求函数极限的若干方法 毕业论文.doc

江西师范大学数学与信息科学学院 学士学位论文 求函数极限的若干方法 the methods of functional limit 姓 名： * 学 号： 090*0*0*3 学 院：数学与信息科学学院 专 业：数学与应用数学 指导老师： 完成时间：2013 年 4 月 19 日 i 求函数极限的若干方法 【摘要】在数学分析中，极限思想贯穿于始末，求极限的方法也显得至关重 要。极限包括数列的极限与函数的极限，两类极限的本质上是相同的，其中数 列极限是函数极限的特例，因此本文只就函数极限进行讨。结合例题，本文阐 述了求函数极限的十三种方法，包括利用无穷小量、洛必达法则、泰勒公式、 中值定理等求极限。 【关键词】函数极限 洛必达法则 泰勒公式 中值定理 ii the methods of functional limit 【abstract】in the mathematical analysis, the limit idea runs through the whole story. the methods of the limit are crucial. limit includes the sequence limit and functional limit. essence of the two kinds of limit is the same, and the sequence limit is a special case of functional limit, therefore this paper only discusses the functional limit. with the examples, this paper discusses thirteen methods of functional limit , including the use of infinitesimal, lhospital rule, taylor formula, the mean value theorem and so on. 【key words】functional limit lhospital rule taylor formula the mean value theorem. iii 目录 1 引言 1 2 函数极限的定义及作用 1 3 函数极限的计算及多种求法 2 3.1 利用左、右极限求极限 2 3.2 利用极限运算法则求极限 3 3.3 利用初等变形求函数极限 3 3.3.1 约分法 3 3.3.2 有理化法 4 3.3.3 比较最高次幂法 .4 3.4 利用迫敛性求函数极限 5 3.5 利用两个重要极限公式求函数极限 5 3.6 利用变量替换求函数极限 7 3.6.1 利用等价无穷小量替换来求极限 .7 3.6.2 利用其他替换来求极限 .8 3.7 利用无穷小量的性质求函数极限 8 3.8 利用初等函数的连续性质求函数极限 9 3.9 利用导数的定义求函数极限 9 3.10 利用洛必达法则求函数极限 10 3.10.1 型不定式极限 100 3.10.2 型不定式极限 11 3.10.3 其它类型不定式极限 12 3.11 幂指函数求函数极限 13 3.11.1 , 的极限均为有限常数，即 型的极限求法 13)(xfgba 3.11.2 型未定式极限问题 .131 3.12 利用泰勒公式求函数极限 14 3.13 利用中值定理求函数极限 16 参考文献 .17 1 1 引言 数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算， 主要内容是微积分，在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。可 以说，没有极限理论就没有微积分。众所周知常见的求极限的方法包含四则运 算，夹逼准则、无穷小量、重要极限公式、洛必达法则等。但实际在求极限时 并不是依靠单一方法，而是把多种方法加以综合运用。对函数极限求解方法的 讨论是本文的核心点，本文给出了十三种求极限的方法，每种方法都是以定理 或简述开头，然后以例题来全面展示具体的求法，下面就根据函数的特点分类 进行讨论。 2 函数极限的定义及作用 定义 1 ：设函数 在点 的某空心邻域 内有定义, 为定数.若对任f0xo0;uxa 给的 ,存在正数 （ ） ，使得当 时有 ，则称0 -o()fx 函数 当 时以 为极限,记作f0趋 于xa 或 .0lim()xf()fxa0x 定义 2 ：设 为定义在 上的函数, 为定数.若对任给的 ，存在正1 a0 数 ,使得当 时有max ，()fxa 则称函数 当 趋于 时以 为极限,记作fx 或 .lim()xf()fxa 对于其他形式函数极限的定义我就用 - 语言描述定义： =a: 当- m 时，|f（x）- a |0, g(x)=b,则 =)(x0li)(x0li)(x0li)(xgfba 例 15 求 （7x-6）1lix2n 解 因为 y= （7x-6）是初等函数，在定义域（ ，+ ）内是连续的，76 所以在 x=1 处也连续，根据连续的定义，极限值等于函数值， 所以 （7x-6）= （7-6）=01limx2n2ln 3.9 利用导数的定义求函数极限 定义 4（导数的定义） ：函数 在 附近有定义，若极限1()fx0 存在，则称函数 在点 处可导，并称该极限为函数0 0()()limxffxf0x 在点 处的导数，记为 。在这种方法的运用过程中，首先要选好()f 0()fx ，然后把所求极限表示成 在定点 的导数x 0x 10 例 16 求 xx2cot)(lim2 解 取 则 ftan)( 2)tan(tlim 12tanli1co2li xxxx 22x11()()2lim1(sec)xff 3.10 利用洛必达法则求函数极限 以导数为工具研究不定式极限的方法称为洛比达法则。利用洛必达法则求 极限，由于分类明确，规律性强，且可连续进行运算，可以简化一些较复杂的 函数求极限的过程，但运用时需注意条件。 3.10.1 型不定式极限 0 定理 6 ：若函数 和 满足：1fg i00lmlixxf 在点 的某空心邻域 内两者都可导，且0ux0gx （ 为实数，也可为 或 ）i0 lxfag 11 则 00 limlixxffag 注意 若将定理中 换成 只要相应地修0x00,xx 正条件 中的邻域，也可得到同样的结论。i 例 17 求 21coslimtanx 解 容易检验 与 在 的邻域里满足定理的()fx2()tangx0 条 1coslimsectanili)(1 32 gxx ， 又 因和件 故由洛必达法则求得 )( li)(lim00 gffxx 在利用洛必达法则求极限时，为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可用 适当的代换。 例 18 求 0li1xxe 解 这是 型不定式极限，可直接运用洛必达法则求解，但是比较麻烦。 如作适当的变换，计算上就会更方便些，故令 当 时有 ，于,xt0t 是有 1lim1li1lim000 txtxx ee 3.10.2 型不定式极限 若满足如下定理的条件，即可由如下定理计算出其极限。 定理 7 ：若函数 和函数 满足：1()fx()gxi00lmlixf 在点 的某空心邻域 内两者都可导，且0+u0gx （ 为实数，也可为 或 ）i0 lxfag 则 00 lilixxff 注意：若将定理中 换成 只要相应地0x00,xx 修正条 件 中的邻域，也可得到同样的结论。i 12 例 19 求 lnimx 解 由定理 得， 01lim)(lili xxx 3.10.3 其它类型不定式极限 不定式极限还有 ， ， ， ， 等类型。这些类型经过简单的010 变换，都可以化为 型和 型的不定式极限。 例 20 求 0limnx 解 这是一个 型的不定式极限，作恒等变形 = ，将它转化为 xln1 型的不定极限，并用洛必达法则得到 0)(lim1linlimli 02000 xxxx 例 21 求 2 10)(coslixx 解 这是一个 型的不定式极限，作恒等变形 =2 1)(cosxxecosln 求 得型 的 不 定 式 极 限 ， 可 先是其 指 数 部 分 的 极 限 0lim0x 21talisn2 xx 所以 =2 10)(colixe 例 22 求 （ 为常数）1ln0li(s) kxx 解 这是一个 型的不定式极限，按上例变形的方法，先求 型的极限，kxkxkxkxx sincolim1sincolln1silim000 然后得到 =1ln0li(s) kxe 13 例 23 求 12lnlim()xx 解 这是一个 型的不定式极限，类似地，先求其对数的极限（ 型）0 2221ln(1)ilimli1x xxexxln12)(lim于 是 有 注意 运用洛比达法则应注意以下几点 1、要注意条件，也即是说，在没有化为 时不可求导。0, 2、应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式 的导数。 3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定 式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。 3.11 幂指函数求函数极限 一般来说，幂指函数是形如 的函数。幂指函数求极限在数学分)(xgfy 析中比较常见。由于幂指函数兼具幂函数和指数函数的特点，对幂指函数求极 限又显得比较困难。下面我介绍两种常用方法。 3.11.1 , 的极限均为有限常数，即 型的极限求法)(xfgba 命题 1： ， ，且 a 和 b 为有限数，a0,则有 axf)(lim0 xg)(li0bxgxxgxf)(li)( 000 li 例 24 求极限 .1315lix 解 因 为 ，6)(x 2)(li1x 由 上 述 定 理 得 ： 36lim31x 14 3.11.2 型未定式极限问题1 命 题 2: 设 有 连 续 函 数 和 ， 在 自 变 量 的 某 个 变 化 过 程 中 ，)(xf)(gx1)(limxf ， ， 则 )(1lim()(li xgfgeflim()1fxli 例 25 求 极 限 xx2cs0)o 解 220lim(1)sccs0li()xxe 20201lim(cos)inli.1xxxee 注 对于 型未定式 的极限用可通过将幂指函数化为对数恒等)(lixgf 式 的形式，转换为 型或 型不定式，然后再利用洛必达法则进行求解。yeln0 例26 求极限 .xx)1cos(inlm 解 令 ， 则 当 时 ， ， 那 么1u0u uuxx 10)cos(inl)cos(inl ue)cosln(i0m uue )sl(iim00silimncouue 3.12 利用泰勒公式求函数极限 定义 51： 若函数 在 存在 阶导数, 则有 = + （ x-f0xn()fx0 0()1!f ） + (x- + （ - + - (1)0x 0)2!f20()0!nf0)nx(o0)n 这里 - 为佩亚诺型余项,称(1)为函数在点 的泰勒公式.(o0)n 0 15 当 =0 时,（ 1）式变为 = + x+ + + 称0x()fx0 ()1!f2(0)!f()0!nfx()no 此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式。 常见函数的麦克劳林公式 2n =1+ . + o!nx xe（ ）352+12+1sin . () ()!nnx- . 24622cos=1 + (1) ()!nnxxox 23ln()x- ()nnx+1(-)2(1)(1)mxx-+=!(1)(+)!nmx()o 2 .+ ()1nxox 为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒公式来代替该项,使得原来函数的 极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简洁地求出函数极限。 例 27 求 240coslimxxe 解 本题可用洛比达法则来求解，但是运算过程比较繁琐，在这里可用泰 勒公式求解，考虑到极限式的分母为 ，我们用麦克劳林公式表示极限的分4x 子， 24cos1()xox224()8xe 16 24cos()1xeox 因而求得 24-40x0+ocse11lim=li=-2x x 3.13 利用中值定理求函数极限 定理 8 ( 拉格朗日微分中值定理)：若函数 满足(1)在 上连续,(2)1 )(xfba, 在 可导；则在 内至少存在一点 ，使 。,(ba),baf)( 例 28 求 30sinsi(lmxx 解 由 01 in-i=-cos+in-xx（ ） 3020siln-si- lico1 =sm3xxx（ ）得 定理 9 (积分中值定理)：设函数 在闭区间 上连续,则至少存在1 fab 使得 .,abbafxdfba 例 29 求 130li. 解 由积分中值定理， 13301,(01)dx， 所以 130limlidx 以上方法是在数学分析求解极限的重要方法。在做求解极限的题目时，仅 仅掌握以上方法的而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的， 必须要细心分析仔细甄选，