高中数学教学设计

高中数学教学设计 等比数列的前 等比数列的前 n 项和 （ 第一课时） 一 教材分析。 （ 1）教材的地位与作用： 等比数列的前 n 项和 选自普通高中课程标准数学教科书数学（ 5）， 是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 （ 2）从知识的体系来 看：“ 等比数列的前 n 项和”是 “ 等差数列及其前 与 “ 等比数列 ” 内容的延续、 不仅 加深 对 函数 思 想的理解，也为以后学 数列的求和， 数学归纳法 等做好铺垫 。 二学情分析。 （ 1）学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念， 等差数列的通项公式和求和 公式与 方法 ， 等比数列的 概念与通项公式 。 （ 2） 教学对象 ： 高 二理科班 的学生， 学习兴趣比较浓 ,表现欲较强 , 逻辑思维能力也初步形成， 具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片 面、不够严谨 。 （ 3）从学生的认知角度来看： 学生很容易把本节内容与等差数列前n 项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利 导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前 n 项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于 q = 1 这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三教学目标。 根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班 学生的认知规律，本节课的教学目标确定为： （ 1）知识技能目标 理解并掌握等比数列前 式的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题。 （ 2）过程与方法目标 通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、 分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力 （ 3）情感，态度与价值观 培养学生勇于探索、敢于创新的精神，从探索中获得成功的体验，感受 数学 的奇异美、结构的对称美、形式的 简洁美 。 四重点 ,难点分析。 教学重点： 公式的推导、公式的特点和公式的运用。 教学难点： 公式的推导方法及公式应用中 q 与 1 的关系 。 五教法与学法分析 . 培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不 是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用 。 因此，本节课采用了 启发式和探究式相结合的教学方法 ，让 老师的主导性和学生的主体性有机结合，使学生能够愉快地自觉学习，通过学生自己观察、分析、探索等步骤，自己发现解决问题的方法，比较论证后得到一般性结论，形成完整的数学模型，再运用所得理论和方法去解决问题。一句话： 还课堂以生命力，还学生以活力。 六课堂设计 （一） 创设情境，提出问题 。 （ 时间设定： 3 分钟） 利用投影展示 在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的 64 个方格上，第一格放 1 粒小麦，第二格放 2 粒， 第三格放 4 粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第 64 格。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢？ 设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动 学习的积极性 故事内容紧扣本节课的主题与重点 提出 问题 1：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？ 引导学生写出麦粒总数 2 3 6 31 2 2 2 2 （二）师生互动，探究问题 5分钟 提出 问题 2： ?2 3 6 31 + 2 + 2 + 2 + + 2 究 竟 等 于 多 少 呢 有 学生 会说 ：用计算器 来求 （ 老师 当 然 肯定这种做法 ，但学生很快发现比较难求。 ） 提出问题 3：同学们，我们来分析一下这个和式有什么特征？ （学生会发现，后一项都是前一项的 2 倍） 提出问题 4： 如果我 们把每一项都乘以 2，就变成了它的后一项， 那么我们若在此等式两边同以 2，得到另一式： 利用投影展示 2 3 6 3642 3 4 6 464. . . 1 2 2 2 2 . . . . . . . . . ( 1 )2 2 2 2 2 2 . . . . . . . ( 2 ) 比较（ 1） (2）两式，你有什么发现？ （学 生 经过比较 发现：（ 1）、（ 2）两式有许多相同 的项） 提出问题 5：将两式相减， 相同的项就消去了 ，得到什么呢？。（学生会发现： 6464 21S 这五个问题的设计意图 ：层层深入，剖析了错位相减法中减的妙用， 使学生容易接受 为什么要错位相减 ， 经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法， 也让学生感受到这种方法的神奇 这时，老师向同学们介绍错位相减法，并 提出问题 6：同学们反思一下我们错位相减法求此题的过程，为 什 么（ 1）式两边要同乘以 2 呢？ 这个问题的设计意图 :让学生对错位相减法有一个深刻的认识，也为探究等比数列求和公式的推导做好铺垫 （三）类比联想，解决问题 。 时间设定： 10分钟 提出问题 7： n 1 比 数 列 a 的 首 项 为 a, 公 比 为 q, 求 它 的 前 项 和 3 na a a a 讨论交流 ，老师巡视课堂，发现有典型解法的，叫同学板 书 在黑板上。 设计意图： 从特殊到一般 ,从模仿到创新 ,有利于学生的知识迁移和能力提高 ， 让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验 （四）分析比较，开拓思维。 时间设定： 5 分钟 将不同的的方法进行分析评价。根据学生的认识状况，可能有如下几种方法： 错位相减法 1： 错位相减法 2 11 )(等比数列 ,公比为 ,它的前 项和 na q n3an 1 1 qa qa11 )(等比数列 ,公比为 ,它的前 项和 na q n n 21 11 21 出公比 q 累加法 可能也有同学会想到由等比定理得 )( 2131111 nn 11212111 1nn 11 )( 1321 等比数列 ,公比为 ,它的前 项和 n)(11 nn 1321等比数列 ,公比为 ,它的前 项和)(1)(132132 11 )( 1 2 3321 2 1231 2 111(1 )a a a a aa a a a a q 即 【设计意图： 共享学习成果，开拓了思维， 感受数学的奇异美 】 （五）归纳提炼，构建新知。 时间设定： 3 分钟 提出问题 8:由 1(1 - q )s = a - a q得 a - 里的 q 能不能等于 1？等比数列中的公比能不能为 1？ 1q 时是什么数列？此时 【设计意图：通过反 问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构， 增强思维的严谨性】 提出问题 9:等 比 数 列 的 前 n 项 和 公 式 怎 样 ? 学生归纳出 1111(1 ) ,1,111,1,1a a qn a q 【设计意图： 向学生渗透分类讨论数学思想，加深对公式特征的了解 】 （六）层层深入，掌握新知 。 时间设定： 15分钟 2 , 1 ,q 练 习 1 已 知 a 是 等 比 数 列 , 公 比 为 ) 若 a = , q = , 则 ). 则 a 则 S 2382 3 81 ( 1 2 )1 ( 2 )1 ( 1 2 )( 2 ) . 1 2 2 2 212( 1 )( 3 ) a a 练 习 2 判 断 是 非(1)6- + 设计意图：通过两道简单题来 剖析公式中的基本量进行正反两方面的 “ 短、浅 、快 ” 练习通过总结、辨析和反思，强化公式的结构特征 】 已 知 数 列 a 是 等 比 数 列 , 完 成 下 表 题号 a1 q n n （ 1） 1/2 1/2 8 （ 2） 27 2/3 8 （ 3） 63 【 设计意图： 渗透方程思想 掌握公式中 ”知三求二 ”的题型 】 练习 3：求等比数列 1 1 1 1, , , , 2 4 8 16前 8 项和； 变式 1、等比数列 1 1 1 1, , , , 2 4 8 16前多少项的和是 6364； 变式 2、等比数列 1 1 1 1, , , , 2 4 8 16求第 5 项到第 10 项的和； 变式 3、等比数列 ,23a ,a ,a , 求前 2n 项中所有偶数项的和。 （ 先由学生独立求解，然后抽学生板演，教师巡视、指导，讲评学生 完成情况，寻找学生中的闪光点，给予热情表扬。 ) 【 设计意图： 变式训练 ,深化认识 ， 增加思维的梯度的同时，提高学生的模式识别能力，渗透转化思想 】 练习 4 有一位大学生毕业后到一 家私营企业去工作，试用期过后，老板对这位大学生很欣赏，有意 留 下他 ， 就让这位大学生提出待遇方面的要求 ， 这位学生提出了两种方案让老板选择 ， 其一 ： 工作一年 ， 月薪五 千 元 ； 其二 ： 工作一年 ， 第一个月的工资为 20 元 ， 以后每个月的工资是上月 工资 的 2 倍 ， 此时 ， 老板不 假 思索就选择了第二种方案 ， 于是他们之间就订了一个劳动待遇合同 。 请你分析一下，老板的选择是否正确？ 【 设计意图： 让学生进一步认识到数学来源于生活并应用于生活，生活中处处有数学 】 （七）总结归纳，加深理解 。 时间设定： 2 分钟 （ 1）等比数列的求和公式是什么？应用时 要注意什么？ （ 2）用什么方法可以推导了等比数列的求和公式？ 【 设计意图： 形成知识模块，从知识的归纳延伸到思想方法的提炼，优化学生的认知结构 】 （八 ）课后作业， 巩固提高。 时间设定： 1 分钟 必做： （ 1） 习 1 研究性作业：请上网查阅“芝诺悖论” 选做： 求和： 2 3 41 2 2 2 3 2 4 2 2 【 设计意图： 为了使所有学生巩固所学知识， 布置了“必做题”； “选做题” 又为学有余力者留有自由发展的空间，布置了“探究题” 以利