本科生毕业论文-函数最值问题的求解方法.doc

各专业全套优秀毕业设计图纸 高等教育自学考试本科生毕业论文 函数最值问题的求解方法 专专 业：业： 数数 学学 教教 育育 准考证号：准考证号： 070105100111070105100111 姓姓 名：名： 指导教师：指导教师： 完成时间：完成时间： 20132013 年年 1111 月月 2525 日日 高等教育自学考试本科生毕业论文 - 2 - 函数最值问题的求解方法 摘 要 函数最值问题是数学领域中的重要研究内容。它不仅仅只在教学中解决一些数 学问题，而且经常运用于解决实际问题。在工农业生产、经济管理和经济核算中，常 常遇到一些解决在满足一定条件下怎样使产出最多、效益最高但投入最小等之类的问 题。生活中也时常会见到求用料最省、效率最高、利润最大等问题。而这些生活和经 济问题一般都可以转化为数学中的函数类问题来分析研究，进而转化为求函数最大 （小）值的问题，即为函数的最值探讨，这尤其对研究实际问题的人们来说尤为重要。 而函数最值问题的解法包括一元函数和多元函数，同时也有初等与高等解法之分。本 文主要通过从初等解法方面对一元函数最值问题进行研究，探讨各种不同的求解方法， 阐述函数最值问题研究的重要性，得到求解函数最值的几种方法及求解时应注意的一 些问题. 关键词 函数 最值 高等解法 初等解法 微分 高等教育自学考试本科生毕业论文 - 3 - 目录 1 1 引言引言- 4 - 2 2 求函数最值的几种解法探讨求函数最值的几种解法探讨- 5 - 2.1 判别式法.- 5 - 2.2 配方法.- 6 - 2.3 均值不等式法.- 6 - 2.4 换元法.- 7 - 2.5 三角函数法.- 8 - 2.6 单调性法.- 9 - 2.7 导数法.- 9 - 3 3 求解函数最值时应注意的一些问题求解函数最值时应注意的一些问题- 10 - 3.1 注意定义域.- 10 - 3.2 注意值域.- 11 - 3.3 注意参变数的约束条件.- 12 - 3.4 注意对判别式的运用.- 13 - 3.5 注意均值不等式的运用.- 13 - 4 4 函数最值在实际问题中的应用函数最值在实际问题中的应用- 15 - 4 4 结论结论- 19 - 致谢致谢- 20 - 参考文献参考文献- 21 - 高等教育自学考试本科生毕业论文 - 4 - 1 1 引言引言 函数是中学数学的主体内容，贯穿于整个中学阶段，而函数最值问题是函数的重 要组成部分处理函数最值的过程就是实现未知向已知、新问题向旧问题以及复杂问 题向简单问题的转化，虽然解决问题的具体过程不尽相同，但就其思维方式来讲，通 常是将待解决的问题通过一次又一次的转化，直至划归为一类很容易解决或已解决的 问题，从而获得原问题的解答 函数最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中有着广 泛的应用，而且在中学数学教学中也占据着比较重要的位置，是近几年数学竞赛中的 常见题型也是历年高考重点考查的知识点之一由于其综合性强，解法灵活，故而解 决这类问题，要掌握各数学分支知识，并能综合运用各种所学知识技巧，灵活选择合 适的解题方法函数最值的定义： 一般地，函数的最值分为最小值和最大值:设函数在处的函数值是 yf x 0 x 0 f x 如果对于定义域内任意，不等式都成立，那么叫做函数x 0 f xf x 0 f x 的最小值，记作； yf x min0 yf x 如果对于定义域内任意，不等式都成立，那么叫做函数x 0 f xf x 0 f x 的最大值，记作. yf x max0 yf x 函数的最值一般有两种特殊情况： （1）如果函数在上单调增加(减少)， 则是在上的最小 0 ()f x , a b( )f a( )f x , a b 值(最大值)，是在上的最大值(最小值).( )f b( )f x , a b （2）如果连续函数在区间内有且仅有一个极大(小)值，而没有极小(大)值，则此 0 ()f x( , )a b 极大(小)值就是函数在区间上的最大(小)值. , a b 高等教育自学考试本科生毕业论文 - 5 - 2 2 求函数最值的几种解法探讨求函数最值的几种解法探讨 2.1 判别式法 对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数出现在一( )f x 个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件来0 求出的最值.( )f x 例例. . 求函数的最值. 2 (0)yaxbxc a 解：解：因为，所以， )0( 2 acbxaxy 2 ()0axbxcy+-= 而，所以有rx 0440)(4 22 ayacbycab 2 44bacay a bac ya a bac ya 4 4 0 4 4 0 2 max 2 min 时， 时， 所以，当时，；0a a bac y 4 4 2 min 当时，.0a 当或时，（设） 2 2kx ) 12( kx max yab=-+ 0a 例例. . 求函数的最大值.sin cossincosyxxxx=+ 解：解：因为 sin cossincosyxxxx=+ ) 2 sin(sin2sin 2 1 xxx ) 4 cos( 4 sin22sin 2 1 xx =) 4 cos(22sin 2 1 xx 当时，； 42 22 kxkx max (sin2 )1x= 高等教育自学考试本科生毕业论文 - 9 - 当时， )( , 4 zkkx 1cos) 44 cos() 4 cos( kkx 即，所以，当时，. 1) 4 cos( max x 4 kx max 1 2 2 y=+ 2.6 单调性法 当自变量的取值范围为一区间时，有时也用单调性法来求函数的最值在确定 函数在指定区间上的最值时，首先要考虑函数在这个区间上的单调情况若函数在整 个区间上是单调的，则该函数在区间端点上取得最值若函数在整个区间上不是单调 的，则把该区间分成各个小区间，使得函数在每一个区间上是单调的，再求出各个小 区间上的最值，从而可以得到整个区间上的最值5 例例. . 设函数是奇函数，对任意、均有关系，( )f xxyr()( )( )f xyf xf y 若时，且求在上的最大值和最小值.x0( )0f x (1)2f ( )f x3,3 解：解：先确定在上的单调性，设任意、且，则( )f x3,3 1 x 2 3,3x 12 xx . . 21 0xx 所以有 212121 ()()()()()0f xf xf xfxf xx 即. . 21 ()()f xf x 所以，在上是减函数.( )f x3,3 因此，的最大值是;( )f x( 3)(3)(2 1)fff (1)(1)(1)6fff 的最小值是. .( )f x(3)3 (1)6ff 高等教育自学考试本科生毕业论文 - 10 - 2.7 导数法 设函数在上连续，在上可导，则在上的最大值和( )f xab，()ab，( )f xab， 最小值为在内的各极值与，中的最大值与最小值( )f x()ab，( )f a( )f b 要求三次及三次以上的函数的最值，以及利用其他方法很难求的函数式的最值， 通常都用该方法导数法往往就是最简便的方法，应该引起足够重视 例例. . 求函数，的最大值和最小值 32 ( )362f xxxx=-+- 1 , 1x 解：解：求导得.663)( 2 xxxf 令，方程无解.0)( xf 因为，所以函数在上时增函03) 1(3663)( 22 xxxxf( )f x 1 , 1x 数. 故 当时，;1x =- min( ) ( 1)12fxf=-=- 当时，.1x = max( ) (1)2fxf= 综上可知，函数最值问题内涵丰富，解法灵活.没有通用的方法和固定模式，在 解题时要因题而异，而且上述介绍的几种求解方法也并非彼此孤立，而是相互联系、 相互渗透的，有时一个问题需要多法并举，互为补充，有时一个题目又会有多种解法， 函数的最值解题方法是灵活多样性的，除了以上讲的，还有很多种方法，如：消元法、 数形结合法、复数法、几何法、待定系数法、万能公式法等等.因此，解题的关键在分 析和思考，因题而异地选择恰当的解题方法，减少解题时间 高等教育自学考试本科生毕业论文 - 11 - 3 3 求解函数最值时应注意的一些问题求解函数最值时应注意的一些问题 3.1 注意定义域 遇到求最值问题的时候，我们切记在求解的过程当中，要注意观察定义域的变 化情况， 在最初解题之时，应当先把函数的定义域确定；在解题过程中，当函数变形时 注意定义域是否发生改变，如果又引入新变量也要确定这个变量的取值范围，以免在 后面的求解过程中出现错误；在解题结束时，必须检验所求得的使函数取得最值的自 变量是否包含在定义域的范围内 例例. . 求函数的最值. 1 2 x y x - = - 错解：错解：将两边同时平方并去分母得. 1 2 x y x - = - 2222 (41)410y xyxy-+-= 因为，所以，化简得.rx0) 14(4) 14( 2222 yyy14 2 y 所以，故，. 2 1 2 1 y min 1 2 y=- max 1 2 y= 分析：分析：这个答案致错原因是两边平方及去分母，使函数的定义域扩大了. 正解：正解：将两边平方并去分母，得. 1 2 x y x - = - 2222 (41)410y xyxy-+-= 因为，所以，化简得.rx0) 14(4) 14( 2222 yyy14 2 y 所以，注意到原函数的定义域是，则有， 2 1 2 1 y1x01 x20x-0y 所以可知原函数最小值.最大值由前面分析可知即为. min 0y= 1 2 高等教育自学考试本科生毕业论文 - 14 - 3.5 注意均值不等式的运用 注意当且仅当这些正数相等时，它们的积(和)才能取大(小)值. 1 例例. . 求函数的最小值. 2 3 (0)yxx x =+ 错解：错解：因为，所以，于是0x 2 0x 1 0 x 2 0 x 3 222 21 3 213 xx x xx x x xy 3 3 2= 所以的最小值是.y 3 3 2 分析：分析：上面解法错误，是没有注意到当且仅当时，函数才能取得最 2 12 x xx =y 小值，但显然不等于，所以不能取. 1 x 2 x y 3 3 2 对均值不等式中等号成立的条件生搬硬套 2 例例. . 已知，且，求的最小值，并求的最小值时 rzyx, 123 1 xyz +=xyzxyz 的，的值.xyz 错解：错解：因为， rzyx, 所以，从而， r zyx 321 0 6 3 321 3 321 1 3 3 3 xyzzyxzyx 1 633 3 xyz ，当且仅当时，上式取等号，又，所以当 3 3 63xyz162xyzxyz= 123 1 xyz += 且仅当时，有最小值 162.6xyz=xyz 分析：分析：上面解法错误，是对均值不等式中等号成立的条件没有理解而直接套用 高等教育自学考试本科生毕业论文 - 15 - 的结果，事实上，当时，不等于 162.正确的解法是：在6xyz= 3 6216xyz = ，即中，等号当且仅当，即，162xyz3 321 3 321 zyxzyx 1231 3xyz +=3x = ，时成立，所以当，时，有最小值 162.6y =9z =3x =6y =9z =xyz 连续进行几次不等式变形，并且各次不等式中的等号不能同时成立而造成的错 3 误 例例. . 已知，且，求的最小值. ryx, 14 1 xy +=xy+ 错解：错解：因为，所以，则，所以 ryx, 2 41 2 141 0 yxyx 16xy ，因此的最小值是 8.81622xyyxxy+ 分析：分析：上面解法中，连续进行了两次不等变形：与xyyx2 ，且这两次不等式中的等号不能同时成立，第一个不等式当且仅当 2 41 2 141 yxyx 时等号成立，第二个是当且仅当即，时等号成立，因此xy= 141 2xy =2x =8y = 不可能等于 8.事实上，题中的依然可以由替换，从而将转化成关于的xy+yxxy+x 函数： 2 3 ( ) 1 xx f x x + = - (1)(4)4 1 xx x -+ = - 4 4 1 x x =+ + - . 4 14 1 x x =-+ - 由题意知，所以运用均值不等式即可求得该函数最小值,1x 即当时取最小值，求得，符合题意.所以最小值为 9. 4 1 1 x x -= - 3x =6y = 高等教育自学考试本科生毕业论文 - 16 - 4 函数最值在实际问题中的应用 例例 1.1. 某工厂要建造一个长方形无盖储水池，其容积为 4800，深为，如果 3 m 3 3m 池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元,怎样设计水池能使总造 价最低？最低总造价是多少？ 分析：分析：从题中分析可以得出，水池高度已知，进而问题转化为求池壁的长和宽的 问题，从而确定取什么值使总造价最低.即涉及到两个变量，因为池壁的长和宽不可能 为负数，由此我们可以想到利用均值不等式来求解. 解：解：设底面的长为,宽为，水池的总造价为元.xmymz 根据题意有：，由容积为)(720240000)3232(120 3 4800 150yxyxz 4800，可得，因此，.由均值不等式与不等式的性质，可得： 3 m34800xy =1600xy = xyyx2720240000)(720240000 即 .160002720240000z297600= 当，即时，等号成立.所以，将水池的地面设计成边长为 40的正xy=40xy=m 方体时总造价最低，最低总造价是 297600 元. 例例 2.2. 某工厂 2003 年的纯收入为 500 万元，因设备老化等原因，工厂的生产能力 将逐年下降.如果不对技术进行改造,从今年起预计每年将比上一年减少纯收入 20 万元, 所以今年年初该工厂为了进行技术改造，一次性投入资金 600 万元，预计在未扣除技 术改造资金的情况下，第年（第一年从今年算起）的利润为万元（为正n 1 500(1) 2n +n 整数）.设从第一年起的前年，如果该工厂不进行技术改造的累计纯收入为万元，n n a 进行技术改造后的累计纯收入为万元（须扣除技术改造资金） ，则从今年起该工厂至 n b 少经过多少年，进行技术改造后的累计纯收入超过不进行技术改造的累计纯收入？ 分析：分析：首先根据题意写出、的 n a n b 高等教育自学考试本科生毕业论文 - 17 - 表达式，可知它们都为数学上一个简单的数列求和问题.继而对它们作差就建立起一个 函数关系式，即转化为数学上的函数最值问题,再利用合适的方法进行求解即可. 解：解：依题设有(50020)(50040)+(50020 ) n an=-+-+- 2 49010nn=- . 2 111 500(1)(1)(1) 600 222 n n b =+- 500 500100 2n n=- 则 2 500 (500100)(49010) 2 nn n bannn-=- 2 500 1010100 2n nn=+- . 50 10 (1)10 2n n n=+- 因为函数在上为增函数，所以 50 (1)10 2x yx x=+-), 0( 当时，；31 n010 8 50 1210 2 50 ) 1( n nn 当时，.4n010 16 50 2010 2 50 ) 1( n nn 所以，仅当时，.即至少要经过 4 年，该企业进行技术改造后的累计4n nn ba 纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润. 例例 3.3. 某公司为资助尚有 26.8 万元无息贷款尚未偿还的化妆品商店，借出 20 万元 将该店铺改造成经营状况良好的某体育用品专卖店，并约好用该店赚取的利润逐步对 债务进行偿还(全部债务均不算利息)已知该体育用品的进价为 40 元/件；该店月销 量(百件)与售价(元/件)之间的关系可用右图qp (图一)的一条折线表示；员工的月工资为 600 元/ 人，该店还需交纳的其他费用为 13200 元/月 (1)若售价为 52 元/件时，该店正好收支平p 衡，求该店的员工有多少； p q 1 60 24 405881 高等教育自学考试本科生毕业论文 - 18 - (2)若该店只招聘了 40 名员工，则该店最快可在几年后把所有债务还清，此时每 件体育用品的价格定为多少元？ 分析：分析：由题中给出的图可以看出，我们可以把它看做是在闭区间上的一个分段函 数问题，从而转化为数学问题，利用函数图象所表示的几何意义，借助于几何图形的 直观性来求分段函数最值问题 解：解：(1)设该店的月利润为元，有职工名.sm 40(mpqs 又由图可知： )8158(82 )5840(1402 pp pp q 所以， )815840)(80( )584040)(1402( pmpp pmpp s 由此知，当 时，即，解52p =0s =013200600100)40)(1402(mpp 得，即此时该店有 50 名职工.50m = (2)若该店只安排 40 名职工，则月利润 )8158(37200100)40)(80( )5840(37200100)40)(1402( ppp ppp s 当时，求得时，取最大值 7800 元；5840 p55p =s 当时，求得时，取最大值 6900 元8158 p61p =s 综上，当时，有最大值 7800 元55p =s 设该店最早可在 n 年后还清债务，依题意，有，0200000268000780012n 解得5n 所以，该店最早可在 5 年后还清债务， 此时消费品的单价定为 55 元 图一 高等教育自学考试本科生毕业论文 - 19 - 由此我们可以总结出实际问题利用函数求最值的一般步骤： (1)分析实际问题中各量之间的关系，正确选择自变量和因变量，找准等量关系， 把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步； (2)确定函数定义域，根据函数关系式，选择合适的求解方法； (3)求出满足条件的定义域范围，结合实际，确定最值或最值点. 4 4 结结论论 本文简单的介绍了几种有关求函数最值问题的解法，以及在解题时需要注意的一 些问题，告诉我们在解题时要学会分析思考，选择合适的解法，尽量用简便的方法快 速地解答出问题，通过几个在实例问题中