2008年1月--2012年10月自考线性代数(经管类04184)历年真题及答案

08 年 1 月线性代数（经管类）试题答案 1 全国 2008 年 1 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案 课程代码： 04184 一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 1 设 A 为三阶方阵且 2| A 则 |3| D ） A B C 12 D 108 1 0 8)2(27|3|3| 223 2 如果方程组0404033232321非零解，则 k=（ B ） A B C 1 D 2 0)1(124 1434014013 1k 3 设 A、 B 为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（ D ） A B 111)( C | D )( 4 设 A 为四阶矩阵，且 2| A ，则 | A （ C ） A 2 B 4 C 8 D 12 | A 82| 331 AA n 5 设 可由向量 )0,0,1(1 ， )1,0,0(2 线性表示，则下列向量中 只能是（ B ） A )1,1,2( B )2,0,3( C )0,1,1( D )0,1,0( ),0,( 212211 6 向量组 s , 21 的秩不为 s （ 2s ）的充分必要条件是（ C ） A s , 21 全是非零向量 B s , 21 全是零向量 08 年 1 月线性代数（经管类）试题答案 2 C s , 21 中至少有一个向量可由其它向量线性表出 D s , 21 中至少有一个零向量 s , 21 的秩不为 s s , 21 线性相关 7 设 A 为 m n 矩阵，方程 仅有零解的充分必要条件是（ C ） A A 的行向量组线性无关 B A 的行向量组线性相关 C A 的列向量组线性无关 D A 的列向量组线性相关 仅有零解 )( A 的列向量组线性无关 8 设 A 与 B 是两个相似 n 阶矩阵，则下列说法 错误 的是（ D ） A | B 秩 (A)=秩 (B) C 存在可逆阵 P，使 1 D 9 与矩阵 A=200010001 相似的是（ A ） A100020001 B200010011 C200011001 D100020101 有相同特征值的同阶 对称 矩阵一定（正交）相似 10 设有二次型 232221321 ),( ，则 ),( 321 C ） A 正定 B 负定 C 不定 D 半正定 当 0,0,1 321 ， 0f ；当 0,1,0 321 0f 总之， f 有正有负 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 11若 0211 k ，则 k=21 01221 1 21k 08 年 1 月线性代数（经管类）试题答案 3 12设 A=411023 ， B= 010 201， 则 241010623 411023 010 201=241010623 13设 A=220010002 ，则1A 2/110010002/1 100010001220010002 120010001200010002 2/110010002/1100010001 14设 A 为 3 3 矩阵，且方程组 的基础解系含有两个解向量，则秩 (A)= _1_ 秩 (A)= 123 15已知 A 有一个特征值 2 ，则 2 必有一个特征值 _6_ 2 是 A 的特征值，则 62)2(2 22 是 2 的特征值 16方程组 0321 通解是 TT 1,0,1()0,1,1( 21 3322321通解是 10101121 17向量组 )0,0,1(1 ， )0,1,1(2 ， )0,2,5(3 的秩是 _2_ 000010001025011001 ，秩是 2 18矩阵 A=200020002 的全部特征向量是 1,0,0()0,1,0()0,0,1( 321 不全为零）（ 32 , 08 年 1 月线性代数（经管类）试题答案 4 2321 ，000000000，332211基础解系为001 ，010 ，100 19设三阶方阵 A 的特征值分别为 1,1,2 ，且 B 与 A 相似，则 |2| B _ |2| B 16)2(81000100022 3 20矩阵 A=301012121 所对应的二次 型是3121232221321 243),( 三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分） 21计算四阶行列式1002210002100021的值 解： 1515000210002100021180021000210002110402100021000211002210002100021 22 设 A=101111123 ， 求1A 解：100010001101111123001010100123111101 301110100220010101 121110100200010101 121110200200010202 121110121200010002 2/112/11102/112/1100010001 ，1A =2/112/1102/112/1 08 年 1 月线性代数（经管类）试题答案 5 23设 A=200200011 ， B=300220011 ， 且 A， B， X 满足T )( 1 ，求 X ， 1X 解：由 T )( 1 ，得 )( 1 ，即 )( 1 ， )( ， 1X100020002100020002)(10002/10002/1X 24 求向量组 )4,2,1,1(1 ， )2,1,3,0(2 ， )14,7,0,3(3 ， )6,5,1,2(4 ， )0,2,1,1(5 的一个极大线性无关组 解：021165121470321304211400021302130213042114000400000002130421100004000000021304211， 421 , 是一个极大线性无关组 25求非齐次方程组12334523622232375432154325432154321 解： A121334523622102311237111112362810236221023622107111110006000000002362210711111000000000600236221071111108 年 1 月线性代数（经管类）试题答案 6 000000000100236221071111100000000102362010711011 00000000010023620101651001， 5544354254106223516解为 1006501021000231621 26设 A=020212022 ， 求 P 使为对角矩阵 解： 4)2(4)2)(1(20212022| 63 23 )2(3)42)(2()2(3)8( 23 )4)(1)(2()45)(2( 2 ， 特征值 21 ， 12 ， 43 对于 21 ，解齐次线性方程组 0)( ： 220220012220232012220232024000220012 0001100120001101020001102/101 ，333231 21础解系为112/11； 对于 12 ，解齐次线性方程组 0)( ： 08 年 1 月线性代数（经管类）试题答案 7 120120021120101021120202021000120021 000120101 0002/110101 ，33323121础解系为12/112； 对于 43 ，解齐次线性方程组 0)( ： 000210022420210022420232022000210011 000210201 ， 33323122基础解系为1223 令11122/11212/1P ，则 P 是可逆矩阵，使 400010002 四、证明题（本大题 6 分） 27设 321 , 是齐次方程组 的基础解系，证明 1 , 21 , 321 也是 0 的基础解系 证： （ 1） 的基础解系由 3 个线性无关的解向量组成 （ 2） 321 , 是 的解向量，则 1 , 21 , 321 也是 的解向量 （ 3）设 0)()( 321321211 则 0)()( 332321321 由 321 , 线性无关，得000332321系数行列式01100110111 ，只有零解0321 所以 1 , 21 , 321 线性无关 08 年 1 月线性代数（经管类）试题答案 8 由（ 1）（ 2）（ 3）可知， 1 , 21 , 321 也是 0 的基础解系 全国 2008 年 4 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案 课程代码： 04184 一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 1设行列式 D=3332312322211312113， 33231312322212113121111252525 ，则 C ） A B C 6 D 15 20222555333231232221131211333131232121131111 2设矩 阵 4= 32c （ C ） A 3,1,1,3 B 3,1,3,1 C 3,0,1,3 D 3,0,3,1 3,0,4,2 3,0,1,3 3设 3 阶方阵 A 的秩为 2，则与 A 等价的矩阵为（ B ） A000000111 B000110111 C000222111 D333222111 4设 A 为 n 阶方阵， 2n ，则 |5| A （ A ） A |)5( B |5 A C |5A D |5 5设 A= 43 21，则 | A （ B ） A B C 2 D 4 08 年 1 月线性代数（经管类）试题答案 9 243 21| 121 n 6向量组 s , 21 （ 2s ）线性无关的充分必要条件是（ D ） A s , 21 均不为零 向量 B s , 21 中任意两个向量不成比例 C s , 21 中任意 1s 个向量线性无关 D s , 21 中任意一个向量均不能由其余 1s 个向量线性表示 7 设 3 元线性方程组 ， A 的秩为 2， 1 , 2 , 3 为方程组的解， T)4,0,2(21 ，T)1,2,1(31 ，则对任意常数 k，方程组 的通解为（ D ） A TT k )1,2,1()2,0,1( B TT k )4,0,2()1,2,1( C TT k )1,2,1()4,0,2( D TT k )3,2,1()2,0,1( 取 的特解： T)2,0,1()(21 21 ； 0基础解系含一个解向量： T)3,2,1()()( 312132 8设 3 阶方阵 A 的特征值为 2,1,1 ，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（ D ） A B C D 2 2 不是 A 的特征值，所以 0|2| 2 可逆 9设 =2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 12)( A 必有一个特征值等于（ A ） A41B21C 2 D 4 2 是 A 的特征值，则 41)( 12 是 12)( A 的特征值 10二次型 43242322214321 2),( 的秩为（ C ） 08 年 1 月线性代数（经管类）试题答案 10 A 1 B 2 C 3 D 4 00001100001000011100110000100001A ，秩为 3 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 11 行列式332313322212312111_0_ 行成比例值为零 12 设矩阵 A= 43 21， P= 10 11， 则 47 23 43 21 11 01= 47 23 13设矩阵 A=111110100 ，则 1A001011110 100010001111110100001010100100110111001011101100010011001011110100010001 14设矩阵 A=54332221t ，若齐次线性方程组 有非零解，则数 t=_2_ 0212 1412014022154332221| 2t 15已知向量组2111，1212，113t 的秩为 2，则数 t=_ 08 年 1 月线性代数（经管类）试题答案 11 11212111 t12301301120013011秩为 2，则 2t 16已知向量 T)3,0,1,2( ， ,1,2,1( ， 与 的内积为 2，则数 k=32 2),( ，即 23022 k ， 3/2k 17设向量 21,21,为单位向量，则数 b=_0_ 112121| 22 ， 0b 18已知 =0 为矩阵 A=222222220 的 2 重特征值，则 A 的另一特征值为 _4_ 021 ， 220321 ，所以 43 19二次型 3221232221321 2452),( 的矩阵为510122021 20已知二次型 232221321 )2()1()1(),( 正定，则数 k 的取值范围为 2k 020101211 2k 三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分） 21计算行列式 D=4001030100211111的值 解： 22000210011101111220021001110111131101210111011114001030100211111 08 年 1 月线性代数（经管类）试题答案 12 22已知矩阵 A=210011101 ， B=410011103 ， （ 1）求 A 的逆矩阵 1A ；（ 2）解矩阵方程 解：（ 1）100010001210011101100011001210110101111011001100110101 111122112100010001111122112100010001 ，1A =111122112 ； （ 2） 111122112410011103 =322234225 23设向量 )1,1,1,1( ， )1,1,1,1( ，求（ 1）矩阵 ；（ 2） 2A 解：（ 1） = )1,1,1,1(11111111111111111111； （ 2） 2A =11111111111111111111111111111111=4444444444444444 24设向量组 T)4,2,1,1(1 ， T)2,1,3,0(2 ， T)14,7,0,3(3 ， T)0,2,1,1(4 ，求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示 解：01424271210311301),( 4321 4220011003301301 211001100110130108 年 1 月线性代数（经管类）试题答案 13 200000000110130110000000011013010000100001101301， 向量组的秩为 3， 421 , 是一个极大线性无关组， 3 421 03 25已知线性方程组 ，（ 1）求当a 为何值时，方程组无解、有解； （ 2）当方程组有解时，求出其全部解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示） 解： ),( 211011101201a300011101201a （ 1） 3a 时，方程组无解， 3a 时，方程组有解； （ 2） 3a 时， ),( 000011101201 ，333231121全部解为112011k 26设矩阵 A= 21 78，（ 1）求矩阵 A 的特征值与对应的 全部特征向量； （ 2）判定 A 是否可以与对角阵相似，若可以，求可逆阵 P 和对角阵 ，使得 解： )9)(1(9102178| 2 特征值 11 ， 92 对于 11 ，解齐次线性方程组 0)( ： 00 1111 772221 xx 础解系为 111，对应的全部特征向量为 11k （ 1k 是任意非零常数）； 对于 92 ，解齐次线性方程组 0)( ： 00 7171 712221 7 xx 础解系为 172，对应的全 部特征向08 年 1 月线性代数（经管类）试题答案 14 量为 22k （ 2k 是任意非零常数） 令 11 71P， 90 01，则 P 是可逆矩阵，使得 四、证明题（本题 6 分） 27设 n 阶矩阵 A 满足 2 ，证明 可逆，且 )2( 1 证：由 2 ，得 4444)2)(2( 2，所以 可逆，且)2( 1 全国自考 2008 年 7 月线性代数（经管类）试卷答案 一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 阶方阵 A= 321 , ，其中 i （ i=1, 2, 3）为 A 的列向量，且 |A|=2，则|B|=| 3221 ,3 |=（ C ） 0非零解，则 k=（ A ） ， B 为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是（ C ） A.|A| |B| B. (1=. (A+B). (= 为三阶矩阵，且 |A|=2，则 |（ A*） （ D ） 8 年 1 月线性代数（经管类）试题答案 15 ： 4321 , 中 432 , 线性相关，那么（ B ） A. 4321 , 线性无关 B. 4321 , 线性相关 C. 1 可由 432 , 线性表示 D. 43, 线性无关 , 的秩为 r，且 rs，则（ C ） A. , 线性无关 B. , 中任意 r 个向量线性无关 C. , 中任意 r+1 个向量线性相关 D. , 中任意 向量线性无关 与 B 相似，则（ D ） B 都和同一对角矩阵相似 B 有相同的特征向量 = D.|A|=|B| ， 2 是 Ax=b 的解，是对应齐次方程 的解，则（ B ） A. + 1 是 的解 B. +（ 1 - 2 ）是 的解 C. 1 + 2 是 Ax=b 的解 D. 1 - 2 是 Ax=b 的解 =（ 1， 1， 交的向量是（ D ） A. 1 =（ 1， 1， 1） B. 2 =（ 1， 1） C. 3 =（ 1， 1） D. 4 =（ 0， 1， 1） = 2111，则二次型 f(（ B ） 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 为三阶方阵且 |A|=3，则 |2A|=_24_. 08 年 1 月线性代数（经管类）试题答案 16 =（ 1， 2， 3），则 | T |=_0_. = 200030021，则 A*=6 4 00 2 00 0 3 为 4 5 的矩阵，且秩（ A） =2，则齐次方程 的基础解系所含向量的个数是_3_. =（ 1， 0， 2 =（ 3， 0， 7）， 3 =（ 2， 0， 6） . 则 321 , 的秩是 _2_. x1+ 的通解是 12( 1 , 0 , 0 ) ( 1 , 1 , 0 ) ( 1 , 0 , 1 )T T 满足 3E+，则 1 1 ()3A A E 的三个特征值为 1， 2， 3. 则 |A+E|=_24_. 19. 设与的内积（，） =2， =2，则内积（ 2 +， =_= 221201113所对应的二次型是 221 3 1 2 1 3 2 33 2 2 2 4x x x x x x x x 三、计算题 21计算 6 阶行列式 100200010000001000200100000003000021=18 22已知 A= 3152， B= 3421， C= 2512， X 满足 =C，求 X. 2813X 23求向量组 1 =（ 1， 2， 1， 3）， 2 =（ 4， 3 =（ 1， 秩和08 年 1 月线性代数（经管类）试题答案 17 其一个极大线性无关组 . 1 4 1 1 4 12 1 3 0 9 51 5 4 0 0 03 6 7 0 0 0 秩为 2， 极大无关组为 1 ， 2 24当 a, b 为何值时，方程组 3a(求出其通解 . 1, 0 时有无穷多解。通解是 ( 0 , 1 , 0 ) ( 2 , 1 , 1 ) 25已知 A= 11713，求其特征值与特征向量 . 特征值 4, 10， 4 的特征向量 (1, 1) , 10 的特征向量 (1, 7) = 2112，求 1 3 1 312 1 3 1 3 四、证明题（本大题共 1 小题， 6 分） 27设 为 的非零解， 为 Ax=b(b 0)的解，证明 与 线性无关 . 证明： 1212122221 2 1 1()00k k k k k k 0 00 0 0 0 所以 与 线性无关。 全国 2009 年 1 月高等教育自学考试 线性代数试题及答案 课程代码： 04184 试卷说明：在本卷中， 示矩阵 A 的转置矩阵， A*表示矩阵 A 的伴随矩阵， E 表示单位矩阵， |A|表示方阵 A 的行列式， 示矩阵 A 的逆矩阵，秩 （ A） 表示矩阵 A 的秩 . 08 年 1 月线性代数（经管类）试题答案 18 一、单项选择题 (本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分 ) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的。请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 为 n 阶方阵，若 ，则必有 （ D ） A. A=O C. D.|A|=0 ， B 都是 n 阶方阵，且 |A|=3， |B|= |（ A ） 为 5 4 矩阵，若秩 (A)=4，则秩 (5 （ C ） =（ 4,则下列向量中是单位向量的是 （ B ） f(x1,5 2221 3 的规范形是 （ D ） B. D. 为 5 阶方阵，若秩 (A)=3，则齐次线性方程组 的基础解系中包含的解向量的个数是（ A ） =(0,x,y,z) |x+y=0的维数是 （ B ） = 34 21，则矩阵 A 的伴随矩阵 A*=（ B ） A. 14 23B. 14 23C. 12 43D. 12 =3000130011201111，则 A 的线性无关的特征向量的个数是 （ D ） ， B 分别为 m n 和 m k 矩阵，向量组（ I）是由 A 的列向量构成的向量组，向量组（ 由（ A， B）的列向量构成的向量组，则必有 （ C ） I）线性无关，则（ 性无关 I）线性无关，则（ 性相关 性无关，则（ I）线性无关 性无关，则（ I）线性相关 二、填空题 (本大题共 10 小题，每小题 2 分 ， 共 20 分 ) 请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。 08 年 1 月线性代数（经管类）试题答案 19 11设 A=（ 3， 1， 0）， B=530412 ，则 _（ 2， 3） _. 12已知向量 =（ 3， 5， 7， 9）， =（ 5， 2， 0），如果 + = ，则 =_（ 0， 9） _. ， B 为 6 阶方阵，且秩（ A） =6，秩（ B） =4，则秩（ =_4_. 阶方阵 A 的特征值为 1， 9，则 _f(x1,x2,x3, 24232221 23 的正惯性指数为 _3_. 16设 A 为 3 阶方阵，若 |2，则 |_17已知向量 =（ 1， 2， 向量 =（ 0， 1， y）正交，则 y=_2_. 18设非齐次线性方程组 Ax=b 的增广矩阵为 642002101012001，则该方程组的结构式通解为 _)(,23221321为任意常数 _. 19设 B 为方阵，且 |B|=3，则 |_81_. 20设矩阵 A=100073021 ，则 _ 100013027 算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分） 21计算行列式 D=5333353333533335. 解： D=5333353333533335=53314353143351433314=145331353133513331=142000020000203331=112 1=（ 1， 4， 3， 2=（ 2， 5， 4， 3=（ 3， 9， 7， 秩 . 解：（ ,） = 379314522341001300120001，故秩为 2。 08 年 1 月线性代数（经管类）试题答案 20 23求齐次线性方程组0553204420432143214321一个基础解系 . 解：系数矩阵 A=541541321211031031011001 032032010001 得同解方程组432431 33 22 令 10,014343 基础解系： 132 = ,2100110011B=011021 ，又 ，求矩阵 X. 解：由于 0A ，故 A 可逆。 1000100012110011001)( 22201100110001001 ，故 1A = 222011001 ， 所 以 0132211 f(x1,x2, 3121232221 6435 为标准形，并判别其正定性 . 解： f= 23232221 6)3()2( ,33322211得标准型 f= 232221 08 年 1 月线性代数（经管类）试题答案 21 对于二次型矩阵 A ，由于 003052321321 所以不是正定性的。 =300320321 的特征值和特征向量 . 解 ： 令 AI = 0300320321 即3210)3)(2)(1( 321 ，得特征值 即代入将 0 x)0k(001的特征向量为，故系解此方程组得其基础解 x； 同理 为得 相 应 的 特 征 向 量 分 别代入将 02 x )0k(012k 22 ，)0k(1329k 33 四、证明题（本大题共 1 小题， 6 分） 27设向量组 1， 2， 3 线性无关，证明：向量组 1+2 3， 2， 1+2 2线性相关 . 证： 1设 1+2 3 ， 2 2， 3 1+2 2 321321 则 012210101 ，记 A= 012210101 得0A ，由于 向量组 1， 2， 3 线性无关，故 1 ， 2 ，3线性相关，即 1+2 3， 2， 1+2 2线性相关。 全国 2009 年 4 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案 一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 08 年 1 月线性代数（经管类）试题答案 22 1 3 阶行列式011101110|元素 21a 的代数余子式 21A （ C ） A 2 B 1 C 1 D 2 101 1121 A 2设矩阵 2221 1211 aa 1211 12221121 aa 01 101P， 11 012P，则必有（ A ）