数学建模学期论文-若干工厂排污费用的数学模型.doc

选修课程结业考试答卷 课程名称： 数 学 建 模 选课课号：（2009-2010-2)-161100200-1020060061-1 主讲教师： 学 生： 学 号： 班 级： 考查时间： 考察试题： 若干工厂排污费用的数学模型 考查评分： 若干工厂排污费用的数学模型摘要本文首先对给定的题目进行统计分析，在分析结果的基础上，考虑了各种不同的污水排放的差异性，将所有污水处理信息进行整合，为污水处理情形建立相关数据材料。基于不同情况不同特点，分别对问题一到问题二进行分析、建模及求解。对问题一要求：为了使使江面所有地段得水污染达到国家标准，最少需要费用采用方法：在一定合情理得假设下，建立一个简单普遍的的模型，使之能够清晰地表示出江水与第k个站点得污水混合后的污水浓度，并使浓度小于标准，得到普遍的约束条件。再用一个函数表示出处理费用，得到普遍的目标函数，再将题中数据代入公式，编写程序，再用lindo软件解出答案。对问题二， 要求：要求三个据名店上游的水污染达到国家标准，最少需要多少费用 采用方法：在基于问题一得假设下，建立一个简单普遍的的模型，使之能够清晰地表示出第k个站点上游的污水污水浓度，并使浓度小于标准，得 到普遍的约束条件。再用一个函数表示出处理费用，得到普遍的目标函 数，再将题中数据代入公式，编写程序，再用lindo软件解出答案。根据上述研究，我们认为我们建立的数学模型易于操作，对实践有着较好的指导意义。关键词： 若干工厂 污水处理 国家标准 最小费用一、问题重述工厂1上游江水流量和污水浓度，国家标准规定的水的污染浓度，以及各个工厂的污水流量和污水浓度均已知道。设污水处理费用与污水处理前后的浓度差和污水流量成正比，使每单位流量的污水下降一个浓度单位需要的处理费用（称处理系数）为已知。处理后的污水与江水混合，流到下一个排污口之前，自然状态下的江水也会使污水浓度降低一个比例系数（称自净系数），该系数可以估计。试确定各污水处理站出口的污水浓度，使在符合国家标准规定的条件下总的处理费用最小。推而广之，要求处理一段河流中有若干个工厂、若干个排污处理站点。建立数学模型，求解。二、问题的分析工厂的污水处理与排放都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式影响着我们的生活。例如，我们的饮水、我们周边的生态环境。污水排放过程要经过三个步骤：工业生产制造废水、污水处理站处理废水、国家环保部门监测排污情况。图1：工厂的污水处理与排放过程描述工厂的污水排放必须达到国家相应的标准，否则将受到环境保护部门的处理，严重者甚至受到法律的制裁。反思问题的题设与要求，是要解决污水处理过程中的费用问题，以求达到最好的经济效益。从以下三个个角度思考：环保部门的角度，工厂排放的废水必须达到国家相关的标准，且要要在环境的自动净化能力范围之内。工厂生产角度，工厂为了生产发展，必须降低成本，尽可能地实现增加利润。这就要求要尽可能的减少排污费用。居民角度，居民要求自己的居住环境尽可能的好，这就要求周围事物尽可能的减少环境废物的排放。对于问题一：为了使江面所有的所有的地段达到国家的标准 ，由题意自然状态下江水可使污水浓度下降一定程度，所以如果江面各处污水浓度最大的地方达到国家标准，那么各处江面都将达到国际按标准，于是显而易见，只要各处处理站处理后的污水与江河上游污水混合后达标即可，顺次思路，可比较简单的建立数学模型解决此问题。对于问题二：为使居民点上游水污染达标，由于江面存在自净系数，即每处处理站排出的污水与江水混合后得污水浓度乘以该站下游江面的自净系数便可得到下游居民点的上游的污水浓度，由此思路建立可较为简易的建立合理的数学模型。三、模型假设1、 假设题中给定的数据真实可靠，且满足国家相关标准。2、 污水经站点排除后迅速均匀分布于水中。3、 假设该江面除污水处理站外，无其他水源入江。4、 工厂与处理站的污水流出量远小于江水流量。 四、符号说明符号符号说明n工厂的总数、处理站点数（n的取值为整数）k从上游到下游计数的工厂个数 第k处理站口上游江面的流量第k处理站口下游江面的流量第k处理站口上游江面的污水浓度第k处理站口下游江面的污水浓度第k个工厂排出污水浓度第k+1个工厂排出污水浓度第k个处理站的处理系数第k+1个处理站的处理系数第k个工厂的污水经第k个处理站后排到江面的污水浓度第k+1个工厂的污水经第k+1个处理站后排到江面的污水浓度第k段江面的自净系数（第k段江面为第k个工厂与第k+1个工厂之间的江面）第k+1段江面的自净系数（第k段江面为第k个工厂与第k+2个工厂之间的江面） 第k个工厂与第k个处理站的污水流出量第k+1个工厂与第k+1个处理站的污水流出量国家标准规定的合格水污染浓度s污水处理总费用五、问题求解及结果分析l 问题一1. 问题一的模型分析问题一：为了使江面上所有低端的水污染达到国家标准，且费用最少，并求出最少费用。在简化为常数q的情况下，第k个处理站的污水与江水混合后的污水的浓度为=+，第k段江面的自净后的污水浓度为=，污水处理站的处理费用为（-），于是在江面上所有地段的水污染达到国家标准的条件下，使费用最小。2. 建立模型目标函数： s=（-）约束条件：=+ = 3. 问题一模型求解对于该题的具体题设，q=1000l/min, =0.8mg/l, =1mg/l,=5l/min，=100 mg/l，=60 mg/l，=50mg/l,=1万元/（l/min）（mg/l）, =0.9,=0.6。按照以上模型，并用lingo软件进行计算求解。计算结果为：=40 mg/l，=20 mg/l，=50 mg/l。s=495.5万元4. 结果分析:站点一处理后污水浓度为40mg/l，站点二处理后污水浓度20mlg/l，站点3不用处理，且最小费用为495.5万元，其影子价格和灵敏度分析详见附件l 问题二问题二：题设只要求三个居名点上游的水污染达到国家标准，就最少费用。1. 问题二的模型分析在简化为常数q的情况下，第k个处理站的污水与江水混合后的污水的浓度为=+，第k段江面的自净后的污水浓度为=，污水处理站的处理费用为（-），于是在江面上所有地段的水污染达到国家标准的条件下，使费用最小。2. 建立模型目标函数： s=（-）约束条件：=+ = 3. 问题二模型求解对于该题的具体题设，q=1000l/min, =0.8mg/l, =1mg/l,=5l/min，=100 mg/l，=60 mg/l，=50mg/l,=1万元/（l/min）（mg/l）, =0.9,=0.6。按照以上模型，并用lingo软件进行计算求解。计算结果为：=62.2 mg/l，=60 mg/l，=50 mg/l。s=189万元计结果分析l 第一个工厂处理后污水浓度为62.2mg/l，第二个工厂和第三个工厂无需处理污水，且费用最少为189万元。其影子价格和灵敏度分析详见附件六、模型评价及改进、模型推广 污染是当今社会的一个重大问题，尤其是水污染对人的生存构成了严重威胁，而河流扩散污染的主要途径，一方面要考虑下游居民，另一方面还要务必使成本降到最低，以达到最大效益。怎样才能使河流既达到国家标准而有用资金最少？我们便考虑使用数学建模。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。基于以上概念。而江河与处理站，江河与居民点可以近似的考虑成线与点得关系，这样就可以得到最基本的模型，然后在做出相应的假设之后，考虑点与点之间的相互影响，点与线之间的相互关系，已达到比较真实的模拟出实际情况来，于是，得出以上的模型设计，该模型再基于假设条件之内基本能够反映真实，在已知各段江水的自净系数前提下，可以求出有任意k个排污点及处理站时得最小费用，但是该模型存在下列问题1， 自净系数没有明确的得知方法，应该考虑自净系数与江段长度的关系。2， 污水的与江水混合后求浓度没有考虑污水自身的流量3， 江水经过一段距离后得由于蒸发和渗透没有做考虑可以针对上述问题再设变量对模型改进。 模型的推广：上述模型是建立在无污水排放时浓度是符合国家标准的，那么如果上游江水本就不符合国家标准，那么就需要处理江中污水浓度，亦或，先将江水的污水浓度下降一定浓度时，再同各个处理站处理后的污水混合，成本会不会有所降低呢？而江的上游会有一段比较长得无人区，可用较低的成本较简单的方法处理得到较好的效果，比如撒一些除污物质等等可设江水处理系数。那么依然可用上述模型，那么目标函数即变为 s=（-）+（-）约束条件=+ = 七、参考文献1) 数学模型（第三版） 姜启源 谢金星 叶俊（编著） 高等教育出版社 2003.82) 数学建模课程讲义 王丽 西南科技大学 3) 基础运筹学教程(配光盘） 马良（主编） 高等教育出版社 2006.7八、附件清单、附件1) 附件清单 问题一的详细数据、lindo运算程序、程序运行结果。 问题二的详细数据、lindo运算程序、程序运行结果。 2) 附件 问题一的详细数据、lindo运算程序、程序运行结果。a) 详细数据:q=1000l/min, =0.8mg/l, =1mg/l,=5l/min，=100 mg/l，=60 mg/l，=50mg/l,=1万元/（l/min）（mg/l）, =0.9,=0.6。得目标函数s=1050-5-5-5代入公式=+得站点一混合后污水浓度为: =5/1000+0.8站点二混合后污水浓度为: =4.5/1000+5/1005+0.72站点三混合后污水浓度为: =2.7/1000+3/1005+5/1010+0.432再代入公式并化简可得约束条件50 4.5+4.97528 2.7+2.985+4.95568代入公式得到约束条件 100 60 50b) lindo运算程序:min -5v1-5v2-5v3st2)v1=403)4.5v1+4.975v2=2804)2.7v1+2.985v2+4.95v3=5685)v1=1006)v2=607)v3=50endc) 程序运行结果:lp optimum found at step 3 objective function value 1) -550.5025 variable value reduced cost v1 40.000000 0.000000 v2 20.100502 0.000000 v3 50.000000 0.000000 row slack or surplus dual prices 2) 0.000000 0.477387 3) 0.000000 1.005025 4) 152.500000 0.000000 5) 60.000000 0.000000 6) 39.899498 0.000000 7) 0.000000 5.000000 no. iterations= 3 ranges in which the basis is unchanged: obj coefficient ranges variable current allowable allowable coef increase decrease v1 -5.000000 0.477387 infinity v2 -5.000000 5.000000 0.527778 v3 -5.000000 5.000000 infinity righthand side ranges row current allowable allowable rhs increase decrease 2 40.000000 22.222221 40.000000 3 280.000000 198.500000 100.000000 4 568.000000 infinity 152.500000 5 100.000000 infinity 60.000000 6 60.000000 infinity 39.899498 7 50.000000 30.808083 50.000000问题二的详细数据、lindo运算程序、程序运行结果。a) 详细数据:由于居民点1上游污水浓度为0.8mg/l符合标准，所以不作考虑。处理站3下游没有居民点，所以得： =60代入数据后得目标函数为s=（100-）*5+（60-）*5=800-5-5代入公式=+得=4.5/1000+0.72=2.7/1000+3/1005+0.432再带入公式 并化简得到约束条件4.52802.7+2.985568代入公式得到约束条件10060 b) lindo运算程序:min -5v1-5v2st2)4.5v1=2803)2.7v1+2.985v2=5684)v1=1005)v2=60endc) 程序运行结果:lp optimum found at step 2 objective function value 1) -611.1111 variable value reduced cost v1 62.222221 0.000000 v2 60.000000 0.000000 row slack or surplus dual prices 2) 0.000000 1.111111 3) 220.900009 0.000000 4) 37.777779 0.000000 5) 0.000000 5.000000 no. iterations= 2 ranges in which the basis is unchanged: obj coefficient ranges variable current allowable allowable coef increase decrease v1 -5.