山西省运城市2017届高三4月模拟调研测试数学试题(理)含答案

山西省运城市 2017届高三 4月模拟调研测试 数学（理）试题 第 卷（共 60分） 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 有一项是符合题目要求的 . | A x y x , |2B x x， 则下列结论正确的是（ ） A. 3 A B B 1 iZ i ， 则 21 的值是（ ） A 1 B C i D i | | | | 0 ”是命题“ 0x 或 0y ”的（ ） A充分不必要条件 B充分必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 ,3,5,7,9的线段，若从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率为（ ） 中， 13C， P 是直线 的一点，或 34A P m A B A C，则实数 m 的值为 ( ) A B C 1 D 4 输出的 n 为 ( ) A 9 B 11 C. 13 D 15 2: 2 1C x m y的两条渐近线互相垂直，则抛物线 2:E y 的焦点坐标是( ) A 10,2B. 10,2C. 0,1 D. 0, 1 格纸上小正方体的边长为 1，粗线画出的是某几何体的正视图 (等腰直角三角形 )和侧视图，且该几何体的体积为 83，则该几何体的俯视图可以是 ( ) A B C. D 9. 已知直线 0x y a 与圆心为 C 的圆 22 2 3 4 3 7 0x y x y 相交于 A ,B 两点，且 4C，则实数 a 的值为 ( ) A 3 或 3 B 3 或 33 C. 3 或 53 D 33或 53 8的焦点为 F ， 设 11,A x y, 22,B x 2 234 | |3x x A B 则 的最大值为 ( ) 23中， 5， 1 1 50t a n t a n t a 2A C B ， 则 B( ) A 6 B 7 D 9 22， 0x ， e 为自然对数的底数，关于 x 的方程 2 0fx 有四个相异实根，则实数 的取值范围是 ( ) A 20,eB 2 2, C. 2 , D 224 ,2e e 第 卷（共 90分） 二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 13. 5ax x 的展开式中 3x 项的系数为 20，则实数 a = 14.设 x ,y ,z 满足的约束条件组1010232x y 则 3 6 4t x y z 的最大值为 元玉鉴卷中有一个“茭草形段”的问题；“今有茭草六百八十束，欲令落一形埵（同垛）之，问底子几何？”，他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上 1束，下一层 3束，再下一层 6束， ，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层茭草束数），则本问题中三角垛倒数第二层茭草总束为 s i n , 0 , 21 2 , 2 ,2f x x ，下列 5 个结论正确的是 (1)任取1x， 2 0,x ,都有 12| | 2f x f x； (2)函数 y f x 在 4,5 上单调递增； (3) 22f x x f x k k N ， 对一切 0,x 恒成立； (4)函数 y f x x 有 3个零点； (5)若关于 x 的方程 0f x m m有且只有两个不同的实根1x,2x， 则123. 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 明过程或演算步骤 .） 17.(本小题满分 12分 ) 正项数列 n 项和为满足 2 3 6 4n n na a S (1)求 (2) 设 2 求数列 n 项和18.(本小题满分 12分 )某厂有 4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现 1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需 1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为 13. (1)若出现故障的机器台数 为 X ， 求 X 的分布列； (2) 该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于 90%？ (3)已知一名工人每月只有维修 1台机器的能力，每月需支付给每位工人 1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生 5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有 2名工人，求该厂每月获利的均值 . 19.(本小题满分 12分 ) 如下图，在三棱锥 A 中， 平面 D ， B ， ,， 3B , 2C ， M 是 中点 (1)证明： /面 (2) 若二面角 C 的大小为3，求 . 20. (本小题满分 12分 ) 如下图 所示，已知椭圆 22:1，其中 0 ，1F,2焦点，点 P 是椭圆 C 上的一点，2 M，且1F M . (1)当 22a ， 2b 且2 1 2F时，求 的值； (2)若 2 ，试求椭圆 C 离心率 e 的取值范围 . 21.(本小题满分 12分 ) 已知函数 1f x m x x x ， (1)若直线 l 与曲线 y f x 恒相切于同一定点，求 l 的方程； (2) 当 0x 时 mf x e ，求实数 m 的取值范围 . 请考生在 22、 23两题中任选一 题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.（本小题满分 10分） 在直角坐标系 ，直线 l 过点 3,4M ，其倾斜角为 45 ，圆 C 的参数方程为 2 （ 为参数）， 再以原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系 相同的长度单位 . （ 1）求圆 C 的极坐标方程； （ 2）设圆 C 与直线 l 交于 A、 B，求 |B 的值 . 23.(本小题满分为 10 分 ) 已知 |f x x a ， | 3 |g x x x ，记关于 x 的不等式 f x g x 的解集为 M . （ 1）若 3 ，求实数 a 的取值范围； （ 2）若 1,1 M，求实数 a 的取值范 . 试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： 二、填空题 16.（ 1）（ 4）（ 5） 三、解答题 1）由 2 3 6 4n n na a S ， 知 21 1 13 6 4n n na a S ， 由 -得 221 1 1 1 13 3 6 6 6n n n n n n na a a a S S S ， 即 11 30n n n na a a a ， 0 ， 1 0， 1 30 ， 即1 3， 又 21 1 13 6 4 6 4na a S a ， 即 21 1 13 4 4 1 0na a a a ， 0 ， 1 4a ， 是以 4为首项， 3 为公差的等差数列， 4 3 1 3 1na n n . （ 2） 2 3 1 2a n ， 故 1 2 34 2 7 2 1 0 2 3 1 2 ， 2 3 4 12 4 2 7 2 1 0 2 3 1 2 ， 1 2 3 12 4 2 3 2 3 2 3 2 3 1 2n T n 1 2 3 12 3 2 2 2 2 3 1 2 1 1 12 2 12 3 3 1 2 3 2 2 421 ， 13 2 2 4 . 1）一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为 A ， 则事件 A 的概率为 13，该厂有 4台机器就相当于 4次独立重 复试验，因出现故障的机器台数为 X ，故 14,3 ， 404 2 1 60 3 8 1P X C ， 304 1 2 3 21 3 3 8 1P X C , 2204 1 2 2 42 3 3 8 1P X C ， 304 1 2 83 3 3 8 1P X C 即 X 的分布更为： （ 2）设该厂有 n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障及时进行维修”为 ，即 0x ， 1x ， ， ，这 1n 个互斥事件的和事件，则 72 9081 % 8081 , 至少要 3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修的概率不少于 90%. （ 3）设该厂获利为 Y 万元，则 Y 的所有可能取值为： 18,13,8 721 8 0 1 2 81P Y P X P X P X ， 81 3 3 81P Y P X ， 184 81P Y P X ， 即 Y 的分布列为： 则 7 2 8 1 1 4 0 81 8 1 3 88 1 8 1 8 1 8 1 ， 故该厂获利的均值为 140881. 19.（ 1）证明：取 中点 E ，连接 则 2C，所以 /C ， 又 平面 所以 /面 又 中位线，所以 /M ， 从而 /面 又 Q E ，所以平面 /面 因为 平面 所以 /面 （ 2）方法一： 解：由 平面 ， M ， 由 D ， D ，知 M ， 故 平面 由（ 1）知 /M ，而 B ，故 B ， 所以 是二面角 C 的平面角， 即3， 设 PM a ，则 3CM a ，又易知在 ，4B ， 可知 2D M B M a， 在 ， 3622M C a . 方法二： 以 M 为坐标原点， 所在的直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 . 设 MC a ， MD b ，则 ,0,0 0, ,0， 0, ,2A b b ， 则 , ,0BC a b ， 0, 2 , 2BA b b ， 设 1 ,n x y z 是平面 一个法向量， 则 1100n A 即 02 2 0ax 取 1 ,n b a a ， 不难得到平面 一个法向量为 2 1,0,0n ， 所以12 22 1| c o s , | 22 ，所以 62 在 ， 6t a C M D b . 20.（ 1）当 22a ， 2b 时，椭圆 C 为： 22184， 1 2,0F , 2 2,0F， 因2 1 2F，故 2, 2P 或 2, 2P ， 当 2, 2P 时， 22,2 2,124 ， 直线 2 : 2 2F M y x ， 直线 1 2:24F M y x， 联立解得1 65x， 2 4， 同理可得当 2, 2P 时 , 4 ， 综上所述， 4 . （ 2）设 00,P x y， ,x F M 1 0 02 ,3 x c y x c y ， 002 1 2,3 3 3M X c y， 2 0 02 4 2,3 3 3F M x c y， 由2 M， 00,OP x y， 20 0 02 4 2 03 3 3x c x y ， 即 220 0 02x y ， 又 22001， 联立解得 0a a cx c （舍）或 00 ,a a cx x a ， 0 0,a a ，即 20 a ac ， 12e ，故 1 ,12e ， 21.（ 1）因为直线 l 与曲线 y f x 恒相切于同一定点， 所以曲线 y f x 必恒过定点， 由 1f x m x x x ， 令 0，得 0x ， 故得曲线 y f x 恒过的定点为 0,1 因为 l n 1 11xf x m x x ，所以切线 l 的斜率 01 故切线 l 的方程为 1，即 10 . （ 2）令 l n 1 1x e f x e x m x x ， 0,x ， 1 l n 1 1x xg x e m x m x ， 0,x ， 令 1 l n 11x xh x e m x m x ， 0,x ， 211 11xh x e m ， 0,x ， 0 1 2 ， 0m 时，因为 0 ， 所以 在 0, 上单调递增，故 00h x g x h ， 因为当 0,x 时 0 ， 所以 0, 上单调递增，故 00g x g， 从而，当 0x 时， xe f x 恒成立， 102m时， 因为 在 0, 上单调递增，所以 0 1 2 0h x h m ， 故与同理 ，可得当 0x 时， xe f x 恒成立， 12m时， 在 0, 上单调递增， 所以当 0x 时， 在 0,x 内取得最小值 0 1 2 0 ， 取 4 1 0 ， 因为 221 1 1 111111xh x e m x ， 所以 1 1 1 1 14 1 4 4 01 6 4 2 8 4h m m m ， 所以，存在唯一的 0 0, 4 1，使得 0 0，且当 00,， 0 ， 即 00, 所以当 00,， 00h x g x h ， 所以 00, 此时存在0 0，使得 0 00g x g，不符合题设要求， 综上所述，得 m 的取值范围是 1,2 . 方法二： 12m时， 在 0, 上单调递增， 所以当 0x 时， 在 0,x 内取得最小值 0 1 2 0 ， 当 x 时， ， 211 011m 所以 ， 故存在 0 0,x ，使得 0 0，且当 00,， 0 ， 下同前述的解答 1）消去参数可得圆的直角坐标方程式为 22 24 ， 由极坐标与直角坐标互化公式得 22c o s s i n 2 4 化简得 4 . （ 2）直线 l 的参数方程 3 co s 4 54 5（ t 为参数）， 即232242 （ t 为参数）代入圆方程得： 2 5 2 9 0