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三值噪声调制下电路中的随机共振现象 摘要：本文研究了在三值噪声和热噪声扰动下的rlc电路的平均输出幅度增益。利用随机平均法和shapiro-loginov公式，得到了平均输出幅度增益的精确表达式。通过计算机模拟，画出了平均输出幅度增益与平坦系数、有噪声和无噪声时，输出信号振幅与输入信号频率之间的关系曲线。从结果来看，系统不仅表现出了随机共振现象，甚至还出现了双共振峰，这在双值噪声驱动的rlc电路中(文献11)是没有的现象. 关键词：三值噪声、平均输出幅度增益、rlc串联电路、随机共振pacs: 05.40.-a, 02.50.-r 基金项目: 国家自然科学基金（10647134）; 宁波大学学校人才工程项目（xr0708020 ） 在人们传统的观念中，噪声是令人厌烦的。然而，当噪声与非线性系统结合，却出现了许多非常奇妙的现象。例如噪声诱导的相变、共振激活等等。在这些现象中随机共振就是一例。随机共振概念是1981年， benzi等人在研究古气象冰川演化问题时首次提出来的1-2。此后，随机共振的理论和实验研究都引起了人们的极大兴趣。在短短的二十多年间，被发现随机共振现象、利用随机共振现象的系统，不仅仅出现在物理学领域里，而且在化学、工程、生物、现代通讯领域等等也已见到。早期，人们认为系统要产生随机共振现象必须具备三要素：周期信号、噪声和非线性系统1-5。而近年的研究表明随机共振现象可以出现在具有乘性色噪声或分段噪声驱动的线性系统中6-9。一般情况下，人们判断系统是否产生随机共振现象是根据信噪比对噪声参数的非单调依赖关系， 但电路中幅度增益往往是人们关注的特征量。文献9、文献10在分别研究波动阻尼参数振子的随机共振及单模激光系统中的随机共振现象。文献7在研究受乘性和加性噪声作用的线性系统的随机共振时，发现信噪比是乘性噪声相关时间的非单调函数，这个函数关系有最小值出现。文献11研究了非对称双值噪声作用下的rlc串联电路，并发现了随机共振现象。受此文献启发，本文将采用文献11中的rlc串联电路模型，研究的是在三值噪声18和热噪声共同调制下rlc串联电路的随机性质。1.系统模型 为了与文献11进行比较，本文采用与它类似的rlc电路，因此，描述系统的微分方程是 (1)式中是周期激励信号。 表示电导，假设电导受到三值噪声的扰动，即，。 同时系统受到热涨落的影响，于是方程(1)变为 (2)式中是未受扰动时的电导，内部涨落是高斯白噪声，它的统计特性满足 , (3)这里代表噪声强度。是三值噪声，它在，三值之间发生跃迁，跃迁概率为. 假设,它的定态概率满足，。而且，定态时，三值噪声满足的统计特征是 ， (4)转移概率是噪声关联时间的倒数，即，. 由于电导不能为负值，因此对于三值噪声的所有态，限制 (5)2.计算一阶矩 在 (2)式中, 令 (6)则得到 (7)对(6)、(7)两式取系综平均，得到 (8)(9)利用shaoiro-loginov12公式 (10)(11)(9)式中的关联因子可以写为 (12)(12)式中的关联因子可以写为 (13)(12)式中的关联因子可以写为 (14)(14) 式中的关联因子可以写为 (15)式(8)、(9)、(12)、(13)、(14)以及(15)构成了一组关于六个变量，的封闭方程组. 这些方程的通解可以写成如下形式 (16)是积分常数, 由初始条件确定. 满足下列的多项式方程 (17) 其中 为了保证(16)式解的稳定性，除了(5)式的限制之外，要求必须满足负实根的条件. 根据劳斯-赫尔维茨判据, 得到，（18）一阶矩，也就是系统的平均输出的稳态响应可以写为 (19)或者是 (20)这里 ， 代表输出信号的振幅，代表输出信号的相位. ，系数的表达式写在附录中。 由文献 11的定义，该系统平均输出幅度增益为 (21)， 它代表无噪声时系统的输出信号幅度。3.模拟结果由(23) 式，可得出系统的平均输出幅度增益与噪声参量及系统参量之间的变化关系. 图. 1a-3b，分别绘出了有噪声和无噪声时，平均输出幅度益与平坦系数，输出信号振幅与输入信号频率关系曲线。图中电阻单位为欧姆；电感单位为亨利；电容单位为法拉；电压单位为伏特；其余物理量的单位为导出单位。图.1a 平均输出幅度增益与平坦 图.1b 平均输出幅度增益与平坦系数关系曲线 (l=0.5h,c=2,g=0.1s, 系数关系曲线(l=0.1h,c=f, ,) g=0.1s,， ) 从图.1a-1b中，可以看到在系统参量及噪声参量取不同值时，随着噪声的平坦系数的增加，平均输出幅度增益逐渐增加；在平坦系数达到某一个值时，平均输出幅度增益达到最大值；此后，随着噪声的平坦系数的增加，平均输出幅度增益反而逐渐的减小。说明随着噪声的平坦系数的变化，平均输出幅度增益出现了峰值，即系统表现出了随机共振现象。 图.2a 有噪声时，输出信号振幅 图.2b 无噪声时，输出信号振幅与与输入输入信号频率关系曲线 与输入输入信号频率关系曲线(l=0.5h,c=2f,g=1s, (l=0.5h,c=2f,g=1s,),) 在图.2a-2b中，画出了在相同的系统参量条件下，有噪声输入和无噪声输入时，系统的输出信号振幅与输入信号频率的关系。从两幅图中可以看到不论有没有噪声随着输入信号频率的变化，在它达到某一值时，系统的输出信号振幅都出现了峰值，说明系统出现了随机共振行为。不同的是，有噪声时系统表现出的随机共振现象更强烈，而且出现了两个峰值。 图.3a 。有噪声时，输出信号振幅 图.3b 无噪声时，输出信号振幅与输入信号频率之间的关系曲线 与输入信号频率之间的关系曲线 (l=0.04h, c=f,g=0.01s, (l=0.04h,c=f,g=0.01s,), , ) 在图.3a-3b中，我们画出了在相同的系统参量条件下，有噪声输入和无噪声输入时，系统的输出信号振幅与输入信号频率的关系。和图.2a-2b相比较，系统的参量是完全不同的。但从图.3a-3b中可以看到不论有没有噪声随着输入信号频率的变化，在它达到某一值时，系统的输出信号振幅都出现了峰值，说明系统出现了随机共振行为。不同的是，有噪声时系统表现出的随机共振现象更强烈。4.结 论本文研究了在三值噪声和热噪声扰动下的rlc电路的平均输出幅度增益,从研究结果来看，在适当的系统参数、激励信号和噪声参数条件下, 平均输出幅度增益表现出了随机共振现象，甚至出现了双共振峰。 参考文献：1 benzi r, sutera a, vulpiani a. t he mechanism of stochastic resonance j. j. phys. a, 1981,14(11):l 453-l 457.2 mcnamara b, wiesenfeld k . theory of stochastic resonance j. phys. rev. a, 1989, 39(9): 4854-4869.3 gammaitoni l, hanggi p, jung p, et al. stochastic resonance j. rev. mod. phys. 1998, 70(1): 223-287.4 barzykin a, vseki k, shibata f. periodically driven linear system with multiplicative colored noise j. phys. rev. e, 1998, 57(6): 6555-6563.5 fulinski a. relaxation, noise-induced transitions, and stochastic resonance driven by non-markovian dichotomic noise j. phys. rev. e , 1995, 52(4): 4523-4526.6 erdichevsky v , gitterman m . multiplicative stochastic resonance in linear systems: analytical solution j. europhys. lett. 1996, 36(3): 161-165.7 berdichevsky v, gitterman m. stochastic resonance in linear systems subject to multiplicative and additive noise j. phys. rev. e, 1999, 60(2): 1494-1499.8 gitterman m. classical harmonic oscillator with multiplicative noisej. physica a, 2005, 352(2-4): 309-334.9 gitterman m. harmonic oscillator with multiplicative noise: non-monotonic dependence on the strength and the rate of dichotomous noise j. phys. rev. e, 2003, 67(5): 57103/1-57103/4.10 gitterman m. harmonic oscillator with fluctuating damping parameter j. phys. rev. e, 2004, 69(4): 04110 1/1-041101/4.11 蒋世奇 , 古天祥，参数扰动的r l c 低通滤波器的随机共振，测试技术学报，vol.22 no.1 2008。12 kihong and dong-hun l. formulae of differentiation for solving differential equations with complex-valued coefficients. j. k. phys. society, 1999, 35(5): 387-392. 13 徐伟, 靳艳飞, 徐猛, 等. 偏置信号调制下色关联噪声驱动的线性系统的随机共振j. 物理学报, 2005, 5 4(11):5027-5033. xu wei, jin yan fei, xu meng, et al. stochastic resonance for bias signal modulated noise in a linear system j. acta phys. sin, 2005, 54(11): 50 27-5033. 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