河北省衡水2017届高考二调数学试卷（理科）含答案解析

2016年河北省衡水高三（下）二调数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1设集合 A=x|x 2， B=y|y=2x 1， x A，则 A B=（ ） A（ ， 3） B 2， 3） C（ ， 2） D（ 1， 2） 2已知复数 z=1 i（ i 为虚数单位），则 的共轭复数是（ ） A 1 3i B 1+3i C 1+3i D 1 3i 3有一长、宽分别为 50m、 30m 的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出 ，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（ ） A B C D 4宋元时期数学名著算学启蒙中有关于 “松竹并生 ”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 a， b 分别为 5， 2，则输出的 n 等于（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 5已知数列 前 n 项和为 +2n 2），且 ，则 ） A 219 1 B 221 2 C 219+1 D 221+2 6已知圆 C： x2+，点 P 为直线 x+2y 9=0 上一动点，过点 P 向圆 C 引两条切线 A、 B 为切点，则直线 过定点（ ） A B C（ 2， 0） D（ 9， 0） 7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 8设函数 ， ，若不论 何值，f（ g（ 任意 总是恒成立，则 a 的取值范围为（ ） A B C D 9如图，三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一条直线上，边 有 10个不同的点 （ i=1， 2， ， 10），则 m1+ ） A 180 B C 45 D 10已知函数 f（ x）是定义在 R 上的单调函数，且对任意的 x， y R 都有 f（ x+y）=f（ x） +f（ y），若动点 P（ x， y）满足等式 f（ x+2） +f（ y+3） =0，则 x+ ） A 2 5 B 5 C 2 +5 D 5 11数 列 足 ， 1=1）（ n N*）且 + + ，则整数部分的所有可能值构成的集合是（ ） A 0， 1， 2 B 0， 1， 2， 3 C 1， 2 D 0， 2 12等腰直角三角形 接于抛物线 p 0）， O 为抛物线的顶点， 面积是 16，抛物线的焦点为 F，若 M 是抛物线上的动点，则的最大值为（ ） A B C D 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13某校今年计划招聘女教 师 x 人，男教师 y 人，若 x、 y 满足 ，则该学校今年计划招聘教师最多 人 14已知函数 的两个零点分别为 m、 n（ m n），则= 15已知四面体 每个顶点都在球 O 的表面上， C=5， ， 底面 G 为 重心，且直线 底面 成角的正切值为 ，则球O 的表面积为 16已知是定义在 R 上的函数，且满足 f（ 4） =0； 曲线 y=f（ x+1）关于点（1， 0）对称； 当 x （ 4， 0）时， ，若 y=f（ x）在 x 4， 4上有 5 个零点，则实数 m 的取值范围为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17 已知向量 ， ，设函数+b （ 1）若函数 f（ x）的图象关于直线 对称，且 0， 3时，求函数 f（ x）的单调增区间； （ 2）在（ 1）的条件下，当 时，函数 f（ x）有且只有一个零点，求实数 b 的取值范围 18如图，已知四棱锥 S ， 平面 0，且B=， E 是边 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求二面角 D B 的余弦值 大小 19某公司准备将 1000 万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择，若投资甲项目一年后可获得的利润为 1（万元）的概率分布列如表所示： 1 110 120 170 P m 0.4 n 且 1 的期望 E（ 1） =120；若投资乙项目一年后可获得的利润 2（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立，且调整的概率分别为 p（ 0 p 1）和 1 p，乙项目产品价格一年内调整次数 X（次 ）与 2 的关系如表所示： X（次） 0 1 2 2 （ 1）求 m， n 的值； （ 2）求 2 的分布列； （ 3）根据投资回报率的大小请你为公司决策：当 p 在什么范围时选择投资乙项目，并预测投资乙项目的最大投资回报率是多少？（投资回报率 =年均利润 /投资总额 100%） 20 如图，曲线 由曲线 和曲线 组成，其中点 曲线 在圆锥曲线的焦点，点 2 所在圆锥曲线的焦点， （ 1）若 2， 0）， 6， 0），求曲线 的方程 ； （ 2）如图，作直线 l 平行于曲线 渐近线，交曲线 点 A、 B，求证：弦中点 M 必在曲线 另一条渐近线上； （ 3）对于（ 1）中的曲线 ，若直线 点 曲线 点 C、 D，求 积的最大值 21设 f（ x） = ，曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线与直线 x+y+1=0垂直 （ ）求 a 的值； （ ）若对于任意的 x 1， + ）， f（ x） m（ x 1）恒成立，求 m 的取值范围； （ ）求证： 4n+1） 16 （ n N*） 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答 ，如果多做，则按所做的第一题记分 .选修 4标系与参数方程 22在平面直角坐标系 ，曲线 参数方程为 （ 为参数），曲线 参数方程为 （ a b 0， 为参数），在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 l： = 与 有一个交点，当 =0 时，这两个交点间的距离为 2，当 = 时，这两个交点重合 （ ）分别说明 什么曲线，并求 a 与 b 的值； （ ）设当 = 时， l 与 交点分别为 = 时， l 与 2 的交点分别为 直线 2、 极坐标方程 选修 4等式选讲 23设函数 f（ x） =|x a|， a 0 （ ）证明 f（ x） +f（ ） 2； （ ）若不等式 f（ x） +f（ 2x） 的解集非空，求 a 的取值范围 2016年河北省衡水高三（下）二调数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1设集合 A=x|x 2， B=y|y=2x 1， x A，则 A B=（ ） A（ ， 3） B 2， 3） C（ ， 2） D（ 1， 2） 【考点】 交集及其运算 【分析】 由指数函数的值域和单调性，化简集合 B，再由交集的定义，即可得到所求 【解答】 解：集合 A=x|x 2=（ ， 2）， B=y|y=2x 1， x A， 由 x 2，可得 y=2x 1 （ 1， 3）， 即 B=y| 1 y 3=（ 1， 3）， 则 A B=（ 1， 2） 故选： D 2已知复数 z=1 i（ i 为虚数单位），则 的共轭复数是（ ） A 1 3i B 1+3i C 1+3i D 1 3i 【考点】 复 数代数形式的乘除运算 【分析】 把 z 代入 ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解： z=1 i， = ， 的共轭复数为 1 3i 故选： A 3有一长、宽分别为 50m、 30m 的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出 ，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 由题意可知所有可能结果用周长 160 表示，事件发生的结 果可用两条线段的长度和 60 表示，即可求得 【解答】 解：当该人在池中心位置时，呼唤工作人员的声音可以传 ，那么当构成如图所示的三角形时，工作人员才能及时的听到呼唤声， 所有可能结果用周长 160 表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和 60 表示， 故选 B 4宋元时期数学名著算学启蒙中有关于 “松竹并生 ”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 a， b 分别为 5， 2，则输出的 n 等于（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 程 序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：当 n=1 时， a= ， b=4，满足进行循环的条件， 当 n=2 时， a= ， b=8 满足进行循环的条件， 当 n=3 时， a= ， b=16 满足进行循环的条件， 当 n=4 时， a= ， b=32 不满足进行循环的条件， 故输出的 n 值为 4， 故选 C 5已知数列 前 n 项和为 +2n 2），且 ，则 ） A 219 1 B 221 2 C 219+1 D 221+2 【考点】 数列的求和 【分析】 利用递推关系与等比数列的通项公式求和公式即可得出 【解答】 解： +2n 2），且 ， n 2 时， n 1=1+2 1+21），化为： 1， 数列 等比数列，公比与首项都为 2 =221 2 故选： B 6已知圆 C： x2+，点 P 为直线 x+2y 9=0 上一动点，过点 P 向圆 C 引两条切线 A、 B 为切点，则直线 过定点（ ） A B C（ 2， 0） D（ 9， 0） 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 根据题意设 P 的坐标为 P（ 9 2m， m），由切线的性质得点 A、 B 在以直径的圆 C 上，求出圆 C 的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦 在的直线方程，再求出直线 的定点坐标 【解答】 解：因为 P 是直线 x+2y 9=0 的任一点，所以设 P（ 9 2m， m）， 因为圆 x2+ 的两条切线 点分别为 A、 B， 所以 则点 A、 B 在以 直径的圆上，即 圆 O 和圆 C 的公共弦， 则圆心 C 的坐标是（ ， ），且半径的平方是 ， 所以圆 C 的方程是（ x ） 2+（ y ） 2= ， 又 x2+， ， 得，（ 2m 9） x =0，即公共弦 在的直线方程是：（ 2m 9） x =0， 即 m（ 2x y） +（ 9x+4） =0， 由 得 x= ， y= ， 所以直线 过定点（ ， ）， 故选 A 7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积 【分析】 由已知中的三视图，可得该几何 体是一个以俯视图左下角的三角形为底面的三棱锥和一个以俯视图右上角的三角形为底面的三棱柱相加的组合体，代入棱锥和棱柱的体积公式，可得答案 【解答】 解：由已知中的三视图，可得： 该几何体是一个以俯视图左下角的三角形为底面的三棱锥和一个以俯视图右上角的三角形为底面的三棱柱相加的组合体， 棱锥和棱柱的底面面积均为： S= = ，高均为 h=3， 故组合体的体积 V= ， 故选： A 8设函数 ， ，若不论 何值，f（ g（ 任意 总是恒成立，则 a 的取值范围为（ ） A B C D 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 利用三角恒等变换化简得 g（ x） =2x+ ） 2，依题意可得 f（ x1）g（ ，即当 x 时， 0 x 1 恒成立，通过分类讨论，即可求得 a 的取值范围 【 解 答 】 解： 函数 ， = = = =2x+ ） 2，即 g（ x） ， 因为不论 何值， f（ g（ 任意 总是恒成立， 所以 f（ g（ 即对任意 ， 2 恒成立， 即当 x 时， 0 x 1 恒 成立， 1由 x 1 得： 2x，即 a = （ ） 2 ， 令 h（ x） = （ ） 2 ， 因为 ， 所以，当 = 时， h（ x） ，故 a ； 2由 0 x 1 得： a ， 令 t（ x） = =（ 1） 2 1， 因为 ， 所以，当 x= 即 = 时， t（ ） =（ 1） 2 1= ； 当 x= ，即 = 时， t（ ） =（ 1） 2 1= ，显然， ， 即 t（ x） ，故 a ； 综合 12知， a ， 故选： D 9如图，三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一条直线上，边 有 10个不同的点 （ i=1， 2， ， 10），则 m1+ ） A 180 B C 45 D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由题意可得 ，然后把 转化为 求得答案 【解答】 解：由图可知， 0，又 0， ，即 则 ， m1+8 10=180 故选： A 10已知函数 f（ x） 是定义在 R 上的单调函数，且对任意的 x， y R 都有 f（ x+y）=f（ x） +f（ y），若动点 P（ x， y）满足等式 f（ x+2） +f（ y+3） =0，则 x+ ） A 2 5 B 5 C 2 +5 D 5 【考点】 抽象函数及其应用 【分析】 由条件可令 x=y=0，求得 f（ 0） =0，再由 f（ x）为单调函数且满足的条件，将 f（ x+2） +f（ y+3） =0 化为 f（ x2+x+8y+5） =0=f（ 0），可得x2+x+8y+5=0，配方后，再令 x= 1+2 y= 4+2 （ 0， 2），运用两角差的余弦公式和余弦函数的值域，即可得到所求最大值 【解答】 解：对任意的 x， y R 都有 f（ x+y） =f（ x） +f（ y）， 令 x=0， y=0，都有 f（ 0+0） =f（ 0） +f（ 0） f（ 0） =0， 动点 P（ x， y）满足等式 f（ x+2） +f（ y+3） =0， 即有 f（ x2+x+8y+5） =0=f（ 0）， 由函数 f（ x）是定义在 R 上的单调函数， 可得 x2+x+8y+5=0， 化为（ x+1） 2+（ y+4） 2=12， 可令 x= 1+2 y= 4+2 （ 0， 2）， 则 x+y=2 （ 5 =2 ） 5， 当 ） =1 即 = 时， x+y 取得最大值 2 5， 故选： A 11数列 足 ， 1=1）（ n N*）且 + + ，则整数部分的所有可能值构成的集合是（ ） A 0， 1， 2 B 0， 1， 2， 3 C 1， 2 D 0， 2 【考点】 数列递推式 【分析】 数列 足 ， 1=1）（ n N*）可得： 0，可得：数列 调递增可得 ， ， . = 1，= 1 另 一 方 面 ： = ，可得+ + =3 ，对 n=1，2， 3， n 4，分类讨论即可得出 【解答】 解： 数列 足 ， 1=1）（ n N*） 可得： 0， 此数列 调递增 则 1= ，可得 ，同理可得： ， = 1， = 1， 另一方面： = ， + + = + + = =3 ， 当 n=1 时， = ，其整数部分为 0； 当 n=2 时， + =1+ ，其整数部分为 1； 当 n=3 时， + + =2+ ，其整数部分为 2； 当 n 4 时， +1 （ 2， 3），其整数部分为 2 综上可得： 整数部分的所有可能值构成的集合是 0， 1， 2 故选： A 12等腰直角三角形 接于抛物线 p 0）， O 为抛物线的顶点， 面积是 16，抛物线的焦点为 F，若 M 是抛物线上的动点， 则的最大值为（ ） A B C D 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设等腰直角三角形 顶点 A（ B（ 利用 x1=而可求得 p，从而可得 S 过点 N 的直线方程为 y=k（ x+1），代入 x，过 M 作准线的垂线，垂足为 A，则 |考虑直线与抛物线相切及倾斜角为 0，即可得出 p设 M 到准线的距离等于 d，由抛物线的定义，化简为 = = ，换元，利用基本不等式求得最大值 【解答】 解：设等腰直角三角形 顶点 A（ B（ 则 由 B 得： 2，即（ x1+p） =0， 0， 0， 2p 0， x1= A， B 关于 x 轴对称 直线 方程为： y=x， 与抛物线联立，解得 或 ， 故 p， S 2p 4p=4 面积为 16， p=2； 焦点 F（ 1， 0），设 M（ m， n），则 m， m 0，设 M 到准线 x= 1 的距离等于 d， 则 = = 令 m+1=t， t 1，则 = （当且仅当 t=3 时，等号成立） 故 的最大值为 ， 故选 C 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13某校今年计划招聘女教师 x 人，男教师 y 人，若 x、 y 满足 ，则该学校今年计划招聘教师最多 10 人 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，则目标函数为 z=x+y，利用线性规划的知识进行求解即可 【解答】 解：设 z=x+y， 作出不等式组对应的 平面区域如图： 由 z=x+y 得 y= x+z， 平移直线 y= x+z， 由图象可知当直线 y= x+z 经过点 A 时， 直线 y= x+z 的截距最大， 此时 z 最大但此时 z 最大值取不到， 由图象当直线经过整点 E（ 5， 5）时， z=x+y 取得最大值， 代入目标函数 z=x+y 得 z=5+5=10 即目标函数 z=x+y 的最大值为 10 故答案为： 10 14已知函数 的两个零点分别为 m、 n（ m n），则= 【考点】 定积分；函数零点的判定定理 【分析】 先求出 m， n，再利用几何意义求出定积分 【解答】 解： 函数 的两个零点分别为 m、 n（ m n）， m= 1， n=1， = = = 故答案为 15已知四面体 每个顶点都在球 O 的表面上， C=5， ， 底面 G 为 重心，且直线 底面 成角的正切值为 ，则球O 的表面积为 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 求出 接圆的直径，利用勾股定理求出球 O 的半径，即可求出球O 的表面积 【解答】 解：由题意， ， ， = ， ， 接圆的 直径为 2r= = ， 设球 O 的半径为 R， R= = 球 O 的表面积为 ， 故答案为 16已知是定义在 R 上的函数，且满足 f（ 4） =0； 曲线 y=f（ x+1）关于点（1， 0）对称； 当 x （ 4， 0）时， ，若 y=f（ x）在 x 4， 4上有 5 个零点，则实数 m 的取值范围为 3e 4， 1） e2 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 可判断 f（ x）在 R 上是奇函数，从而可化为当 x （ 4， 0）时，有 1 个零点，从而转化为 m=0 在（ 4， 0）上有 1 个不同的解，再令 g（ x） =m，从而求导确定函数的单调性及取值范围，从而解得 【解答】 3e 4， 1） e 2 解： 曲线 y=f（ x+1）关于点（ 1， 0）对称； 曲线 y=f（ x）关于点（ 0， 0）对称； f（ x）在 R 上是奇函数， f（ 0） =0，又 f（ 4） =0， f（ 4） =0， 而 y=f（ x）在 x 4， 4上恰有 5 个零点， 故 x （ 4， 0）时， 有 1 个零点， x （ 4， 0）时 f（ x） =m+1）， 故 m=0 在（ 4， 0）上有 1 个不同的解， 令 g（ x） =m， g（ x） =ex+ex=x+2）， 故 g（ x）在（ 4， 2）上是减函数，在（ 2， 0）上是增函数； 而 g（ 4） = 4e 4+e 4 m， g（ 0） =1 m= m， g（ 2） = 2e 2+e 2 m， 而 g（ 4） g（ 0）， 故 2e 2+e 2 m 1 0 4e 4+e 4 m 1， 故 3e 4 m 1 或 m= e 2 故答案为： 3e 4， 1） e 2 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17 已知向量 ， ，设 函数+b （ 1）若函数 f（ x）的图象关于直线 对称，且 0， 3时，求函数 f（ x）的单调增区间； （ 2）在（ 1）的条件下，当 时，函数 f（ x）有且只有一个零点，求实数 b 的取值范围 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算 【分析】 （ 1）根据平面向量数量积运算求解出函数 +b，利用函数 f（ x）的图象关于直线 对称，且 0， 3时，求解 ，可求函数 f（ x）的单调增区间 （ 2）当 时，求出函数 f（ x）的单调性，函数 f（ x）有且只有一个零点，利用其单调性求解求实数 b 的取值范围 【解 答】 解 ： 向 量 ， ，函数+b 则= = （ 1） 函数 f（ x）图象关于直线 对称， （ k Z）， 解得： =3k+1（ k Z）， 0， 3， =1， ， 由 ， 解得： （ k Z）， 所以函数 f（ x）的单调增区间为 （ k Z） （ 2）由（ 1）知 ， ， ， ，即 时，函数 f（ x）单调递增； ，即 时，函数 f（ x）单调递减 又 ， 当 或 时函数 f（ x）有且只有一个零点 即 b ， 所以满足条件的 18如图，已知四棱锥 S ， 平面 0，且B=， E 是边 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求二面角 D B 的余弦值大小 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）取 点 F，连结 导出四边形 平行四边形，由此能证明 面 （ 2）在底面内过点 A 作直线 在直线分别为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 D 【解答】 证明：（ 1）取 点 F，连结 E 是边 中点， 又 0， 又 D， 四边形 平行四边形， 又 面 面 面 解：（ 2）在底面内过点 A 作直线 又 平面 以 在直线分别为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（ 0， 0， 0）， B（ 2， 0， 0）， C（ 2， 2， 0）， D（ 1， 2， 0）， D（ 1， 2， 0）， E（ 1， 0， 1）， 则 =（ 0， 2， 0）， =（ 1， 0， 1）， =（ 1， 0，）， =（ 1， 2， 1）， 设面 一个法向量为 =（ x， y， z）， 则 ，取 x=1，得 =（ 1， 0， 1）， 同理求得面 一个法向量为 =（ 0， 1， 2）， = = ， 由图可知二面角 D B 是钝二面角， 二面角 D B 的余弦值为 19某公司准备将 1000 万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择，若投资甲项目一年后可获得的利润为 1（万元）的概率分布列如表所示： 1 110 120 170 P m 0.4 n 且 1 的期望 E（ 1） =120；若投资乙项目一年后可获得的利润 2（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立，且调整的概率分别为 p（ 0 p 1）和 1 p，乙项目产品价格一年内调整次数 X（次）与 2 的关系如表所示： X（次） 0 1 2 2 （ 1）求 m， n 的值； （ 2） 求 2 的分布列； （ 3）根据投资回报率的大小请你为公司决策：当 p 在什么范围时选择投资乙项目，并预测投资乙项目的最大投资回报率是多少？（投资回报率 =年均利润 /投资总额 100%） 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）利用概率和为 1，期望值列出方程组求解即可 （ 2） 2 的可能取值为 出概率，得到 2 的分布列； （ 3）利用期望关系，通关二次函数求解最值即可 【解答】 解：（ 1）由题意得： ， 得： m=n= （ 2） 2 的可 能取值为 P（ 2=（ 1 p） 1（ 1 p） =p（ 1 p） P（ 2=p（ 1 p） 所以 2 的分布列为 2 p（ 1 p） 1 p） 2 p（ 1 p） （ 3）由（ 2）可得： = 100p+据投资回报率的计算办法，如果选择投资乙项目，只需 E（ 1） E（ 2）， 即 120 100p+ p 因为 ， 所以当 时， E（ 2）取到最大值为 所以预测投资回报率的最大值为 20 如图，曲线 由曲线 和曲线 组成，其中点 曲线 在圆锥曲线的焦点，点 2 所在圆锥曲线的焦点， （ 1）若 2， 0）， 6， 0），求曲线 的方程； （ 2）如图，作直线 l 平行于曲线 渐近线，交曲线 点 A、 B，求证：弦中点 M 必在曲线 另一条渐近线上； （ 3）对于（ 1）中的曲线 ，若直线 点 曲线 点 C、 D，求 积的最大值 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ 1）由 2， 0）， 6， 0），可得 ，解出即可； （ 2）曲线 渐近线为 ，如图，设点 A（ B（ M（ x0，设直线 l： y= ，与椭圆方程联立化为 22 =0， 利用 0，根与系数的关系、中点坐标公式，只要证明 ，即可 （ 3）由（ 1）知，曲线 ，点 6， 0）设直线 方程为 x=（ n 0）与椭圆方程联立可得（ 5+484=0，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式 的性质即可得出 【解答】 （ 1）解： 2， 0）， 6， 0）， ， 解得 ， 则曲线 的方程为 和 （ 2）证明：曲线 渐近线为 ， 如图，设直线 l： y= ， 则 ，化为 22 =0， =48（ 0， 解得 又由数形结合知 设点 A（ B（ M（ 则 x1+x2=m， ， = ， ，即点 M 在直线 y= 上 （ 3）由（ 1）知，曲线 ，点 6， 0） 设直线 方程为 x=（ n 0） ，化为（ 5+484=0， =（ 48n） 2 4 64 （ 5+4 0，化为 1 设 C（ D（ ， | = ， = = = ， 令 t= 0， n2=， = = = ，当且仅当 t= ，即 n= 时等号成立 n= 时， = 21设 f（ x） = ，曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线与直线 x+y+1=0垂直 （ ）求 a 的值； （ ）若对于任意的 x 1， + ）， f（ x） m（ x 1）恒成立，求 m 的取值范围； （ ）求证： 4n+1） 16 （ n N*） 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）求出原函数的导函数，结合 f（ 1） =1 列式求得 a 值； （ ）把（ ）中求得的 a 值代入函数解析式，由 f（ x） m（ x 1）得到，构造函数 ，即 x 1， + ）， g（ x） 0然后对 m 分类讨论求导求得 m 的取值范围； （ ）由（ ）知，当 x 1 时， m=1 时， 成立令 ，然后分别取 i=1， 2， ， n，利用累加法即可证明结论 【解答】 （ ）解： 由题设 f（ 1） =1， ，即 a=0； （ ）解： ， x 1， + ）， f（ x） m（ x 1），即 ， 设 ，即 x 1， + ）， g（ x） 0 ， g（ 1） =4 4m 若 m 0， g（ x） 0， g（ x） g（ 1） =0，这与题设 g（ x） 0 矛盾； 若 m （ 0， 1），当 ， g（ x）单调递增， g（ x） g（ 1） =0，与题设矛盾； 若 m 1，当 x （ 1， + ）， g（ x） 0， g（ x）单调递减， g（ x） g（ 1）=0，即不等式成立； 综上所述， m 1 （ ）证明：由（ ）知，当 x 1 时， m=1 时， 成立 不妨令 ， ， 即 ， ， ， 累加可得： 4n+1） 16 （ n N*） 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .选修 4标系与参数方程 22在平面直角坐标系 ，曲线 参数方程为 （ 为参数），曲线 参数方程为 （ a b 0， 为参数），在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 l： = 与 有一个