大一高等数学第四章总练习题

1 第四章 应用 判断题 1.曲线 在 点没有切线；对 3 yx0x 2.函数可导，极值点必为驻点；对 3. 函数的极值只可能发生在驻点和不可导点处；错 4. 是曲线 的拐点；对 1 2 x 23 4 1 6 1 xxy 5. 若 ， ，则 是 的极大值；对0)( 0 x f0)( 0 x f)( 0 xf)(xf 6.若 是函数 的极值点，则 ；对 0 xx )(xf0)( 0 xf 7.函数 在 上的极大值一定大于极小值；错)(xf , a b 8.是可导函数在点处取得极值的充要条件；错 0 ()0fx( )yf x 0 xx 9.设，其中函数在处可导，则 ；( )() ( )f xxax( )xxa( )( )faa 对 10. 因为 在区间内连续，所以在内 必有最大值；错 1 y x (0,1)(0,1) 1 y x 填空题 1.求曲线 的拐点是 _2_； 53 (2)yx 2. （ 为正整数）= _0_ ；lim n ax x x e 0,a n 3.设 在点 处取得极小值，则 = _-4_ ；32 2 axxy1x a 4.若函数 在区间 内恒有 ，则曲线 在 )(xf( , )a b( )0fx)(xfy ( , )a b 内的凹向是_向上_； 5.若 ，则曲线 的拐点横坐标是 _3 ；3)( xxf)(xfy 2 6.函数 的单调递减区间是 _ （-1，1）_ ； 3 3yxx 7.函数在上满足拉格朗日中值定理的 _10/3_ ；5yxx0,5 8.函数 在区间 上的最大值是 _1_ ；2cosyxx0, 2 选择题 1.函数 在区间 上满足罗尔定理的 ( C )sinyx0, (A) 0 (B) (C) (D) 4 2 2.函数 在点 处取得极大值，则必有（ D ）( )yf x 0 xx (A) (B) 0 ()0fx 0 ()0fx (C) 且 (D) 或不存在 0 ()0fx 0 ()0fx 0 ()0fx 计算与应用题 1.求极限：（1） =1/2 ；（2） =1/4 ；（3） 1 1 lim() 1ln x x xx 2 0 1 lim 2 x x ex x =2 0 ln(12 ) lim sin x x x 2.给定函数，求其单调区间，极值，凹向区间及拐点。 23 ( )1 93f xxxx 单调增区间:(-Inf,-1)和(3,+Inf);单调减区间(-1,3);极大值 f(-1)=6,极小值 f(3) =-26;凹向区间:(1,+Inf);拐点(1,-10) 给定函数，求其单调区间，极值，凹向区间及拐点。 23 ( )5 1862f xxxx 单调增区间:(-1,3);单调减区间(-Inf,-1)和(3,+Inf);极大值 f(3)=59,极小值 f(-1) =-5;凹向区间:(-Inf,1);拐点(1,27) 4.设某糕点加工厂生产 A 类糕点的总成本函数和总收入函数分别是 3 2 2 ( )10020.02 ( )70.01 C xxx R xxx (1)求边际利润函数；P(x)=-0.02x+5 当产量分别是 200 公斤，250 公斤和 300 公斤时的边际利润，并说明其经济意义。 P(200)=1，P(250)=0,P(300)=-1.代表其每增加一件产品，利润分别增加 1，0，-1 5.某商品的成本函数为 ，求： 4 1000)( 2 Q QCC (1)时的总成本，平均成本及边际成本；20Q 总成本=1000+400/4=1100，平均成本：(1000+400/4)/20=55，边际成本：10 (2)产量 为多少时，平均成本最小？并求最小平均成本。Q 平均成本=(1000+(Q2)/4)/Q1010，此时 Q 为 2010 6.工厂生产某种产品总成本 （万元）,其中为产品件数，将其( )8125C xxx 投放市场后，所得到的总收入为 （万元） 。问该产品生产多少件 2 ( )120.004R xxx 时，所获得利润最大，最大利润是多少？ P(x)=R(x)-C(x)=-0.001(4x2-4000x+125000)=-0.004(x-500)2+875,产品生产 500 件时 利润最大，为 875 万元 7.某产品的总成本 （万元）与总收益 （万元）都是产量 （百台）的函数，CRx 其边际成本函数为 ，边际收益函数为 ，Cx 83Rx (1)产量多大时，总利润最大？ 由不定积分可得 C(x)=(x2)/2+C, R(x)=8x-(3x2)/2+C P(x)-R(x)-C(x)=8x-2x2=-2(x2-4x)=-2