数学建模论文-纯净水安全监控的问题.docx

关于纯净水安全监控的问题论文江西师范大学2010暑期数学建模培训练习题纯净水安全监控的问题论 文（史明 汪茵芸 蒋漓）二一年八月15目 录摘 要1一、问题重述2二、问题分析3三、符号说明4四、建立模型及求解过程54-1：问题一：给出纯净水安全风险分析的科学评价方法，确定评价标准和规则，并对所有批次纯净水进行评判排序。54-1-1：模型假设与符号说明54-1-2：模型建立与求解54-1-3：结果分析64-2：问题二：对城区内按公司进行风险度排序评价，并分类综合评价。74-2-1：模型假设74-2-2：模型建立与求解74-2-3：结果分析84-3：问题三：评价纯净水生产流通环节的危害因素及各危害指标的分布规律，并讨论a、b、d公司的管理状况。94-3-1：模型假设94-3-2：模型建立与求解94-3-3：结果分析104-4：问题四：优化抽检方案114-4-1：模型的假设114-4-2：模型建立与求解114-5：给食品安全委员会的信13四、模型优缺点分析14【参考文献】14摘 要纯净水安全危机的爆发，往往是日常监控机制和管理长期存在漏洞的反映。完整、有效的纯净水安全风险分析监测预控，为相关部门提供了决策依据和技术支持，这样一来可以有效提高纯净水安全监管效率和管理水平，及时化解可能出现的安全危机。本文根据某城区提供的近年来关于各公司的纯净水检测报告，考虑电导率、菌落总数、大肠菌群、霉菌与酵母四个危害因素的影响，对纯净水的安全风险评价建立了数学建模，并利用此模型对纯净水安全监控问题做进一步探讨。 对于问题一，经过我们的分析，确定了使用简单的线性评价模型来解决，即是 ，在设定好权值后，可以直接代入每次的检验结果就可以得出每次检验的综合指数，再根据这个指数就可以给出本批次纯净水的一个优劣层次。 在问题二中，要求我们按公司进行分类分析。首先，我们按公司进行了风险度排序，所得到的结果为，标准是风险度越小，水质越好，排名越靠前。同时对它们按四个危害指标分类综合评价，找出各公司产品的主要可能的危害因素，并结合有关水安全知识指出同类公司的实际特点。 针对问题三，我们把各公司按仓库与销售点分为两大类，分别计算这两大类中各项危害指标的合格率与不合格率，通过对这两个指标的观察分析，可以得出各危害指标在这两大类中的分布情况，我们从中推测出了各公司在这两大类地点的管理现状。对于问题四，这是一个对检测次数进行最优化安排的规划模型。我们通过对各公司市场占有率的大概估计，结合第二问中的各公司的风险度排序，并以公司占有率乘以其生产的纯净水的风险度作为分配批次的权重，做归一化处理，再按照分配批次权重分配46个检验批次，利用即可得到各公司的检验次数。问题五的处理，我们是按照书信的方式给该区的食品安全委员会提出了一些我们自已的建议和改善方法。这样，可以更为亲切的表达本文中的各项统计结果。最后对本文中的模型及相关问题处理作了评价，探讨优缺点，并做进一步的分析，提出改进思路。关键词：线性评价模型 危害风险度 分类综合评价 一、问题重述日趋加剧的水污染，已对人类的生存安全构成重大威胁，成为人类健康、经济和社会可持续发展的重大障碍。据世界权威机构调查，在发展中国家，各类疾病有8%是由于饮用了不卫生的水而传播的，每年因饮用不卫生水至少造成全球2000万人死亡。因此，水污染被称作“世界头号杀手”。我国政府对纯净水安全问题十分重视，已将纯净水安全作为一项重要的公共管理目标，采取了一系列措施，强化纯净水安全的监管，并取得了初步成效。但纯净水安全问题的总体形势仍不容乐观，依然存在一系列隐忧，近年来食品安全方面的恶性、突发性事件屡屡发生。2008年07月12日，杭州一纯净水厂发生造假事件。2009年3月底，广州市发生数百人感染甲肝事件，经卫生部中国疾控中心专家组核查，确认“xx牌”桶装水是造成疫情爆发的主因。2009年03月25日，某大学学生饮用了“水清清”牌桶装纯净水后，百余学生先后出现集体腹泻事件。2010年2月26日，湖南师范某寝室在长沙爱高普纯净水有限公司订购的桶装纯净水中出现了黑色虫子事件。生物性和化学性污染对纯净水安全的影响愈来愈严重。本问题主要考虑纯净水的以下危害因素: （按照危害的严重性依次给出）“电导率”: 是纯净水的特征性指标，反映的是纯净水的纯净程度，以及生产工艺控制的好坏，“电导率”根本达不到国家卫生标准要求，与自来水无异，根本不能算做纯净水。菌落总数: 是指纯净水检样经过处理，在一定条件下培养后所取1ml（g）检样中所含菌落的总数。它可以作为判定纯净水被污染程度的指标之一。大肠菌群：反映纯净水加工过程中被大便污染程度的一个指标，数值越高证明污染越严重。霉菌：食物霉变后产生，直接引起中毒，或产生致癌物质，毒害人体。 纯净水安全危机的爆发，往往是日常的监控机制和管理长期存在漏洞的反映。完整、有效的纯净水安全风险分析监测预控，为政府及有关部门实施控制措施提供决策依据和技术支持，可以有效提高纯净水安全监管效率和管理水平，及时化解可能出现的安全危机。近年来，我国在从国家宏观层面探讨建立纯净水安全预警机制的研究方面，已取得了不少理论成果但由于我国地域辽阔，经济社会发展水平很不平衡，如何构建有效的预警机制并应用到饮用水安全监控过程还处于起步阶段。某城区共有九家生产并销售纯净水的公司，其中a公司和b公司规模较大，其余均为小公司。针对该城区提供的近年的关于各公司的纯净水检测报告（见附件），请你利用数学建模的方法回答以下问题：1、结合本问题所给数据，给出纯净水安全风险分析的科学评价方法，确定评价的标准和评价的规则，对该城区所有批次的纯净水进行评判排序。2、对该城区范围内的监控对象（各公司）按风险度进行排序评价，并对它们分类综合评价，指出各公司产品的主要可能的危害因素，并指出同类公司的实际特点。3、对检测出的不合格的样品成因分析：评价纯净水生产流通环节（归为仓库和销售网点两类）的危害因素以及各个危害指标的分布规律，并通过四类危害指标的分析，讨论a、b、d公司的管理状况。 4、国家相关部门每年要面对各种专项检验，对于纯净水专项检验的投入经费有限，已知该城区下一年度投在纯净水方面的检验总批次为100个批次，在现有历史数据的基础上，并考虑各公司的实际运行状况，如何设置各公司检验批次的分布，使得抽检方案的针对性最优（即检出的风险性为最大）。 5、结合你的工作，请你给该城区食品安全委员会写一篇短文，阐述你的观点，评价该城区的饮用水安全形势并给出监控对策。二、问题分析近年来，饮用水的安全问题对人类的健康影响程度越来越大，每一年全球因为饮用不卫生水导致死亡的人数达到了2000万，水污染被称作了“世界头号杀手”。在我国，饮用水安全问题的形势依然不容乐观，屡屡发生因饮用水质量问题引发的群体性疾病，亦显出恶化的趋势。本题主要是围绕饮用水的安全问题展开，要求我们对某城区的九家生产并销售纯净水的公司进行调查评估。题目中提到，纯净水的安全危机的爆发，很大程度是上因为日常监控机制和管理长期存在漏洞导致的，而完整、有效的纯净水安全风险分析监测预控，可以为政府及相关部门实施控制措施提供决策依据和技术支持，并可以有效提高纯净水安全监管效率和管理水平，及时化解可能出现的安全危机。针对问题一，要给出纯净水安全风险分析的科学评价方法，我们首先对题目给定的该城区近年来关于各公司的纯净水检测报告中的数据进行了统计分析。对相同批次的结果数据进行合并求均值处理，这里我们不考虑哪个公司对应哪个批次。这样我们就得到一个以批次为基准的数据表。同时，按照危害的严重性依次给“电导率”、菌落总数、大肠菌群以及霉菌进行权值设定，依次为0.4、0.3、0.2、0.1。然后对各项检测结果建立线性的综合评价体系即，在结果中，再将四项指标全合格的与至少有一项指标不合格的分开处理，把后者的综合指数乘以10处理，以扩大指数程度以方便与全合格的水进行区别。根据计算值，即综合指数进行排序处理即可得出该城区所有批次的纯净水的优劣层次。对于问题二，题目要求是对各公司按风险度进行排序，这样一来，就要求我们对各公司综合来评价，对其风险度进行量化处理这后进行排序。分类综合评价即是针对各公司的产品，分别以每个危害指标为标准，通过数据处理后比较查看哪一种危险指标对公司产品的危害程度最大，然后再以此结果推广，指出同类公司的实际特点。而问题三是要求对样品的不合格成因进行分析。在本题中生产流通环节被划分为仓库和销售网点两类，再分别以“电导率”、菌落总数、大肠菌群以及霉菌四个指标作数据统计，计算出每个指标分别在仓库和销售网点的分布情况，即这四项指标在仓库和销售网点的合格率与不合格率。通过指标的合格率与不合格率的分布情况所反应的问题，可以看出各公司对仓库和销售网点的管理情况，以此为依据来及时的调整管理策略。在第四问中，有一个关键的限制因素，即对纯净水专项检验的投入经费是有限的。则在这100次经费的支持下，我们不考虑检验一瓶水花费一个单位的经费，而只考虑检验一次花费一个单位的经费。即是把经费分为100份，每次检验用一份。从这个角度考虑，那么各公司的运行状况就可以从被抽检的次数上来反应。为了在一定程度上避免题目所给附件监测数据的随机性， 原则上每年之中对该城市每个纯净水生产公司的每个单位都要进行至少一次的例行检查， 所以， 在这一年当中的所给检验的总批次 100 次中有 54 次（ 9 家公司， 每个公司 6 个单位：仓库、 厂成品库、成品库、 货架、店内、 营业部） 用作例行检查， 该模型只对余下的 46 次批次科学分配， 用于最大限度的根据不合格风险度、 不合格概率和各公司的实际运行状况尽可能全面的检测出不合格饮用水，使得抽检方案的针对性最优。 问题五的实质是让我们对前面四问作一个总结，即是给当地食品安全委员会提出自的看法与建议，以此对改善该区的饮用水现状提供一些实质性参考依据。三、符号说明：综合指标：第i项危害因素的标准值：第i项危害因素的权重：第i项危害因素的检测结果：被检测公司中第i项危害因素的不合格率：第j公司第i项危害因素均值：第i公司的风险度：第i公司的市场占有率：第i公司检验次数：原数据表中检验的总次数：分配方案中i公司分配批次权重：i公司拟定检验次数：i公司第j次检验的指标：i公司第j次检验的瓶数：i公司第j次检验k指标的结果四、建立模型及求解过程4-1：问题一：给出纯净水安全风险分析的科学评价方法，确定评价标准和规则，并对所有批次纯净水进行评判排序。4-1-1：模型假设与符号说明假设1：各个样品有一个危害因素不合格则视为该样品不合格； 假设2：采样的地点、样品、及数量均是随机的； 假设3：所有数据在记录时没有错误； 假设4：仅考虑所检验的四个危害因素，其他因素忽略； 假设5：每个公司放在仓库和销售点的产品不考虑差异性； 4-1-2：模型建立与求解在建立模型之前我们需要对数据进行处理，我们先对原始数据按照批号进行排序（升序）。排序后对相同批号的每一个指标的检验结果作均值处理，但是这里我们不考虑相同批次可能对应不同的公司的情况，并且在霉菌和酵母一项中，我们把未检出设制为0，得到如下表的结果：表1：按批号升序排列并对相同批次求均值批号电导率结果菌落总数结果大肠菌群结果霉菌和酵母结果200704153.91010200704252.6100200705121300200706091.72520200707037.233510200707045.433200.50.75200708094.0050.510200708104.7320.50200712163.69666671.66666670.33333330200712184.140.5002007121927.2100200712203.37000200808264.56000200808278.245160.250.25200809013.7534002008090221.34500200901091.820002009011027.80002009011144.717.5012009011226100.66666670题目中给出四项指标按照危害的严重性依次为：那么我们按照这个标准设定一组权值，依照上面的关系式权值依次为0.4、0.3、0.2、0.1，此权值完全依照危害指标的严重性及其社会属性而定，下面我们考虑简单的线性综合评价模型：这里y表示安全风险度，即我们所说的综合指数。下面我们就按照这个模型进行求解。通过代入每一项指标进行计算，同时对不合格的批次的综合指数作乘以10处理，并对综合指数进行排序（升序）可以得到下表：表2：按合格与不合格品进行综合指标排序批号四项指标的单项判定归总综合指数20090109合格品（全为1）0.728200705121.3200704251.34200712201.348200704151.764200712181.806200808261.824200708091.952200712162.045333200706092.588200708102.59220080827不合格品（至少有一个是0）81.7320090110111.220071219111.82008090111720090112135.333320070703135.9220090111202.3420080902220.220070704983.47 这即是对该城区所有批次的纯净水进行的评判排序得出的结果。4-1-3：结果分析针对本问，我们是按照批次来评价。所以在这里要确定的评价标准一定是从各批次的抽检结果中来，这里只有四个指标，如果有更多指标，同样可以用上面分析出的简单线性模型 来进行求解。在评价规则上，我们规定各项指标的单项判定全为1的为合格品，如果含有一个或以上0的为不合格品。这样一来，可以很方便的对合格与不合格品进行划分，并分别对这两类进行评判排序。即可以得到一个按综合指数大小进行评判的评价体系。但在建立模型阶段，我们对权值的设定处欠妥，只是根据其社会属性即其危害程序的严重性进行的。 在最后的求解时，我们用了一个程度扩大化的思想，即把不合格的综合指数乘以10，拉大与合格品的距离，这样就方便我们直观的观察规律以及对各批次纯净水等级的判断。4-2：问题二：对城区内按公司进行风险度排序评价，并分类综合评价。4-2-1：模型假设假设1、各公司一年内生产模式基本保持不变；假设2、所检验的产品能代表该公司的所有生产情况；假设3、每次所检验的结果都考虑该次检验数量的均值；4-2-2：模型建立与求解题目要求是对城区内的监控对像按风险度进行排序，即按各公司的指标分别进行评价。那么我们首先应该把数据进行分类处理，即是对每个公司所检测的各个批次的纯净水的综合指标求均值处理。因为还考虑到一个抽样比例的问题，在本问中，我们加入了每次抽检的瓶数。即对每个批次的综合指数乘以瓶数，但此时，不对不合格的批次作乘以10处理，因为这里不需要程度扩大化处理。那么根据题意我们可以有如下模型：然后我们把数据代入模型中，即可得到以下结果：表4：按公司进行风险度排序公 司综合指数g1.3e1.34f1.764c3.593a16.12778i17.62667h33.6968d36.98667b46.78475下面我们对它们进行分类综合评价，以此来找出各公司产品的主要可能的危害因素。首先，对他们分为两个大类，第一类是指标中至少有一个单项判定为0的（即不合格的）。第二类是指标中单项判定全为1 的（即合格的）。对于第一类，我们采取的方式是对某公司所有产品的四项检验指标分别计算出其合格率和不合格率（），从每一项指标的合格率和不合格率可以很直观的看出某公司的产品中主要的危害因素。对于第二类，因为全是合格产品，那么再用指标的合格率与不合格率就行不通，此时，我们按照每一项检验指标的结果与标准备的差值为标准来判别。但是，每一项检验指标的标准值都不一样，于是，这里还需对差值进行标准化处理，并且这个判别标准值是越大说明产品的该项指标危害越低。即是：由以上分析，我们可以得出以下结果：表5：分类综合评价表电导率菌落总数大肠菌群霉菌和酵母至少一项不合格a不合格率44.44%38.89%05.55%b018.75%00d16.67%66.67%066.67%h40%80%00i100%66.67%00全合格c判别标准0.7840.850.6671e0.740.9511f0.60910.6671g0.90.85114-2-3：结果分析从表4的风险度排序中我们可以清楚的看到各个公司的水质情况。其中公司g的指数最小，其公司的风险度是最小的，即该公司的生产的纯净水的水质最好。其关系可以用以下不等式表式出来，依照风险度的大小关系排序：。结合表5的分类综合评价表可以得出以下结论：公司（至少有一项指标不合格）产品的总不合格率主要可能危害因素a77.78%电导率菌落总数b18.75%菌落总数d100%菌落总数霉菌和酵母h60%电导率菌落总数i100%电导率菌落总数由此看来，影响该城区纯净水水质的主要危害因素大体上是电导率与菌落总数。在这两个检验的指标上，出现了高超标的情况。同时我们还能得出以下预测结果：公司（全为合格）最有可能的危害因素c大肠菌群e电导率f电导率g菌落总数注：这是根据表5中提到的，当判别标准越小时，其危害程度越大来选取的。下面再来看看同类公司的实际特点。在前面，我们已经按照至少一项不合格与全合格的标准把九个公司分为了两类。我们通过以下表格来加以说明：表6：同类公司的实际特点：类型公司实际特点至少有一项不合格在这一类公司中，其导电导率和菌落总数的不合格率所占的比例较大，即反应了这一类公司在这两项指标的注重力度还不够，或是在生产环节或是在流通环节对水造成了污染。而在大肠菌群指标上，这类公司的产品中均没有检出。全合格对于这一类公司，其在各项指标中或多或少都会有检测出，但其值均在标准值范围内，水质对人体无害。4-3：问题三：评价纯净水生产流通环节的危害因素及各危害指标的分布规律，并讨论a、b、d公司的管理状况。4-3-1：模型假设假设1：该问题的生产流通环节只考虑仓库和销售点，即所有的危害只在这两个地方分布；假设2：各公司的仓库及销售点的危害分布情况能代表该公司的管理状况；4-3-2：模型建立与求解本题又从另一个侧面来进行评价，即从纯净水的生产流通环节来考虑。把生产流通环节分为仓库和销售网点两大类。我们分别考虑这两大类里最主要的危害因素，以此得出在这两个环节里不合格样品的成因。同时，按照题目要求计算出各个危害指标在两个环节里各占的比例，用以找出各个危害指标的分布规律。首先，对原始数据按流通环节进行分类，我们把带“库”字的地点分为一类，其它的组成另一类，即是：第一类仓 库厂成品库成品库第二类货 架店 内营业部内按照上面计算各公司的主要危害因素的方法，分别计算两类地点的主要危害因素。在这里，我们不考虑公司的影响，单纯的对两类地点进行分析。分别统计四项危害指标的不合格率，由此可以得出以下结果：表7：仓库和销售网点各项指标的不合格率电导率菌落总数大肠菌群霉菌和酵母第一类不合格率0.3250.500.125第二类0.035714000根据各项指标的总数，即总的被检纯净水瓶数在仓库和销售地点的分布比率，就可以确定各项危害指标的分布规律。表8：各项危害指标分布指标电导率菌落总数大肠菌群霉菌和酵母不合格总瓶数142005第一类不合格1392.86%20100%005100%第二类不合格17.14%000000 下面我们再来分析四类危害在各公司的情况。表9：a、b、d公司的各项指标的分布情况电导率菌落总数大肠菌群霉菌和酵母a不合格总数8701仓库中的比例100%100%0100%销售点的比例0000b不合格总数0300仓库中的比例0100%00销售点的比例0000d不合格总数1404仓库中的比例100%100%0100%销售点的比例00004-3-3：结果分析从表8中我们可以看出，各项指标在两大类中的分布主要表现在，几乎所有检测出的不合格产品均来自仓库，只是在电导率一项中，出现在了第二类。直接反应出了各公司在这一方面管理出现的漏洞。从表9中的a、b、d三个公司的各项指标的分布情况来看，a公司所有不合格的抽检样品全部出现在仓库中，在销售点一个也没有。我们知道，销售点的所有纯净水都是来自仓库，而这里出现了这样一个奇怪的现象。因此，我们认为，a公司在对出库纯净水上有着严格的把关，以致流通到销售网点的水质始终保持良好，这也解释了a公司可以做成大公司的原因。但是其在生产过程中的监管力度不够，在四项检测指标中，有三项超标，并且所占比例还很大，说明了其在这方面的力度应该加大。b公司与a公司类似，同样的，所有不合格的产品都是在仓库中被检出，而在销售点没有。但是，其相应检测指标只有一个超标，其它三项都合格。表明b公司在生产过程中同样监管力度不够，对水源的净化处理不够彻底。对于d公司，其情况亦然，所有不合格产品依然出现在仓库。同样表明，其在出库管理中是严格的，但在生产过程中就比较马虎，管理力度依然需要加大。4-4：问题四：优化抽检方案4-4-1：模型的假设假设1：本城区已知的九个公司的规模至少能达到一个这样的标准规格：每个公司的纯净水均能在六个已给单位（货架，店内，仓库，厂成品库，成品库，营业部内）出现。假设2：每年中对本城市已给数据中九个公司的六个产品出现单位都要进行至少一次的例行检查。假设3、每次检验所检验出的同一公司同一地点的安全风险度不变。假设4、当某地点某公司的纯净水综合指标即安全风险度小于0.5时，默认该纯净水是免检的（例行检查除外）。4-4-2：模型建立与求解从分析中我们可以知道此处为规划问题，目的为使100次检验检出的总风险指数最大。已经规定每公司每单位均要进行一次例行检查，则100个检验批次中有54个检验批次是例行检查。其余的46个检验批次，根据各公司的规模大小和各公司生产纯净水风险度的具体情况，分配到各个公司。公司的规模大小即指在已给数据中分析出公司纯净水出现比例，在此理解为该公司的市场占有率。经过数据处理，可以得到下面的结果：表10：各公司市场占有率分配表公司市场占有率a0.264706b0.235294c0.102941d0.088235e0.044118f0.088235g0.058824h0.073529i0.044118取第二问中计算出的每个公司纯净水的风险度，以公司占有率乘以其生产的纯净水的风险度作为分配批次的权重，做归一化处理，再按照分配批次权重分配46个检验批次，得到各公司的检验次数，模型如下：代入数据计算得出结果： 表11：各公司的检验总次数公司分配批次权重检验次数a0.19009959b0.49018322c0.01646981d0.14532176e0.00263240f0.00693081g0.00340520h0.11032975i0.03462782最后，按照每个公司在每个地点的风险度，按照风险度的大小对每个公司进行各个地点检验次数的分配，由于在已知数据中分析出的各地点风险度大小有显著差别，经过归一化处理后按比例分配检验次数，就能达到符合合理性的最大风险度检验分配方案。表12：每公司每个地点风险度公司货架店内仓库厂成品库成品库营业部内a0.0176710.0208170.1260640.1781740.6572740b00.0081170.0046650.96076500.026453c100000d000.23507600.7649240e100000f100000g100000h00.1432080.27770700.5790850i001000 按照各数据分配后，再加入原有的每个地点的例行检查，最终得到的检查批次分配结果如下：表13：检查次数分配安排表公司货架店内仓库厂成品库成品库营业部内总次数a11237115b111221228c2111117d11216112e1111116f2111117g1111116h12214111i1131118总次数1110143223101004-5：给食品安全委员会的信xx区食品安全委员会：相关领导你们好，我们是来自xx大学的三名大学生，最近对贵区的九家纯净水公司的产品的风险度进行了相关的评估，并得出了一系列的风险度系数。我们的数据来源是贵区近年来对于各公司的纯净水的检测报告。我们利用相关的专业知识，对这批数据进行了细致的分析，并建立了数学模型，方便以后贵区对这九家纯净水公司的产品进行相关的风险度评估。同时，我们也从对这九家纯净水公司的管理上提出了一些我们自已的看法，希望相关领导能够酌情采纳。首先，我们通过对数据的处理发现，在四个危害指标中，“电导率”一项有着逐年上升的趋势，但总的规律还是出现着交替的波动。而菌落总数一项从整体上看好似有下降的趋势，但是在20070704这一个批号上，它的检测结果出现了异常值，四家公司在这一个批号上同时出了问是，即我们可以肯定的是，在这一个批号生产的时候，主水源受到了污染，从而导致了这一结果。在其它两个指标上控制得也不是很理想，也总是会有不合格的指标出现。通过统计计算，我们对城区