球看作是由许多薄球壳所组成，由于薄球壳上dm 的每一点到球心的距离都相同，则每一球壳绕其球心的转动惯量为 ， （3）2oidr 且 ,将此代入（3）式有24dr ，4350roirmr 因 ，故 23312225()oxyzxyziii 5z 第四章 微元法在电磁学中的应用 3 功与平均功率 例 3 在纯电阻电路图(2) 中,已知交流电压为 求mvsint 在一个周期 内消耗在电阻 上的能量 ，并求0,t2rw 与之相当的直流电压 解：在直流电压 下，功率 ，那么在时间 t内 图（2）0v0vpr 7 所做的功为 现在 为交流电压，瞬时功率为 20vtwpr2()mtsint 这相当于：在任意一小段时间区间 上，当 很小是，可把 近似看作恒为,0,tttv 的情形于是取功的微元 ,并由此求得mvsintdwpt22200()tmmvtsintdr 而平均功率则为 220 (/)1()tmmvptdr 例 4 如图（4）所示，某人用力 转动半径为 的转盘，力的大小不变；方向始终与用力的作f 用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周的过程中该力做多少功？ 解： 在转动转盘一周的过程中，力 的方向时刻发生变化，但每一 瞬时力 总是与该瞬时的速度方向一致，即 在每一瞬时都与转盘转过的f 极小位移 同向，这样无数的极小位移 ， ， ， ， 都s1s23ns 与那一瞬时的力 同向，因而在转动一周的过程中，力 做功应等于f 在各极小段位移所做功的代数和，即 图（3）12nwfs () s r 4 场强 例 5 如图（4）所示，均匀带电圆环所带电荷量为 ，半径为 ，圆心为 ， 为垂直于圆环qrop 平面的对称轴上的一点， ，试求 点的场强opl 解： 设想将圆环等分为 个小段，当 相当大的时候，n 每一小段都可以看作点电荷，有真空中点电荷场强公式可求 得每一点电荷在 处的场强为： 图(4)22qeknrrl 其中 为静电力常量由对称性可知各微元带电环在 处的场强 的垂直于轴向的 pe 分量 相互抵消，而 e 的轴向分量 之和，即为带电环在 p 处的场强为：y x 8 yxen2cos()qkrl 22() 32qlkr 例 6 如图（5）所示，一无限长的 形金属导轨，竖直放置且置于足够大的水平均匀磁场中，磁u 感应强度 ，导轨间距为 ，上方串一耐压力足够大的电容器，电容为 ，开始时不带电另有一根b c 质量为 的金属棒 ，可无摩擦地沿导轨滑动而不脱落，设整个系统的电阻不计，金属杆从静止开mmn 始滑动，问棒下滑高度 时的速度多大？h 解：设金属杆运动到某一位置时速度为 ，此时棒的感应电动势v ，elv 对应电容器充电，电荷量为 qcebl 如果换个角度考虑短暂时间 ，金属杆速度变化为 ,电容器又被t 虫微小电荷量 ，则有 ，充电电流为v 图（5）ilcattt 其中 a 为此时棒的加速度，