数学分析中极值原理在实际中的应用_毕业论文.docx

anshun university本 科 生 毕 业 论 文（20092013年）题 目： 数学分析中极值原理在实际中的应用 系 别： 数学与计算机科学系 专业班级： 数学与应用数学2009级 安 顺 学 院学士学位论文原创性申明本人郑重申明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。本人完全意识到本申明的法律后果由本人承担。作者签名： 日期：学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权安顺学院可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密，在 年解密后适用本授权书。本学位论文属于 不保密。（请在以上相应方框内打“”）作者签名： 日期：导师签名： 日期：数学分析中极值原理在实际生活中的应用摘 要 极值问题是数学研究中最重要的问题，是经典微积分最成功的应用!它不仅在许多实际问题中占有重要的地位，也是研究函数性态的一个特征。在工农业生产，经济管理和核算中，常常需要解决怎样投入资金成本最少，产出最多，效益最高等问题。在实际生活中，也会遇到求利润最大化、用料最省等问题。这些经济和生活问题都可以转化为数学中的函数问题进行探讨，进而转化为求函数中最大值最小值的问题，而且函数的最大值最小值与函数的极值是密不可分的。本文将以数学分析中学过的极值原理为基础，给出求解极值问题的具体方法。结合生活实际中的问题，给出系统的解决方案。综合性的阐述极值原理在实际生活中的应用。在极值原理的理论学习后，如何运用所学知识解决实际问题应该引起我们的重视，从而认识到极值原理在数学中的重要性以及数学在实际生活中的必不可少性！通过结合实际问题，让数学理论知识进一步运用到实际中，为我们以后能够更好的在实际生活中应用数学理论知识提供了典范！关键词：数学分析；极值原理；函数；实际生活；应用mathematical analysis of extreme value principle applied in the practical lifeextreme value problems are the most important issues in mathematical research, is the most successful application of classical calculus! not only plays an important role in many practical problems, is also studying the functional state of a feature. in industrial and agricultural production, economic management and accounting, often need to address how to invest capital cost at least, outputs up to, such issues as efficient. in real life, they will have issues such as seeking to maximize profits, material to be used in most. these economic and social problems can be translated into mathematical functions to explore, turn into for maximum value minimum value the function problem, minimum value and the maximum value of the function and the function extreme value go hand in hand. this article uses a secondary school of mathematical analysis based on maximum principle, gives methods for solving extreme value problems. combined with problems in life, given a system solution. comprehensive description of applications of extreme value theory in real life. after the maximum principle theory of learning, how to apply the knowledge to solve real-world problems should be brought to our attention, thus recognizing the importance of extreme value theory in mathematics, and mathematics in practice indispensable! by practical problems, further use of mathematical theory to practice, as we will be able to better theoretical knowledge in real-life applications of mathematics provides a model!keywords: mathematics；the extreme value；function；the actual；application. 目 录摘要.1abstract.2 第一章 前言.41.1 绪论.41.2 研究背景.41.3 国内外研究现状.41.4 研究目的.51.5 研究意义.5第二章 概述极值问题.6 2.1 函数极值的定义.6 2.2 一元极值与多元极值的关系.6第三章 一元函数极值原理在实际生活中的应用.73.1 最大利润和最小成本问题.73.2 税收额最大问题.83.3工厂废气对环境污染最小问题.8第四章 二元函数极值原理在实际生活中的应用.104.1 最大利润问题.104.2 用材最省问题.114.3合理调控价格问题.12第五章 多元函数极值原理在实际生活中的应用.145.1无条件极值的应用.145.2条件极值的应用.15第六章 结论.17参考文献.18致谢.19第一章 前言1.1 绪论作为函数性质的一个重要分支和基本工具，函数极值在数学与其它科学技术领域，诸如数学建模、税收金额、优化问题、概率统计等学科都有广泛的应用。不仅如此，函数极值理论在航海、保险、价格策划、航空和航天等众多领域中也是最富表现性和灵活性，并起着不可替代的数学工具的作用。许多实际问题最终都归结为函数极值或最值问题，生活中遇到的实际问题，可以通过数学建模的形式，表示为函数形式。而在求解具体问题时往往需要应用到极值和最值的求解，来为生产生活做保证！由此可见，研究函数极值和最值，是学习数学与其它学科的理论基础，是生活生产中的必备工具。它为我们对于数学的进一步研究起到很大帮助；同时，它对于其它相关学科的理解、学习与应用也起着十分重要的作用，更对其他学科领域的展开有很大的促进作用。函数的极值不仅是函数重要的基础性质,在实际经济活动中也有着重要的应用,对于不同类型的问题，我们应有一个系统而简便的方法，巧妙地运用进而达到熟练地掌握这些方法。而恰恰这些方法的终极解决，都归结于对函数极值问题的求解。下面，就让我们系统的归纳和展示，函数极值的相关问题及在生活实际中的各种应用！1.2 研究背景极值原理在实际生活中的应用是基于函数极值问题的研究，通过分析具体问题建立适当的函数关系，进而转化成为函数极值问题进行求解，无论是在国内还是在国外，对于函数极值方面的研究已经比较完备。因此，研究函数极值的应用就变得相当重要。1.3 国内外研究现状在函数极值问题中，尤其是多元函数，其涉及的量比较多，在求解某类形式上比较复杂的函数的极值问题比较困难。目前国内函数极值的求解方法主要有代入法、拉格朗日乘数法、不等式法、二次方程判别式符号法、数行结合等等方法。总的来说，函数极值问题的研究已经形成了比较完善的体系，因此，极值原理在实际生活中的应用的研究是具有十分重要的意义！1.4 研究目的本文通过有关函数极值在不同的情况下的求解问题，特别是当目标函数是一元，二元或者多元的条件下的极值求解问题。进而对现实生活中特定的例子寻找最优的解决方法。企业经营者经常依据这方面的知识来预计企业发展和项目开发的前景。他们可以通过投资和利润间的关系，以及其它制约因素对总收益的影响，从而判断企业的经济效益是否得到提高，项目有没有开发前景等问题。也可以判断最小成本和最大收益之间的关系。从而将数学分析中的极值原理在实际生活中发挥最好的作用！更加进一步将数学应用到生活中，实现极值原理在实际中的应用！1.5 研究意义极值问题是数学研究中最重要的问题，是经典微积分最成功的应用!它不仅在许多实际问题中占有重要的地位，也是研究函数性态的一个特征。在工农业生产，经济管理和核算中，常常需要解决怎样投入资金成本最少，产出最多，效益最高等问题。在实际生活中，也会遇到求利润最大化、用料最省等问题。这些经济和生活问题都可以转化为数学中的函数问题进行探讨，进而转化为求函数中最大值最小值的问题，而且函数的最大值最小值与函数的极值是密不可分的第二章 概述极值问题2.1 函数极值的定义一元函数极值的定义：设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，则是函数的一个极大值。如果附近所有的点，都有，则是函数的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。二元函数极值的定义：设函数在点的某个邻域内有定义,对于该点邻域内任一个异于点的点，如果,则称在点处有极大值。如果,则称在点处有极小值。多元函数极值的定义：若多元函数于点的邻域内有定义,并且当时,(或),则说函数在处取极大值(或极小值),点称为函数的极值点。2.2 一元极值与多元极值的关系在此我们来简单探讨一元函数与多元函数的关系，以一元函数与二元函数之间的关系为例：一元极值与二元极值的关系：如果二元函数在点处取得极值则一元函数及在也取得极值。但若一元函数及均在取得极值，则二元函数在点处不一定取得极值。故同理可得一元极值与多元极值的关系：如果多元函数在某点处取得极值，则一元函数也在该点取得极值。但若一元函数在某点处取得极值，则多元函数不一定在该点取得极值。第三章 一元函数极值原理在实际生活中的应用一元函数的极值原理在实际生活中应用相当广泛，例如企业的最大利润和最小成本问题，税收额最大问题，以及如何采取措施，使得工厂的废气对环境的污染最小的问题等等，这些都需要一元函数的极值原理来解决！因此一元函数的极值原理在实际生活中的应用相当重要！3.1 最大利润和最小成本的问题利润最大化与成本最小化是每一个生产企业孜孜以求的最高目标。要实现这一最高目标，首先要合理确定产品的产量，除了要考虑市场的需求外，还要考虑到产品的市场价格因素，这就需要研究成本、收益、利润与产量之间的依赖变化关系。例1：某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，平均每生产1吨产品所需要成本费用为60元，市场对该产品的需求规律为q=1000-10p(其中为价格，为需求量)，求产量为多少时该工厂获得的利润最大；获得最最大利润时的价格又是多少？分析过程：一般地说，总成本包括两部分：固定成本与可变成本，其中固定成本与产量无关，而可变成本与产量有关，它随产量的增加而增加。如果设总成本为c，固定成本为c0，可变成本为c1，产量为q，那么，总成本函数可表示为：c(q)=c0+c1。设产品销售量等于产量q，产品价格为p，则收益函数为：r(q)=p(q) 解：因为总成本是产量的函数，即，而销售总收益为： 于是总利润为令,得驻点，所以为极大值，也是最大值。即当生产量吨时总利润最大，此时最大利润是2000元。当产量吨时，价格（元），即最大利润时的价格是80元。3.2税收额最大问题问题归结为求解使税收收益最大的税率（税率收益是税率与实际的市场销售量的乘积）。例2：假设某地区经长时间征税试验，政府能够确定某产品市场的消费量与有关税率之间的关系是 （1）其中表示产品的税率，表示市场消费的数量。由于税率等于，所以政府的收益就应等于税率和市场消费数量的积，即 （2）其中和被假设为非负值，的定义域为，由于和时，都等于零，所以在0与3之间达到极大值。对（2）式求导数有解得驻点，将它代人（2）式，即收益，再将代人（1）式，求得税率。所以当税率为时，政府可获得最大收益7.79.3.3工厂废气对环境污染最小问题工厂的废气对环境的污染程度不容小觑，那如何使得工业废气对环境的污染最小是大家均关心的问题，我们举例说明相关问题。例3：烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境。已知落在地面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比。现有两座烟囱相距20，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座喷出烟尘量的8倍，试在两座烟囱连线上找出一点，使该点的烟尘浓度最小. 分析过程：已知两座烟囱之间的距离，设点c是要求的一点，则容易列出烟尘浓度的函数表达式。且只有一个自变量，故是一元函数极值原理的应用。解：设烟囱a的烟尘量为1，则烟囱b的烟尘量为8。c为两座烟囱连线上的一点并设ac， 于是点c的烟尘浓度为，其中为比例系数. 令y=0，有，即. 解得在（0，20）内惟一驻点. 由于烟尘浓度的最小值客观上存在，并在（0，20）内取得，在惟一驻点处，烟囱喷出的烟尘浓度最小，即在ab间距a处处的烟尘浓度最小第四章 二元函数极值原理在实际生活中的应用二元函数的极值原理一般适用解决的问题是问题中涉及的自变量有两个，根据二元函数极值原理求出符合题意的解。二元函数的极值原理在实际生活中应用很普遍，例如：生产两种产品如何安排才能够使得利润最大问题，如何使用材料才能够使得花费最少问题，以及如何合理的调控价格才能够使得企业获利最大的问题等等。这些均需要借助二元函数的极值原理来解决！4.1 最大利润问题每一个企业都想获得高利润，而利润的获得往往受一些条件的限制，例如，原材料的价格，劳动者的工资，以及销售价格等。例1：某厂生产甲乙两种产品，产量分别为(单位：千只)，其利润函数为（单位：万元）。如果现有原料(不要求用完)，生产两种产品每千只都要消耗原料求：(1) 使工厂获得的利润最大时，甲乙两种产品的产量和最大利润；(2) 如果原料降至，求获得利润最大时的产量和最大利润分析过程：该题中涉及的自变量有两个，故应该根据所列表达式，由二元函数的极值原理求出相应的问题。解：首先考虑无条件极值问题解方程组得驻点，此时，即原料在使用限额内又，所以为极大值点，也是最大值点故甲乙两种产品分别为千只和千只时利润最大，最大利润为万元当原料为时，若按的方式生产，原料已不足，故应考虑在约束下，求的最大值应用拉格朗日乘数法，设，解方程组得驻点此时所以，在原料为时，甲乙两种产品各生产和千只时利润最大，且最大值为万元。4.2用材最省问题在实际生活中难免会遇到怎样运用材料才能够更节约成本的问题，这就需要运用到极值原理中的条件极值的相关求法，我们举一个类似的例子说明：例2：由一宽为的长方形铁板，把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？ 分析过程：该题中涉及的自变量有两个因此我们首先考虑二元函数极值原理的应用。解：设折起来的边长为，倾斜角为，那么梯形断面的下底长为，上底长为，高为，则断面面积 d：，下面是求二元函数在区域：，上取得最大值的点令 由于，上式为将代入（2）式得，再求出，则有，于是方程组的解是， 在考虑边界，当时，函数为的一元函数，求最值点，由，得 。所以，。根据题意可知断面面积的最大值一定存在，并且在区域：，内取得，通过计算得知时的函数值比，时函数值为小，又函数在内只有一个驻点，因此可以断定，当，时，就能使断面的面积最大。4.3合理调控价格问题获得最大的利润这是每个企业孜孜不倦追求的目标，因此企业如何制定商品的出售价格显得尤为重要。我们举一个例子来进行说明！例3：分别为商品的需求量，的需求函数分别为总成本函数，若分别为商品的价格试问价格取何值时可使总利润最大？分析过程：根据经济学中的理论，总利润=总收入总成本；且题中含有的自变量的个数有两个，要求极值我们选择二元函数的极值求解定理来进行。解：由题意，总收入函数，总利润函数解方程组得驻点又因为故，所以该问题唯一的驻点是极大值点，同时也是最大值点最大利润为第五章 多元函数极值原理在实际生活中的应用多元函数的极值原理分为不同种情况，有无条件极值的应用；条件极值的应用等。这两种应用均需要借助于lagrange函数来求解。有了多元函数极值原理，实际生活中的多元约束条件求解极值变为了可能。因此，运用多元函数极值原理使得这类问题变得简单！5.1无条件极值的应用例1：一家电视机厂在对某种型号电视机的销售价格决策时面对的市场情况如下：（1）根据市场调查，当地对该种电视机的年需求量为100万台；（2）去年共售出10万台，每台售价为4000元；（3）仅生产1台电视机的成本为4000元；但在批量生产后，生产1万台时成本降低为每台3000元.问：在生产方式不变的情况下，每年的最优销售价格是多少？分析过程：该题中对变量的取值没有任何约束条件，且自变量有三个，故我们选取多元函数无条件极值的求解方法来进行。解：数学模型建立如下：设这种电视机的总销售量为，每台生产成本为，销售价格为，那么厂家的利润为 根据市场预测，销售量与销售价格之间有下面的关系： 这里为市场的最大需求量，是价格系数（这个公式也反映出，售价越高，销售量越少）.同时，生产部门对每台电视机的成本有如下测算： 这里是只生产1台电视机时的成本，是规模系数（这也反映出，产量越大即销售量越大，成本越低）.于是，问题化为求利润函数 在约束条件 下的极值问题.作lagrange函数 就得到最优化条件 由方程组中第二和第四式得到 ，即将第四式代入第五式得到 再由第一式知 .将所得的这三个式子代入方程组中第三式，得到 由此解得最优价格为 只要确定了规模系数与价格系数，问题就迎刃而解了.现在利用这个模型解决本段开始提出的问题.此时，.由于去年该厂共售出10万台，每台售价为4000元，因此得到 ；又由于生产1万台时成本就降低为每台3000元，因此得到 .将这些数据代入的表达式，就得到今年的最优价格应为 （元/台）.5.2 条件极值的应用例2：求容积为的长方体形开口水箱的最小表面积. 分析过程：长方体的表面积与长方体的长、宽、高有关，题中已知长方体的容积即体积，且涉及的自变量的个数为三个。即为多元函数的条件极值的应用。解：这时所求的问题的拉格朗日函数是：对求偏导数, 并令它们都等于0: 求上述方程组的解, 得.依题意, 所求水箱的表面积在所给条件下确实存在最小值. 由上可知, 当高为, 长与宽为高的2倍时, 表面积最小. 最小值.第六章 结论通过对函数极值理论在实际生活中的应用的学习，我们知道了极值原理在数学计算上的重要性，及其函数极值如何应用到实际生活中。我们可以通过极值的应用，深入推广到许多实际问题，并且广泛推广，使得我们在对函数极值在实际生活中的应用把握的能够更加得当，使极值理论在生活中得到更充分的利用。而且通过本文更是证明了数学是人类生产生活必不可少的工具，它使我们的生活变得更快捷，更准确。因此我们可以得出极值原理求解的一般步骤：对于一元函数的极值：（1）函数的定义域；（2）并求，并在定义域内求的点（驻点）和不存在的点；（3）对于驻点可利用费马定理判定，对于导数不存在的点利用极值的充分条件来确定函数的极值点。对于二元函数的极值：（1）解方程组，求得一切实数解，即可求得一切驻点；（2）对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值；（3）确定的符号，按定理1的结论判定是否是极值，是极大值还是极小值；（4）考察函数是否有导数不存在的点，若有用定义加以判别是否为极值点。对于多元函数的极值：（1）构造拉格朗日函数；（2）建立合适的数学模型；（3）分别对函数进行关