浅谈导数及其应用 毕业论文.doc

河北师范大学本科毕业论文（设计）任务书 论文（设计）题目： 浅谈导数及其应用 学 院： 数学与信息科学学院 专业：数学与应用数学 班级：2008 级 a班 学生姓名： 学号： 2008011414 指导教师： 职称： 教授 1、论文（设计）研究目标及主要任务 研究目标:通过对微分学中导数概念及其应用的研究，体会导数在数学思想史和科学 思 想史的应用价值。 主要任务:（1）系统了解微积分理论。 （2）认识微积分的创立的重要意义，挖掘导数概念产生背景。 （3）结合所学专业知识，探索导数的应用价值。 2、论文（设计）的主要内容 （1）微积分学产生的时代背景和历史意义。 （2）导数概念产生的背景。 （3）导数在解决相关知识问题中的重要应用。 3、论文（设计）的基础条件及研究路线 基础条件：（1）数学学科专业知识（2）英语阅读能力（3）材料分析汇总能力 研究路线：导数概念的产生背景导数的性质导数的应用 4、主要参考文献 1 史宁中 .中学概率与微积分研究.北京：高等教育出版社，2010. 2 张天德.高等数学同步辅导（上）.济南：山东科学技术出版社，2009. 3 施光燕.高等数学讲稿.大连：大连理工大学出版社，2008. 4 数学分析 .上册.华东师范大学数学系.北京：高等教育出版社，2001. 5、计划进度 阶段 起止日期 1 提出选题的初步设想 2011.12.1 2011.12.15 2 阅读相关文献资料,具体确定题目,分析筛选已有文献 2011.12.152012.1.31 3 构思论文框架，编写论文提纲，完成开题报告书 2012.2.1 2012.2.29 4 撰写初稿，并送交指导老师修改 2012.3.1 2012.3.31 5 经过修改，完成终稿，准备答辩 2012.4.1 2012.5.1 指 导 教师: 年 月 日 教研室主任: 年 月 日 河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书 数学与信息科学 学院 数学与应用数学 专业 2012 届 学生 姓名 论文（设 计）题目 浅谈导数及其应用 指导 教师 专业 职称 教授 所属教 研室 离散数学 研究 方向 组合数学 课题论证： 见附页 方案设计： 1、系统了解微积分学的发展史，认识导数概念产生及发展的过程。 2、导数的概念、意义、性质、求导法则。 3、利用实例体现导数的具体应用，表现为利用导数解决数学问题，利用导数解 决生活中的问题。 4、在解决问题的同时，总结出数学的基本思想和方法。 进度计划： 2011.12.1 2011.12.15 提出选题的初步设想； 2011.12.152012.1.31 阅读相关文献资料,具体确定题目,分析筛选已有文献； 2012.2.1 2012.2.29 构思论文框架，编写论文提纲，完成开题报告书； 2012.3.1 2012.3.31 撰写初稿，并送交指导老师修改； 2012.4.1 2012.5.1 经过修改，完成终稿，准备答辩 指导教师意见： 指导教师签名： 年 月 日 教研室意见： 教研室主任签名： 年 月 日 附页 课题论证 1、课题目的及意义 我们在学习过程中发现微积分学具有数学形式化的美丽，推理与论证思维体操的严 谨，理论与实践的应用魅力。然而，导数是微积分的基本概念，它的产生、发展凝聚着 几代数学家的心血，具有浓厚的时代背景和重要的历史意义。我们研究导数及其性质， 广泛联系所学知识，利用这一工具解决各领域的问题。从具体的实例出发，我们会发现 导数在解决问题时表现出解题的轻便性和技巧性。我们在研究分析和知识总结中，体味 应用过程中蕴含的数学思想和方法，并从中提高我们运用所学知识解决问题的意识。 2、课题研究可行性 综合运用大学阶段学习的数学课程的有关知识和高中数学选修 2-2的导数部分内容， 将论文的课题的观点鲜明提出。 通过专家调研和文献调研，结合互联网上查到的相关资料和个人、组织在各种刊物 上发表的研究函数存在的问题与解决方法的文章，并向相关专业教师特别是指导老师当 面请教。 对论题进行论证，做到既摆事实又说道理，论证充分，提出自己的不同的看法。 学校及数学系的先进实验室，计算机等设施为我们在毕业论文的完成提供很大的帮 助。 3、课题内容设计 论文的结构分三部分： （1）微积分学产生的时代背景和历史意义。 （2）导数概念产生的背景及导数的意义、性质和求导法则。 （3）导数在解决相关知识问题中的重要应用。 本文主要是导数及其性质为主要研究对象，重点介绍导数在各领域的应用。其中， 利用导数解决函数的单调性、极值与最值、画函数图形、求解函数的值域、函数的解析 式等；利用导数求解函数斜率；利用导数解决不等式的证明问题；用导数研究方程根的 情况；用导数求解极限；利用导数进行数列求和与最大或最小项的求解；利用导数解决 实际问题。 河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述 一、前言 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡 新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。2 微积分从 20世纪开始进入 中学。它作为人类文化的宝贵财富，正在武装一代又一代的新人，终将成为世人皆知的 常识。1它那闪耀着智慧光芒的深刻思想，一定会哺育人类走向更高的历史阶段。 “导数及其应用”作为高中数学选修系列 2中的一个模块内容。在这章中，利用丰 富背景和大量实例介绍导数和定积分的基本概念与思想方法。学生学习这部分内容会出 现不适应的情况，所以把加强所学知识的运用能力作为论文的研究目标。 二、主题 1、微积分创立的时代背景和历史意义？ 十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。 归纳起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是 求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值 和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重 心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 微积分的发展历史表明了人的认识是从生动的直观开始，进而达到抽象思维，也就 是从感性认识到理性认识的过程。人类对客观世界的规律性的认识具有相对性，受到时 代的局限。随着人类认识的深入，认识将一步一步地由低级到高级、由不全面到比较全 面地发展。人类对自然的探索永远不会有终点。 2、导数的概念产生背景？ 导数的思想最初是由法国数学家费马为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接 联系的是以下的两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线。这是由英国数 学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学和几何学过程中建立起来的。对这两个 问题进行分析和归纳，可以得到一种极限的形式。 3、导数的有哪些应用？ 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。我们发现，导数在一定程度上反映 出函数变化的快慢程度，导数可以用来解决函数的一些问题。与此同时，导数在课本中 的引入和定义始终贯穿着函数思想，由此可见函数和导数的联系是非常密切的，也是相 辅相成的。我们利用导数可以判定函数的单调性；可以解决函数的极值与最值问题；可 以作出函数的图形；可以求解函数的解析式；可以判定函数的凸凹性及拐点等1。 导数可以解决生活问题，表现为物理学方面的运动速度问题；农业生产中的物种繁 殖率问题；城市建设中的绿化面积增长率问题；以及工业生产中利润最大、用料最省、 效率最高的问题。2 三、总结 微积分是数学史上具有标志性的转折点和分水岭，从而堪称具有里程碑的意义。这 个伟大的创造将导数的相关理论以有限处理无限、以近似求得精确、以量变求得质变的 思想发挥到了顶峰。我们在学习过程中发现微积分学具有数学形式化的美丽，推理与论 证思维体操的严谨，理论与实践的应用魅力。 四、参考文献 1 数学分析.上册.华东师范大学数学系.北京:高等教育出版社,2001. 2 普通高中课程标准实验教科书数学选修 2-2a版.人民教育出版社，2007. 河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章 数学就像一种奇妙的幻想，但这种奇妙幻想最终还是会真实的体现在一直存在的现 实中。做数学运算有一种在做一个想象的发明的感觉，但它确实是强化我们洞察力的过 程，所以我们在周围任何地方都可以发现那样的情景模式我们数学教育的目标是为 了飞越到现实的脚步之前并分享数学运算带来的理智愉悦的体验。 微积分的发展史是数学史的重要组成部分。极限、函数、导数、积分和无穷级数等 内容在微积分中有所体现。微积分这门学科依然在现代数学教育中占据一席之地。微分 学和积分学统称为微积分学。这两大部分间起桥梁作用的是著名的微积分学基本定理。 微积分研究的主要内容是丰富的、变化的。微积分课程是先进思想的传播课程，后来人 们也将微积分称为数学分析。微积分作为工具广泛应用在科学、经济学、工程等领域， 用于解决许多问题，这是代数这门学科独自解决是不能满足的。 一、微分学 希腊数学家阿基米德是第一个找到切线方向的曲线，除了一个圆圈，在一个方法类 似于微积分。当研究螺旋时，他一个点的运动分开成两个组成部分，一个径向运动部件 和一个圆周运动组件，然后继续增加双组分在一起从而找到切线运动的曲线。 印度数学家及天文学家阿雅巴塔在 499年为解决无穷小天文问题，采用了一种新的 观念和表达方式，创造性的利用了一种基本微分方程形式。manjula,在世纪十周年开个 晚会，详细阐述了该微分方程在一个评论。该方程 skara最终导致 bh二世时 12世纪 发展一种衍生为代表无穷小观念的改变，而他描述早期版本的“罗尔定理” 。在 15世纪， 一个早期版本中值定理 parameshvara是在天文学的喀拉拉学校里他的评论中和数学登 顶，巴卡拉 ii被首次描述(1370 - 1460)。 在 17世纪，欧洲数学家撒向后拉线，皮埃尔德费，布莱斯帕斯卡，约翰沃利 斯和其他学者讨论了概念的衍生体系。特别是，在 methodus广告 disquirendam maximam最小风险，在德 tangentibus等 linearum curvarum，开发出一种方法测定费 最大值、最小值，并对各种曲线的切线相当于分化。艾萨克牛顿后来写他自己的想法 微分早期直接来自“费马研究极值的问题” 。 二、积分学 计算面积和体积是微积分的基本功能。这可以追溯到莫斯科纸莎的手写稿（约 1820 年） ，其中一名埃及数学家成功的运用微积分知识计算金字塔形锥体的体积。希腊 geometers被人认为是利用无穷小解决问题的显著体现者。德谟克利特是称自己是第一 个经过缜密、严肃考虑后，将对象划分成无数的横切面。但他不能把其合理化，如果想 把光滑的斜坡构思成数学中的一个离散的锥形截面，这个问题是他走入到了思想紧闭区， 所以他必须创造出新的理论。大约在相同的时间点上，季诺也急于这方面的思考，使得 他焦头烂额后，给出了无穷小理论的悖论。 安提和欧多克斯把它们进行分割成若干的部分，能够计算出地区和固体的面积和体 积，这个过程穷尽了他们所熟悉的一般方法。阿基米德进一步创造了这一方法，利用启 发式思考，最后得出结论是有点类似于现代的概念。 （阿基米德将方形上的抛物线的研 究方法应用于球体和圆柱体。 ）到了牛顿时代，这些方法都过时了。它不应该被认为是 无穷理论的基础，这一说法在此期间流传。然而，希腊数学家说恰是它的这种方法被应 用于几何证明是可以被确定为一个正确的理论。 11世纪积分学走上了一个新的层次，一位在埃及工作的伊拉克籍数学家是在欧洲 享有盛誉的。他提出的问题推动了对四次方程求根问题的思考。在他所学的书中，有效 解决了上述问题。其中，采用了一种方法很容易的确定出整数求和的问题。他在抛物面 上求体积，而且能够将其进行推广，最终得到多项式的积分，并以此获得新的荣誉。他 的这种方式接近于一般多项式的积分，但是还有限制因素就是四次多项式。 三、现代微积分 詹姆斯格雷戈里能证明 17世纪中叶微积分一个版本中第二基本定理是受限制的。 牛顿和莱布尼兹判别法通常被认为是现代的发明，微积分理论日渐成熟于 17世纪后期。 他们最重要的贡献是发展微积分基本定理。同时，大量利用莱布尼兹判别法作出一致的 工作和有用的符号以及概念。牛顿是第一个在该领域组织成一个一致的主题,并提供了 一些的方法，也是最重要的应用，尤其是积分学的理论的基础。巴德费,惠更斯， 沃利斯以及其他许多人也作出了重要的贡献。 四、应用 微积分作为工具解决了物理学和天文学的问题，这是当代科学的起源。18 世纪这 些应用不断增多，直到接近拉普拉斯和拉格朗日整体研究的分析领域。拉格朗日（1773 年）称我们应该引入动态的潜力理论，虽然名称是“潜在功能”但科学基本的回忆录必 须是绿色的（1827 年，1828 年印） 。进入分析物理问题的其他应用程序种类繁多，在这 个地方是不可能的。亥姆霍兹用自己的劳动特别声明，因为他在动力、电力等理论所作 出的贡献，并带来了他伟大的分析能力，并用来承担力学的基本公理，以及对于那些纯 粹的数学。此外，微积分被引入到社会科学，新古典经济学。今天它成为主流经济学的 有价值的工具。 博耶，卡尔.数学史.纽约：约翰威利父子，1991 年. 威廉瑟斯顿，通告阿米尔数学 soc.1990年. boyer, carl. a history of mathematics. new york: john wiley sincosi;()()l;(log);ln1secta;uxaxex为 实 数 ；2 2scotan;co1rsi;xxx 2 2arco;1tn;arco.xx 2.4.2 导数的四则运算法则 6 设 u（x） ，v（x）在 x点可导，则 2uvuxvuxx,0.v （ ） （ ） （ ） ();（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ;（ ） （ ） （ ） -（ ） （ ） ()（ ） () 2.4.3 复合函数的求导法则 若 u= (x)在 x点可导，而 y=f(u)在对应点 u(u= (x)可导，则复合函数 y=f( (x) 在 x点可导，且 yfu. 2.4.4 反函数求导法则 若单调连续函数 x= (y)在 y点处可导，并且其导数 (y)0，则它的反函数 y=f(x)在 对应点 x可导，并且1(),=.dxf y或 2.4.5 高阶导数的求导法则 高阶导数就是多次连续地求导数。采用数学归纳法可得， ()nuv()01()2()nncuvv + + = (5) k()kn(0)k()k0nu 其中 .这个公式称为莱布尼茨公式。(0)(0),uv 2.4.6 隐函数的求导 两个变量之间的函数关系的表达式并不是单一的，如果函数 y具有 x的明显表达式， 即 y=f（x） ，这种函数成为显函数；如果表示函数的变量 x和 y之间的函数关系 f由方 程 f（x，y）=0 所确定，则称方程 f（x，y）=0 确定了一个隐函数。 把一个隐函数变形为显函数，我们称为隐函数的显化。通常情况下，这个过程是很 困难的，甚至是不可能的。但是在解决实际问题中，有时需要我们计算隐函数的导数。 我们希望有一种方法和手段，不把隐函数显化，可以由方程直接计算出隐函数的导数。 下面介绍几种方法。 1、方程两边直接对 x求导数 7 例 1求由方程 所确定的隐函数的导数320yexe 解：方程两边分别对 x求导数，得3()()()yex 即 260,y 从而 2 ()yyxex 2、对数求导法 例 2求幂指函数 的导数.sin(0)xy 解：两边取对数，得 ，lilx 上式两边对 x求导，得11coslni,yx 于是 (lsi)sin1conxx 8 3. 导数的应用 3.1 导数在解决函数问题中的应用 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。函数是中学数学中重要的概念之一， 同时也是高中数学课程学习的一条主线。在高考中，有关函数的综合问题通常分值很高， 并且不容易解决。所以在研究函数时，了解函数的性质是非常必要的，通过研究某些性 质，我们便可以对数量的变化规律有一个基本了解。 我们发现，导数在一定程度上反映出函数变化的快慢程度，导数可以用来解决函数 的一些问题。与此同时，导数在课本中的引入和定义始终贯穿着函数思想，由此可见函 数和导数的联系是非常密切的，也是相辅相成的。我们利用导数可以判定函数的单调性； 可以解决函数的极值与最值问题；可以作出函数的图形；可以求解函数的解析式；可以 判定函数的凸凹性及拐点等。下面，我们运用实例进行说明，从中你可以体会导数在研 究函数中的具体应用。 3.1.1 利用导数可以判定函数的单调性 1、单调性的判别法 定理 3.1设函数 y=f（x）在区间 上连续，在区间 内可导，那么,ab,ab (1)函数 y=f（x）在区间 上单调增（或减）的充要条件是在区间 内, ,ab 0（或0） ；()fx (2)函数 y=f（x）在区间 上严格单调增（或减）的充要条件是在区间 内,ab , 0(或0，那么函数在该()fx ()fx 9 区间内是单调增加，如果 0，函数单调增加，,2y1,2xy 综上所述函数的单调递增区间 ，单调递减区间 。1,20, 令 ，得 ，12cos0yx3 当 时， 0，函数单调增加，0,3xy,23y 综上所述函数的单调递增区间 ，单调递减区间 。,230,3 3.1.2 导数解决函数的极值与最值问题 1、定义4 若函数 在点 的某邻域 u（ ）内对一切 u（ ）有 （ f0x0xx00()fx(f0)fx ） ，则称函数 在点 取得极大（小）值，称点 为极大（小）值点。极大值、极()fx 小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。 2、费马定理4 设函数 在点 的某邻域内有定义，且在点 可导。若点 为 的极值点，则必有f0x0x0xf =0.0()fx 费马定理的几何意义很明确：若函数 在极值点 可导，那么在该点的切线()fx0x 平行于 轴。 我们称满足 的点为稳定点（或驻点） 。()0fx 注意：可导函数 的极值点必定是它的稳定点，但函数 的稳定点却不一定是()fx 10 极值点。 对于函数 ，点 是稳定点，但却不是极值点。3()fx0x 求极值的步骤： （1）求导数； （2）求稳定点，即方程 的根；()0fx （3）检验 在稳定点左右的正负号，判定极值点；()fx （4）求出极值。 3、函数的最值与导数5 极值反映了函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。但 是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值 最大，那个值最小。如果 是函数 的最大（小）值点，那么 不小（大）于0x()yfx0()fx 函数 在相应区间上的所有函数值。()yfx 一般地，求函数 在 上的最大值与最小值的一般步骤：()yfx,ab （1）求函数 在 内的极值； （2）将函数 的各个极值与端点处的函数值 比较，其中最大的一()yfx (),fab 个为最大值，最小的一个为最小值。 4、应用 例 2求函数 在闭区间 上的最值543()fxxe1,3 分析：此函数为高次的函数，采用数形结合的思想利用描点法，准确作出图像在图 形中找出最值并非易事，我们利用导数进行计算，从代数的角度上解决，可认为是很简 洁的途径。 解： 4322()5015(43)fxxx 令 ，得函数 得 ， )0f12,x30 经验证得 不是函数的极值点3x 当 时， ；1543()1()f e 11 当 时， ；1x543()11f e 当 时， ；327 综上所述函数的最大值为 ，最小值 。ee 3.1.3 利用导数可以作出函数的图形 1、渐近线的定义 如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，此点与某条直线的距离趋向与 0，则称 此直线为曲线的渐近线。 渐近线分为三种：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。 水平渐近线 若曲线 y=f（x）的定义域是无穷区间，且有： f（x）=b，或 f（x）=b，则直线 y=b为曲线 y=f（x）的水平渐近线。lim 垂直渐近线 若曲线 y=f（x）有 = ，或 = ，则直线 x=c为曲线 y=f（x）limxclixc 的垂直渐近线。 斜渐近线 若 成立，则 是曲线的一条斜渐近线。li()0xfabyab ， ()limxfab 2、用导数画出函数大致的图像 我们之前主要利用描点法画图，图像显得比较粗糙，学习导数后，可以更好的画图。 在平面直角坐标系画出曲线的图形的一般步骤： 明确函数的定义域值域，并讨论函数的初等形态（对称性、周期性、奇偶性）等； 求出 ，并求出 在 定义域内的根以及(),fx ()0,()fxf()fx 不存在的点；(),fx 以上述各点及函数的间断点为分点，将其定义域分为若干个子区间，并列表讨论 在各子区间内的符号，从而确定函数的单调区间和极值点，凹凸性和拐点；(),f 确定函数的渐近线； 求出曲线方程的一些特殊点的坐标； 用光滑的曲线连接，画出函数的图像。 12 例 3描绘下列函数 的图像24(1)xy 解：定义域为 ,0, ， 34(2)xy4 )3(8xy 令 =0，得 ；令 =0，得 表 3.1 x ,33 ,2-2 2,00 ,y 0 + 不存在 0 + + + 不存在 + y 拐点 926极小 值-3 不存在 又 =， x=-2为曲线的水平渐近线204(1)limx =， x=0为曲线的垂直渐近线20()lix 曲线经过 这几个点2(13,)(,0)(1,26),(3,)9 图 3.1 3.1.4 利用导数求函数的值域 求解函数的值域是中学数学的难点，导数可以解决函数的值域求解问题。 o x y 13 例 4求函数 的值域363yx 解：定义域为 ，, 16236323xyx =x 当 时， 0；当 时， 03,6xy3,6y 则 时，函数的极小值为 ，当 时，函数值为 ，10x15 时，函数为增函数，则最大值不存在，最小值为3,6x 0 函数的值域为 。10, 3.1.5 利用导数可以求解函数的解析式 例 5设 为三次多项式函数，且其图像关于原点对称，当 时， 的()ygx 31x)(xg 极小值为-1，求函数的解析式。 解：设 （ ） ，dcxba23)( 0 图像关于原点对称，即)(xg dcbaxcx2323 则 即0,dbg)( cx23)( 依题意得 ，01a1327)1(cag 解得 ，29,7ca 故 xxg)(3 3.1.6 利用导数可以判定函数的凸凹性及拐点 1、凸（凹）函数4 14 设 在区间 i上的函数，若对 i上的任意两点 和任意实数 总有f 21,x1,0)(1)()1( 22xfxfx 则称设 为 上的凸函数。反之，如果总有fi )()()( 2121 xfxfxf 则称设 为 上的凹函数。fi 定理4：设在 区间 i上是二阶可导函数，则在 i上 为凸（凹）函数的充要条件f f 是 。xfxf ),0()( 2、拐点 设曲线 在点 处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的)(fy)(,0f 两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点 为曲线 的拐点。)(,0xf)(xfy 由定义可知，拐点恰为凸和凹曲线的分界点。 定理4：若 在 二阶可导，则 为曲线 的拐点的必要条件是f0x)(,0f)(f 。0)(xf 例 6求曲线的凹凸区间并指出拐点： )1ln(2y 解： 22 1,xyx 由 得到0y,2 代入 得到 ln1y 表 3.2 函数凹凸性x, -1 1,1 ,1y 0 + 0 凹 2ln凸 2ln凹 由表可知，在对称区间内 的图形的凹凸性相同，其拐点为 和y l,12ln, 15 它们是关于 轴对称。y 3.2 导数在几何上的应用 导数的几何意义就是曲线在该点处切线的斜率。那么，可以这一点解决曲线的一些 问题。 例 1求曲线 在点 的切线和法线方程。3 232ayx4,a 解：由导数的几何意义得知，该曲线的切线的斜率为 ，在曲线的方程两4,|ayk 端分别对 求导，得 ，x03211yx 从而 ，31y1|4,a 于是所求的切线方程为 2yx 法线方程 0 3.3 用导数解决不等式的证明问题 不等式是数学的重点内容之一，它应用在数学的每一个分支学科中。在一些不等式 的证明问题中，我们发现方法很多，但是有较强的技巧性，所以有时很难找好到切入点。 此时我们不妨转换角度，从不等式的结构特点出发，构造一个新的函数，从而借助导数 这一工具确定函数的单调性，利用单调性将问题进行转化，最后将不等式得到证明。 证明不等式的一般步骤为： 一、构造可导函数； 二、探求所构造函数的单调性或最大（小）值； 三、转化成不等关系； 四、得出结论。 例 1证明 71abb 分析：观察不等式的形状，会联想到与之类似的函数，从而构造辅助函数。 16 证明：设 xf1)( 因为 02xf 所以 单调递增)(f 又因为 +ba 所以 )(f)(f 即 1ab()b 故 + +a1a1b 例 2证明不等式 lnx2,2x 分析：此不等式可以通过移项得到新的函数关系式，构造函数求解在给定区间上函 数的最小值不小于 0. 证明:设 ，21()lnxfx,2 因为 = 0 214()f 241x 所以函数在给定区间上单调增加 即最小值为 0)1(f 从而 0xf 即 ln2,12 3.4 用导数研究方程的根的情况 对于方程 (1)0)(xf 17 的解的求解方法分为解析法和数值法。解析法也称公式4法，得到的是精确的，例 如一元二次方程的的求解公式。但是，并不是所有的方程的根都可以通过这种方法解决。 法国著名数学家伽罗瓦在 19世纪就证明了形如一元二次方程的的求解公式。但是，并不 是所有的方程的根都可以通过这种方法解决。法国著名数学家伽罗瓦在 19世纪就证明了 形如 10nnyaxan 的代数方程，当 时，通常不存在求解公式。因而，我们需要寻求其他的求解方5 法。下面介绍一种数值解法牛顿切线法。 3.4.1 求方程的近似解的方法 牛顿切线法的基本思路为构造一收敛点列 ，使得极限 恰好是方程(1)nxlimnx 的解.所以当 n充分大时, 可作为 的近似值。nx 我们可以估计, 可作为 的近似值的误差值。 依据中值定理 ， ，()()()nnnfxfffxn 从而 ()nxf 设 ，则,mixabp()nnf 例 1用牛顿切线法求解方程 的近似解，并使得误差范围不超过32470x 0.01. 解：设 ，对其求导数得32()47fx ， 2f x46)( xf 经判断 时极大值点， 时为极小值点，并且 .3x20)32(f 又因为 ，lim()xfli()xf 所以方程 有且只有一个根。0 18 经分析得到 09)4(,01)3(ff 所以方程的根 。, 过点 作切线与 轴相交于9,4x 68.3294)(1fx 我们可以用 代替 进行误差估计：1 ，3,4min()xpf03.1)68.()1fxf 0.01,故不符合要求。11.03 接着在点 作出切线，得)(,1xf 63.10.683)(112 xfx 我们可以用 代替 进行误差估计：1 ，3,4min()xpf042.)63.()2fxf 故符合要求的精确度。220.4.1 3.4.2 判断方程的根的个数问题 我们利用导数可以判定函数单调性来判定方程根的个数的情况。例如 在整个定()fx 义域内是单调函数，那么 的图像与 轴的交点最多有 1个。在应用过程中，充分体()fxx 现了数形结合思想。 例 2求方程 在 内根的个数326702, 解：设 ，)(xxf 则 0xx)(xf 所以当 时， 的值最小10)(f 故 中的最小项na21a 小结：把通项 构造为函数，将数列求最小项得问题转化为函数的最小值问题，进n 而用导数求解。 3.7 用导数解决实际问题 导数作为最有效的应用工具广泛应用于解决实际问题中。主要体现在物理学方面的 运动速度问题，农业生产中的物种繁殖率问题，城市建设中的绿化面积增长率问题，以 及工业生产中利润最大、用料最省、效率最高的问题。在高中新课标课本中，把生活中 23 的优化问题最为一节的内容进行讲义研究，充分把握这一工具可以化繁为简的解决难题， 体现数学知识的应用价值。 基本思想 ：将生活中的实际问题转化成常见的数学问题，通过采用一定的数学手段 （把函数问题转化为导数问题）求解答案，再验证解的答案是否满足实际问题。 其实，解决问题的过程可视为数学建模的过程。 例 1计算机的信息主要存储在磁盘上。磁盘是具有磁性介质,没有裸露部分的圆盘， 并由计算机操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是磁盘上一组不同半径同心圆环的 轨道（信息记录区）。扇区是磁盘的基本存储单元，并被圆心角分割成的扇形区域。根 据它是否磁化可分别记录数据 0或 1，这个基本单元称为一个字节，记为 1比特。那么， 如何使一个圆环状的磁盘尽可能多的存储信息呢？5 提出问题:现有一张半径为 r的磁盘，其存储区域介于 r与 r的环形区域内，是不是 r越小，磁盘的存储量就越大呢？那么 r多大时，磁盘具有最大存储量？ 分析：磁盘的存储区的半径介于 r与 r之间，为了保障磁盘的分辨率，磁道间的宽 度m,每比特所占的磁道的长度不得n，且所有磁道具有相同的比特数。因此磁道数最多 为 ，若把每个磁道装满，则每条磁道