毕业论文---导数在中学数学解题中的应用.doc

导数在中学数学解题中的应用摘要:导数是微积分中的重要基础概念，其作为选修课进入高中课程之中，为高中阶段研究函数的相关性质提供较大的辅助作用.侧重在中学数学解题中以导数的几何意义、导数在函数、不等式的应用方向进行分析.关键词:导数 切线 函数 单调性 不等式导数作为高中新教材的新增内容之一，它给高中数学增添了新的活力，特别是导数广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、等实际问题带来了新思路、新方法，为我们展现出了一道亮丽的风景线，也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”地位上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义下面举例探讨导数的应用.1 导数在解析几何中的应用导数的几何意义：函数在点的导数是曲线在点处的切线斜率当，表示切线与轴正向夹角为锐角；当，表示切线与轴正向夹角为钝角；当，表示切线与轴平行导数在几何中的应用主要与导数的几何意义有关，运用它可以很容易求出函数在任意一点的切线斜率及其切线方程.例1 已知曲线,求过点p的曲线的切线方程.解：因，所以，则当时，. 当时，点p在曲线上，故过点p的曲线的切线方程为即； 当时，点p不在上，设过点p与曲线的相切的切点是，则切线方程，又点p在此切线上，所以有 即又 ，则有 ，即所以判别式，当时， 所以；当时， ，所以切线方程是 ，即 ；当时，切线不存在.导数的几何意义为导数与解析几何结合奠定了基础，从这个意义上讲，导数也是数形结合的桥梁，而本题引入公切线新颖别致，交汇自然.2 导数在探究函数性质中的应用2.1 利用导数判断函数的单调性在导数被引进高中数学课本以前，判断函数的单调性最常规的方法就是定义法，但是定义法一般常常用来判断一些简单函数的单调性，遇到稍微复杂一点的函数在利用定法判断的时候比较繁琐。导数引进以后就可以尝试用导数来判断函数的单调性了.例2 已知函数，求的单调区间； 解：当时，对，有所以当时，的单调增区间为;当时，由解得或，由解得，所以当时，的单调增区间为；的单调减区间为.例3 已知函数=，-1, ,其中，求的取值范围，使在区间-1, 上是单调函数.解：=+，它在-1, 上是单调函数， 当， 即时，为单调递增函数；当， 即时，故为单调递减函数；综上所述，当时，在区间-1, 上是单调函数.在解答本类型题目的时候需要注意两点：一是要掌握常见函数的导数的求法，尤其是复合函数导数的求法需要重视，二是在说明函数的单调性质时一定要指明是在哪个区间上具有什么样的单调性.2.2 利用导数求函数的极值、最值高中函数的最值问题是高中数学中的一个重点，也是一个难点，在导数引入高中课本以前，求函数最值的方法就有很多种，但是导数引入高中课本后，对很多求最值类型的题目不仅多了一种解题的方法与思路，而且更是解决问题的简便方法之一. 在大部分高考题目中，函数的区间最值是指函数在某个特定区间上的最大（小）值，这类题往往含有参数，是高考的热点与难点。如果用数形结合的思想和方法来解答，则十分麻烦，但利用导数来解答，则简洁明了.导数的作用主要是判断函数在此区间上的单调性与函数的极值点，解题的关键在于考察函数的极值点与区间的相对位置关系.求可导函数的极值的一般步骤和方法是：求导数；求方程的根；检验在方程的根的左右符号，如果在根左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.对于在连续，在可导的函数的最值的求解，可先求出函数在上的极大（小）值，并与、比较即可得出最大（小）值.例4 已知函数，求函数的极值；解：对函数求导数，得 令 列表讨论的变化情况：3+00+递增极大值6递减极小值-26递增所以，的极大值是，极小值是例5 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件（）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值分析：建立函数关系，并对其求导，对进行分类讨论.解：（）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：（）令得或（不合题意，舍去），在两侧的值由正变负所以（1）当即时，（2）当即时，所以因此若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值为9（6）万元；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）点评：本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力在一定条件下，怎样使“成本最低”、“用料最省”、“产品最多”、“利润最大”等问题，一般均可建立函数关系式，利用导数求最值的方法来解决，本题颇具代表性解决此题的关键是确定函数的解析式，再用导数的知识解决，还应注意对参数的讨论.2.3利用导数判断函数的凹凸性设函数在区间内存在二阶导数, 则在内（1） 在内严格是凸的;（2）在内严格是凹的.例6 求曲线的凹凸区间与拐点.解：的定义域是， ，令，用点分定义域成区间，其讨论结果列表如下：06+ 0 0 + 0 拐点（0，0） 拐点 由上表可得，区间是曲线的凹区间；区间，或是曲线的凸区间，拐点分别是，（0，0），.3 导数在不等式证明中的应用 不等式是数学的重要部分，它遍及数学的每一个分支学科.作为导数在研究函数中应用的一个副产品，在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质.因此很多时侯可以先利用导数作为工具得出函数的性质，再利用函数的性质解决不等式问题.纵观这几年的高考，凡涉及到不等式证明的问题，其综合性强、思维量大，因此历来是高考的难点.利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数.通过导数运算判断出函数的单调性，将不等式的证明转化为函数问题。下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的应用.3.1 利用导数得出函数单调性来证明不等式我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等式转化为证明函数的单调性。构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立.例7 当时，证明不等式.证明：设， 可求得其定义域为， 由 ， 可知在上单调递增. 所以当时， ， 即 . 故 对一切都成立.3.2利用微分中值定理证明不等式例8 证明当时，.证：设，显然在区间上满足拉格朗日中值定理的条件. 由拉格朗日中值定理得由于，所以，即.总之，无论是证明不等式，还是解不等式，只要在解题过程中需要用到函数的单调性或最值，我们都可以用导数作工具来解决.这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现.参考文献：1窦宝泉，导数在中学教学中的应用j，数学通讯,2003(12)，12-13. 2徐智愚，用导数解初等数学题j，数学通报