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第三章 机器人运动学 已知关节变量 ，求末端执行器位姿 本章要解决的问题： 运动学正问题：运动学正问题： 运动学逆问题：运动学逆问题： 已知 ，求 3.1 杆件、关节节、标标架、杆件变换变换 一、基本概念（图31） 图 3-1 1、杆件杆件（Link): 操作机器人的每个运动单元，称 为 图 3-1 机座，固定不动，称为0号杆件； 与机座相联的第一个杆件； 与第一个杆件相联的后一个杆件； 与一般机构不同，在谈起机器人时，常说机器人是多少个 自由度的，而不说是几杆机构！ 开式链机器人用此标法，并联机器人有专用方法。 2、关节关节（Joint): 连接相邻两个杆件的运动副，称为 习惯上， 连接 与 ； 连接 与 ； 关节分类： 考虑到运动精度以及技术实现等原因，操作机器人一般 只用两种形式的关节！ 回转关节（回转关节（ R Revolute):evolute): 棱柱关节（棱柱关节（P Prismatic):rismatic): 只能单自由度回转而不能移动的低副； 只能单自由度移动而不能回转的低副； 3、标架标架（ Frame): 在机器人学中，常将杆件坐标系杆件坐标系称为。 4、自由度自由度（DOFD Degree-O Of-F Freedom): 机器人末端执行器所具有的独立运动能力，称为机器人 的 5、活动度活动度（Mobility): 机器人所具有的关节数，称为机器人的 自由度与活动度间的关系？（人自腰部以上到手腕为多少？） 二、基本参数 1、杆件参数杆件参数 （ i=1,2,n-1 i=1,2,n-1 ) )（图32） 杆长杆长： ，杆件i上两条轴线间公法线长度，称为 扭角扭角： ，杆件i上两条轴线在垂直于公法线平面内的 夹角，称为（） 图 3-2 用这两个参数就可以确定相邻两条轴 线的相互位置！； 杆件结构确定了，这2个参数为常量； i=0 及i=n 时的参数呢？（仅1根轴线） 待标架建立后才 能确定！ 若杆件的两根轴线平行，杆件参数是多少？ （扭角：纵向左右扭！） 杆件参数可能是负值吗？ 2、关节参数关节参数 （ i=1,2,n-1 i=1,2,n-1 ) )（图33） 图 3-3 关节角关节角 ：关节 上 相邻两条公法线在垂直于 轴线平面内的夹角，称为 偏距偏距 ：关节 上相邻两 条公法线沿 轴线测得的距 离，称为 （ 轴上两条公法线间的最短距 离） 如同杆件参数一样，关节参数也为非负值！ 对回转关节： 是常量， 是变量； 对棱柱关节： 是变量， 是常量； i=0 及i=n 时的参数呢？ 待标架建立后才能确定！ 关节参数物理含义？ 决定了相邻两个杆件间相互位置； 若相邻3根轴线平行，可直接可以看出关节角即是i+1 杆 相对于i 杆转过的角度； （图3-4） 图 3-4 在机器人中常用回转关节，若 意味着相邻两个杆件不 上下交错，将可能导致关节角 小于360。 人臂结构如何？ 三、Denavit-Hartenberg标架（简称D-H标架） 1、杆件上标架的建立 杆件标架建立方法不一样，位姿 描述含义与结果也不一样！ 为统一起见，均采用本讲义D-H 方法（其它方法？） 1.1 中间杆件标架 （i=1,2,n-1)（图3-5） (1) ：与 轴线重合，正方向按照机器人构型构型确定； (2) ：与 杆件公法线重合，由 指向 ；当；当 时，取时，取 （3） ：按照右手法则确定； （4） ： 与 交点。 图 3-5 构型：左构构型：左构（左臂）、右右 构构（右臂）。使机器人初 始转动角度为正值！ 特殊情况： 当 ，即 与 相交时， 取在交点处； 当 时， 取在使 处； 杆件标架的建立需要两根特殊的线：关节轴线、公法线！ 杆件的标架位于杆件前一个关节轴线上！ 基座、末杆只有1根轴线，其标架需按照特殊的方法建立！ 1.2 机座标架 机座标架 与机座固联，用来描述机器人各个杆件及末端 执行器的位姿； 的建立可随意，但为了方便起见，一般规定：当第一个 关节变量为零值时， 与 重合。 因此，有： 当第一个关节为回转关节时，还有： 当第一个关节为棱柱关节时，还有： 1.3 末杆标架 机器人末杆一端与前一个杆件相联，另一端是机械接口，机械接口，用 以连接末端工具，因此只有1根轴线。 其标架建立原则与机座标架相类似：为了便于计算！ (1) ：与 轴线重合； (2) ：当其关节变量为0时， 与 重合。 机座标架看杆1，末杆标架看的是n-1杆！ 二者不同之处： 与 原点不重合！ 具体地： 当 为回转关节且 时，取 与 重合；因此 当 为棱柱关节且 时，取 与 重合；因此 1.4 末端执行器标架 末端执行器不同，其标架不同，详见教科书。 末端执行器标架与末杆标架是平移关系！ 同一台机器人可以使用不同的末端执行器，为此，在样本中 一般只给出杆件标架参数。末端执行器标架视情况而定。 2、D-HD-H参数参数 采用D-H标架，用来描述机器人各杆件标架间相对位姿关 系的参数，称为 为何要采用D-H参数？ 如果要确定坐标系间相对位姿关系，需要几个参数？ 共有4 4个个D-H参数（图3-6）！ 图 3-6 从 到 ，沿 的距离； 从 到 ，绕 的角度； 从 到 ，沿 的距离； 从 到 ，绕 的角度； D-H参数仍然借用杆件参数、关节 参数的符号符号，但有正负号了！ 仅用4个参数！ 3、杆件变换矩阵杆件变换矩阵 对一台机器人讲，可有如下坐标系： 机座标架（参考坐标系）； 杆件1标架； 杆件n标架； 末端执行器坐标系； 世界坐标系世界坐标系； 研究机器人运动学时，一般只讨论机器人本身杆件标架！ 所涉及的杆件变换杆件变换有： 通式为： 习惯上，杆件变换矩阵杆件变换矩阵写成 形式! 变换过程（？尝试一下D-H参数！）： 变换顺序（？）： （1）绕 旋转 ，使得 ； （3）绕 旋转 ，使得 （4）沿 移动 ，使得 与 重合。 杆件变换矩阵杆件变换矩阵（通式，学生做）： 仅包含一个变量（回转关节：关节角。棱柱关节：偏距）！ （2）沿 移动 ；使得 与 重合 ； 仅仅需要4次变换即可！（D-H参数的优点！4个参数即可确 定相对位姿！样本、论文中通常只给这4个参数！） 3.2 3.2 机器人运机器人运动动动动学学 一、运动学基本方程运动学基本方程 机器人末杆标架相对于机座的齐次变换矩阵为 ： 简记为： 上式即为机器人运动学基本方程运动学基本方程。 二、运动学反解（？）运动学反解（？） 运动学反解是机器人控制的基础！运动学反解是机器人控制的基础！ 1、解存在域 在工作空间工作空间外，无解！ 在工作空间内，？ 使用时首先 要选择合适的 机器人，且安 装位置要恰当 ！ 2、求解分析（以6DOF机器人为例！？） 已知： 分析： （1）方程右端每个杆件矩阵中含有1个变量，共有6个未知数； （2）矩阵相等，其每个对应元素相等，共有1212个有效等式。 如何从12个等式中挑出6个独立的方程独立的方程来？ 要求解的方程为超越方程（超越方程（三角函数方程），如何求解？ 3、求解方法 （1）数值法。任意6自由度串联机器人都有迭代解迭代解。缺点 ：求解时间不固定，不适合控制应用（？）。 （2）解析法。可以得到闭式解闭式解，适合控制应用（？）。 4、解析解存在条件 不是任意情况的机器人都有闭式解！ 必要条件： 或物理含义？ 由于运动学反解是控制的基础，因此操作机器人一般都要 满足此必要条件！（在结构上进行了限制！） 充分条件（Pieper条件）： 机器人机构中有3个相邻的关节轴线相交于一点或平行。 若3根相邻的关节轴线相交于一点，其结构将很紧凑。常将 此形式的机构称为手腕手腕（或球腕球腕），放在机器人末端使用！ 典型操作机器人形式： 操作臂手腕 实现位置 实现姿态 带球腕的机器人还有特殊解法，后面将讨论！ 解析解存在的充要条件？至今还未给出！ 5、重解问题 对于给定的一个位姿，常常有多组关节变量相对应，这种现 象称为。 示例（图3-7） 图 3-7 都可行。哪一组最好？ （必须作出选择！） 最小能量约束，关节运动范围限制， 6、分离关节变量法分离关节变量法 分离关节变量法分离关节变量法基本思想： 关节变量以三角函数形式出现； 若能将等式一端化为某一关节变量的三角函数，另一端 为常量，则可以用反三角函数法求出待求变量。 小结：反解时需解决的问题： 求解方法问题，解析解存在条件问题， 6个独立方程选 择问题，超越方程问题，重解问题， 不用数值计算法；解前验证条件；与下一个问题一起解决！关 键是反三角函数问题；应用附加约束条件，例如最小能量约束 等； 求解关键：如何能化成上述情况！ 采用的是逆向思维方法进行求解！ 基本过程： （2）方程两端同时左乘以 ，得： （1）先试探一下可否根据运动学基本方程解出某些变量 ；若不能，则继续步骤（2）； 上式左端只含有杆件1的关节变量；若在方程右端能找到一个 对应的常数项，则可以求出杆件1的关节变量了。解得后，再 看一下能否解出其它变量，能解出，解之；否则继续左乘下 一个杆件矩阵的逆，依次类推，直到解得全部变量。 用左乘的方法将变量依次隔离出来，因此，称为。 有些学者建议一开始就进行左乘分离！（名副其实） 矩阵乘法操作小窍门！（从右端开始！？减少计算量） 例题： 已知： 解： 解法1： 结果出来了， 可以吗？ 存在的问题： 例如： （1）反三角函数多值问题。 当 时，其反函数值至少有两个（限定为1转时）： 及 （2）反三角函数值精度问题：当取一些值时，误差较大 。 例如：与 但对于一些定位精度要求较高的机器人来说，可能造成较 大的位置误差。 不宜用反正弦或反余弦函数求关节角度值！ 解法2： 解法2可行吗？ 反正切、反余切采用了2个参数求角度值，其结果唯一。 反正切、反余切灵敏度高，误差小！ 要采用反正切或反余切计算关节角度值！ 7、带球腕机器人运动学反解 球腕运动学特点分析： 球腕：3个关节轴相交于一点。 球腕3个杆件的标架原点重合在一起。 球腕3个关节变量不影响末杆的位置！（只影响姿态） 末杆位置完全由前3个杆件确定。 带球腕机器人运动学反解方法： （1）将 、 、 相乘，由这三个矩阵相乘得到的位置 值即是整个机器人的位置值。据此，可以解得 （2） 求出后， 变为常量，将它们分离出，根 据 可以进一步求出 将6个联立方程变成2组3元联立方程，求解难度自然降低了！ 带球腕机器人运动特点： 球腕一般放在机器人末端； 前三个自由度用于实现位姿，后三个用于调整姿态； 反解简单； 示教方便，便于应用！ 拟人式机器人（图3-8）？ 图 3-8 拟人式机器人 3.3 机器人工作空间间 一、概念： 1.1. 工作空间工作空间： 机器人反解存在的区域，称为 为机器人可达位姿的集合。 2. 2. 灵活工作空间灵活工作空间： 在工作空间中，机器人的末端执行器能够从机构允许 的各个方向到达的位姿点的集合，称为 3. 3. 可达工作空间可达工作空间： 机器人末端执行器至少能以某一姿态到达的区域，称 为 灵活工作空间可达工作空间工作空间 对机器人应用有意义的空间：灵活工作空间！ 机器人样本中给出的工作空间：机械接口的位姿空间 二、示例： 平面2杆2DOF机器人（图39） 设 图 3-9 示例 半径为2l的圆面 原点 无 外径为 ，内径为 的圆环 可达空间 灵活工作空间 在边界上，只有一种姿态； 在可达空间内，只有2种姿态； 若不可灵活地工作，则会大大降低机器人使用价值！ 对图例机器人，只需在腕部再增加一个回转关节自由度，则 可使可达空间变成灵活工作空间（见黑板）。 设计机器人时，应该保证可达空间即为灵活工作空间！ 鉴于此，习惯上只用“工作空间”术语！ 三、工作空间绘制 机器人只能在其工作空间中运动，因此，了解其工作空间 形状、大小等是必须的！ 绘制方法： 1. 计算机绘图。由计算机根据其运动