线性方程的边界齐次化 数学毕业论文.doc

目 录线性方程的边界齐次化1摘 要1abstract1第一章 引 言2第二章 波动方程和热传导方程的边界齐次化22.1 第一类非齐次边界条件的齐次化22.1.1 考察波动方程22.1.2 考察热传导问题62.2 第二类非齐次边界条件82.3 第三类非齐次边界条件的齐次化10第三章 总结13参考文献14致谢15线性方程的边界齐次化摘 要：分离变量法是线性偏微分方程求解中的一种普遍而重要的方法，而用分离变量法解方程时，我们需要将非齐次边界条件齐次化。本文将以波动方程和抛物方程为例，分别在第一边界条件、第二边界条件、第三边界条件下，讨论这些非齐次边界条件的齐次化过程。 关键词：分离变量法;非齐次边界条件;齐次化on the homogeneity of boundary conditions for linear partial differential equations school of mathematics and computer scienceabstract: the method of variables separation is one of very efficient methods to solve linear partial differential equations. when we adopt this method, we have to make the boundary conditions homogeneous. this paper will focus on the hyperbolic equations and parabolic equations and discuss how to make the corresponding boundary conditions homogeneous. in particular, the boundary conditions considered in the present paper include the first and second boundary conditions, the third boundary condition. keywords: variables separation method; inhomogeneous boundary conditions; homogeneity of boundary conditions. 第一章 引 言微积分产生以后，人们就开始把力学的一些问题，归结为偏微分方程进行研究。对它们进行了定量的分析，而变量分离法是对其进行定量分析的一种重要工具。应用分离变量法解定解问题, 其核心是由泛定方程和定解条件通过变量分离能提出固有值问题。这就要求泛定方程和边界条件是齐次的,因此将非齐次边界条件齐次化就成为需要解决的重要问题。第二章 波动方程和热传导方程的边界齐次化2.1 第一类非齐次边界条件的齐次化2.1.1 考察波动方程泛定方程 边界条件 初始条件 先找一个任意函数，满足非齐次边界条件，即,找函数最简单的选取方法是写成x的线性函数,可以解得，所以设，代入定解问题转为求解的如下定解问题： 于是关于的定解问题是齐次边界条件的定解问题。对于热传导方程的定解问题可以令选取使即易见，可造由知与无关，故例1、设弹簧一端固定，一端在外力作用下作周期振动，此时定解问题归结为 求解此问题。解：边值条件是非齐次的，首先将边值条件齐次化，取，则满足， 令代入原定解问题，则满足满足第一类齐次边界条件，其相应固有函数为，故设 将方程中非齐次项及初始条件中按展成级数，得其中 其中 将(2)代入问题(1)，得解方程，得通解由初始值，得所以 因此所求解为 2.1.2 考察热传导问题在研究热传导、扩散等现象，都会遇到抛物型方程，即热传导方程。这里边值函数函数为，可采用下述方法将它延拓到区间中去。对任意固定的,将视为平面上的两个点，只要用光滑曲线将这两个点连接起来，就实现了的边界值的延拓，而连接两点的光滑曲线就是所求的函数，显然，取为直线最简单。由直线的两点式方程得到，特别地，若，则的物理意义就是稳定温度分布。例2、将如下定解问题化为边界条件为齐次的定界问题 解：边界条件为非齐次的边界条件，由于是线性的，故可利用叠加原理，通过选取辅助函数。设要使只要解得：故，再作未知函数的变换，则问题转化为其次边界条件的初边值问题。2.2 第二类非齐次边界条件考察定解问题中边界条件均为第二类非齐次边界条件的情形,即同样找一个任意函数使它满足，说明在任意时刻，在边界和处的斜率不相同。因此就不是简单的线性函数，此时最简单的应为关于的二次函数着手，设其中所以，于是。对于方程令选取，使即可令代入上式得例3、一均匀杆长为，一端受纵向压力，另一端受纵向力作用，求解杆的稳恒纵振动。解：设为纵振动位移，则定解问题为其中为杆的横截面积，均为常数，本问题中，于是设，代入定解问题中得至此已使边界条件齐次化。2.3 第三类非齐次边界条件的齐次化考察定解问题 令则由（4）、（5）两式可得将和延拓到区间0xl,中可得，将上式代入联立求解可得 例4、第三类边界条件定解问题在工程实践和科学研究中广泛存在，典型的第三类边界条件一维波动定解问题为 要解（7）式，必须利用线性问题叠加原理，引入辅助函数将问题化为关于的非齐次边界条件定解问题。为此设 （8）将（8）式代入（7），要求满足其次边界条件，得到 （9）结合（8）、（9）式，可得辅助函数满足的方程为 （10）则可以是关于x的一次多项式，即 （11）代入（10）得解得为 （12）代入（11）式可确定辅助函数v（x,t）,结合（7）、（8）式，的定解问题为即完成了边界条件齐次化。1515第三章 总结以上便是对非齐次边界条件的边界齐次化的讨论，分别给出了第一非齐次边界条件、第二非齐次边界条件、第三非齐次边界条件的边界其次化过程，其中是以波动方程以及热传导方程为例的。而三种非齐次边界条件的边界齐次化过程的核心，都是要找到一个辅助函数满足其对应的非齐次边界条件，找到了这个函数，三种非齐次边界条件的边界齐次化过程就迎刃而解了。参考文献：1数学物理方程（第二版）.谷超豪等著. 高等教育出版社出版2数学物理方法. 吴崇试著. 北京大学出版社3天津科技大学学报.丁玉梅著.1672-6510200601-0084-02.4平顶山学院学报.车行，龙姝明著.1673-1670201102-0006-04.5非齐次边界条件.王芝威著.致谢首先感谢的是我的论文导师老师，在黄老师耐心和细心的指导下，我顺利的完成了大学本科毕业论文，黄老师每次认真的给我宝贵的建议，这让我很感动，因为时间原因，论文有点粗糙，但是黄老师和蔼可亲的指导我的论文，黄老师严谨的教学态度，高尚的工作作风，深深地感染了我，是我学习的榜样，是