极限思想的产生与发展 毕业论文.doc

河北师范大学本科毕业论文（设计）任务书 论文（设计）题目： 极限思想的产生与发展 学 院： 数学与信息科学学院 专业：数学与应用数学 班级： 学生姓名： 学号： 指导教师： 职称： 1、论文（设计）研究目标及主要任务 1 进行文献检索与收集，填写任务书、撰写文献综述、开题报告，参加开题答辩并获 得通过。 2 按照指导教师要求，撰写论文写作提纲、初稿、修改稿及定稿，达到本科生毕业论 文撰写规范的写作要求； 3 参加毕业论文答辩并获得通过。 2、论文（设计）的主要内容 论文第一部分从历史的角度出发，讲述了极限思想的产生，发展，完善过程，在第一部 分结束时给出极限的定义。第二部分，开始讲述极限思想的应用，主要从极限思想在概 念里的渗透，极限在导数中的应用和极限在积分中的应用三个方面来阐述极限思想的应 用。最后一个部分对全文做了简要的总结。 3、论文（设计）的基础条件及研究路线 基础条件：图书馆借阅及网上查阅相关资料。 研究路线：首先，以历史为出发点，研究了极限思想在历史发展过程中是如何产生，发 展，并且逐渐完善的。从而得到极限的定义，并从定义出发，具体讨论了如何由极限的 思想方法得到连续函数，导数及定积分的概念，由浅入深，进一步讨论如何由已知的运 动规律求速度和如何由已知曲线求它的切线，进而得到极限思想在导数中的应用，不定 积分是求导数的逆运算，而定积分则是特殊形式，从而引出极限思想在积分中的应用。 4、主要参考文献 1梁宗巨.世界数学通史m.沈阳:辽宁教育出版社，1996. 2华东师范大学数学系:数学分析同步辅导及习题全解m.中国矿业大学出版社.2009. 3华东师范大学数学系:数学分析m.高等教育出版社.2007. 4 finney weir giordano.thomascalculus.高等教育出版社m.2004. 5、计划进度 阶段 起止日期 1 指导教师和学生进行双选，确定对应的名单 2012.01.032012.01.05 2 毕业论文选题、文献调研、填写毕业论文任务书、论 文开题 2013.03.072013.03.10 3 进行毕业论文的初稿写作 2013.03.112013.03.26 4 进行毕业论文的二稿写作 2013.04.012013.04.17 5 进一步修改论文，并最终定稿 2013.04.182013.04.26 6 论文答辩、填报毕业论文的有关资料 2013.04.272013.05.15 指 导 教师: 年 月 日 教研室主任: 年 月 日 河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书 数学与信息科学 学院 数学与应用数学 专业 届 学生 姓名 论文（设 计）题目 极限思想的产生与发展 指导 教师 专业 职称 教授 研究 方向 课题论证：(见附页) 方案设计：首先，以历史为出发点，研究极限思想在历史发展过程中是如何产生，发 展，并且逐渐完善的。进而得到极限的定义，并从定义出发，具体讨论了如何由极限 的思想方法得到连续函数，导数及定积分的概念，由浅入深，进一步讨论如何由已知 的运动规律求速度和如何由已知曲线求它的切线，从而得到极限在导数中的应用，不 定积分是求导数的逆运算，而定积分则是积分的特殊形式，进而引出极限在积分中的 应用。 进度计划： 2012.01.032012.01.05 指导教师和学生进行双选，确定对应的名单 2013.03.072013.03.10 毕业论文选题、文献调研、填写毕业论文任务书、论 文开题 2013.03.112013.03.26 进行毕业论文的初稿写作 2013.04.012013.04.17 进行毕业论文的二稿写作 2013.04.182013.04.26 进一步修改论文，并最终定稿 2013.04.272013.05.15 论文答辩、填报毕业论文的有关资料 指导教师意见： 指导教师签名： 年 月 日 教研室意见： 教研室主任签名： 年 月 日 河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书（附页） 课题论证： 高等数学的基础是微积分，在学习微积分时接触的第一个重要定义就是极限，极 限思想是微积分的基本思想，在数学分析中，连续函数，导数，定积分等重要定义都是 用极限来定义的，极限运算是微积分的运算基础。因此要学好数学分析，学好微积分， 掌握并且能合理的应用极限是十分重要的。 在历史发展的长河里，极限思想的产生和其他学科的产生是一样的，在极限产生， 发展，完善的过程中，并不是一帆风顺的，是经过无数数学家长时间共同努力的结果。 极限思想的发展过程，充分的体现了人类认识自然，改造自然的过程，从有穷到无穷的 过程是极限发展的基本过程，在其产生，发展，完善的过程中体现了一门科学在历史进 程中的发展历程，具有一般性。研究极限思想产生的历史过程，可以使我们更好的理解 极限，用极限的思想方法解决现实生活中所遇到的各种问题。 在极限的 定义提出后，极限的发展已经趋于完善，不再局限于特定的问题中，n 在定义的描述的上抛弃了直观性的几何描述法，使完善后的定义更具有严谨性，逻辑性， 这对于数学的学习和创新具有指导性的作用。 本文第二部分通过极限在数学、物理等学科中的应用，说明极限的具体应用方向， 如计算曲线的切线，曲面的面积，变力做功，和求运动物体的速度等问题。通过这些应 用使我们对极限在现实生活中的具体作用有了更明确的理解，使我们对极限思想体系有 了更为立体的感受。 最后对全文进行了全面的总结。从微积分的产生到极限理论的建立，这个历史过 程生动地表明:任何科学的发展都不是一帆风顺的，要经过长时间不间断的探索，科学的 发展是随着社会生产的发展一同进步，但科学的发展同时也制约着生产的发展，当科学 的发展不再适应社会的进步，不能满足社会发展的需要，就必须进行创新，每一次创新 都将为科学的发展以及社会的发展开创一个崭新的时代，科学的发展是建立在人认识改 造自然的基础上的，随着时间的发展，科学技术已经越来越在社会进步的过程中起中流 砥柱的作用，科学的发展一定要经过由定性认识转化为定量认识，形成概念和理论的系 统，否则，就不可能成为严谨的科学体系，也不能满足生产发展的需要与社会进步的脚 步。 河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述 极限思想的产生，是社会发展，科学进步的客观需求。是人在探索改造自然过程中 逐渐形成的一新的思想方法。极限的思想可以追溯到古代，三国时期的刘徽在他的割圆 术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。 ”在庄子天下篇中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”公元前 5 世纪，有关 无限小量的概念就已经作为希腊人关于物质世界本质的设想而进入了数学思潮，而希腊 数学家所普遍接受的观点则是阿拿萨哥拉提出的：“在小的当中不存在最小的，但总有 更小的” 。对于以严密著称的古希腊来说，古希腊学者观念上不能摆脱对无限的恐惧，而 是借助于穷竭法来完成有关的证明。到了 16 世纪，荷兰数学家斯泰文借助几何直观，放 弃了古希腊人的证明。从而他提出要把极限思想方法发展成为一门可以在社会各个领域 中应用的实用的思想方法。 极限思想的发展与微积分的建立紧密相连，16 世纪以后，欧洲正处于资本主义萌芽 时期，生产力得到极大发展，生产和技术中大量问题无法用初等数学解决的前提下，例 如曲线的切线问题，最值问题，速度问题，变力做功问题等，要求数学家突破只研究常 量的传统范围，而提供能用以描述和研究运动、变化过程的新工具，数学家们开始进入 极限思想的领域深入研究。这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。17 世纪上半叶， 随着数学家们深入的研究，他们用不同的方式接近了微积分的大门，从这一时期开始， 极限与微积分开始形成密不可分的关系，并且最终成为微积分的直接基础。尽管极限概 念被明确提出，可是它仍然过于直观，与数学上追求严密的原则相抵触。 19 世纪，法国数学家柯西比较完整的阐述了极限的概念及其理论，在分析教程 中指出：“当一个变量逐次所取得值无限趋近于一个定值，最终使变量的值和该定值之 差要多小就多小，这个定值就叫所有其他值得极限。 ”尤其是，当一个变化的数值（绝对 值）无限的减小使之收敛到极限 0，就说这个变量是无穷小量。随着研究的深入，极限 已经被科学家们广泛的接受，维尔斯特拉斯建立的 语言，则用严谨的数学语言定n 义了变量的变化趋势，这种由直观的描述性定义到严谨的数学语言定义的变化过程，遵 循了数学发展的一般规律。 极限思想已经渗透于现代生活中各个领域中，在社会发展，科技进步等各个方面发 挥越来越大的作用。在人们的日常生活中，极限思维已经成为人们解决实际问题必不可 少的基本上思想之一，极限思想揭示了变化与静止、无穷与有穷的辩证关系，是数学领 域中唯物辩证法的体现。透过极限思想，人们可以从有穷认识无穷，从静止认识运动， 部分认识整体。无限与有限是对立统一的唯物辩证关系，既相互关联，又相互矛盾，既 是对立的，又是统一的。无穷多个数的和不能用有限多个数的和来定义，而应该把它定 义为有限和的极限，这就是通过极限的思想来认识有限与无限的。 河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章 finney weir giordano.thomascalculus.高等教育出版社m.2004. 1.函数极限 设 定义在 的一个可能不包括 的开区间上，我们说当 趋于 时 趋于fx00xx0fx 极限 ，并且记为llimoxfl 如果，对于任何数 ，存在相应的数 使得对所有满足 的 x，有000xfx 2.切线 为了定义与一般曲线相切的概念，我们需要一种动态的处理方法，这种方法考虑了 过点 和附近点 ，当 沿着曲线（图 2.65）向点 移动时过 的割线的形态。该方pqpq 法的大致步骤如下： （1） 从我们能计算的东西开始，即割线 的斜率。q （2） 研究当点 沿着曲线趋于点 时割线的极限。p （3） 如果这个极限存在，就把它取作曲线在点 的斜率，并把过点 具有这个斜率的p 直线定义为曲线在点 的切线。 图 2.65 动态的趋向切点，曲线在点 的切线是过 的直线其斜率是当曲线上的点 沿p q 着曲线从 点的两侧趋于点 时割线 的斜率的极限。pq 定义 斜率和切线 曲线 在点 的斜率是数yfx0,pfx （如果这个极限存在）00limhf 曲线在点 的切线是过点 且以 为斜率的直线。 3.黎曼和 图 5.8 一个典型的在闭区间 上的连续函数,ba 有限逼近理论极限是由德国数学家 bernhard riemann 精确给出的，我们现在介绍一 个黎曼和，在下一节定积分研究的基础的理论概念。 我们从定义在闭区间 上的任意连续函数 开始，与图 5.8 中的图像表示的函,abfx 数一样，它既可以取正值，也可以取负值。我们详细的划分这个闭区间的区间间隔，不 一定是相等的宽度（或长度），并且以同样的方式，在第 5.1 节中的有限近似的形式总 结，要做到这一点，我们选择了 和 之间 个点 并且ab1n1231,， nxx12 xb 为了使符号一致，我们选择这样一个 0121 nax 得到集合 0121, npxx 被称为 的一个分区。,ab 把 划分为 个封闭的子区间pn0121,， nxx 典型的闭子区间 称为 的第 个子区间1,kxpk 第 k 个子区间的长度是 1kkx 在每个子区间中，我们选择某个数，用 表示从第 个子区间选择的数，然后，每个子kc 区间上，我们竖起一个垂直的矩形，立于 轴上，在 接触曲线x,kcf 图 5.9 矩形逼近函数 的图象与 轴之间的区域yfxx 在每个子区间上，我们做乘积 ，乘积的符号依赖于 ，可以是正的，负*kfckf 的或零，最后，我们对这些乘积求和： 1nksfcx 这个依赖于划分 和数 的选择的和是 在区间 上的黎曼和。pkcf,ab 1.limit of a function let be defined on an open interval about , except possibly at itself. we say that fx 0x0x the limit of as x approaches is the number l, and write0x0limxfl if, for every number ,there exists a corresponding number such that for all , 0x0fx 2. tangent to define tangency for general curves, we need a dynamic approach that takes into account the behavior of the secants through and nearby points as moves toward along the pqp curve (figure 2.65). it goes like this: （1）we start with what we can calculate, namely the slope of the secant . （2）investigate the limit of the secant slope as approaches along the curve. p （3）if the limit exists, take it to be the slope of the curve at and define the tangent to the curve at to be the line through with this slope. pp figure 2.65 the dynamic approach to tangency. the tangent to the curve at is the line p through whose slope is the limit of the secant slopes as from either p q side. definitions slope, tangent line the slope of the curve at the point is the numberyfx0,pxf (provided the limit exists).0limhf the tangent line to the curve at is the line through with this slope. 3. riemann sums figure 5.8 a typical continuous function over a closed intervalyfx,ab the theory of limits of finite approximations was made precise by the german mathematician bernhard riemann. we now introduce the notion of a riemann sum, which underlies the theory of the definite integral studied in the next section. we begin with an arbitrary function defined on a closed interval . like the function ,b pictured in figure 5.8, may have negative as well as positive values. we subdivide the f interval into subintervals, not necessarily of equal widths (or lengths), and form sums in ,ab the same way as for the finite approximations in section 5.1. to do so, we choose points 1n between a and b and satisfying1231,， nxx121 nxxb to make the notation consistent, we denote a by and b by so that0121 n the set 0121, npxx is called a partition of .,ab the partition p divides into n closed subintervals0121,， nxx the first of these subintervals is ，the second is ，and the kth subinterval of is 2 p , for k an integer between 1 and .1kx n the width of the first subinterval is denoted ，the width of the second is 01,x1x12,x donoted ,and the width of the kth subinterval is .if all n subintervals have 2x 1kk equal width, then the common width is equal to .xban in each subinterval we select some point. the point chosen in the kth subinterval is 1,kx called .then on each subinterval we stand a vertical rectangle that stretches from the x-axis to kc touch the curve at .these rectangles can be above or below the x-axis, depending on ,kcf whether is positive or negative, or on it if (figure 5.9).kf 0kfc on each subinterval we form the product .this product is positive, negative or zero, x depending on the sign of .when , the product is the area of a kfckfckfcx rectangle with height and width when the product is a negative x0kf kf number, the negative of the area of a rectangle of width that drops from the -axis to the xx negative number .kfc finally we sum all these products to get 1nksfcx the sum is called a riemann sum for on the interval .nsf,ab figure 5.9 the rectangles approximate the region between the graph of the function and the -axis.yfx 本科生毕业论文设计 极限思想的产生与发展 作者姓名： 指导教师： 所在学院： 数学与信息科学学院 专业（系）： 数学与应用数学 班级（届）： 届数学 班 年 月 日 1 目 录 中文摘要、关键字2 1.引言3 2. 极限思想的产生与发展.3 2.1 极限思想的产生.3 2.2 极限思想的发展.6 2.3 极限思想的完善.7 2.4 极限的概念.9 2.5 极限思想的思维功能.9 3. 极限的应用.10 3.1 极限在概念里的渗透.10 3.2 极限在导数中的应用.12 3.3 极限在积分中的应用.14 4总结.18 参考文献19 英文摘要、关键字20 2 极限思想的产生与发展 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导教师 朱玉峻 作 者 张浩辉 摘要：极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连 续性、导数以及定积分等等都是借助于极限思想来定义的，极限思想的应用无处不在， 合理应用极限思想,可以让我们在解决实际问题的过程中,能较快发现解决问题的方法,提 高实际效果.本文主要对极限思想的产生与发展进行探究，并对其在数学分析中的应用展 开探索。 关键词：极限思想 产生 发展 应用 3 极限思想的产生与发展 1.引言 极限的思想是数学中重要的思想，在数学分析中，极限是最基本的概念。函数的连 续性、导数，微积分等等都是通过极限理论才得到的。极限思想也是微积分的基本思想， 极限是微积分中的基本工具，是微积分的基础, 贯穿整个微积分的内容。极限思想的应 用已经渗透到我们所认识到的各个学科之间，数学，物理学，化学，生物学等，极限在 现今的科学技术领域起着不可磨灭的重要作用，能够深刻的理解掌握极限及其基本思想 对于我们在实际问题中解决问题有着重大意义。 2. 极限思想的产生与发展 2.1 极限思想的产生 极限思想的产生，是社会发展，科学进步的客观需求。是人在探索改造自然过程中 逐渐形成的一新的思想方法。极限的思想可以追溯到古代，在庄子天下篇中有： “一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是:长为一尺的木棒,第一天截取它的一半,第 二天截取剩下的一半,这样的过程无穷无尽地进行下去。这样一直进行下去,留下来的木 棒越来越短,可以再分的部分越来越小,一直到无穷小不可以再切割,但永远不会消失。公 元前 5 世纪，有关无穷小的概念就已经作为希腊人关于什么是世界的设想而进入了数学 思潮，而希腊数学家所普遍接受的观点则是阿拿萨哥拉提出的：“在小的当中不存在最 小的，但总有更小的” 。对于以严密著称的古希腊来说，古希腊学者观念上不能摆脱对无 限的恐惧，而是借助于其它的方法来完成有关的证明。 刘徽的九章算术注中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为 阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。 ”意思是说：把一块立方体沿斜线 分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的 叫鳖臑，两者体积比为 2：1，这个比率是不变的。 （如图 1） 4 图 1 刘徽对此的证明运用了出入相补原理和无穷分割求和原理，具体如下：把阳马和鳖 臑沿各边的中点做进一步的分割（如图 2） ，这样就把阳马分成了 2 个小阳马，1 个小立 方体和 2 个小堑堵；把鳖臑分成了 2 个小鳖臑和 2 个小堑堵。先把 2 个小阳马和 2 个小 鳖臑放一边，则各自剩下的部分体积比显然为 2：1。再将放一边的小阳马和小鳖臑做同 样的分割，则可得到更小的阳马、立方体、堑堵和鳖臑，把 4 个小小阳马和 4 个小小鳖 臑放一边，各自剩下的部分体积比仍然为 2：1。此过程可以无限的做下去，直到剩余部 分体积为 0。而整个过程中各自剩下部分体积比总为 2：1。这样刘徽就证明了“不易之 率” 。 图 2 到了 16 世纪，通过对三角形重心问题的深入研究荷兰数学家斯泰文，借助更为直观 的几何问题，放弃了古希腊人的证明方法，通过极限的思想及其方法，解决了问题。从 而他提出要把极限思想方法发展成为一门可以在社会各个领域中应用的思想方法。数学 家拉夫纶捷夫曾说：“数学极限方法的创造是对那些不能够用算术、代数和初等几何的 简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果。 ” 提到极限思想，就不得不提到著名的芝诺悖论。他提出著名四个悖论：（1）一个从 点出发要到 点去的人，首先要到达的地方是 ，接下来要到达的地方是ab12ab 5 ，接下来要到达的地方是 如此循环下去，1*2ab11*22abab 这个人永远不能走到终点。 （2）设想有一支飞行的箭矢，在每一瞬时的时间点，它位于 空间中的一个特定位置。由于时间是瞬时的，不连续的时间点，箭在每个时刻都没有运 动而只能是静止的。由于整个运动的时间是有无限个时间点组成的，而在每个时间点箭 又只能静止，所以芝诺断定，飞行的箭在每一个时间点上是静止不动的。 （3）游行队伍 问题，首先假设在操场上，有三列观众（图 2.3.1） ，在一瞬间（一个极短的时间里）里， 相对于观众席 a，列队 b、c 将分别各向右和左移动一个距离单位（图 2.3.2） 。 而此时，对队列 b 来说队列 c 向左移动了两个距离单位。也就是，队列既可以在一 瞬间（一个极短的时间里）里移动一个距离单位，也可以在半个极短时间里移动一个距 离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此他得出队列是不可能 移动的。 （4）著名的阿基里斯悖论:阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的 竞赛中，乌龟的速度为他的十分之一，他在乌龟后面 100 米处追乌龟，但他永远也追不 上乌龟。在比赛中，阿基里斯必须先达到乌龟的起点 100 米处，当阿基里斯到达乌龟的 起点处，乌龟又已经向前方前进了 10 米，于是，对于阿基里斯来说又产生了一个新的需 要到达的起点；阿基里斯若要追赶上乌龟就必须再一次到达乌龟的新起点，而当他再一 次追乌龟到达乌龟新的起点处，乌龟又已经向前方前进了 1 米，阿基里斯只能在次到大 乌龟的新起点才能追上乌龟。就这样一直下去，只要乌龟在前进，就会有新的起点产生， 阿基里斯总是有新的起点需要到达，这样，不管阿基里斯如何努力，只要乌龟不停的前 进，阿基里斯就不会追上乌龟。芝诺悖论的错误在于:（1）对于时间做了限定，在速度 图 2.3.1 图 2.3.2 6 不能改变的情况下，路程就不可以改变。 （2）对于时间与空间的分割，无论你能分的多 么小，但其大小仍然存在，不能变成无（第二次数学危机）：无限小是没有还是一个非 常非常小的数，结果证明无限小是大于 0 的。芝诺悖论的顺利解决对于极限思想的发展 和普及起了至关重要的作用，为微积分的出现提供了条件。 在我国古代，刘徽和祖冲之计采用“割圆术”来计算圆周率的过程中，也应用了极 限的思想。所谓“割圆术” ，就是用半径为 的圆的内接边数为 的正多边形，而正多边rn 形的边数一倍一倍地增多时，正多边形的面积 就越来越接近于圆的面积 。在可以na2r 控制的范围内，把圆的面积用正多边形的面积来计算，只能得到与圆面积相似的结果， 却不能得到精确的结果。但是如果可以无限制的一直继续下去的话，正多边形的面积越 来越接近圆的面积，就可以精确的等到圆的面积。 参考：梁宗巨.世界数学通史m.沈阳:辽宁教育出版社，1996. 2.2 极限思想的发展 16 世纪，欧洲开始出现资本主义萌芽，生产力得到进一步的解放，生活中出现了大 量不能用以前的数学方法解决的新问题，例如怎么得到曲线的切线，如何求解最大值与 最小值问题，物理学发展中所遇到的一些问题等，这就要求数学家突破传统的观念，而 找到一种更为先进的思想方法和一套能用于解决这些问题的理论体系，数学家们开始进 入极限思想的领域深入研究。这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。17 世纪上半 叶，随着数学家们深入的研究，他们用不同的方式接近了微积分的大门，从这一时期开 始，极限开始与微积分形成了难以割舍的关系，并且最终成为微积分的直接基础。尽管 极限的概念已经被明确的提出来，可是它是建立在在直观几何的基础上的极限，用直观 的表述来定义的极限，与用严谨的数学语言所定义的极限相比还有不足。 众多数学家为解决上述问题做了不懈的努力，十七世纪下半叶，英国数学家牛顿和 德国数学家莱布尼兹分别建立了自己的微积分学说。在微积分中充满了极限的思想方法 与计算过程。而微分学和积分学是数学分析的基本内容，微积分的概念是通过极限来定 义的，但在当时，这些概念还没有明确的，统一的，严谨的数学定义，他们的理论常常 会遇到无法解决自己所提出的问题的尴尬情况。起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基 础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思 想。在牛顿的流数简论中，他把曲线 定义为欲动的点的轨迹，动点,0fxy 7 是随着时间变化的量，而动点的切向速度和法向速度分别用 x 和 y 来表示，牛顿称,xy 之为流数，也就是 x 和 对时间 的导数。牛顿用路程的改变量 与时间的改变量 之yt st 比 表示运动物体的平均速度，当 无限接近为 时，得到物体的瞬时速度，并由st t0 此引出导数概念和微分学理论。他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于 相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等” 。 但牛顿的极限观念也是建立在直观几何基础上的，因此他不能通过具有严谨性的，逻辑 性的数学语言来定义。牛顿所提出的极限理论，更为接近以下定义：“如果当变量趋近 于无穷时，所得到的函数值无限地接近固定常数 ，那么就说函数以 为极限” 。aa 牛顿所定义的极限与现代精确的极限定义相比，更容易被人们所接受，现代的一些 初等的著作中还在沿用牛顿所定义的极限定义。但是，这种由直观的几何学所得来的极 限定义，缺乏数学应具备的严谨性，逻辑性，不能够满足数学所要求的严密性，但是牛 顿和莱布尼茨所作的贡献为微积分和极限思想的完善创造了良好条件。 由于 16 到 17 世纪初期，极限理论仍没有严格的定义，微积分理论才受到人们的怀 疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，究竟 是否等于零?如果等于零，如何用它去作t 除法?如果不等于零，怎么才能把包含着它的那些项去掉呢?这就是数学史上所说的无穷 小悖论。 参考：梁宗巨.世界数学通史m.沈阳:辽宁教育出版社，1996. 2.3 极限思想的完善 随着微积分定义与理论的严格化，极限思想的理论也变得完善起来。在很长一段时 间里，很多人都尝试解决微积分中所遇到的各种问题，但是都没有成功。这是因为所要 研究的对象发生了改变，由以前的常数量变为现在的非常量，但当时人们对变量的数学 还没有有基本的理论研究基础，一切都在探索中进行，没有掌握其中的规律；这样，在 变量数学中，人们还在沿用解决常量数学的基本思想方法，不能与时俱进适应新的数学 领域的思维方式，不能改变传统的守旧思想，沿用常量数学的基本理论说明不了这种无 和非无的辩证关系。 到了 18 世纪，达朗贝尔、罗宾斯、罗依里埃等人都明确地表示微积分的基础是极限 理论，每个人都给出了自己对于极限的定义。其中达朗贝尔的定义是：“若有一个量比 所有的量都更为接近所给定的量，那么就说这个量是所给定量的极限” ，这个定义更为接 近极限的严谨性，逻辑性定义；但是，由于当时对极限的认识还是基于直观的几何，所 8 以不能得到正确的，更有数学严谨性的定义。 捷克数学家波尔查诺最先用极限的理论给出了倒数的明却定义，他把差商 的极yx 限定义为函数 的导数，表示为 ，他指出 不是 。他所提出的理论对于fxfxfx0 极限思想理论和微积分的发展做出了重大贡献，但是，他仅仅是指出极限的形式是什么 样的，没有给出什么是极限。 到了 19 世纪，法国数学家柯西通过总结以前的极限和微积分理论，给出了相对完整 的极限定义，他在分析教程中指出：“对于一个所给定的定值，有一个变量无限的 趋近于这个定值，最终这个变与所给定的定值无限的相近时，这个定值就叫做所给定的 所有趋近这个定值的变量的极限，特别地，当一个变量的值无限趋近于 0 时我们就说这 个变量是无穷小” 。 柯西认为，无穷小就是变量无限的趋近于 0，柯西所给出的极限的定义是比较明确 的。可是柯西的定义中仍然存在直观性的表达词语，如“无限趋近”等，因此柯西所给 出的极限定义仍然跟随着牛顿等人所用的描述性定义的脚步，没有数学理论所应该具有 的严谨性，逻辑性，客观性，一般性的特点。 为了给出极限更为精确，一般性的定义，刨除前人所用的描述性定义所具有的直观 性效果，维尔斯特拉斯给出了极限的数学语言精确的定义，为微积分的严格化提供了先 行条件。就是指：“如果对 ，总存在自然数 ，使得当 时，不等式0nn 恒成立，我们就说 以 为极限” 。nana 这个定义，用严谨的数学语言，以 和 之间相互联系，定量地、具体地描述了极 限的正确定义。这样的定义是具有严谨性，和逻辑性的，符合数学定义的基本要求，保 证了定义的正确性，一般性，逻辑性。能够用它来作为科学的基本理论依据，维尔斯特 拉斯所给出的极限定义至今仍在各种书籍中被应用。在这个极限的定义里，给出的只有 数字和各种数学符号所串联起来的精确性、逻辑性的语句，已经不再沿用前人所定义时 应用的描述性词语，不再借助直观几何来进行定义。 众所周知，以前的数学是研究常量的数学，自从微积分的出现，物理学开始与数学 密不可分，人们开始对物理学进行数学方式的研究。当维尔斯特拉斯提出了极限的 ，-n 定义后，开创了用静态的数学语言去解释变化的过程。这种“由静到动再到静”循序渐 进式的发展方式，体现了数学思想产生到完善过程的唯物辩证关系。 在此之后，维尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过独立深入的研究，沿柯西开辟的 9 道路，建立起来了严谨的极限理论，完成了分析学的逻辑奠基工作。数学分析基础从此 逐渐变得完善起来，从而使微积分这门学科成为人类历史发展过程中的一座伟大的里程 碑。 参考：梁宗巨.世界数学通史m.沈阳:辽宁教育出版社，1996. 2.4 极限的概念 极限是指无限趋近于一个固定的数值。极限可分为数列极限和函数极限。 定义 1 设 为数列， 为定数，若对任给的正数 ，总存在正整数 ，使得当naan 时有nnna 则称数列 收敛于 ，定数 称为数列 的极限，并记作nan 或 。limnana 定义 2 设函数 在点 的某个空心邻域内有定义， 为定数，若对任给 ，fx0 a0 存在正数 ，使得当 时有，fx 则称函数 当 趋于 时以 为极限，记作fx0a0lim或nffax 参考：华东师范大学数学系:数学分析m.高等教育出版社.2007. 2.5 极限思想的思维功能 极限思想在现代数学乃至物理学等学科中有着广泛的应用，这是由它本身固有的思 维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩 证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无限， 从“不变”认识“变” ，从直线形认识曲线形，从量变认识质变，从近似认识精确。 无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的发展。无限个数的和不 是一般的代数和，把它定义为“部分和”的极限，就是借助于极限的思想方法，从有限 10 来认识无限的。 “变”与“不变”反映了事物运动变化与相对静止两种不同状态，但它们在一定条 件下又可相互转化，这种转化是“数学科学的有力杠杆之一” 。例如，要求变速直线运动 的瞬时速度，用初等方法是无法解决的，困难在于速度是变量。为此，人们先在小范围 内用匀速代替变速，并求其平均速度，把瞬时速度定义为平均速度的极限，就是借助于 极限的思想方法，从“不变”来认识“变”的。 曲线形与直线形有着本质的差异，但在一定条件下也可相互转化，正如恩格斯所说： “直线和曲线在微分中终于等同起来了” 。善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的 重要手段之一。直线形的面积容易求得，求曲线形的面积问题用初等的方法是不能解决 的。刘徽用圆内接多边形逼近圆，一般地，人们用小矩形的面积来逼近曲边梯形的面积， 都是借助于极限的思想方法，从直线形来认识曲线形的。 量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证的关系。量变能引起质变，质和 量的互变规律是辩证法的基本规律之一，在数学研究工作中起着重要作用。对任何一个 圆内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到的还是内接正多边形，是量变而不是质变； 但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之后，多边形就“变”成圆，多边形面积便转 化为圆面积。这就是借助于极限的思想方法，从量变来认识质变的。 近似与精确是对立统一关系，两者在一定条件下也可相互转化，这种转化是数学应 用于实际计算的重要诀窍。前面所讲到的“部分和” 、 “平均速度” 、 “圆内接正多边形面 积” ，分别是相应的“无穷级数和” 、 “瞬时速度” 、 “圆面积”的近似值，取极限后就可得 到相应的精确值。这都是借助于极限的思想方法，从近似来认识精确的。 参考：梁宗巨.世界数学通史m.沈阳:辽宁教育出版社，1996. 3. 极限的应用 3.1 极限在概念里的渗透 极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终，可以说数学分析中的几乎所有的概念 都离不开极限，在几乎所有的数学分析著作中都是先介绍函数理论和极限的思想方法给 出连续函数、导数、定积分、极数的敛散性，重积分和曲线积分与曲面积分的概念. 例：数列极限的定义。 已知数列 ，对 当 时，有 ，其中 为常数，则该na0,nnnaa 11 数列收敛，并将 叫做数列 的极限，记为 或 .如果数列没有anlimnana 极限，就说数列是发散的 例：函数连续的定义 函数 在点 连续的定义.记 称为自变量 （在点 ）的增量或改yfx0 0xx0 变量，设 ，相应的函数 （在点 ）的增量记为0 y ，可见，函数 在点 连续等价于000yfxffxfxyfx0 ，即当自变量 得增量 时，函数值得增量 趋于零时的极限.0limx 例：函数导数的定义 设函数 在点的某个 邻域 内有定义，当自变量 在 处有增量 yfx0x0,nx0x (设 )，函数 相应的增量为 .如果当00,xnyf 0yff 时，函数的增量 与自变量的增量 之比的极限x 存在，则称这个极限值为 在 处的导数或变化率.00limlixxfxfy fx0 通常可以记为 或 。0f 0f 例题 1:设 ，试求极限 .00,4fxf 0limxfx 解答： 00000limlili 4xx xfffffx 例：定积分的定义 函数 在区间 上的定积分的定义。设 是定义在 上的一个函数，yf,abf,ab 是一个确定的实数，若对任意给定的正数 ，总存在某一正数 ，使对 的任何分j , 割 ，以及在其上任意选取的点集 ，只要 ，就有ti t ，1 niifxj 则称函数 为在 上的定积分，记作 。函数 为在 上的定积分就f,abbajfdf,ab 12 是当分割细度趋于零时，积分和 的极限.1 niifx 又如数项级数 的敛散性是用部分和数列 ， 的极限来定义的等.nunsnu 参考：华东师范大学数学系:数学分析m.高等教育出版社.2007. 3.2 极限在导数中的应用 导数的思想最初是由法国数学家费马为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接 相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线. 瞬时速度： 设一质点做直线运动，其运动规律为 ，若 为某一确定的时刻， 为邻近于st0t t 的时刻，则 是质点在时间段 上的平均速度. 0t0stv0,t 若 时平均速度 的极限存在，则称极限 为质点在时刻 的瞬0t 00limtstv0t 时速度. 例题 2:等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速 度的定义。 解答：设旋转角 与时刻 t 的关系为 ，则时刻 到 的时间内的平均角ttt 速度为 tt 在时刻 的瞬时速度可定义为t 00limlittt 切线的斜率： 已知曲线 在其上一点 处的切线 是割线 当动点 沿此曲线无yfx0pxyptq 限接近于点 时的极限位置.p 由于割线 斜率为q0ffxk 13 因此当 时如果 的极限存在，则极限 即为切线 的斜0xk00limxffxkpt 率. 例题 3:试确定曲线 上哪些点的切线平行于下列直线：lnyx （1） （2）1yx3 解答:曲线 在点 的切线斜率为 ，l,xy1yx （1）直线 的斜率为 1，由 得 ，代入 ，得 ，所以曲线上点yx ln0y 处的切线平行于直线 。,0yx （2）由 得 ，曲线 上的点 处的切线平行于直线 。2yxln1,ln223yx 给出导数的定义： 设函数 在点的某个 邻域 内有定义，当自变量 在 处有增量 yfx0x0,nx0x (设 )，函数 相应的增量为 。如果当00,xnyf 0yff 时，函数的增量 与自变量的增量 之比的极限x 存在，则称这个极限值为 在 处的导数或变化率。00limlifxfxy fx0 通常可以记为 或 。0f 0f 例题 4:求下列函数的导数。 （1） （2）3fx10xf 解答: （1）带有绝对值的函数可以划分为分段函数再求导数。 30xf 当 时， ，当 时， ；当 时，0x23fx0x23fx0x 14