河南省2017届高三考前预测数学试题（文）含答案

2017 年高中毕业年级考前预测 文科数学试题卷 第 卷（共 60分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 | 6 A x N x ， 2 | 3 0 B x R x x ，则 （ ） A 3,4,5,6 B | 3 6 C 4,5,6 D | 0 3 6 x x x 或 2已知 2（ , ），其中为虚数单位，则 （ ） A B C D 1 3 每年 3月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者男生 2人，女生 2人，现需选出 2名青年志愿者到社区做公益宣传活动 ，则选出的 2名志愿者性别相同的概率为（ ） A 35B 25C 15D 3104 中国古代数学著作 算法统宗 中有这样一个问题：“三百七十八里 关 ，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔仔细算相还”，其意思为：“有 一个人走 378里路，第一 天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地”，请问第二天走了（ ） 111 A 96里 B 48里 C 192 里 D 24 里 5已知抛物线 2 8与双曲线 2 22 1 ( 0 )y 的一个交点为 , | | 5，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A 5 3 0 B 3 5 0 C 4 5 0 D 5 4 0 6如图，程序框图的算法思路源于数学名著几何原本中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“ 表示 m 除以的余数 ），若输入的 ,95, 135，则输出的 m（ ） A 0 B 5 C 45 D 90 7 的外接圆的圆心为 O ，半径为 1， 2 A O A B A C，且 | | | |B ，则向量 ） A 12B 32C 12D 328已知 *,x y N 且满足约束条件 1225 ，则 的最小值为（ ） A 1 B 4 C 6 D 7 9 定义运算： 121 4 2 334aa a a a ，将函数 3 s i n( ) ( 0 )1 c o 的图象向左平移 23个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则 的最小值是（ ） A 14B 54C 74D 3410设曲线 2( ) 1 c o s ( )f x m x m R 上任一点 ( , )切线斜率为 ()则函数2 ()y x g x 的部分图象可以为（ ） A B C D 11某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率= 新 工 件 的 体 积原 工 件 的 体 积）（ ） A 89B 169C 34( 2 1)D 312( 2 1) 12设函数 221 2 2 , 0() 2| l o g | , 0x x ，若关于的方程 ()f x a 有四个不同的解1 2 3 4, , ,x x x 3 4x x x x ，则12 24 3 41x x 的取值范围是（ ） 1111 A ( 3, ) B ( ,3) C 3,3) D ( 3,3 第 卷（共 90分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 1111 13已知545 10，则数列 111 14已知 ,点都在体积为 5003的球 O 的表面上，若 43， 60，则球心 O 到平面 距离为 15已知曲线 x x 在点 (1,1) 处的切线为，若与曲线 2 ( 2 ) 1y a x a x 相切，则a 1111 16已知12,2 1 ( 0 )xy 的左、右焦点， P 是椭圆上一点（异于左、右顶点），过点 P 作12角平分线交轴于点 M ，若 2122 | | | | | |P M P F P F，则该椭圆的离心率为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17 在 中，角 ,对边分别为 ,满足 c o s ( 2 ) c o s ( )b A c a B （ 1）求角 B 的大小； （ 2）若 4b ， 的面积为 3 ，求 的周长 18 已知某中学高三文科班学生共有 800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取 100人进行成绩抽样调查，先将 800人按 001,002， 800进行编号 （ 1）如果从第 8行第 7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的 3个人的编号； （下面摘取了第 7行到第 9行） （ 2）抽取的 100人的数学与地理的水平测试成绩如下表： 成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有 2 0 1 8 4 4 2 若在该样本中，数学成绩优秀率是 30%，求 , 在地理成绩及格的学生中，已知 11, 7，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率 19 如图，四棱锥 P 中， 1 22P C A D C D A B ， /C ， D ，平面 （ 1）求证： 平面 111 （ 2）若 M 为线段 中点，且过 ,C 点的平面与线段 于点 N ，确定点 N 的位置，说明理由；并求三棱锥 A 的高 20 已知圆 221 : 6 0C x y x 关于直线1 : 2 1l y x对称的圆为 C （ 1）求圆 C 的方程； （ 2）过点 ( 1,0) 作直线与圆 C 交于 ,O 是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形 | | | |O S O A O B？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由 21 已知函数 2( ) l n ( 1 )f x x a x x （ 1）讨论函数 () （ 2）当 1a 时，证明：对任意的 (0, )x ，有 2) ( 1 ) 1xf x a x 请考生在 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22 选修 4标系与参数方程 在直角坐标系 ，圆 C 的参数方程为 1 （为参数），以 坐标原点 O 为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系 （ 1）求圆 C 的极坐标方程； （ 2）直线的极坐标方程是 2 s i n ( ) 2 24，曲线1，其中0满足0 ，曲线1 的交点为 ,直线的交点为 Q ，求线段 长 23 选修 4等式选讲 已知函数 ( ) | 2 1 |f x x （ 1）求不等式 ( ) | 1 | 2f x x 的解集； （ 2）若函数 ( ) ( ) ( 1 )g x f x f x 的最小值为，且 ( 0 , 0 )m n a m n ，求 41最小值 试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13 2 14 3 15 8 16 22三、解答题 17 （ 1） c o s ( 2 ) c o s ( )b A c a B ， c o s ( 2 ) ( c o s )b A c a B ， 由正弦定理可得： s i n c o s ( 2 s i n s i n ) c o C A B ， s i n ( ) 2 s i n c o s s i C B C 又角 C 为 内角， C ， 1又 (0, )B ， 23B （ 2）有 1 s i n 32a c B ，得 4 又 2 2 2 2( ) 1 6b a c a c a c a c ， 25 ， 所以 的周长为 4 2 5 18（ 1） 785,667,199 （ 2） 79 30%100 a ， 14a ， 1 0 0 3 0 ( 2 0 1 8 4 ) ( 5 6 ) 1 7b . 1 0 0 ( 7 2 0 5 ) ( 9 1 8 6 ) 4 3 1 因为 11a ， 7b ，所以 , ( 1 1 , 2 0 ) , ( 1 2 , 1 9 ) , ( 1 3 , 1 8 ) , ( 1 4 , 1 7 ) , ( 1 5 , 1 6 ) , ( 1 6 , 1 5 ) , ( 1 7 , 1 4 ) , ( 1 8 , 1 3 )，(1 9 , 1 2 ) , ( 2 0 , 1 1 ) , ( 2 1 , 1 0 ) ( 2 2 , 9 ) , ( 2 3 , 8 ) , ( 2 4 , 7 )，共有 14 种 . 设 11a ， 7b ，数学成绩优秀的人数比及格的人数少为事件 A ， 5 . 事件 A 包括： (1 1, 2 0 ), (1 2 ,1 9 )，共 2 个基本事件； 21() 1 4 7，数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为 2114 7 . 19（ 1）证明：连接 在直角梯形 ， 22 22A C A D D C ， 22( ) 2 2B C A B C D A D ，所以 2 2 2A C B C A B，即 C . 又 平面 C ，又 C C ，故 平面 （ 2） N 为 中点， 因为 M 为 中点， N 为 中点，所以 /B ，且 1 22M N A B. 又 /D ， /D ，所以 , , ,M N C D 四点共面， 所以点 N 为过 ,C 点的平面与线段 点 . 因为 平面 N 为 中点，所以 N 到平面 距离 1 22d . 又 1 1 1 22 2 2A C M A C A C P C ，所以 122233N A C . 由题意可知，在直角三角形 ， 22 23P A A C P C ， 3， 在直角三角形 ， 22 23P B B C P C ， 3，所以 2设三棱锥 A 的高为， 12233N A C M A C M h ，解得： 2h ， 1111111 故三棱锥 A 的高为 2 20（ 1）圆12( 3 ) 9 ， 设圆13,0)C 关于直线1 : 2 1l y x的对称点为 ( , )则1 1CC ， 且1( , )22在直线1 : 2 1l y x上， 所以有213( 3 ) 1 02 ， 解得： 12， 所以圆 C 的方程为 22( 1 ) ( 2 ) 9 . （ 2）由 | | | | | |O S O A O B B A ，所以四边形 矩形，所以 B . 要使 B ，必须使 0B ，即：1 2 1 2 0x x y y. 当直线 的斜率不存在时，可得直线的方程为 1x ，与圆 22: ( 1 ) ( 2 ) 9C x y 交于 两点 ( 1, 5 2 )A ， ( 1, 5 2 )B . 因为 ( 1 ) ( 1 ) ( 5 2 ) ( 5 2 ) 0O A O B ，所以 B ，所以当直线的斜率不存在时，直线 :1 满足条件 . 当直线 的斜率存在时，可设直线的方程为 ( 1)y k x. 设1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x 2( 1 ) ( 2 ) 9( 1 )k x 得： 2 2 2 2( 1 ) ( 2 4 2 ) 4 4 0k x k k x k k . 由于点 ( 1,0) 在圆 C 内部，所以 0 恒成立， 2 2 2 2 21 , 2 2( 2 4 2 ) ( 2 4 2 ) 4 ( 1 ) ( 4 4 )2 ( 1 )k k k k k k ， 212 22 4 21k ， 212 2441k ， 要使 B ，必须使 0B ，即1 2 1 2 0x x y y， 也就是： 2 212244 ( 1 ) ( 1 ) 01kk k x 整理得： 222 2 2224 4 4 2( 1 ) 011k k k kk k 解得： 1k ，所以直线的方程为 1 存在直线 1x 和 1，它们与圆 C 交 ,四边形 角线相等 . 21（ 1）由题意知： 2 2 ( 1 ) 1( ) ( 0 )a x xf x 当 1a 时，由 ( ) 0，得 22 (1 ) 1 0a x x 且 98a ， 11 9 84 (1 ) ，21 9 84 (1 ) ， 当 1a 时， ()0,1) 上单调递增，在 (1, ) 上单调递减； 当 1a 时， (), )2( , )x 上单调递减； 当 98a时， ()0, ) 上单调递增； 当 9 18 a 时， (), ), )x 上单调递增，在21( , ) （ 2）当 1a 时，要证： 2) ( 1 ) 1xf x a x 在 (0, ) 上恒成立， 只需证： n 1xx x 在 (0, ) 上恒成立， 令 ( ) x x x， ) 1xg x ， 因为 1( ) 1， 易得 ()0,1) 上递增，在 (1, ) 上递减，故 ( ) (1) 1F x F ， 由 ) 1xg x 得 221 l n l n 1( ) ( 0 )x 当 0 时， ( ) 0；当 时， ( ) 0 所以 () (0, )e 上递减，在 ( , )e 上递增 所以 1( ) ( ) 1g x g e 又 1a ， 1111 ，即m a x m i n( ) ( )F x g x， 所以 n ( 1 )xx x a 在 (0, ) 上恒成立， 故当 1a 时，对任意的 (0, )x ， ) ( 1 )xf x a 恒成立 . 22（ 1）圆 C 的普通方程为 22( 1) 1，又 ， ，所以圆 C 的极坐标方程为 2 ； （ 2）设11( , )为点 P 的极坐标，则有 1112 解得 112 55 设22( , )为点 Q 的极坐标， 2 2 222 ( s i n c o s c o s s i n ) 2 244t a n 2 解得 222 53 由于12，所以12 4| | | | 515 ，所以线段 长为 4 515. 23（ 1）3 , 11( ) | 1 | 2 , 1213,2x x x ，