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数形结合思想在高考中的应用杨新兰 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，也就是对题目中的条件和结论既分析其代数含义又挖掘其几何背景，在代数与几何的结合上寻找解题思路。最常用的是以形助数的解题方法，其实质就是对图形性质的研究，使要解决的数的问题转化为形的讨论，实现“由一种代数形式转化为几何形式”的数学化归。 例1. （2005年高考全国卷II）函数，求使的x的取值范围。 解：，也即。 设函数 如图1，由、的图象和，可得。图1 评析：数与形之间存在着密切的联系，很多代数问题若能转化成图形，则思路和方法可以从图形中直观地显示出来。数形结合，简明直观，作出图表，一目了然。 例2. （2005年高考全国卷II题）已知，函数，设f(x)在1，1上是单调函数，求a的取值范围。 解：。由在1，1上是单调函数，知在1，1上有恒成立，或恒成立。 （1）如图2，恒成立时，有三种情况：图2 ； 均无解。 （2）如图3，恒成立时，有图3 。 综上得。 评析：本题融函数、导数、不等式为一体，在网络交汇处设计的试题，通过借助于图形的直观性，以图助算，就可避免烦琐的计算。因此，以数形结合为切入点，可化难为易，让抽象的问题转化得直观明白。 例3. （2004年湖北高考题）如图4，在RtABC中，已知BCa，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值。图4 解：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图5所示的平面直角坐标系。图5 设|AB|c，|AC|b，则A（0，0），B（c，0），C（0，b），且|PQ|2a，|BC|a。 设点P的坐标为（x，y），则Q（x，y） 所以，（） 所以 因为 所以 即 故当，即时，最大，其最大值为0。 评析：平面向量具有一套良好的运算性质，它可以把几何图形的性质转化为向量的坐标运算，实际了“形”与“数”的结合，使晦涩的图形问题，通过规则的代数运算而获得解决。年级高中学科数学版本期数内容标题数形结合思想在高考中的应用分类索引号G.622.46分类索引描述辅导与自学
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