线性代数在中学数学中的应用 毕业论文.doc

分类号:_ 编 号:_ 毕业论文 题 目 线性代数在中学数学中的应用 学 院 数学与统计学院 姓 名 专 业 数学与应用数学 学 号 291010140 研究类型 理论研究 指导教师 提交日期 2013.04 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下 独立进行研究所取得的成果.学位论文中凡是引用他人已 经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出 处.除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的科研成果. 本声明的法律责任由本人承担. 论文作者签名： 年 月 日 论文指导教师签名： 目 录 摘要 .1 abstract1 前言 .2 第 1 章 行列式在中学数学中的应用 1 1.1 用行列式证明等式 .3 1.2 用行列式分解因式 .4 1.3 行列式在解析几何中的应用 .5 第 2 章 线性方程组在中学数学中的应用 7 第 3 章 二次型理论在中学数学中的应用 9 第 4 章 矩阵与变换引入中学数学的意义及应用 .11 4.1 中学数学引入矩阵的意义11 4.2 中学数学中矩阵与变换 12 4.3 线性变换面积定理 12 4.4 利用矩阵的秩判断两直线位置关系 13 结论 14 参考文献 15 致谢 16 1 摘要 线性代数是数学的一个分支，是一门数学基础课程近几年随着高等数学 已渐渐走入初等数学，线性代数在初等数学中也有广泛应用本文共分为四个 部分：行列式在中学数学中的应用，线性方程组在中学数学中的应用，二次型 理论在中学数学中的应用，矩阵与变换引入中学数学的意义及应用本文主要 是从上述几个方面分析了线性代数在中学数学中的若干应用以及有关例题的讲 解过程 关 键 词：行列式 齐次线性方程组 二次型 矩阵 abstract linear algebra is a branch of mathematics. it is a mathematical foundation course. in recent years, some content of higher mathematics are begun to learn by middle school students. and linear algebra has also wide application in elementary mathematics. this paper is divided into four parts. in these parts, we will give a lot of examples to show some applications of determinant, linear equations, quadratic theory, matrix and transform. keywords: determinant homogeneous linear system quadratic form matrix 2 引言 线性代数是学习自然科学、工程和社会科学的一门高度抽象且逻辑性很强 的基础理论课程，它本身理论性强，并且计算繁杂作为高等学校基础课，除 了作为各门学科的重要工具以外，还是提高人才的全面素质中起着重要的作用， 他在培育理性思维和审美功能方面的作用也得到充分的重视可以说任何与数 学有关的课程都涉及线性代数知识 学习数学就必须解题，解题要以自己的实践过程来实现本文在阐述一些 重要的概念和定理之后，常常附以具体例子，这样可以使读者从实例中了解问 题的具体内容，掌握解决问题的思路和算法步骤，以减少理解障碍，从而提高 逻辑读者的推理和判断的能力 3 第 1 1 章 行列式在中学数学中的应用 随着高中数学新课程的实施,行列式在中学数学中的渗透、应用越来越受关注,本 文从三个方面浅析其在中学数学中的应用. 1.11.1 用行列式证明等式 利用行列式证明等式与不等式的方法是对同一行列式用两种不同的计算方法， 利用其结果相等而得到等式的证明. 例 1 1 已知，求证.0abc+ + = 333 3abcabc+= 证明：令，则 333 3dabcabc ， 000 0 abcabcabcabc dcabcabcab bcabcabca + + + + = 即 333 30abcabc+-= 例 2 2 已知，求证：.1axby+=1bxcy+=1cxay+= 222 ab bccaabc+=+ 证明：令，则有 222 ()()()()dab bccaabca bcb cbc ac=+-+=-+-+- . 110 1100 110 acabaxbyab dbacacxayca cbbcbxcybc -+- =-=+-= -+- 例 3 3 在中，求证.abc 222 coscoscos1 2coscoscosabcabc+= - 4 证明 由于 222 1coscos coscoscos2coscoscos1cos1cos coscos1 cb abcabcca ba - +-=- - coscoscoscos0coscos 11 coscos1cos01cos0 coscoscos10cos1 abcbcbcb acbcaaa aa abbbcaa -+ =-+-=-= +- 所以，在中，成立.abc 222 coscoscos1 2coscoscosabcabc+= - 例 4 4 求证：. 222 coscoscos ()2coscoscos()1abababab+-+= 证明：因为 222 1coscos cos1cos()1 2coscoscos()coscoscos () coscos()1 d ab aababababab aab =+= +-+ + 又， 2 2 100 0sinsinsin0 0sinsinsin daab abb =-= - 故 222 coscoscos ()2coscoscos()1abababab+-+= 1.21.2 用行列式分解因式 由行列式的定义，.由此启发，我们可以把一 1112 11221221 2122 aa a aa a aa =- 个代数式看成两个式子的差，而每个式子又可以看成两个因式的乘积，即f 5 (均为代数式)，于是.由此即可根据行列式的fmnpq=-, ,m n p q mp f qn = 性质，对某些多项式进行因式分解. 例 1 1 分解因式. 432 62420xxxx+- 解： 43222 62420(61)4(65)xxxxxxxx+-=+-+ 2 2 2 2 1165 (4) 461461 xx x xxxx -+ =- + . 22 (4)(65)(2)(1)(2)(5)xxxxxxx=-+=-+ 例 2 2 将分解因式. 33 86abab+ - 解： 33 2111 862(2) 2 22 ab ababababab baba + -=+ + . 22 (2)(224)a bababab=+ +-+ 例 3 3 分解因式. 222222 abbccaacbacb+- 解： 222222222222 ()()()abbccaacbacba bcb cac ab+-=-+-+- . 222 ()()() 111 abc abcab bc ca=- 利用行列式分解因式的关键是将所给多项式的形式写成行列式的形式，并 注意行列式的排列规则. 1.31.3 行列式在解析几何中的应用 6 定理 1 1（1）以平面内三点为顶点的的面 2 112233 (,),(,),(,)a x yb xyc xyabcd 积 的绝对值. 11 22 33 1 1 1 2 1 xy sxy xy = （2）通过两点的直线方程为. 1122 ( ,),(,)p x yq xy 11 22 1 10 1 xy xy xy = 例 求过点和点的直线的方程. () 2,3 ( ) 1,4 解 由，得直线的方程为. 1 2310 141 xy = 50xy+-= （3）平面内三条直线. 111122223333 :0,:0,:0la xb ycla xb ycla xb yc+=+=+= 相较于一点或互相平行的充要条件是：. 111 222 333 0 abc abc abc = 推论 平面上三点在一条直线上的充要条件是 2 112233 ( ,),(,),(,)p x yq xyr xy . 11 22 33 1 10 1 xy xy xy = 定理 2 2 通过平面上三点的圆的方程为 2 112233 ( ,), (,),(,)a x yb xyc xy . 22 22 1111 22 2222 22 3333 1 1 0 1 1 xyxy xyxy xyxy xyxy + + = + + 7 例 1 1 平面上给出三个两两相交的圆，每两个圆有一条根轴，则三条根轴互相平 行或交于一点. 证明：设三个圆的方程分别为.两两相减得三 22 0(1,2,3) iii xyd xe yfi+= 条交线正是所述三条根轴，它们所在的直线方程为 121212 131313 323232 ()()()0, ()()()0, ()()()0 ddxeeyff dd xeeyff ddxeeyff -+-+-= -+-+-= -+-+-= 三条直线方程的系数行列式为 121212121212 131313232323 323232323232 0 ddeeffddeeff dddeeffddeeff ddeeffddeeff - =-=-= - 故三直线平行或相较于一点. 本题实质是求一封闭图形经过仿射变换后所得图形的面积.利用线性变换面 积定理求解本题,居高临下,让人耳目一新. 第 2 2 章 线性方程组在中学数学中的应用 线性方程组在中学就学过，主要是研究若干变量的相互关系，比如下面就 是一个线性方程组的例子： 一个庙里有一百个和尚，这中间有大和尚有小和尚，这一百个和尚每顿饭 总共吃一百个馒头，其中大和尚一个人吃三个，小和尚三个人吃一个，问大和 尚和小和尚各多少人? 解 设大和尚的数目是，小和尚的数目是，则有xy ， 解之得 100 1 3100 3 xy xy 25 75 x y 8 其实，更多元的线性方程组也是同样的解法. 定理 含有 n 个未知量 n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是:方 3 程组的系数行列式等零. 例 1 1 已知函数,证明、中至少有一个不小于 2 ( )f xxaxb=+(1)f(2)f(3)f . 1 2 解 把=1,2,3 代入函数表达式,列方程组x (1(1)0 2(4(2)0 3(9(3)0 abf abf abf 上述关于 a、b、1 的齐次线性方程组有非零解,故,展开 111(1) 214(2)0 319(3) f f f - -= - 整理得，假设结论不成立,即, , (1)2 (2)(3)2fff-+= 1 (1) 2 f 1 (2) 2 f ,易推出,从而产生矛盾,故命题成立. 1 (3) 2 f2(1)2 (2)(3)2fff 例 2 2 已知，求证：. x a yz = + y b zx = + z c xy = + 1 2ab bccaabc+= - 证明：由已知得关于得方程组, ,x y z 0 0 0 xayaz bxybz cxcyz 因为不可能为零，所以由定理知, ,x y z 1 10 1 aa bb cc 化简得即.10abcabcacbcab-=1 2ab bccaabc+= - 9 由已知条件的结构特征与待解问题之间的关系建立齐次线性方程组,构造三 阶行列式,其解题思路新颖,能够巧妙地解决中学数学中的若干棘手问题,凸显了 用高等数学理论与方法解决初等数学问题的优越性. 第 3 3 章 二次型理论在中学数学中的应用 考虑一个 n 元二次型： 222 1211 112121122222 ( ,)2.22 nnnnnnnn f x xxa xa x xa x xa xa x xa xx ax ，其中,. 12 , ,1, ,(,.,) ijn ar i jn xx xx 11121 12222 12 n n nnnn a aaa aaa aaa 定义一个二次型经过非线型替换变成的平方和 4 12 ( ,) n f x xx ，称为的 222 121 122 ( ,) nnn f x xxd xd xld x,1, ,(1) i dr in 12 ( ,) n f x xx 标准型. 定理1 1 实数域上任意一个二次型 都可以经过非退化的线性替 4 12 ( ,) n f x xx 换变成平方和（1）的形式. 定理2 2 一个实二次型可以分解成两个实数系的一次齐次多项式乘积的充要条 4 件是它的秩等于2和符号差为0，或秩等于1. 例 1 1 试判断下列多项式在 r 上能否分解，若能，分解之. 22 12121212 1) ( ,)2423f x xxxx xxx=+ 22 1212122 2) ( ,)3241f x xxxx xx=-+- 解 1)1) 令,则， 22 12312121323 (,)2423g x xxxxx xx xx x=+ 1212 (,)(,1)f x xg x x= 下面考虑的秩和符号差，对作非线性替换: 123 (,)g x xx 123 ( ,)g x x x 10 1123 223 33 2 1 4 yxxx yxx yx ， 即 1123 223 33 1 2 2 1 4 xyyy xyy xy 有，可见的秩是3，有定理2，知 222 123123 1 ( ,)2 8 g x x xyyy=-+ 123 ( ,)g x x x 不能分解，从而也不能分解. 123 ( ,)g x x x 12 ( ,)f x x 解 2)2) 令，则下面考 222 1231212233 ( ,)324g x x xxxx xx xx=-+-+ 1212 ( ,)( ,1)f x xg x x= 虑的秩和符号差.对作非线性替换 123 ( ,)g x x x 123 ( ,)g x x x 112 223 33 2 yxx yxx yx ， 即 1123 223 33 11 22 1 () 2 xyyy xyy xy 有，从而，可见的秩 22 12312 ( ,)g x x xyy=- 22 121212 ( ,)( ,1)f x xg x xyy=- 12 ( ,)f x x 为2，符号差为0，有定理2，知可以分解，且 12 ( ,)f x x 22 12121212121212 ( ,)( ,1)()()(31)(1)f x xg x xyyyyyyxxxx=-=+-=+- 定理 2 2 对于 n 元实二次型为的特征值,则 4 1212 ( ,.,),., nn f x xxx axlll=a 对于任意,有. n xr 12 min( ,.,)max ini x xf x xxx x 例 3 3 设是实数,且满足.则的最大值与最小值是., x y 22 3xxyy+= 22 xxyy-+_ 解 令,则的矩阵. 22 1 1 2 ( , )( , ) 1 1 2 x f x yxxyyx y y ( , )f x y 1 1 2 1 1 2 a 令,因此,特征值. 1 1 31 2 ()()0 122 1 2 ia 12 13 , 22 ll= 11 由定理得,注意到,解得 2222 13 ()( , )() 22 xyf x yxy( , )3f x y = .又,从而 22 26xy 222222 2()( , )2()3xxyyxyf x yxy-+=+-=+- ,所以的最大值为 9,最小值为 1. 22 19xxyy 22 xxyy-+ 由此可见,运用高等代数中二次型定理可以顺利解决二次型在 12 ( ,.,) n f x xx 条件下的取值范围,解法流程清晰,易于掌握. 2 1 n i i xa 第 4 4 章 矩阵与变换引入中学数学的意义及应用 新课标中学数学的一个重大变化就是把大量原属高等数学的内容下放到中 学供学生选修，以开阔学生的视野，满足不同学生的数学需要，促进学生的数 学发展.被下放的有矩阵与变换、数列与差分、球面几何、对称与群等十几个专 题。下面对中学数学引入矩阵知识的意义及作用，进行初步的探讨. 4.14.1 中学数学引入矩阵的意义 中学数学引入矩阵初步知识的意义，本人认为，主要有四个方面：首先， 为表达数据提供新的工具.因此，中学数学引入矩阵知识可为学生提供一个表达 数据的新工具，一是学生更好的学习概率、统计、技术原理等课程，也能使学 生更好地适应现实生活中的需要；其次，为研究映射提供了一个新平台.在中学 数学中，映射是最重要的基本概念.在新课程中学数学体系中，直接与映射有关 的内容就有函数、向量、数列、复数、曲线与方程、极坐标与参数方程等十几 个方面映射不仅是中学数学的重要概念，也是学习高等数学的必备基础.但映射 的表示方法，中学数学中原来只有解析法、列表法和图像法，这对于扩充学生 的知识视野，尤其是对学习高等数学的需要，似嫌不足.因此，中学数学引入矩 阵可为表达映射提供一种新的方法;第三，给线性方程组的解法开辟一条新的途 12 径.引入矩阵知识及行列式以后，就可以得到解线性方程组的公式-克拉姆法 则，这不仅为中学数学解线性方程组找到一条新的途径，而且有利于与高等数 学相连接；第四，综合应用，为高等数学与其他模块的学习提供帮助.例如网络 图、信息与密码、概率与统计、生态学等，都可以用矩阵表达或者求解，引入 矩阵知识，可为学习这些知识提供有力的工具. 4.24.2 中学数学中矩阵与变换 中学数学中由矩阵建立的变换就是平面上的坐标变换，其中，矩阵起着“对 应法则”的作用.用二阶矩阵确定的变换，就是构造映射，使平面上 ab a cd 的点变成点，这个映射的对应法则就是左乘，在这 x y abxx cdyy ab cd 个变换中，矩阵称之为变换矩阵，变换矩阵不同，得到的是不同的变换. ab cd 例 1 1 已知在一个二阶矩阵对应变换作用，点变成了点,点m ( ) 1,2a () 7,10a 变成了点，求矩阵. () 2,0b () 2,4bm 解 设，则，. ab m cd 17 210 ab cd 22 04 ab cd 所以 ， 解得 ， 所以. 27 210 22 24 ab cd a c 1 3 2 4 a b c d 13 24 m 4.34.3 线性变换面积定理 13 定理 1 1 线性变换将平面上所有图形的面积放大或缩小同一倍数,这个倍数就 5 是变换行列式的绝对值. 例 1 1 在平面直角坐标系中,已知平面区域,xoy( , )|1,0,0ax yxyxy且 则平面区域的面积为.(,)|( , )bxy xyx ya_ 解 依题意,平面区域 a 是由,围成的三角形,面积 s 为, ( ) 0,1o(1,0)c(0,1)d 1 2 平面区域变成平面区域所对应的变换矩阵为,则变换行列式的绝对ab 11 11 值,所以平面区域的面积为. 11 det2 11 b s 1 21 2 4.44.4 利用矩阵的秩判断两直线位置关系 定理 2 2 设空间两直线：， 6 1111 2222 0 : 0 axb yc zd l a xb yc zd 3333 4444 0 : 0 a xb yc zd l a xb yc zd 设矩阵的秩为,矩阵的秩为，则 111 222 333 444 abc abc a abc abc ( )r a 1111 2222 3333 4444 abcd abcd a abcd abcd ( )r a 1）当=4 时，两直线异面；2）=2 时，两直线重合；3）=3( )r a( )r a( )r a( )r a 时，两直线相交；4）=3 时，两直线平行.( )r a( )r a 例 判断两直线和的位置关系. 1 40 : 310 xyz l xyz 2 2350 : 3560 xyz l xyz 解 111411141021 113202260113 213501130000 315602260000 行变行变 故=2，所以直线与直线重合.( )r a( )r a 1 l 2 l 14