直线与圆的方程例题(总结版)

1 【 考试大纲要求 】 1理解直线的斜率的概念，掌握两点的直线的斜率公式掌握直线方程的点斜 式 、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程 2掌握两条直线平行与垂直的条件 和点到直线的距离公式；能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系 4了解解析几何的基本思想，了解坐标法 5掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程 . 6掌握 直线与 圆 的位置关系的判断方法，能利用直线和圆的位置关系解决相关问题 . 直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距） 有关问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程 【基础知识归纳】 1直线方程 （ 1）直线的倾斜角 直线倾斜角的取值范围是 ： 0 180 . （ 2）直线的斜率 )90( k . 倾斜角是 90的直线没有斜率；倾斜角不是 90的直线都有斜率，斜率的取值范围是（， +） . (3)直线的方向向量 设 直线上不同的两点，则向量 21（ 为直线的方向向量 向量121 21（ 1，1212 xx ） =（ 1， k）也是该直线的方向向量， k 是直线的斜率 直于 x 轴的直线的一个方向向量为 a (0,1) . 说明 ： 直线的倾斜角、斜率、方向向量都是刻划、描述直线的倾斜程 度 的 每一条直线都有倾斜角和方向向量，但不是每一条直线都有斜率，要注意三者之间的内在联系 （ 4）直线方程的五种形式 点斜式： )(00 ， (斜率存在 ) 斜截式： (斜率存在 ) 两点式：121121 xx ， (不垂直坐标轴 ) 截距式： 1垂直坐标轴 ,不过原点 ) 一般式： 0 引申 ： 过直线1 1 1 1:0l A x B y C , 2 2 2 2:0l A x B y C 交点的直线系方程为： 1 1 1 2 2 2( ) 0A x B y C A x B y C （ R） (除 2两条直线的位置关系 （ 1）直线与直线的位置关系 存在 斜率 的两直线1 1 1:l y k x b；2 2 2:l y k x b 12 1212 12 121 ； 112； 011212 一般式的直线1 1 1 1:0l A x B y C ,2 2 2 2:0l A x B y C . 有 121 2 2 1 0A B A B；且1 2 2 1 0B C C B; 121 2 1 2 0A A B B; 2 11 2 2 1 0A B A B; 1l 与 2l 重合 1 2 2 1 0A B A B；且1 2 2 1 0B C C B（ 2）点与直线的位置关系 若点00( , )P x ，则有00 0A x B y C ； 若点00( , )P x ，则有00 0A x B y C ，此时点00( , )P x 距离 为2200 平行直线1 0A x B y C 与2 0A x B y C 之间的距离为 2221 （ 3）两条直线的交点 直线1 1 1 1:0l A x B y C ,2 2 2 2:0l A x B y C 的公共点的坐标是方程 1 1 12 2 200A x B y CA x B y C 的解 相交 方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行 方程组无解 . 重合 方程组有无数解 . 3 曲线与方程 4. 圆的方程 (1)圆的定义 (2)圆的方程 标准式： 2 2 2( ) ( )x a y b r ，其中 r 为圆的半径， ( , )圆心 一般式 ： 22 0x y D x E y F （ 2240D E F ） ,22，半径为 221 42 D E F 参数方程 : ， c o s (s i nx a ry b r 是参数） . 消去 可 得普通方程 5. 点与圆的位置关系 判断 点 ( , )P x y 与圆 2() 22()y b r的位置关系代入方程 看符号 . 直线与圆的位置关系 有： 相离、相切和相交 . 有两种判断方法： （ 1）代数法：（判别式法） 0 , 0 , 0 时分别相离、相交、 相切 . （ 2）几何法： 圆心到直线的距离 ,d r d r d r 时相离、相交、相切 . 7弦长求法 （ 1）几何法：弦心距 d，圆半径 r，弦长 l，则 2222 （ 2）解析法：用韦达定理，弦长公式 . 8圆与圆的位置关系 3 y x O B A F E P C 题型 1： 直线的倾斜角 1 （ 07上海） 直线 014 倾斜角 答案 ： 4 解析 ： 直线 014 化为 14 ），（ 2,4t a n k 4 题型 2 ： 直线的斜率 2 （ 08安徽卷）若过点 (4,0)A 的直线 l 与曲线 22( 2 ) 1 有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围为 （ ） A 3, 3 B ( 3, 3) C33,33 D33,33 答案 ： C 解析 ： 记圆心为 (2,0)D ,记上、下两切点分别记为 ，则 30B A D C A D ， l 的斜率 00t a n 1 5 0 , t a n 3 0 ,k 即33,33k. 题型 3 直线的方程 3 （ 07浙江）直线 2 1 0 关于直线 1x 对称的直线方程是 （ ） 2 1 0 2 1 0 2 3 0 2 3 0 答案 ： D 解析 ： (利用相关点法 )设所求直线上任一点 (x,y),则它关于 1x 对称点为 (2y)在直线 2 1 0 上 , 即 0122 化简得答案 D. 题型 4： 直线 方程的综合题 4 （ 08江苏卷）在平面直角坐标系中，设三角形 顶点分别为 A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点 P（ 0， p）在线段 （异于端点），设 a,b,c, p 均为非零实数，直线 P 分别交 点 E ,F ， 一同学已正确算的 方程：1 1 1 1 0c p a ，请你求 方程： _. 答案 ：1 1 1 1 0b p a 4 解析 ： 直线 方程为 1 直线 方程为 1 -得1 1 1 1 0b p a ， 直线 交点 F 坐标满足此方程，原点 O 的坐标也满足此方程，所以 方程为1 1 1 1 0b p a .（ 若敢于类比猜想，交换 x 的系数中 b、 c 的位置，便很快可得结果 .） 题型 5： 直线与直线的位置关系 5（ 06福建）已知两条直线 2y 和 ( 2 ) 1y a x 互相垂直，则 a 等于 ( ) A 2 B 1 C 0 D 1 答案 D 解析 ： 两条直线 2y 和 ( 2) 1y a x 互相垂直，则 ( 2) 1 ， a= 1，选 D. 题型 6： 点与直线的位置关系 6 （ 06湖南）圆 224x y x 4 10 0y上的点到 直线 014 最大距离与最小距离的差是 ( ) A 36 B. 18 C. 26 D. 25 答案 C 解析 ： 圆 0104422 圆心为 (2， 2)，半径为 3 2 ， 圆心到直线 014 距离为| 2 2 1 4 | 252 3 2 ， 圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 2R =6 2 ，选 C. 题型 7：平行线间的距离 【例 7】（ 07四川）如图， 1l 、 2l 、 3l 是同一平面内的三条平行直线， 1l 与 2l 间的距离是 1， 2l 与 3l 间的距离是 2，正三角形 三顶点分别在 1l 、 2l 、 3l 上，则 边长是 ( ) A 23 B 364 C 3 174 D 2 213 【答案】 D 【解析】过点 作 2l 的垂线 4l ，以 2l 、 4l 为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系设 ( ,1) ( ,0) (0, 2)C ，由A B B C A C知 2 2 2( ) 1 4 9a b b a 边长 2 ，检验 A： 2 2 2( ) 1 4 9 1 2a b b a ，无解； 5 检验 B： 22( ) 1 4a b b 2 329 3a ，无解； 检验 D： 22( ) 1 4a b b 2 289 3a ，正确 . 题型 8：动点的轨迹方程 8（ 08上海）如图，在 平面直角坐标系 中， 是一个与 、 边界）， A、 B、 C、 点 ()P x y， 、点 ()P x y ， 满足 且 ，则称P 优于 P 如果 中的点 Q 满足：不存在 中的其它点优于 Q，那么所有这样的点 Q 组成的集合是劣弧 ( ) 弧 弧 弧 D弧 案 D 解析 ： 分别在弧 弧 任意取一点 Q，只有在弧 满足不存在 中的其它点优于 Q，故选 D 题型 9：圆的方程 9. (06重庆 )以点（ 2， 1）为圆心且与直线 3 4 5 0 相切的圆的方程为 （ ） A 22( 2 ) ( 1 ) 3 B 22( 2 ) ( 1 ) 3 C 22( 2 ) ( 1 ) 9 D 22( 2 ) ( 1 ) 3 答案 C 解析 22| 3 2 4 1 5 |34r （ ） 3，故选 C. 10.。（ 08福建 )若直线 3x+4y+m=0 与圆 为参数）没有公共点，则实数 m 的取值范围是 . 解析 ： 将圆化成标准方程得 1)2()1( 22 圆心 )2,1( ，半径 1r . 直线与圆相离， 143)2(41322 m， 55 m ， 100 . 题型 10：直线与圆的位置关系 11.（ 09辽宁） 已知圆 C 与直线 x y 0 及 x y 4 0 都相切，圆心在直线 x y 0 上，则圆 C 的方程为 （ ） A. 22( 1 ) ( 1 ) 2 B. 22( 1 ) ( 1 ) 2 A B C D O x y 6 C. 22( 1 ) ( 1 ) 2 D. 22( 1 ) ( 1 ) 2 答案 B 解析 ： 圆心在 x y 0 上 ,排除 C、 D,再结合图象 ,或者验证 A、 即可 . 题型 11：圆与圆的位置关系 12 （ 07山东）与直线 20 和曲线 22 1 2 1 2 5 4 0x y x y 都相切的半径最小的圆的标准方程是_ 答案 22( 2 ) ( 2 ) 2 【解析】 曲线化为 22( 6 ) ( 6 ) 1 8 ，其圆心到直 线 20 的距离为662 5 2 所求的最小圆的圆心在直线 上，其到直线的距离为 2 ，圆心坐标为 (2,2). 标准方程为22( 2 ) ( 2 ) 2 . 【重点方法提炼】 在解答有关直线的问题时，应特别注意的几个方面： （ 1）在确定直 线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾角的范围 （ 2）在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况 距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的 m 倍（ m 0）”等时，采用截距式就会出现“零截距”，从而丢解 （ 3）在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止由于“无斜率”，从而造成丢解 讨论两直线的平行、垂 直的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论 （ 4） 有关圆的问题解答时，应注意利用圆的平面几何性质，如圆与直线相切、相交的性质，圆与圆相切的性质，这样可以使问题简化 （ 5） 对独特的数学 方法 坐标法要引起足够重视要注意学习如何借助于坐标 系，用代数方法来研究几何问题，体会这种数形结合的思想 （ 6） 首先 将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终 1.（ 2004 年湖北，文 2）已知点 6， 2）和 1， 7），直线 y=7 与线段 交点 M 分有向线段 2，则 m 的值为 A.23B.析：设 M（ x， y），点 M 分 =23. 得 x=231236 =3， y=2317236 =5. 代入 y=7，得 m=4. 答案： D 2.（ 2003 年辽宁）在同一直角坐标系中，表示直线 y= y=x+a 正确的是 7 y x OA y x OB y OC x y x ：根据 a 的符号和表示直线的位置特征，显见 C 正确，因为当 ，直线 的斜率k=-1,合得 a 的取值范围是（ 4 ， 2 ） 14（ 2008 全国 2， 11） 等腰三角形 两腰所在直线的方程分别为 20 与 9 7 4 0 ，原点在等腰三角形的 底边上，则底边所在直线的斜率为（ ） A 3 B 2 C 13D 1215.（ 2010 福建， 8） 设不等式组 所表示的平面区域是1，平面区域2与1关于直线 3于1中的任 意点 的任意点 B， 最小值等于 A. 285B. 4 C. 125D. 2 16（ 2010 浙江， 7） 若实数 满足不等式组,01,032,033的最大值为 9，则实数 m （ A） B） C） 1 （ D） 2 17（ 2009 安徽 7）若不等式组 034 所表示的平面区域被直线 43y 分为面积相等的两部分，则 k 的值是 （ A） 73（ B） 37（ C） 43（ D） 3418. (2009 宁夏海南 6)设 , 4,1,2 2, 则 z x y （ A）有最小值 2，最大值 3 （ B）有最小值 2，无最大值 （ C）有最大值 3，无最小值 （ D）既无最小值，也无最大值 【答案】 B 【解析】画出不等式表示的平面区域，如右图，由 z x y，得 y x z，令 z 0，画出 y x 的图象，当它的平行线经过 A（ 2,0）时， z 取得最小值，最小值为： z 2，无最大值，故选 10 19 (2009 福建 9)在平面直角坐标系中，若不等式组 101010x y （ 为常数）所表示的平面区域内的面积等于 2，则 a 的值为 A. B. 1 C. 2 D. 3 【解析】 如图可得黄色即为满足 010101 可行域，而与 的直线恒过（ 0， 1），故看作直线绕点（ 0， 1）旋转，当 a=，则可行域不是一个封闭区域，当 a=1 时，面积是 1； a=2 时，面积是23；当 a=3 时，面积恰好为 2，故选 D. 20 (2008 山东 11)已知圆的方程为 设该圆过点（ 3， 5）的最长弦和最短弦分别为 四边形 面积为 （ ） （ A） 10 6 （ B） 20 6 （ C） 30 6 （ D） 40 6 21 (2010 江苏 9)在平面 直角坐标系 ，已知圆 422 有且仅有四个点到直线 12c=0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是 _ 【解析】考查圆与直线的位置关系。 圆半径为 2， 圆心（ 0， 0）到直线 12c=0 的距离小于 1， |113c ， c 的取值范围是（ 13）。 22（ 2009，上海， 22） 已知双曲线 C 的中心是原点，右 焦点为 F 30， ，一条渐近线 m:x+ 2 0y ,设过点 A( 3 2,0)的直线 1, )ekv 。 （ 1） 求双曲线 （ 2） 若过原点的直线 / a与 ，求 （ 3） 证明：当 22k 时， 在双曲线 ，使之到直线 . 【解析】（ 1）设双曲线 C 的方程为 222 ( 0 ) 32 ，解 2 双曲线 C 的方程为 2 2 12x y（ 2）直线 : 3 2 0l k x y k ，直线 :0a kx y 由题意，得2| 3 2 | 61，解得 22k （ 3）【证法一】设过原点且平行于 l 的直线 :0b kx y 11 则直线 l 与 b 的距离23 2 | | ,1当 22k 时， 6d 又双曲线 C 的渐近线为 x 20y 双曲线 C 的右支在直线 b 的右下方， 双曲线 C 右支上的任意点到直线 l 的距离大于 6 。故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ，使之到直线 l 的距离为 6 【证法二】假设双曲线 C 右支上存在点00( , )Q x l 的距离为 6 ， 则 00 22200| 3 2 6 ( 1 )12 2 ( 2 )k x y 由（ 1）得 200 3 2 6 1y k x k k 设 23 2 6 1t k k ，当 22k 时， 23 2 6 1 0t k k ； 2222213 2 6 1 6 031kt k 将00y kx t代入（ 2）得 2 2 200(1 2 ) 4 2 ( 1 ) 0k x k t x t 2 ,02， 221 2 0 , 4 0 , 2 ( 1 ) 0k k t t 方程 (*) 不存在正 根，即假设不成立， 故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ，使之到直线 l 的距离为 6 圆的切线方程： ( 椭圆的切线方程 (xx 0)/ (yy 0)/. 双曲线的切线方程 (xx 0)/ (yy 0)/. 抛物线切线方程 yy 0 = p （ x+ 12 【高考实战演习 】 一选择题 1 （ 09 湖南重点中学联考） 过定点 2,1P 作直线 l 分别交 x 轴、 y 轴正向于 A、 B 两点，若使 O 为坐标原点）的面积最小，则 l 的方程是 （ ） A. 30 B. 3 5 0 C. 2 5 0 D. 2 4 0 2 （ 09 湖北重点中学联考） 若 P（ 2， 1）为圆（ x 1） 2+5 的弦 中点，则直线 方程是 （ ） y 3=0 y 3=0 C.x+y 1=0 y 5=0 3.（ 09陕西） 过原点且倾斜角为 60 的直线被圆 学 2240x y y 所截得的弦长为 （ ） A. 3 C. 6 4.（ 09宁夏海南） 已知圆1C： 2( 1)x + 2( 1)y =1，圆20 对称，则圆2 ( ) A. 2( 2)x + 2( 2)y =1 B. 2( 2)x + 2( 2)y =1 C. 2( 2)x + 2( 2)y =1 D. 2( 2)x + 2( 2)y =1 5.（ 09重庆） 直线 1与圆 221的位置关系为 （ ） A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心 D相离 6.（ 09重庆） 圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点（ 1， 2）的圆的方程为 （ ） A 22( 2 ) 1 B 22( 2 ) 1 C 22( 1 ) ( 3 ) 1 D 22( 3 ) 1 7 （ 08 湖 北 ） 过点 (11,2)A 作圆 22 2 4 1 6 4 0x y x y 的 弦 ， 其 中 弦 长 为 整 数 的 共 有 （ ） B. 17 条 C. 32 条 D. 34 条 8 （ 08北京） 过 直线 上的一点作圆 22( 5 ) ( 1 ) 2 的两条切线12当直线12于 对称时，它们之间的夹角为 （ ） A 30 B 45 C 60 D 90 二填空题 9 （ 07 上海） 已知1 : 2 1 0l x m y 与2 : 3 1l y x，若两直线平行，则 m 的值为 _. 10.（ 08天津） 已知圆 2,1)P 关于直线 1对称直线 3 4 1 1 0 与圆 A, 两点，且 6则圆 _ 11.（ 09四川） 若 221 :5O x y与 222 : ( ) 2 0 ( )O x m y m R 相交于 A、 B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 长度是 w. 13 12.（ 09全国） 若直线 m 被两平行线12: 1 0 : 3 0l x y l x y 与所截得的线段的长为 22 ，则 m 的倾斜角可以是 : 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号） 13.（ 09天津） 若圆 224与圆 22 2 6 0x y a y （ a0）的公共弦的长为 23，则 a=_ . 14 （ 09辽宁） 已知圆 C 与直线 x y 0 及 x y 4 0 都相切，圆心在直线 x y 0 上，则圆 C 的方程为_. 三解答题 15 （ 09 广西重点中学第一次联 考） 设直线 l 过点 A（ 2， 4），它被平行线 x y +1=0与 所截得的线段的中点在直线 x+2上，求直线 l 的方程 . 16 （ 08北京） 已知菱形 顶点 在椭圆 2234上，对角线 在 直线的斜率为 1 （ ）当直线 点 (01)， 时，求直线 方程；（ ）当 60时，求菱形 积的最大值 17 （ 08江苏） 设平面直角坐标系 ，设二次函数 2 2f x x x b x R 的图象与两 坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C求： （）求实数 b 的取值范围； （）求圆 C 的方程； （）问圆 C 是否经过某定点（其坐标与 b 无关）？请证明你的结论 18 (08 海淀一模 )如图，在平面直角坐标系中， N 为圆 A： 16)1( 22 的一动点，点 B（ 1， 0），点 N 中点，点 P 在线段 ，且 （ ）求动点 P 的轨迹方程； （ ）试判断以 直径的圆与圆 22 =4 的位置关系，并说明理由 . 19 （ 08年西城一模 ） 在面积为 9 的 中， 4ta ，且 点为坐标原点，以的平分线所在直线为 x 轴的平面直角坐标系，如图所示 . （ ）求 在的直线方程； ( )求以 在的直线为渐近线且过点 D 的双曲线的方程； ( )过 D 分别作 在直线的垂线 E、 F 为垂足），求 F 的值 . 20.（ 08 朝阳一模） 已知点 , 1 :0l y x x，2 :l y x 0x 上的 动 点， O 为坐标原点，且 的面积为定值 2 ( ）求 线段 点 M 的 轨迹 C 的方程； （ ）过 点 0,2N 作直线 l ， 与曲 线 C 交于 不同的 两点 , 射线12,点 ,S 的 两个 三等分点，求此时直线 l 的方程 14 参考答案 一选择题 1 【答案】 D 【 解析】 由题设，可知 12，且 211， 2 2 2a b a b a b 2 2 2 2 8 .a b a b a b 当且仅当 2422a b ab a a b b 时， 8. l 的方程为： 1 2 4 0 应选 D. 2 【答案】 A 【 解析】 由（ x 1） 2+5 知圆心为 Q（ 1， 0） .据 1， 1（其中 12 01 = 1） . 方程为 y=（ x 2） 1=x 3， 即 x y 3=0. 应选 A. 3. 【答案】 D 【 解析】 直线方程 3,圆的方程为： 22( 2 ) 4 圆心 (0,2) 到直线的距离223 0 2 1( 3 ) ( 1 )d，由垂径定理知所求弦长为 * 2 22 2 1 2 3d ， 选 D. 4.【答案】 B 【解析】 设圆2a， b），则依题意，有1110221 11 ， 解得 22，对称圆的半径不变，为 1. 5.【 答案】 B 【解析】 圆心 (0,0) 为到直线 1，即 10 的距离 1222d ， 而 2012，选 B. 6.【 答案 】 A 【 解法 】 设圆心坐标为 (0, )b ，则由题意知 2( 1 ) ( 2 ) 1 ，解得 2b ， 故圆的方程为 22( 2 ) 1 . 7 【答案】 C 【解析】 由已知得圆心为 P(2)，半径为 13，显然过 时只有一条，其长度为 26， 15 过 点且垂直于线段 只有一条，其长度为 10（ 2，弦长 =2 22 1213 =10），而其它的弦可以看成是绕 A 点不间断旋转而成的，并且除了最长与最短的外，均有两条件弦关于过 A 点的直径对称，所以所求的弦共有 2（ 26+2=32故选 C 8 【答案】 C 【解析】 此圆的圆心为 C（ 5， 1），半径 2r : 上的点 P 符合要求，连结 由题意知 ， 又 22215 设2C 切于点 A，连结 2在 t 中， 21 30 0 . 故 选 C. 二填空题 9 【答案】32【解析】 2 1 23 1 1 3m m . 10.【答案】 22( 1) 1 8 . 【解析】 圆 C 的圆心与 P（ 2,1）关于直线 y=x+1 对称的圆心为 (0,设该圆的方程为 .)1( 222 设 为 M，连结 三角形 222 2 23 0 4 ( 1 ) 1 13,5| | 3 ,3 3 1 8 , M M A 又 故圆的方程为 ( 22 11.【答案】 4 【 解析】 由题知 )0,(),0,0( 21 且 53|5 m ，又 21 ， 所以有 525)52()5( 222 45 2052 12.【答案】 或 【 解析】 两平行线间的距离为 211|13| d ，由图知直线 m 与 1l 的夹角为 1l 的倾斜角为 16 所以直线 m 的倾斜角等于 00 754530 o 或 00 153045 o . 13.【 答案 】 1 【 解析】 由知 22 2 6 0x y a y 的半径为 26 a , 222 )3()1(6 之得 1a . 14 【 答案 】 22( 1 ) ( 1 ) 2 【 解析 】 圆心在 x y 0 上 ,结合图 象 ,或者验证 A、 B 中圆心到两直线的距离等于半径 2即可 . 三解答题 15 【答案】 3 【 解析】 由几何的基本的性质，被两平行线所截得的线段的中点一定在 y=x 上，将 x+2 与 y=x 联立构成方程组解得交点的坐标为（ 1， 1）点，又由直线 l 过点 A（ 2， 4）由两点式得直线 l 的方程为： 3. 16 【 解析】 （ ）由题意得直线 方 程为 1因为四边形 菱形，所以 D 于是可设直线 方程为 y x n 由 2234x n ， 得 224 6 3 4 0x n x n 因为 在椭圆上， 所以 21 2 6 4 0n ， 解得 4 3 4 333n 设 A， B 两点坐标分别 为1 1 2 2( ) ( )x y x y， ， ， 则1232， 212344 ， 11y x n ， 22y x n 所以122 所以 中点坐标为 344， 由四边形 菱形可知， 点 344，在直线 1上， 所以 3 144，解得 2n 所以直线 方程为 2 ， 即 20 17 （ ）因为四边形 菱形， 且 60， 所以 A B B C C A 所以菱形 面积 232S A C 由（ ）可得 22 221 2 1 23 1 6( ) ( ) 2 x x y y 所以 S 23 4 3 4 3( 3 1 6 )4 3 3 所以当 0n 时，菱形 面积取得最大值 43 17 【 解析 】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法 （）令 x 0，得抛物线与 y 轴交点是（ 0， b）；令 2 20f x x x b ， 由题意 b 0 且 0，解得 b 1 且 b 0 （）设所求圆的一般方程为 ： 2x 2 0y D x E y F ， 令 y 0 得 2 0x D x F 这与 2 2x x b 0 是同一个方程， 故 D 2， F b 令 x 0 得 2y 0，此方程有一个根为 b，代入得出 E b 1 所以圆 C 的方程为 22 2 ( 1 ) 0x y x b y b . （）圆 C 必过定点（ 0， 1）和（ 2， 1） 证明如下：将（ 0， 1）代入圆 C 的方程， 左边