插值方法初探与应用 毕业论文.doc

插值方法初探与应用 摘要 插值法是计算数学中的一种重要的方法，而且计算问题可以说是现代社会各个领 域普遍存在的共同问题，无论哪一行哪一业都有许多数据需要处理，插值法正在科学 技术中发挥越来越大的作用.本文首先介绍了插值法的概念，并进一步讨论了插值问题 的存在性与唯一性；由该性质出发，结合数学归纳法与猜想法构造性的引出拉格朗日 插值法.但拉格朗日插值法随着插值结点的变化，会引起重复计算的问题；为克服该问 题又引出了牛顿插值.但牛顿插值随着插值结点的增多，会导致多项式的增高插值函数 的稳定性降低，为克服该问题又进一步引出分段线性插值.但分段线性插值带来光滑性 问题，埃尔米特插值在插值结点处的一阶微商处也符合插值条件，一定程度上克服了 这个缺点.三次样条插值能够很好的求出插值结点处的微商值，因此在这些方面，三次 样条插值代替了埃尔米特插值.其次介绍了插值法在初高中的一些问题上的应用，为了 说明插值法并不是陌生的知识；最后介绍了插值法在热工计算上及温度预测上的处理 数据的实际应用. 关键字：插值；插值结点；拉格朗日插值；热工计算；温度预测 preliminary syudy and application of interpolation method abstract interpolation method is a kind of important methods of computational mathematics, and computing problems can be said to be the common problems of each modern social domain, no matter which field it is, many data need dealing with, and interpolation is playing a more and more important role in science and technology. this paper first introduces the concept of interpolation method, and further discusses the existence and uniqueness of the interpolation problem. starting from the nature, combined with the method of mathematical induction and conjecture leads lagrange interpolation method constructively. but the lagrange interpolation method will cause repeated calculation problems with the change of the interpolation node. in order to overcome this problem, piecewise linear interpolation the newton interpolation is introduced. but piecewise linear interpolation newton interpolation can lead to the reduction of the stability of higher polynomial interpolation function along with the increase in interpolation nodes, in order to overcome this problem, is introduced. but the piecewise linear interpolation bring smoothness problem, hermite interpolation order interpolation nodes in the micro business is also in line with the interpolation conditions, to a certain extent, overcomes this drawback. cubic spline interpolation is good for the derivative of the interpolation node value, so in these respects, cubic spline interpolation can replace hermite interpolation. secondly, the application of interpolation method in some problems in the secondary and high school stages are introduced to illustrate interpolation method is not new knowledge. finally this paper introduces the practical application of interpolation method in the data processing of thermal calculation and temperature prediction. key words: interpolation; interpolation node; lagrange interpolation; thermal calculation; temperature prediction 目 录 1 前 言-1 2 插值法-2 2.1 插值法的概念-2 2.2 几种不同插值法-2 2.2.1 拉格朗日插值-3 2.2.2 牛顿插值-5 2.2.3 分段线性插值-6 2.2.4 埃尔米特插值-7 2.2.5 三次样条插值-8 3 插值法的应用-11 3.1 基础知识-11 3.2 插值法在初高中数学问题中的应用-11 3.2.1 插值法在初中数学问题中的应用-12 3.2.2 插值法在高中数学问题中的应用-16 3.3 插值法在实际问题中的应用-19 3.3.1 热工计算上的实际应用-19 3.3.2 温度预测上的实际应用-22 4 结论-25 参考文献-26 致谢-27 第 1 页 共 27 页 1 前 言 插值法是函数逼近的一种重要方法，是数值计算的基本课题.插值法是一个古老的 话题，早在公元六世纪，刘焯就创立“等间距二次内插法公式”来计算日、月、五星 的运行速度，之后，插值法就随着后来科学家的深入研究使之更加完善.插值法不仅是 在算法上能够更加简便，而且在实际应用中，插值法会使很多问题由复杂变为简单从 而方便解决.插值法的提出主要源于实际问题，在许多实际问题及科学研究中，因素之 间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是由观 察与测试得到一些离散数值，因此需要用插值方法处理，求出近似函数.在插值问题的 研究工作中，对用于逼近的简单函数的类型有不同的选取.多项式或分段多项式最便于 计算和使用，因而使用的也比较多。特别计算机出现后，人们更把注意力集中在利用 多项式的插值方面，因为计算公式相对的易于描述和进行程序设计，其误差分析也比 较简单.无论国外还是国内，科学家们对于插值法已有了很多研究，如：刘焯、牛顿、 拉格朗日、莱昂哈德欧拉、爱德华华林等，对于插值法算法的研究，虽然在一些 想法上比较抽象，不容易理解，但是在解法上还是比较具体的.通过本论文的研究会对 插值法有进一步不一样的了解，会让它在初学者眼里都比较熟悉，同时拓展运算思维 能力，因此进一步开展这方面的研究将大有可为. 第 2 页 共 27 页 2 插值法 实际问题中遇到的函数 是多种多样的，有的表达式很复杂，有的甚至没有给fx 出表达式，只提供了一些离散点上的函数值或导数值。为进一步分析问题的性质和变 化规律，希望找到一种能近似描述函数 变化规律、又便于处理的简单函数 作fx px 为 的近似.这就是下面要介绍的插值法所要解决的问题.fx 2.1 插值法的概念 插值法又称“内插法” ，是利用函数 在某区间中若干点的函数值，作出适当的()fx 特定函数 ，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用函数 的值作为函数x x 的近似值，这种方法称为插值法.()f 如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式；如果这特定函数值是三角函数， 就用三角多项式作为插值函数等.因此函数 的类型可以有各种不同的选择，但我x 们最常用的类型是代数多项式，这是因为代数多项式具有一些很好的特性，如：它具 有各阶导数，计算多项式的值比较方便，等等.因此本文中的所有插值函数都是代数多 项式插值，所以本文讨论的都是代数插值多项式. 为定义在区间 上的函数， , ， 为 上 个互不相同的()fx,ab0x1nx,ab1 点， 为给定的某一函数类。若函数 ，满足 = ， 则称()()iif0,2,n 为 关于节点 , ， 上的插值函数.称点 , ， 为插值节()xf0x1nx0x1x 点；称 称为被插函数. 2.2 几种不同插值法 上节讨论了插值法的概念，使读者了解插值函数 通常用来代替实际函数()x 计算，因此构造插值函数很重要，而且越逼近实际函数，就说明插值效果更好，()fx 所以插值方法很重要，下面就介绍几种常用的插值. 第 3 页 共 27 页 2.2.1 拉格朗日插值 欲构造插值函数 ，首先想到的就是定义.即设函数 在区间 上有()xyfx,ab 定义，且已知在点 上的函数值 ，求一个次数不高012naxb 01,n 于 的插值多项式 ，使 成立，即nnxa niixy,2, 这是一个关于 的 元线性方程组，其系数矩阵 010101onnnaxyaxy 01,n 1 的行列式为 ,这个行列式称作范德蒙（vandermonde）01,nnvx 0011nnnx 行列式，如果 ，则 ，所以方程组有唯一解ij01,vx 001,na 但是这样的方法比较麻烦，计算量大，不便于实际应用.因此我们讨论一下用其它 简单的方法来解决类似的问题.先给出简单的两个点讨论，如下表格 x01xyy 构造一个插值函数 1x 若把直线方程用两点式来表示，则有 010yyxx +100yx0y1x0 + 1x010 上式是两个线性函数 和 的线性组合，把这两个函数分别记为 =10x0x 0lx ， = ，并把 叫做点 的一次基函数，把 叫做点 的一次基10xl10x0l01lx1 第 4 页 共 27 页 函数.插值函数 是两个插值基函数的线性组合，其组合系数就是对应点上的函数1x 值，这种形式的插值称之为拉格朗日（lagrange）插值. 插值函数 与函数 之间存在误差，则误差 = - （ ）=1x()fxrx()f1x2!f ， 0xab 若在 两点的基础上在增加一个点 ，如下表：1,x2x0x12xyyyy 构造一个插值函数 2x 由于两点的关系式为： + ，由于此关系式为关于1x0y1x0 的关系式，因此很容易猜想到 是关于 的关系式，并且此关系式是二01,y 2012, 次的.由于需要满足 ， ， ，因此由 ，可知20xy1xy2xy20xy 与 相乘的式子为 1，与 ， 相乘的式子为 0，所以与 相乘的式子有 ；由0y12 20 ，可知与 相乘的式子为 1，与 ， 相乘的式子为 0，所以与 相乘的式21xyy2 2y 子有 ；由 ，可知与 相乘的式子为 1，与 ， 相乘的式子为 0，22x2 y1 因此推出与 相乘的式子是 ，所以可以推出与 ， 相乘的式子分别2y0122x01 为 ， ，由一次基函数的定义，可以定义1200xx0112x 0lx 为点 的二次基函数， 为点 的二次基函数，1200x01lx0211x1 为点 的二次基函数.因此2l1202x2x20y120x1y0112xxy0122 第 5 页 共 27 页 插值函数 与函数 之间存在误差，则误差 = - =2x()fxrx()f2x3!f ， 01xab 由以上的分析，可知对于拉格朗日插值，随着插值节点的增加，基函数都需重新 计算，比较麻烦，因此需要找到另一个插值方法克服拉格朗日插值法的缺点. 2.2.2 牛顿插值 拉格朗日插值公式是由直线方程的两点式表示的，数据同 2.2.1 中的数据表，若 把直线方程用点斜式表示，则有 = + （ ） ，也可按照通常的写法写1x0y10x0 为： ，若在在 两点的基础上在增加一个点 ，1010 0fxfxf01, 2x 从 式子中很难推断再增加一个点 后 的关系1010 0fff xx 2x 式.因此将 （ ）的关系式用另外一种角度分析，函数 在 ， 处一阶均差的1 fij 定义是： ，所以 式中的 是 在 ，,ijijfxff1x10()xfx1 处的一阶均差 .利用均差的对称性， 可表示为 = +（ ）0x01,f 110f0 ，这种形式的插值叫做牛顿（newton）插值.误差与拉格朗日两点的误差一样.1,f 变化后的 就比较容易推出再增加一个点 后 的关系式，表格如下：1x2x012xyyyy 构造一个插值函数 2x 令 = +（ ） ，由于 ，所以，2x0f001,fxa0x122xy 可得020120212,ffxay0221ffx012,f 这是一阶均差的均差，函数 在任意三个互异点 ， ， 处2001,fxf f ixjk 第 6 页 共 27 页 的二阶均差为 = ，则 = +（ ） +,ijjkfxfx,ijkfx2x0f0x01,fx01x012,f 其中误差与拉格朗日三点的误差一样. 由此得到的二次插值函数 与牛顿插值法得到的一次插值函数 比较，只2x1x 是多了一项 ，因此，用此公式计算插值函数，在已知点的基01x01,f 础上再增加几个点，只需在已知结果的基础上再增加几个多项式而已.因此在此方面， 牛顿插值比拉格朗日插值更加简单. 2.2.3 分段线性插值 前面介绍了构造插值多项式的方法，并分析了余项，即误差.从余项的表达式看到， 插值多项式与被插函数逼近的程度同分点的数目及位置是有关的，但也不能说，分点 越多，插值多项式对函数的逼近程度越好.因为有些函数，在给定的插值节点，有些点 逼近效果很好，但有些点逼近效果却很差.因此引进了分段函数. 设在区间 上，给定 个插值节点 = = 和相应的函数值,ab1na0x12nxb ， ， ， ，求作一个插值函数 ，具有下面性质：0y1ny() = ， =0，1，2，jxj 在每个小区间 上是线性函数()1,jx 插值函数 叫做区间 上对数据 （ =0，1， ）的分段线性插值函xab,ixyin 数.构造具有这种性质的插值函数，需要把前面构造拉格朗日插值函数的办法加以推广， 先在每个插值节点上构造分段线性插值基函数，再作它们的线性组合.分段线性插值基 函数的特点是在对应的插值节点上函数值取 1，在其他的插值节点上取零，而且在每个 小区间上是线性函数. = =0lx 101,nxjlx111,0,2,jjjjjjjjxabxn 第 7 页 共 27 页 =nlx10,nnx 则分段线性函数的表达式为 =()x0njylx 分段线性插值函数 与函数 之间存在误差，则误差f rxfx 其中 ， 28hm10maxiiinhmaxbmf 2.2.4 埃尔米特插值 为了使插值函数与被插函数的密合程度更好，因此要构造一个插值函数，不但在 给定的节点上取已知函数值，而且取已知微商值。因此有埃尔米特插值. 设给定 ， 和相应的函数值 ， 以及微商值 ， 构造插值函数 .要0x10y10m1hx 求 满足条件：h 是不超过三次的多项式x = ， = ， = ， =0y1xy0hxm1x 仍然采用构造基函数的方法，在每个点上构造两个插值基函数，设 点对应的插值基0x 函数分别为 和 ， 对应的插值基函数为 和 . 最多是一个ohx01x1hx1hoh 三次多项式，而且在 ， 除函数值为零外微商值也是零，所以 必有因子1oh x ，则 = .利用 =1 得 =1，为确定 ，对1xohx0abx210hxab 求微商，再利用 =0 得 =- ，于是得到 =o 001o012x .用同样的办法可以得到 = ，又因为 在 ， 210x1hx102x00h0x 上函数值为零，在 上微商值为零，故有因子 ， 又是一个不超11x210x 过三次的多项式，于是 = ，对 求微商，再利用0ha0x1x0hx 第 8 页 共 27 页 =1 得出 =1，所以 = .用同样的方法得出 =0hxa0hx021x1hx1 .利用这四个插值基函数可直接写出 hermite 插值函数 = 2010101yhxmx hermite 插值函数 与函数 之间存在误差，则误差 = =hfxrxfhx ， 42201!fxxab 2.2.5 三次样条插值 上面讨论了埃尔米特插值，已知构造埃尔米塔插值时需要一阶微商值.但在实际问 题中，给出插值点上的函数值比较方便，给出插值点上的微商值就困难一些.要在只给 出插值点上的函数值的情况下构造一个整体上具有二阶连续微商的插值函数.这就是下 面的三次样条插值所要解决的问题. 给定区间 上 个节点 和这些点上的函数值 ，,ab1n01naxxb iifxy ，若 满足 ， ， 在每个小区间 上至多0,1i sxiiy, s1,i 是一个三次多项式， 在 上有连续的二阶导数，则称 为 关于部分,bxf 的三次样条插值函数，称 为样条结点.01naxx 01,nx 假如在区间 上三次样条插值函数 存在，并用 来表示 在点 处的,asimsxi 微商值.由于曲线通过点 ，并且在每一个小区间 上满足条,ixy0,12n 1,i 件： ， , ， 故可利用 hermite 插值公式写出iisxy1iisiism1iisx 小区间 上的三次样条插值函数 的计算公式1,i2112iiiixxs y 211iiiixxyix （a）1iimx 211ii iimx 但在样点 上的微商值不知道时，如果要用此公式时，就必须设法首先求0,in 第 9 页 共 27 页 出 .为了求出 ，利用函数 在样点 上二阶微商连续的性质.将01,nm 01,nm sxi （a）式对 求微商并令 ，不难得到xiiihx - 1236iiiisyh1236iiiixy126iiixmh 12iiiixm 因为 是在区间 上的三次多项式，因此可以得到在区间 上点 的右s1,i 1,ixix 微商，记为 ： = (b)ixis112642iiiiymhh 同样，可以给出区间 上点 的左微商，记为 :1,ixi isx = (c)isx112264iiiiiymhh 由于 二阶微商连续，因此 = 即 =isxi112264iiiiiymhh 112642iiiiymhh 将上式整理，并令 (d)11113 iii ii i ihyyh 再对每个内点建立方程，则得到方程组 (e)112,2,iiiimn 这是关于 个未知量 的 个线性方程组.方程组有无穷多个解，但实n0m 1 际问题只能选取特定的一个解.这就需要根据具体情况，补充两个附加条件，它们称为 边界条件，常见的边界条件有： 曲线在两端点 处的切线斜率已知，即 及 已知，方程组(e)0,nx0sxmnsx 就成为具有 个未知数 的 个方程组，它有唯一解.1121,nm 第 10 页 共 27 页 函数 在两端点 和 处二阶微商为零，即 ，或 ，yfx0xn 0ny 0nsx 从方程(b)、(c)可得 （f） 11001132nnmyh 把式(e)和式（f）联立，也可唯一地解出未知数 .01,nm 函数 是周期函数，基本周期为 ，这时 ，相应地要求样yfxnbax0ny 条插值函数 也是周期函数，在端点上满足条件 和 ，有s 0sx 0nsx01001112 2332 2n nnmymymhhhh 将上式与式(e)联立，也可唯一解出未知数 .01,n 以上介绍的插值法为几种常见的插值法，还有关于其他插值法的介绍，如：克里 格插值法等，由于篇幅的原因，这里就不一一介绍了. 第 11 页 共 27 页 3 插值法的应用 3.1 基础知识 求一个一次函数关系式，使其过点（ ， ） 、( , ),另此一次函数为0ab1 ，将已知两点代入此关系式为 ，解此方程组得到 、 ，从而得yaxb11ab 到一次函数关系式. 求一个二次函数关系式，使其过点（ ， ） 、( , )、 ，令此二次函0ab12,ab 数为 ，将已知三点代入此关系式为 ，解此方程组得到2yaxbc 2001122cab 、 、 ，从而得到二次函数关系式. 确定函数在某点的取值范围：对于给出的含变系数的多项式 ，当 时，fx0 确定 的取值范围，可将已知条件通过解不等式组，先求出变系数函数的系数值范0fx 围，然后将 点代入函数表达式，这样就能得出最终结果.0 对于某一类较为复杂的因式分解问题，若运用以前初高中数学的方法，只能采 取展开算式，合并同类项，然后需要一定的技巧和观察力，通过添项，拼凑的途径， 经过许多次的试算达到分解因式的目的. 对于恒等式的证明问题，如果对于所要证明的恒等式含有个或三个以上分式之 和的问题，通常采取通分、合并同类项、添项、去项、因式分解，提取公因式，然后 再约分，从而得出结果. 第 12 页 共 27 页 3.2 插值法在初高中数学问题中的应用 3.2.1 插值法在初中数学问题中的应用 例 1 若一次函数 满足 ， ，求此一次函数.fx01f1fe 方法 1 常规解法 解 令此一次函数为 ，将 ， 代入 ，得yabf1fyaxb 解得 此一次函数为10abe 1e1()ye 方法 2 拉格朗日插值法 解 x0x1x 0 1fxf f 1 1e 先构造过 ， 的一次插值基函数0,11,e = 001xlx011xl x = =1011lflf()e1() 此一次函数为 =yx(ex 例 2 若二次函数关系式 满足 , , ,求此二2yabc13f25f37f 次函数关系式. 方法 1 常规解法 解 令此二次函数关系式为 ，将 , , 代入2yaxbc13f25f37f 第 13 页 共 27 页 ，得 解得2yaxbc342597abc13abc 此二次函数为213yx 方法 2 牛顿插值法 解 x0x1x2x -1 2 3f0f1f2f 3 5 71001001201,yxffxfxx = 0101,f 23212157, 3fff =0112012,fxfxfx 此二次函数为 =323yx13x 例 3 求一个二次函数 ，它在 = 的值与函数 的值相同.fx0,4tan 解 =0， =1， =-1tan0t4tan ， =1， =-1 ff34f 方法 1 常规解法 令此二次函数关系式为 ，将 ， =1， =-1 代入2yaxbc0f4f3f 第 14 页 共 27 页 此方程得 解此方程组得 2200143abcabc 230abc 此二次函数为230fxx 方法 2 拉格朗日插值法 012x 0 4 34fxfx1fx2fx 0 1 -12 12yflflfl =12000xlx23163440xx =02111xlx2383440xx =01222xlx2843340xx 此二次函数为 =f264x231x1 =283230x 上面的几个例题的常规方法都是用以前学过的待定系数法求得的，但是这种方法 第 15 页 共 27 页 只是适用于未知数较少的，对于未知数较多的，用此方法太过于麻烦，在这种情况下， 就应该用插值法比较简单. 例 4 已知函数 ，满足 ， 求 的取值范2fxac125f743f)(f 围. 方法 1 常规解法 解 ，因此 ，2fxac24fac16fac 可变为 45716351763 2aa 又 也可变为457163c2041763ca 29 即 973ac3412ac3412f 方法 2 拉格朗日插值法 解 令 为偶函数，因此24fxacfxf 所以 012 -2 2 4fx0fx1fx2fx 2 012fxflxflxflx =12000l414 =21101xlx4x28x 第 16 页 共 27 页 =01222xlx24x12x +f4f48f12x4f 又 =f = )3(f75241f72536f 若 为奇函数，则方法如上.4xac 通过以上两种方法，可明显看出用拉格朗日插值法比常规法得到的取值范围更精 确一些.因此，在有些问题上，用插值法更简洁，更精确. 3.2.2 插值法在高中数学问题中的应用 例 1 求出三次函数表达式，使 ， ， ， 01f3f1f8f 方法 1 常规解法 解 令此三次函数关系式为 ，则32fxabcxd 23fxabxc 将 ， ， ， 代入上面的两个方程得0f3f18 解方程组得 3221038abcdc 143bcd 此三次方程为3241fxx 方法 2 三次样条插值法 解 x0x1x 0 1fx 1 3 -3 8 此三次函数表达式为 第 17 页 共 27 页 2 20 01 10 11 022x xxf f f0x2 010110xf fxx2 202 3xf x2103 =018x3241x13m 例 2 分解因式 )()()()()()( 22 abmacamcbcba 方法 1 常规解法 解 原式 2222mabc cbaacbab 222ac2222mmc mbcabbcaba 2222c22(c =)ac 2bca 方法 2 拉格朗日插值法 解 由插值公式 )()()()( 231322123121 axbaaxbaxbxf 将 乘等式两边得f31 1232bx1bx31321bxa 又有 且令,1,iifa,)(22amf c 第 18 页 共 27 页 原式2mabca 例 3 对于一元二次函数，已知 ， ， ，求 的零点。325f04f31ffx 方法 1 常规解法 解 令此二次函数为 ，将 ， ， 代入2fxabc325f04f31f 得 解此方程组得2fxabc2235041abc 14abc 此二次函数关系式为2fx 令 ，得0fx 的零点为 2 方法 2 拉格朗日插值法 解 可将题中的 与 的值对调，因此此题相当于求 ，对调数据后得到的xf 0f 数据如下： 01x2x 25 4 1fx0fx1f2f -3 0 3012fflflfxl 其中 = =20010xl4154150x = =21101lxx41x263 = =22021l5547x 第 19 页 共 27 页 = - + = +fx314150x025163x32547x218x3297 = ,因此此二次函数的零点为f 97 很容易看出，用拉格朗日插值法求出的零点的误差较大，这是因为所取的点较少， 从而导致误差较大，所以此方法适用于所取的点数较多，若较少时，仍然用待定系数 法求的更精确. 例 4 求证 xbcaxabcxcabx 2)()1()()1()()1( 方法 1 常规解法 解 将左边通分，拆开，再合并同类项，即得 左边= =111axbcbxaccxabab2222222cacba = = 2xbcxaba2x 方法 2 拉格朗日插值法 解 设 则 xf2)( )1(),1(),1() cfbfaf 左端)()()( acxfbxfcabf 令 ，由插值公式有123,a )()()()()()( 231332123121 axafaxfaxfxf bcxbccab 2)()()( 3.3 插值法在实际问题中的应用 第 20 页 共 27 页 3.3.1 热工计算上的实际应用 牛顿插值与拉格朗日插值在硅酸盐热工计算上有许多实际用途.诸如热熔、重度、 导热系数、干燥参数、流体力学局部阻力系数等有关表格中未列出的独立变量所对应 的函数值都可以用此二公式计算出，也可以用这两个公式对表格进行加密，以缩小独 立变数之间的间距. 例 1 已知二氧化碳在 0、100、200、300时的热容值如下表表示，试用牛 顿插值或拉格朗日插值公式把热容表加密成温度变量间距为 50的表格： 温度 热容千卡/标米 度3温度 热容千卡/标米 度3 0 0.3805 200 0.4290 100 0.4092 300 0.4469 解 牛顿插值公式：100 0fxffxf x 计算 50时二氧化碳的热容千卡/标米 度，列出计算表：3 温度 热容千卡/标米 度30x0.85fx1 14925x fx 将数值代入公式计算得 =100 0fxffxf x .4092.385.38501 第 21 页 共 27 页 =0.3948 千卡/标米 度.按照此方法可算出 150、250时的热容.3 加密后的热容值如下表所示： 温度t 热容千卡/标米 度c3 0 0.3805 50 0.3948 100 0.4092 150 0.4191 200 0.4290 250 0.4339 300 0.4469 用此公式可以继续缩短温度变量间距对图表加密，弥补由于实验数据不足而使 表格变量间距过大. 例 2根据上面的表格，利用牛顿插值公式和拉格朗日插值公式，计算 120时二氧化碳 的热容数值。 解 温度t 热容千卡/标米 度c301x0.492fx213x2.6fx10 牛顿插值 解 100 0fxffxf x 第 22 页 共 27 页 = =0.4132 千卡/标米 度0.429 1203 拉格朗日插值 解 1202010 1 20 1 2xxxfxf f fxxx = +23.49103.429020.469 =0.4124 千卡/标米 度323 比较用这两个公式计算出来的误差，相对误差0.2，从这一实例可以看出，除 非对精确度有特殊需要，一般若变量间距较小，则尽量使用牛顿插值公式进行计算， 这样可以缩短运算时间，提高运算速度，且又不致引起太大的计算误差. 3.3.2 温度预测上的实际应用 某班级组织一次实践活动，为了是同学了解温度的变化，在 12h 内，每隔 1h 测量 一次温度，温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24.（单位： ） ，试分别用分段线性插值、三次样条插值方法估计在 3.2h,6.5h,7.1h,11.7h 的温 度值，每隔 h 估计一次温度值并画出其图形.10 用分段线性插值、三次样条插值方法估计在 3.2h,6.5h,7.1h,11.7h 的温度值 编程如下： hours=1:12; temps=5,8,9,15,25,29,31,30,22,25,27,24; t=interp1(hours,temps,3.2,6.5,7.1,11.7) %线性插值 t=interp1(hours,temps,3.2,6.5,7.1,11.7,spline) %三