《微分基础知识》word版.docx

3 微 分一、单变量函数的微分 1. 基本概念导数的定义及其几何意义 设函数y=f(x)当自变量在点x有一改变量时,函数y相应地有一改变量 ,那末当趋于零时,若比的极限存在(一确定的有限值)，则称这个极限为函数f(x)在点x的导数,记作图5.1这时称函数f(x)在点x是可微分的函数(或称函数f(x)在点x可微)。在几何上,函数f(x)的导数是函数y=f(x)表示的曲线在点x的切线的斜率,即=式中为曲线在点x的切线与x轴的夹角(图5.1)。 单边导数=及=分别称为函数f(x)在点x的左导数和右导数。导数存在的充分必要条件是:= 无穷导数 若在某一点x有=则称函数f(x)在点x有无穷导数。这时函数y=f(x)的图形在点x的切线与x轴垂直(当=+时,函数f(x)的图形在点x的切线正向与y轴方向一致,当=时,方向相反)。 函数的可微性与连续性的关系 如果函数y=f(x)在点x有导数，那末它在点x一定连续。反之,连续函数不一定有导数,例如 1函数y=|x|在点x=0连续,在点x=0,左导数=1,右导数 =1,而导数不存在(图5.2)。 图5.2 图5.3 2函数 y=f(x)= 在点x=0连续,但在点x=0左右导数都不存在(图5.3)。 2. 求导数的基本法则四则运算求导公式若c为常数,函数u=u(x), 都有导数,则 =0 =c （0）复合函数的导数 若y=f(u),u=都有导数,则=反函数的导数 如果函数y=f(x)在点x有不等于零的导数,并且反函数x=f1(y)在点y连续,那末 存在并且等于，即=隐函数的导数 假定函数F(x,y)连续,并且对于每个自变量都有连续的偏导数,而且，则由F(x,y)=0所决定的函数y=f(x)的导数=式中，(见本节，四)。用参数表示的函数的导数 设方程组（t0取取+Ar csch x,x0 Arch x=,x1f0取+，f0Arth x=(x1)lnsechxcschx简单函数的高阶导数表f(x)m(m1)(mn+1) (当m为整数且nm时，=0)这里(2n+1)!=(2n+1)(2n1) (a0)shxshx(n为偶数)，chx(n为奇数)chxchx(n为偶数)，shx(n为奇数)4.数值导数当函数用图形或表格给出时,就不可能用定义求出它的导数,只能用近似方法求数值导数.图解微分法 适用于用图形给出的函数求导数,例如机械设计中已知st图,求图, at图等,其基本步骤如下：(1) 将原坐标系Oxy沿y轴负方向平移一段距离得坐标系 (图5.4).图5.4(2) 过曲线y=f(x)上点M1(x1,y1)作切线M1T1 .在坐标系内,过点P(1,0)作PQ1平行于M1T1交y轴于点Q1 ,那末点Q1 (点)的纵坐标就是导数.以Q1的纵坐标为纵坐标,x1为横坐标作出点.(3) 在曲线y=f(x)上取若干个点M1,M2,在曲线弯曲程度较大处点取得密些.仿上作法,在坐标系内得到相应点,顺次连成光滑曲线,即是导函数的图形.差商公式 在实用中常使用下列简单的近似公式,式中 = （函数f (x)在点a的阶差分） （函数f (x)在点a的阶差分） （函数f (x)在点a的k阶差分）在函数的数值表中,如果有误差,则高阶差分的偏差较大,所以用以上公式不宜计算高阶导数.用插值多项式求数值导数 假定已经求出了函数y=f (x)的插值多项式Pn (x),它可以求导,则用近似,由f(x)=Pn(x)+Rn(x)略去余项,得等等.它们的余项相应为,等等.应当指出,当插值多项式Pn(x)收敛于f(x)时, 不一定收敛于f (x).另外,当h缩小时,截断误差减小,但舍入误差却增加,因此,采用缩小步长的方法也不一定能达到提高精度的目的.由于用插值法求数值微分的不可靠性,在计算时,要特别注意误差分析,或者改用其他方法.拉格朗日公式 (由拉格朗日插值公式得来,见第十七章,2,三)式中 ()马尔科夫公式 (由牛顿插值公式得来,见第十七章,2,二) ()特别,当t = 0时,有 等距公式三点公式四点公式五点公式 用三次样条函数求数值导数 这个方法能避免用插值法求数值导数的不可靠性.因为对于样条函数(曲线y=f(x)的三次样条函数S(x)的作法见第十七章,2,四),当被插值函数f(x)有四阶连续导数,且hi=xi+1xi0时,只要S(x)收敛于f(x),则导数一定收敛于,且S(x)f(x)=O(H4)，O(H3),其中H是hi的最大值,因此,可直接通过三次样条函数 求数值导数得= 式中,(i=0,1,2,)。 若仅求样点xi上的导数,则 =二、多变量函数的微分偏导数及其几何意义 设二元函数u=f(x,y)当变量x有一个改变量x而变量y保持不变时,得到一个改变量u=f(x+x,y)f(x,y)如果当x0时,极限=存在,那末这个极限称为函数u=f(x,y)关于变量x的偏导数,记作或,也记作或,即=类似地,可以定义二元函数u=f(x,y)关于变量y的偏导数为=偏导数可以按照单变量函数的微分法则求出,只须对所论变量求导数,其余变量都看作常数.偏导数的几何意义如下:二元函数u=f(x,y)表示一曲面,通过曲面上一点M(x,y,u)作一平行于Oxu平面的平面,与曲面有一条交线,就是这条曲线在该点的切线与x轴正向夹角的正切,即=.同样,有= (图5.5).图5.5偏导数的定义不难推广到多变量函数u=f(x1,x2,xn)的情形.偏微分 多变量函数u=f(x1,x2,xn)对其中一个变量(例如x1 )的偏微分为也可记作.可微函数与全微分 若函数u=f(x,y)的全改变量可写为=+式中A,B与x,y无关,则称函数u=f(x,y)在点(x,y)可微分(或可微),这时函数u=f(x,y)的偏导数,一定存在,而且=A, =B改变量u的线性主部=+dy称为函数u=f(x,y)的全微分,记作du=+dy (1)函数在一点可微的充分条件:如果在点(x,y)函数u=f(x,y)的偏导数存在而且连续,那末函数在该点是可微的.公式(1)具有一阶微分的不变性,即当自变量x,y又是另外两个自变量t,s的函数时,上面的公式仍然成立.上述结果不难推广到多变量函数u=f(x1,x2,xn)的情形.注意,在一个已知点,偏导数的存在一般说来还不能确定微分的存在.复合函数的微分法与全导数1 设u=f(x,y),x=(t,s),y=(t,s),则=+=+2 设u=f(x1,x2,xn),而x1,x2,xn又都是t1,t2,tm的函数,则3 设u=f(x,y,z),而y=(x,t),z=(x,t),则= =4 设u=f(x1,x2,xn), x1= x1(t), x2= x2(t), ,则函数u=f(x1,x2,)的全导数为齐次函数与欧拉公式 如果函数f(x,y,z)恒等地满足下列关系式f(tx,ty,tz)=f(x,y,z)则称f(x,y,z)是一个k次的齐次函数.对于这种函数,只要它可微,就有(欧拉公式)注意,齐次函数的次数k可以是任意实数,例如,函数就是自变量x及y的次齐次函数.隐函数的微分法 设F(x1,x2,xn,u)=0,则(参考本节,四).高阶偏导数与混合偏导数 函数u=f(x1,x2,xn)的二阶偏导数为,和,后者称为混合偏导数.三阶偏导数为, ,。类似地可定义更高阶的偏导数.关于函数乘积的混合偏导数有下面公式:设u,都是x1,x2,xn的函数,则注意,混合偏导数一般与求导的次序有关,但是,如果两个同阶的偏导数,只是求导的次序不同,那末只要这两个偏导数都连续,它们就一定彼此相等.例如,如果在某一点(x,y)函数与都连续,那末一定有(x,y)= (x,y)高阶全微分 二元函数u=f(x,y)的二阶全微分为d2u=d(du)=或简记作d2u=式中偏导数符号,经平方后出现,它们再作用到函数u=f(x,y)上,以下类同.二元函数u=f(x,y)的n阶全微分为dnu=多变量函数u=f(x1,x2,xm)的n阶全微分为dnu=偏导数的差分形式(表中h为x轴方向步长,l为y轴方向步长)图 示差 分 公 式 图 示差 分 公 式 图 示差 分 公 式 三、函数行列式(或雅可比式)及其性质设有n个自变量的n个函数 (1)它们定义在某一n维区域D中,并关于自变量有连续偏导数,则由这些偏导数组成的行列式称为函数组(1)的函数行列式或雅可比式。记作函数行列式具有与普通导数相似的一系列性质.1 除函数组(1)外,再取在区域P中有定义且有连续偏导数的函数组假设当点(t1,t2,)在P中变动时,对应点(x1,x2,)并不越出区域D,于是就可以通过x1,x2, 把y1,y2,看成是t1,t2,的复合函数.这时有 = (2)它是一元的复合函数的微分法则y=f(x),x=；=的推广。2 特别是,如果令t1=y1,t2=y2,=yn(换句话说,由新变量x1,x2,又回到旧变量y1,y2, ),则由(2)式得到 =1它是一元函数的反函数微分法则y=f(x), x=的推广。3 设有n个自变量x1,x2,的m（mn）个函数y1,y2, ：式中x1,x2,又是m个自变量t1,t2,的函数：假设它们都有连续偏导数，那末y1,y2,作为t1,t2,的函数的函数行列式的表达式为 等式右边的和式是从n个标号内每次取m个的一切可能组合而取遍的。当m=1时,上面的公式就是普通的复合函数的微分公式的推广.特别当n=3,m=2时,有4 设有2n个自变量的n个方程所组成的方程组Fi(x1,x2,;y1,y2,)=0 (i=1,2,n)假定0将y1,y2,看成由这方程组所确定的x1,x2,的函数,这时有它是由F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)的导数公式的推广.5 函数行列式可作为面积(体积)的伸缩系数.假定函数u=u(x,y), = (x,y)在xy平面的某个区域上连续,并且有连续的偏导数,又假定在这个区域上0那末有 dud=dxdy对更高维的空间有类似的表达式.例 直角坐标与球面坐标的变换x=rsincos,y=rsinsin,z=rcos的函数行列式为=这时dxdydz=drdd= drdd四、隐函数1. 单变量隐函数对于由方程F(x,y)=0所确定的隐函数有下述定理:存在定理 设函数F(x,y)在点M0(x0,y0)的某一邻域* 邻域的概念见第二十一章，这里M0的领域是指包含M0的某一矩形R内定义并且满足下列条件: (i) F(x,y)及其偏导数在R内连续, (ii) F(x0,y0)=0, (iii)0,那末在点M0(x0,y0)的某一邻域;)内有唯一的单值函数y=f (x)存在,具有下列性质:1 Fx, f (x)0,且f (x0)=y0, 2 在区间()内函数f(x)连续,3 它在这区间内有连续的导数.导数的计算(0)(0)2. 多变量隐函数对于由方程 F(x,y,z)=0所确定的隐函数有下述定理:存在定理 设函数F(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)的某一邻域R内定义并且满足下列条件:(i) F(x,y,z)及其偏导数,在R内连续,(ii) F(x0,y0,z0)=0,(iii) (x0,y0,z0) 0,那末在点P0(x0,y0,z0)的某一邻域;)内有唯一的单值函数z=h(x,y)存在,具有下列性质:1 Fx,y,h(x,y)0,且h(x0,y0)= z0,2 函数h(x,y)连续,3 它有连续的偏导数.导数的计算,(0) 如果需要求所有一,二,各阶的偏导数,只要将恒等式F(x,y,z)=0两边求一阶,二阶,三阶,.各阶的全微分,然后和全微分dz,d2z,的定义形式对比,即得.注意,对于由方程F(x1,xn,y)=0所确定的隐函数有类似结果.3. 由方程组所确定的隐函数对由方程组 (1)所确定的隐函数有下述定理:存在定理 设函数F(x,y,z)及G(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)的某一邻域R内定义,并且满足下列条件:(i) F(x,y,z),G(x,y,z)及其所有偏导数都在R内连续,(ii) F(x0,y0,z0)=0,G(x0,y0,z0)=0, (iii) 行列式J(x,y,z)=在点P0(x0,y0,z0)不等于零:J(x0,y0,z0)0.那末在点P0(x0,y0,z0)的某一邻域;)内有唯一的一组单值函数y=f(x),z=g(x)存在,具有下列性质:1 Fx,f(x),g(x)0,Gx,f(x),g(x)0,且f(x0)=y0,g(x0)=z0,2 在区间()内函数f(x),g(x)连续,3 在这区间内有连续导数.导数的计算 将y和z看作x的隐函数,将方程组(1)对x微分得这是关于及的线性方程组,其行列式J0,由此可以解出及.注意,对于由方程组所确定的隐函数有类似的结果.五、微分表达式中的变量替换1.单变量函数设y=f (x),并有一个含有自变量、因变量及其导数的表达式H=F(x,y,)当作变量替换时,各导数可按下列方法计算:作自变量变换的情形 设变换公式为x=这时 , (1)自变量和函数都作变换的情形 设变换公式为x=,y=式中t为新的自变量,u为新的函数.这时,由复合函数的微分法则得到,把这些式子代入公式(1),即得结果.2. 多变量函数作自变量变换的情形 设z=f (x,y),并有一个含有自变量、因变量及其偏导数的表达式H=F(x,y,z, ,)变换公式为x=,y=式中u和为新的自变量,则偏导数, 由下列方程确定:=+其它高次偏导数也可仿此求出.自变量和函数都作变换的情形 设变换公式为x=,y=,z=其中u, 为新的自变量, w=w(u,v)为新的函数,则偏导数, 由下列方程确定:+)+)=+其他高次偏导数也可仿此求出.注意,当H内出现的不是个别的偏导数,而是已给阶次的全部偏导数,那末求逐次偏导数时利用全微分比较方便.六、微分学的基本定理(中值定理)洛尔定理 如果(i)函数f (x)定义在闭区间a,b上而且是连续的,(ii)在开区间(a,b)内存在有限导数,(iii)在区间的两端点处函数值相等: f (a)= f (b).那末在a与b之间至少存在一点c,使=0.即曲线y= f (x)在点(c, f (c)处的切线是水平的(图5.6).特别,若f (a)= f (b)=0,洛尔定理可简述如下:在一个函数的两个根之间,它的一阶导数至少有一个根.注意,函数f (x)须在闭区间a,b上连续,并且在开区间(a,b)内点点要有导数存在,这对于定理的结论的正确性是很要紧的.例如函数f (x)=在区间0,1上,除去在x=1时有间断以外满足定理的一切条件,但在(0,1)内处处都是=1.又例如由等式f (x)=x()及f (x)=()所定义的函数,在这区间内除去当x=时(双边的)导数不存在以外,它也满足定理的一切条件,可是导数在左半区间内等于+1,而在右半区间内等于.定理的条件(iii)也是很重要的,例如函数f (x)=x在区间0,1上,除去条件(iii)以外满足定理的一切条件,而它的导数处处是=1.中值定理 如果(i) f (x)定义在闭区间a,b上而且是连续的,(ii) 在开区间(a,b)内存在有限导数,那末在a与b之间至少存在一点c,满足等式= (acb) (1)图5.7即曲线y= f (x)在点(c, f (c)处的切线与弦AB平行(图5.7).这个定理也称为有限改变量定理或拉格朗日定理. (1)式也常写成以下几种形式:f (b)f (x+x)x(xcx+x)y= f (x+x)()由中值定理可得定理 如果在区间a,b上的每一点都有=0,那末函数f(x)在这个区间上是一个常数.柯西定理 如果(i)函数f(t)及g(t)在闭区间a,b上连续,(ii)在开区间(a,b)内有有限导数,(iii)在区间(a,b)内0.那末在a与b之间至少存在一点c,使图5.8=(acb)这公式称为柯西公式(图5.8).柯西定理常称为微分学的广义中值定理,因g(t)=x时,这个公式就是公式(1).多变量函数的中值定理 如果(i)函数f(x,y)定义在闭区域上并且连续,(ii)在这区域内部(即在它的所有内点)有连续的偏导数,今考察D中的两点M0(x0,y0)及M1(x0+x,y0+y)假设这两点能用全部位于D区域内的直线段M0M1来连接,则下面的公式成立: f(x0,y0)=f(x0+x,y0+y)=(01)由中值定理可得定理 若在闭连通区域D*内连续的函数f(x,y),在此区域内偏导数都等于零,即=0,则这函数在区域D内必为常数.七、泰勒公式与泰勒级数 1. 单变量函数的泰勒公式泰勒局部公式 如果函数f(x)满足条件:(i)在点a的某邻域内有定义,(ii)在此邻域内有一直到阶的导数,(iii)在点a处有n阶导数,那末f(x)在点a的邻域内可表成以下各种形式:1 f (a+h)= f (a)+ * 若区域的任意两点可以用一“折线”来连接，而该折线的一切点都在这区域中，这区域就称为连通区域. = (当h0)2 f (x)= f (a)+ = (当xa)特别,当a=0时,有马克劳林公式f (x)= f (0)+ = (当x0)泰勒公式 如果函数f (x)满足条件:(i)在闭区间a,b上有定义,(ii)在此闭区间上有一直到n阶的连续导数,(iii)当axb时有有限导数,那末f(x)在闭区间a,b上可表成以下各种形式:1 f(a+h)= (aa+hb)式中 Rn(h)= (01) (拉格朗日型余项)或 Rn(h)= (01) (柯西型余项)2 f(x)= ()式中 Rn(x)= (ab) (拉格朗日型余项)或 Rn(x)= (01) (柯西型余项)特别,当a=0时,有马克劳林公式 f(x)= ()式中 Rn(x)= (ab) (拉格朗日型余项)或 Rn(x)= (01) (柯西型余项)泰勒级数 在带余项的泰勒公式2中,如果把展开式进行到()的任意高的乘幂,则有f(x)=f(a)+不论它是否收敛,以及它的和是否等于f(x),都称它为函数f(x)的泰勒级数.()的乘幂的系数f(a),称为泰勒系数.马克劳林级数 在带余项的马克劳林公式中,如果展开式进行到x的任意高的乘幂,则有f(x)=f(0)+不论它是否收敛,以及它的和是否等于f(x),都称它为函数f(x)的马克劳林级数.x的乘幂的系数f (0),称为马克劳林系数.多项式的泰勒公式(秦九韶法)见第三章,2,一.2. 多变量函数的泰勒公式泰勒公式 假定在某一点(x0,y0)的邻域D内二元函数f(x,y)有直到n+1阶为止的一切连续偏导数.分别给x及y以改变量h及k,使连结点(x0,y0)及(x0+h,y0+k)的直线段不越出D外,那末f (x,y)在D内可表成形式:1 f (x0+h,y0+k)= (01)式中符号的意义如下:把,看作一个数(而不是看作微分运算的符号),并根据二项公式展开,得到=20 特别,当x0=0,y0=0时,得到马克劳林公式f (x,y)= 对二元以上的多变量函数有类似的公式.泰勒级数 在上面泰勒公式2中,如果把展开式进行到()和()的任意高的乘幂,则有f (x,y)= 不论它是否收敛,以及它的和是否等于f(x,y),都称它为f(x,y)的泰勒级数.马克劳林级数 在上面马克劳林公式中,如果把展开式进行到x,y的任意高的乘幂,则有f (x,y)= f (0,0)+不论它是否收敛,以及它的和是否等于f (x,y),都称它为f (x,y)的马克劳林级数.八、幂级数1单变量的幂级数定义 下列形式的级数 （1）（式中a0,a1,都是实常数）称为x的幂级数.更一般地，级数(式中a是一个实常数)也称为幂级数.绝对收敛 如果级数（1）当x=时收敛，那末对于满足|x|的任何x的值，级数（1）都绝对收敛.收敛半径与收敛区间 对于任何一个幂级数，都有一个数R(0R+),使得当|x|R时，级数发散.这个数R称为给定级数的收敛半径，区间(R,R)称为它的收敛区间，而在区间的两个端点x=R和x=R，级数可能收敛也可能发散.收敛半径R可按柯西-阿达玛公式或公式 R=计算(若极限存在).阿贝尔定理 若幂级数S(x)=( |x|R)在收敛区间的端点x=R处收敛，则S(R)=内闭一致收敛 若级数（1）的收敛半径等于R，则对任意满足0R的，级数（1）在区间，上一致收敛.连续 幂级数的和在收敛区间内的每一点处都连续.逐项积分 在级数（1）的收敛区间内的任何一点x，都有式中S(x)表示级数（1）的和.逐项微分 幂级数（1）的和S(x)在这个级数的收敛区间内的任一点上都可微.逐项微分级数（1）得到的级数与（1）具有同样的收敛半径，并且这个级数的和就等于.高阶导数 若级数（1）有收敛半径R，则它的和S(x)在区间(,R)内的任何一点都有任意阶导数，并且函数（n=1,）就是逐项微分级数（1）n次所得到的那个级数（它的收敛半径也同样是R）的和=（xR）2多变量的幂级数双变量的幂级数 按变量x,y的正整数幂次排列的形如 （2）的重级数称为双变量x,y的幂级数.多变量幂级数的收敛范围的研究有很多地方与单变量的不同，但仍有定理 若在x=x0,y=y0时级数（2）收敛，则当|x|x0|,|y|y0|时，级数也收敛.收敛范围 如果M是两个变数x,y的区域，在其中各点上幂级数（2）都收敛，而在其外各点上幂级数（2）发散，在边界点上可能发散，也可能收敛.那末区域M称为幂级数（2）的收敛范围.双变量的幂级数的收敛范围并不一定是|x|R1，|y|R2的形式，例如1 级数的收敛范围是|x|1，|y|1.2 级数处处收敛.3 级数=1+x+xy+x2y+x3y+x2y2+(=(1+x+)1+xy+=)的收敛范围是|x|1，|xy|0) 函 数 (当m为正整数时，只包含m+1项)幂 级 数 展 开 式1收 敛 域(m0) 11110) 0或q0)1三角函数函 数 幂 级 数 展 开 式收 敛 域 (式中Bn为伯努利数，下同，见231页的附表) 0 (式中En为欧拉数，见231页的附表)0反三角函数1111函 数幂 级 数 展 开 式收 敛 域指数函数1 001 (a0)1 10 0双曲函数shxchxthx cthx 0sechx函 数幂 级 数 展 开 式收 敛 域cschx反双曲函数Arshx= 01Archx(双值)Arthx=Arcthx= 11表中标*者应记牢.附：伯努利数Bn和欧拉数En表 nBnEn112536141 385550 521nBnEn62 702 7657199 360 981819 391 512 14592 404 879 675 44110370 371 188 237 525十、微分的应用（I） 函数的极值1单变量函数的极值极值（极大值或极小值）若函数f (x)在点x0的双侧邻域中有定义，并且对于某邻域0|x-x0|内的一切点x，下面不等式成立：f (x) f (x0)则称函数f (x)在点x0处有极大值（或极小值）.极值存在的必要条件假定函数f (x)在区间(a,b)内存在有限导数.若在点x0(a,b)处函数有极值，则必有=0 (1)所以可微函数的极值只能在使(1)式成立的点达到，这种点称为稳定点.极值存在的充分条件第一法则 若函数f (x)满足条件：（i）在点x0的某邻域|x-x0|内有定义并且连续，且在点x0处，=0或不存在，（ii）在范围0|x-x0|内有有限的导数，（iii）在点x0的左右两侧有固定的符号，则函数f (x)在点x0有无极值见下表：xx x0f (x)+0+极大值极小值上升下降第二法则 若函数f (x)有二阶导数,并且在点x0处下列条件成立：=0及0则函数f (x)在此点有极值，当0时，有极小值.第三法则 设函数f (x)在某邻域|x-x0|内有导数,，且=0（k=1,）0若n为偶数，则函数f (x)在点x0处有极值（当0时有极小值）;若n为奇数，则在点x0处无极值.以上介绍的单变量函数的极值求法中，求稳定点时最后都归结为求方程=0的实根.有时上述方程的实根不易求得，就要求近似根.关于实根的近似计算法可参考第三章，4.2多变量函数的极值极值(极大值或极小值) 设函数y= f (x1,x2,)= f (x)定义于区域D中，且x0=()是这区域内的一点.若点x0有一个邻域0|,i=1,2,使对于其中一切点，下面不等式成立：f (x) f (x0)则称函数f (x)在点x0处有极大值（或极小值）.极值存在的必要条件 假定函数f (x)在区域D内存在有限偏导数.若在点x0(D)处函数有极值，则必有 （2）所以极值只能在使（2）式成立的点达到，这种点称为稳定点.极值存在的充分条件(二元函数的情形) 设点x0=（）为函数y= f (x1,x2)的稳定点，并且函数f (x1,x2)在稳定点x0的邻域内有定义，连续，并有一阶及二阶连续偏导数.引进记号，k = p1+p2上指标“0”表示偏导数是在x0计算的.记D1=,D2=那末（i）稳定点x0是极小点的充分条件是：D10 和 D20即0 和 0（ii）稳定点x0是极大点的充分条件是：D10即0若D20, i=1,2,（ii）稳定点x0是极大点的充分条件是：所有标号为偶数的行列式是正的，所有标号为奇数的行列式是负的，即Di0, i=2,4,如果上列两条件都不满足，那末稳定点可以不是极值点.如果所有的Di都是零，就必须考察更高阶的偏导数.3约束条件为等式的条件极值 求函数y = f (x), x=(x1,x2)在m(m0D2=800这是一个极小点，函数y的极小值为.惩罚函数法 在搜索极小点时引进修正函数F = y+ (1)式中Pk是任意大的正整数，称为惩罚函数.这样就可把问题化为新函数F的无条件极值问题，可以用不断增大Pk的数值来极小化.也可引进如下形式的新函数F = y+式中Pk是任意大的正整数.对搜索极大点时，惩罚函数前取负号，即引进新函数F = y或 F = y例用惩罚函数法解例.解利用方程（1）引进修正函数F = y+P(g)2=解方程组得x1=x2，x2=当P很大时，x2趋于，x1趋于，这就是稳定点.由于D1=8(1+P)0D2=16(5+14P)0所以稳定点是一个极小点，这和例1的结果一致.4约束条件为不等式的条件极值比前面所考虑的更一般的极值问题是求函数y =f (x)，x = (x1,x2,xn)在m个约束条件gk(x)，k =1,2,m下的极值问题，这里的m不必小于n.松弛变量法 对每一约束不等式都引进一非负的松弛函数Si, 将它变为等式：=gi+Si=0每一松弛函数Si仅依赖于一个松弛变量xn+i,一般取Si=引进松弛函数后就把问题化为约束条件是等式的极值问题，前面的方法就可以应用了.例3 求函数y =在约束条件x1下的极值.解 约束条件可写为g1=1- x1利用松弛函数S1(x3)可将这个不等式约束化为等式=g1+S1=x1+=0利用直接代入法可在函数y中将x1消去得到y=4(1+)2+5这是一个无约束问题.稳定点是x2=0,x3=0,所以x1=1.由于D1=100D2=1600所以稳定点是修改后的以及原来的函数的极小点，其极小值为4.拉格朗日乘数法 引进松弛函数后，将约束不等式化为等式=gk+Sk(xn+k)=0,k=1,m同等式约束的情形一样，引