《高等数学》下册教案多元函数微分学

高等数学下册教案 第九章 多元函数微分法及其应用 1 第 八 章 多 元 函 数 微 分 学 1 、 多 元 函 数 的 基 本 概 念 多 元 函 数 的 基 本 概 念 的 介 绍 以 二 元 函 数 为 主 。 一 二 元 函 数 的 概 念 1 区 域 平 面 区 域 邻 域 圆 形 邻 域 2 2 20 0 0( , ) ( , ) ; ( ) ( ) U P x y x x y y 矩 形 邻 域 0 0 ( , ) ; | | , | | x y x x a y y b 区 域 内 点 开 集 开 区 域 边 界 点 闭 集 闭 区 域 连 通 性 有 界 区 域 对 于 平 面 区 域D 存 在 一 个 以R 为 半 径 的 圆 完 全 包 含 了 区 域D 则 称 平 面 区 域D 为 有 界 区 域 。 2 二 元 函 数 的 定 义 定 义 、 设 有 变 量 , ,x y z 平 面 点 集D 当 ( , )x y D 时 按 照 一 定 的 法 则 f 总 有 唯 一 确 定 的z 值 与 之 对 应 称z 为 变 量 ,x y 的 函 数 即 二 元 函 数 记 作 ( , )z f x y ( , )x y D 称,x y 为 函 数 的 自 变 量 z 为 函 数 的 因 变 量 D 为 函 数 的 定 义 域 而 ; ( , ) , ( , ) z z f x y x y D 为 函 数 的 值 域 。 如 函 数 1 1z x y 定 义 域 为 ( , ) ; 1D x y x y 无 界 的 开 区 域 2 2 2z a x y 的定 义 域 则 为 2 2 2 ( , ) ; D x y x y a 有 界 的 闭 区 域 函 数 2 2 221z a x yy x 的 定 义 域则 为 2 2 2 ( , ) ; ,D x y x y a 2y x 。 00( , )0( , )x y 高等数学下册教案 第九章 多元函数微分法及其应用 2 注 二 元 函 数 的 定 义 域 是 平 面 上 的 区 域 而 二 元 函 数 的 图 像 是 空 间 的 曲 面 。 如 二 元 函 数2 2 2z a x y 的 图 像 是 上 半 球 面 定 义 域 的 是 平 面 区 域D 2 2 2x y a 同 理 可 知 三 元 函 数 ( , , )u f x y z 的 定 义 域 是 空 间 的 区 域 如 函 数 2 2 2 2u R x y z 的 定 义 域 2 2 2 2 ( , , ) ; x y z x y z R 是 空 间 的 球 体 一 般 自 变 量 为 两 个 或 两 个 以 上 的 函 数 统 称 为 多 元 函 数 。 二 多 元 函 数 的 极 限 1 极 限 的 定 义 定 义 、 设 二 元 函 数 ( , )z f x y 在 点 0 0 0( , )P x y 的 某 邻 域 内 有 定 义 0P 可 以 除 外 A 是 一 确 定 的常 数 。 若 0 0 当 邻 域 内 的 任 意 一 点 ( , )P x y 满 足 不 等 式2 20 0 00 | | ( ) ( )PP x x y y 时 均 有| ( , ) |f x y A 称A 为 函 数 ( , )z f x y 当0 0( , ) ( , )x y x y 时 的 二 重 极 限 简 称 为 函 数 的 极 限 记 作 00l i m ( , )x xy y f x y A 。 注 根 据 定 义 极 限 存 在 与 否 与 函 数 ( , )f x y 在 0 0 0( , )P x y 的 状 态 无 关 只 与 ( , )f x y 在 0 0 0( , )P x y 的 周 围 邻 域 内 的 状 态 有 关 定 义 中 极 限 存 在 是 指 ),( 任 何 方 式 趋 于 ),( 00 函 数 都 无 限 的 接 近 于 A 即 极限 值 与 0 的 方 式 无 关 即 极 限 与 路 径 无 关 但 是 如 果 ),( 不 同 的 方 式 趋 于 ),( 00 函 数 趋 于 不 同 的 值 可 以 断 定 函 数 的 极 限 一定 不 存 在 即 如 果 极 限 值 与 路 径 有 关 函 数 的 极 限 不 存 在 。 二 元 函 数 极 限 的 四 则 运 算 法 则 、 夹 逼 准 则 等 均 与 一 元 函 数 类 似 可 以 借 助 于 一 元 函 数 求 极限 的 方 法 求 一 些 简 单 的 二 元 函 数 的 极 限 。 例 1 求 极 限 212 1l i y 。 解 212 1 3l i m 13xy y 例 2 求 极 限 20 1l i m s i n ( )xy 。 解 20 1l i m s i n ( )xy 20 s i n ( )l i 2 1 2 11x高等数学下册教案 第九章 多元函数微分法及其应用 3 例 3 求 极 限 220 30 ( )l i m 1 s i n ( ) 1xy x yx y 。 解 2 2 23 1 11 s i n ( ) 1 s i n ( ) ( )3 3x y x y x y 0x y 220 30 ( )l i m 1 s i n ( ) 1xy x yx y 2210 30 ( )l i m s i n ( )xy x yx y 2200 ( )3 l i m 3( )xy x yx y 例 4 说 明 函 数 000),( 22 2222 yx yx ( , ) ( 0 , 0 )x y 时 的 极 限 不 存 在 。 解 ( , )f x y 的 定 义 域 是 整 个 面 只 要 说 明 ( , ) ( 0 , 0 )x y 的 极 限 与 路 径 有 关 即 可 。让 ( , )x ( 0 , 0 ) 点 的 直 线 y 0k 趋 向 于 ( 0 , 0 ) 00l i m ( , )xy f x y 2 200l i y 2 2 20l i k x 20l i m 1 21 与k 有 关 表 明 极 限 值 与 路 径 有 关 从 而 00l i m ( , )xy f x y 不 存 在 。 注 当 ),( x 轴 趋 于 )0,0( 时 00l i m)0,(l i m 00 xx 当 ),( y 轴 趋 于 )0,0( 时 00l i m),0(l i m 00 yy 表 明 特 殊 路 径 的 极 限 存 在 并 不 能 推 出 二 重 极 限 的 存 在 。 例 5 证 明 极 限 2 22 2 200l i m ( )xy x yx y x y 不 存 在 。 证 首 先 考 虑 经 过 ( 0 , 0 ) 的 任 一 直 线 y y 轴 除 外 此 时 2 22 2 200l i m ( )xy x yx y x y 2 22 2 20 ( )l i m ( ) ( )xy kx x kx x 2 22 2 20l i m 0( 1 )x k xk x k 1k 如 果 1k 则 考 虑 ( , )x y 沿 y x 趋 于 ( 0 , 0 ) 此 时 2 22 2 200l i m ( )xy x yx y x y 2 22 2 20l i m ( )xy x x yx y x x 2 22 20l i m 1xy x x yx y 表 明 极 限 与k 的 取 值 即 与 路 经 有 关 从 而 极 限 不 存 在 。 注 二 重 极 限 ),(l i 不 能 写 作 0 0l i m l i m ( , ) x x y y f x y 或 0 0l i m l i m ( , ) y y x x f x y 后 两 者 称 为 累 次 极限 二 次 极 限 。 0 0l i m l i m ( , ) x y f x y 2 20 0l i m l i m x y 2 200l i m 00 ( , )xy, )y( ,0)x(0,0)高等数学下册教案 第九章 多元函数微分法及其应用 4 0 0l i m l i m ( , ) y x f x y 2 20 0l i m l i m y y 2 200l i m 00 但 是 二 重 极 限 00l i m ( , )xy f x y 并 不 存 在 。 注 此 例 表 明 二 次 极 限 与 二 重 极 限 是 两 个 完 全 不 同 的 概 念 二 者 没 有 必 然 的 联 系 但 是 如 果二 次 极 限 与 二 重 极 限 都 存 在 可 以 证 明 极 限 值 一 定 相 等 。 例 6 函 数 2 2 2 22 2 0( , ) 00y x yf x y x y 求 ),(l i 。 解 2 22 2 10 | | 2xy x yx y 2 200 1l i m 02xy x y 由 夹 逼 准 则 ),(l i 0l i m 2200 yx 三 二 元 函 数 的 连 续 性 1 连 续 的 定 义 定 义 、 设 ( , )z f x y 在 包 含 点 0 0 0( , )P x y 的 某 邻 域 内 有 定 义 若 极 限 00l i m ( , )x xy y f x y 存 在 且00 0 0l i m ( , ) ( , )x xy y f x y f x y 则 称 函 数 ( , )z f x y 在 点 0 0 0( , )P x y 连 续 否 则 称 点 0 0 0( , )P x y 为函 数 的 间 断 点 。 注 若 ( , )z f x y 在 定 义 域D 内 点 点 连 续 则 称 ( , )z f x y 在D 内 连 续 连 续 的 二 元 函 数 的 图 像 是 无 缝 隙 、 无 孔 的 空 间 曲 面 二 元 函 数 的 间 断“ 点 ”可 能 是 孤 立 的 点 也 可 能 是 曲 线 如 函 数 2 2 21z a x y 间 断 点 为 2 2 2 ( , ) ; x y x y a 2 多 元 初 等 函 数 的 性 质 所 有 多 元 初 等 函 数 在 其 定 义 区 域 内 都 是 连 续 的 有 界 闭 区 域 上 的 多 元 连 续 函 数 有 最 大 值 和 最 小 值 定 理 、 介 值 定 理 等 等 。 练 习 一 、 求 下 列 二 元 函 数 的 极 限 si i m ( 1 ) 2 22 200 4 2l i x yx y 22 2l i m ( ) y 0 s i nl i m 1a 2 2 2 2( )2 200l i m s i n ( )x y x ex y 高等数学下册教案 第九章 多元函数微分法及其应用 5 解 i m( 1 ) 1 ) 2s i nl n l n ( 1 ) 因 为 20 00 0 s i nl i m l n l i m l n ( 1 )x xy y 200l i m ( )xy xy 200l i m 0xy y 所 以 0 00 0l i m( 1 ) l i m 1zx xy e e 2 22 200 4 2l i x yx y 2 22 2 2 200 4 4l i m ( 4 2 )xy x yx y x y 2 200 1 1l i m 44 2xy x y 22 2l i m ( ) y 2 210 | |2 2xy y 故2 22 2 10 ( ) ( )2x y 而21l i m ( ) 02 所 以 由 夹 逼 准 则 22 2l i m ( ) 0y 00s i nl i 00s i nl i m 1 2 2 2 2( )2 200l i m s i n ( )x y x ex y 0l i m s i nu 0l i m 2c o su 练 习 二 、 讨 论 函 数 2 2 2 22 2 0( , ) 00y x yf x y x y 在 ( 0 , 0 ) 点 是 否 连 续 解 0)0,0( f 2 22 2 10 | | 2xy x yx y 2 200 1l i m 02xy x y 由 夹 逼 准 则 2 20 00 0l i m ( , ) l i m 0 ( 0 , 0 )x xy y x y fx y 所 以 ( , )f x y 在 ( 0 , 0 ) 点 连 续 。 练 习 三 、 证 明 极 限 yx 00l i m 不 存 在 。 证 取 过 原 点 路 径 1k 则 00l i m 11l i 此 值 与k 有 关 即 上 述 极 限 与 )0,0(),( 路 径 有 关 从 而 极 限 yx 00l i m 不 存 在 。 高等数学下册教案 第九章 多元函数微分法及其应用 6 2 、 偏 导 数 一 偏 导 数 与 偏 微 分 1 偏 导 数 与 偏 微 分 的 定 义 定 义 1 、 设 ( , )z f x y 在 0 0( , )x y 的 某 邻 域 内 有 定 义 固 定 0y y 在 0x 点 给x 以 增 量 x 称增 量 0 0 0 0( , ) ( , )xz f x x y f x y 为 ( , )z f x y 在 0 0( , )x y 关 于x 的 偏 增 量 此 时 若 0l i m xx 0 0 0 00 ( , ) ( , )l i mx f x x y f x 存 在 称 极 限 值 为 ( , )z f x y 在 0 0( , )x y 点 关 于x 的 偏 导 数 记 作 0 0( , )x 0 0( , )x 0 0( , )xz x y 0 0( , )xf x y 同 理 可 以 定 义 ( , )z f x y 在 0 0( , )x y 点 关 于 y 的 偏 导 数 0 0( , )x 0 0( , )x 0 0( , )yz x y 0 0( , )xf x y 0 0 0 00( , ) ( , )l i x y y f x 注 由 偏 导 数 的 定 义 不 难 看 出 计 算 偏 导 数 不 需 要 再 引 入 新 的 方 法 对 x 求 偏 导 时 只 要将 y 视 为 常 数 即 可 故 一 元 函 数 中 的 求 导 法 则 在 此 仍 然 适 用 若 函 数 ( , )z f x y 在 区 域D 内 点 点 偏 导 数 存 在 称 ( , )z f x y 在 区 域D 内 可 导 并 且 偏 导 函数 记 作 ,z zx y ,f fx y ,x yf f ,x yz z 。 例 1 设 函 数 为 3z x y 求 及 (1,2) 。 解 23x zz x 2(1,2) (1,2)(1,2) 3 6x zz x 例 2 设 x 求 ,z zx y 。 解 求 时 视x 为 常 数 则 x 关 于 y 是 指 数 函 数 故 ( l n )x x 1 l x 求 时 视 y 为 常 数 则 x 关 于x 是 幂 指 函 数 用 对 数 求 导 法 x l n l nz x y x 1 ( l n 1 )xz y ( l n 1 ) ( l n 1 )z y x x y x 高等数学下册教案 第九章 多元函数微分法及其应用 7 例 3 设 z 求 、 、 。 解 z 故 z zx y 故 2x zy y zy x 故 1yz x 注 意 到 2 1( )zy y x 1 表 明 x 、 y 、 z 没 有 独 立 的 意 义 即 、 是 一 个 完 整 的 记 号 不 能 拆 开 使 用 。 定 义 2 、 若 ( , )z f x y 的 偏 导 数 存 在 则 称 z 为 函 数 关 于x 的 偏 微 分 称 z 为 函 数 关 于y 的 偏 微 分 记 作 x zd z y zd z 。 2 偏 导 数 的 几 何 意 义 以 ( , )z f x y 在 0 0( , )x y 点 的 偏 导 数0 0( , )x 为 例 。 此 时 总 有 0x x 。 考 虑 在 平 面 0x x 上 的曲 线L 0( , )z f x yx x 或L 00 ),( xx 由 导 数 的 几 何 意 义 对 于 函 数 ),( 0 0 0( , )x 表 示 交 线L 上 点 0 0 0( , , )x y z 处 相 对 于 y 轴 方 向 的 斜 线 的 斜 率 同 理 0 0( , )x 表 示 在 交 线 0( , )z f x yy y 上 0 0 0( , , )x y z 处 相 对 于x 轴 方 向 的 斜 线 的 斜 率 例 4 求 曲 线 4422yz 点 )5,4,2( 处 的 切 线 对 于x 轴 的 倾 角 。 解 4 22 2),( 1)4,2( 1t a n 即 4 。 3 偏 导 数 与 函 数 连 续 的 关 系 在 一 元 函 数 中 有“ 可 导 必 然 连 续 ”。在 多 元 函 数 中 偏 导 数 与 函 数 连 续 之 间 有 什 么 关 系 呢 例 5 已 知 函 数 2 2 2 22 2 0( , ) 00y x yf x y x y 在 ( 0 , 0 ) 的 极 限 是 不 存 在 的 从 而 在 ( 0 , 0 ) 不 连 续 。考 察 偏 导 数 ( 0 , 0 ) 、 ( 0 , 0 ) 。 00( , ,0) 0( , , )x y ( , )y 等数学下册教案 第九章 多元函数微分法及其应用 8 0 ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 )( 0 , 0 ) l i mx x f x ff x 0 ( , 0 )l i mx f 2 20( ) 00 0l i m l i m 0 0 0( 0 , 0 ) ( 0 , 0 )( 0 , 0 ) l i y 0( 0 , )l i 2 200 ( )0 0l i m l i m 0 0 ( 0 , 0 ) 、 ( 0 , 0 ) 不 仅 存 在 而 且 还 相 等 但 仍 然 无 法 保 证 函 数 在 ( 0 , 0 ) 的 连 续 性 。 表 明 在 多 元函 数 中 由 偏 导 数 存 在 推 不 出 函 数 的 连 续 。 二 高 阶 偏 导 数 设 ( , )z f x y 的 两 个 一 阶 偏 导 数 ,x yz z 均 存 在 则 它 们 仍 然 是 ,x y 的 函 数 可 以 对 这 样 的函 数 定 义 其 偏 导 数 即 为 函 数 ( , )z f x y 的 二 阶 偏 导 数 。 二 元 函 数 ( , )z f x y 的 二 阶 偏 导 数 共有 四 个 22 ( ) xx z z fx x x 2 ( )xy z z fx y y x 22 ( ) yy z z fy y y 2 ( ) yx z z fy x x y 其 中 22 0 ( , ) ( , )l i m x xx f x x y f x x 2 0 ( , ) ( , )l i m x xy f x y y f x y y . . . 将 二 阶 偏 导 数 视 为 函 数 再 定 义 偏 导 数 即 为 三 阶 偏 导 数 二 元 函 数 ( , )z f x y 的 三 阶 偏导 数 有 8 个 如 33 、 32zx y 、 3zx y x . . . 。 二 元 函 数 ( , )z f x y 的n 阶 偏 导 数 有 2n 个 。 对 于 三 元 函 数 ( , , )u f x y z n 阶 偏 导 数 有 3n 个 . . . . . . 定 理 1 、 若 二 阶 混 合 偏 导 2zx y 2zy x 连 续 则 2zx y 2zy x 即 混 合 偏 导 数 连 续 时 与 求 偏导 的 顺 序 无 关 此 结 论 可 以 推 广 到n 阶 混 合 偏 导 数 。 例 6 求 函 数 a r c t a n 的 、 及 yx z 2 。 解 )()(1 1 22 22 yx y )(1 1 2 22 yx x 222 )( 2 yx 222 )( 2 yx yx z 2 222 22 )( 2)( yx 222 22 )( yx 例 7 设 222),( 求 )2,0,1( )1,1,0( )1,1,1( 二 阶 混 合 偏 导 数 高等数学下册教案 第九章 多元函数微分法及其应用 9 解 x 2),( 2 ),( ),( 0),( 所 以 4)2,0,1( 2)1,1,0( 0)1,1,1( 3 、 全 微 分 定 义 、 设 函 数 ( , )z f x y 在 点 0 0( , )x y 的 某 邻 域 内 有 定 义 给 自 变 量 分 别 以 增 量 , 称改 变 量 0 0 0 0( , ) ( , )z f x x y y f x y 为 函 数 ( , )z f x y 在 点 0 0( , )x y 的 全 增 量 若 全增 量 z 可 以 表 示 为 ( )z A x B y o 2 2( ) ( )x y 其 中 ,A B 与 ,x y 无 关 仅 与 0 0,x y 有 关 ( )o 是 比 高 阶 的 无 穷 小 则 称 函 数( , )z f x y 在 点 0 0( , )x y 可 微 并 称 A x B y 为 ( , )z f x y 在 点 0 0( , )x y 的 全 微 分 记 作 0 00 0 ( , )( , ) ( ) x yx x B y 注 因 为 是 自 变 量 故 故 函 数 在 0 0( , )x y 的 全 微 分0 00 0 ( , )( , ) ( ) x yx x B y ),( 00)( d yA d x 若 函 数 ( , )z f x y 在 区 域D 内 点 点 可 微 则 全 微 分 通 常 写 作 定 理 1 、 设 ( , )z f x y 在 点 0 0( , )x y 可 微 则 在 点 0 0( , )x y 其 偏 导 数 一 定 存 在 且 0 0( , )x 0 0( , )x 证 ( , )z f x y 在 点 0 0( , )x y 可 微 由 定 义 对 于 自 变 量 的 任 意 增 量 ,x y 。 总 有 0 0 0 0( , ) ( , )z f x x y y f x y ( )A x B y o 特 别 当 0y 时 有 0 0 0 0( , ) ( , )z f x x y f x y ( )A x o | |x 即 0 0 0 0( , ) ( , )xz f x x y f x y ( | | )A x o x 9 0 0 0 0 00 0( , ) ( , ) ( , )l i m l i xx y z f x x y f x x x 0 ( | |l i m ) x o x 同 理 可 得 0 0( , )x 。 注 二 元 函 数 的 全 微 分 是 两 个 偏 微 分 的 叠 加 即 全 微 分 又 可 以 写 作 x d z d z 称 为 叠 加 原 理 同 理 对 于 三 元 的 可 微 函 数 ( , , )u f x y z 其 全 微 分 为 高等数学下册教案 第九章 多元函数微分法及其应用 10 x y d u d u d u u u dy y z 根 据 可 微 的 定 义 ( )z A x B y o 可 以 推 出 00l i m 0xy z 或 0 0 0 000l i m ( , ) ( , )xy f x x y y f x y 或 00 0 0l i m ( , ) ( , )x xy y f x y f x y 表 明 多 元 函 数 可 微 必 然 连 续 由 可 微 的 定 义 )()( 故 当 ( , )z f x y 在 点 ( , )x y 可 微 时 有近 似 计 算 公 式 ),(),( 误 差 ( )o 问 题 如 果 函 数 在 一 点 偏 导 数 存 在 可 以 写 出 z y 但 是 不 一 定 等 于 函 数 的 全 微分 因 为 不 能 保 证 z ( )z y 是 比 高 阶 的 无 穷 小 。 即 由 偏 导 数 存 在 一 般 推 不 出函 数 可 微 如 函 数 2 2 2 22 2 0( , ) 00y x yf x y x y 已 知 ( 0 , 0 ) 0 ( 0 , 0 ) 0 故 z y ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) 0f dx f ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) z f d x f d y z 2 2( ) ( )x yx y 232 2 2( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) ( ) ( ) x y y xz f x f y x yx y 沿 3221 1 01 ( ) x 定 理 2 、设 函 数 ( , )z f x y 在 点 ( , )x y 的 一 阶 偏 导 数 存 在 且 一 阶 偏 导 数 连 续 则 函 数 ( , )z f x y 在 点 ( , )x y 可 微 。 例 1 设 a r c t a n xz y 求 在 点 ( 2 , 1) 且 0 . 5x 0 . 1y 时 的 全 微 分 。 解 2 2 21 11 ( )yx y x y 2 2 2 21 ( )1 ( )x xy y x y (2,1)15 (2,1)25 以 及 0 . 5x 0 . 1y 故 ( 2 , 1) ( 2 , 1) ( 2 , 1)z x yx y 1 20 . 5 ( ) 0 . 1 0 . 0 65 5 高等数学下册教案 第九章 多元函数微分法及其应用 11 4 、 多 元 复 合 函 数 的 导 数 对 于 非 抽 象 的 函 数 构 成 的 复 合 函 数 可 以 直 接 按 照 求 导 公 式 和 法 则 求 其 偏 导 数 及 其 高 阶偏 导 数 。如 2x yz e 则 22 x yz 22 x yz x . . . . . . 也 可 以 按 照 下 面 的 复 合 函 数 的 求 导 方 法 。 一 设 ( , )z f u v ( , )u x y ( , )v x y 构 成 复 合 函 数 ( ( , ) , ( , ) )z f x y x y 考 虑 复 合 函 数 的 偏 导 数 固 定 y 给x 以 增 量 x 相 应 于 函 数 ( , )u x y ( , )v x y 有 偏 增 量 、 如 果 ( , )z f u v 一 阶 偏 导 数 连 续 则 必 然 可 微 对 于 其 自 变 量 的 增 量 , 函 数 ),( 的 全 增 量 为 )( 其 中 22 )()( 。 从 而 对 于 增 量 、 函 数 ( , )z f u v 的 增 量 可 以 表 示 为 ( )x xz zz u v ou v 2 2( ) ( )x xu v 对 于 复 合 函 数 而 言 xz z 即 ( )x x xz zz u v ou v 从 而 当 0x 时 有 ( )x x xz u vz z ox u x v x x 如 果 函 数 ( , )u x y ( , )v x y 的 一 阶 偏 导 数 存 在 则 2 20 0 0( ) ( )( ) ( ) ( )l i m l i m l i m x xx x xu vo o ox x x 2 20 ( )l i m ( ) ( ) 0x xx u v ox x 0 0( )l i m l i m x x xx xz u vz z z ox x u x v x x z u z vu x v x 定 理 1 、 设 ( , )u x y ( , )v x y 在 点 ( , )x y 的 偏 导 数 存 在 而 ( , )z f u v 在 相 应 的 ( , )u v 点 偏导 数 连 续 则 复 合 函 数 ( ( , ) , ( , ) )z f x y x y 在 点 ( , )x y 有 连 续 的 一 阶 偏 导 数 且 z z u z vx u x v x z z u z vy u y v y 或 z f u f vx u x v x z f u f vy u y v y 以 上 的 求 导 规 则 也 称 为 链 导 规 则 。 例 1 设 2z u v c o su x y s i nv x y 求 ,z zx y 。 高等数学下册教案 第九章 多元函数微分法及其应用 12 解 2z 2z c o su s i nu x s i nv c o sv x z z u z vx u x v x 22 c o s s i y u y 2 2 22 c o s s i n c o s c o s s i nx y y y x y y 2 23 c o s s i nx y y z z u z vy u y v y 22 ( s i n ) ( c o s )uv x y u x y 2 2 22 c o s s i n ( s i n ) c o s ( c o s )x y y x y x y x y 3 2c o s ( c o s 2 s i n )x y y y 例 2 设 vz u 求 、 。 解 z z u z vx u x v x 1l l n1 v ) l n ()()( 1 )1(l l n1 ) l n ()()( 1 注 也 可 以 写 出 复 合 函 数 22( ) x y 或 )( 再 求 偏 导 数 。 二 全 微 分 的 形 式 不 变 性 设 函 数 ( , )z f u v 一 阶 偏 导 数 连 续 则 一 定 可 微 。 即 z du v 又 设 函 数( , )u u x y 、 ( , )v v x y 一 阶 偏 导 数 连 续 也 有 u dx y v dx y 从 而 z du v ( ) ( )z u u z v dy dx x y v x y ( ) ( )z u z v z u z x v x u y v y 表 明 不 论 是 自 变 量 还 是 中 间 变 量 全 微 分 的 形 式 都 是 相 同 的 此 性 质 称 为 全 微 分 的 形 式 不 变 性 。 例 3 设 s i e v u v x y 用 全 微 分 形 式 不 变 性 求 、 解 ( s i n )ud e v s i n c o su ue e s i n ( ) c o s ( )u ue vd xy e vd x y s i n ( ) c o s ( )u ue v e v dx ( s i n c o s ) ( s i n c o s )u u u ue v y e v dx e v x e v 高等数学下册教案 第九章 多元函