数学的魅力【精选-PPT】

1 第一章 概 述 第三节 数学的魅力 2 你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律；你可能喜欢图画，因为它从视觉上反映人和自然 的美；那么，你应该更喜欢数学，因为它像音乐 一样和谐，像图画一样美丽，而且它在更深的层 次上，揭示自然界和人类社会内在的规律，用简 洁的、漂亮的定理和公式描述世界的本质。 数学，有无穷的魅力！ 3 一、渔网的几何规律 用数学方法可以证明，无论你用什么绳索织一片网，无论你织一片多大的网，它的结点数 (V)，网眼数 (F)，边数 (E)都必定适合下面的公式： V + F E = 1 4 多面体的欧拉公式 V + F E = 2 5 数学就有这样的本领，能够把看起来复杂的事物变得简明，把看起来混乱的事物理出规律。 6 二、天津市南开区 至少有两个人头发根数一样多 存在性命题” ：天津市南开区中一定 存在 两个头发根数一样多的人。 对于存在性命题，通常有 两类 证明方法： 一类是 构造性的证明 方法，即把需要证明存在的事物构造出来，便完成了证明； 一类是 纯存在性证明 ，并不具体给出存在的事物，而是完全依靠逻辑的力量，证明事物的存在。 7 例如“任意两个正整数都存在最大公约数” 这个存在性命题，我们可以用“辗转相除法”给出构造性的证明，在证明最大公约数存在的同时，也给出了求最大公约数的方法。 (例 ：（ 210， 1950） = 30 ) 再例如“连续函数如果在两个端点反号，则中间一定存在零点” 这个存在性命题，我们在教材中看到的和在课堂上听到的，往往是纯存在性证明，证明了零点的存在，但并不给出找到零点的方法。 8 天津市南开区 至少有两个人头发根数一样多 构造性证明 ： 一个一个地去数天津市南开区中所有人的头发根数，一定可以找到两个具体的人，不妨称之为张三和李四，他们的头发根数一样多，便完成了证明。 9 天津市南开区 至少有两个人头发根数一样多 纯存在性证明 ： “抽屉原理” 证明“ 367个人中至少有两个人的生日是相同的” 证明“天津市南开区中一定存在两个头发根数一样多的人” 10 对于这个命题，纯存在性证明的方法，比用构造性证明的方法更可靠。 11 三、圆的魅力 车轮，是历史上最伟大的发明之一 圆，是平面图形中对称性最强的图形 周长与直径之比是一个常数 这个常数是无理数、超越数 面积相等的图形中圆的周长最短 规尺作图化圆为方不可做 12 四、“三角形三内角之和等于 180度， 这个命题不好” 这句话是 1978年数学大师陈省身先生在北京大学的一次演讲中说的，后来又多次说过。 所以，这不是随便说的一句话。 陈先生并没有说“三角形三内角之和等于 180度，这个命题不对”，而是说“这个命题不好”。 13 三角形三内角之和 = 180 度 n 边形 n 内角之和 = ？ n 边形 n 内角之和 = 180 度 ( n 2 ) 14 n 边形 n 外角之和 = 360 度 不变量 曲边形 （向量组的秩；矩阵的秩） 15 高斯博内公式 当积分区域是整个闭曲面 = 2 （ M） 其中 k 是高斯曲率， （ M）是 一高斯博内公式的左面是一个由局部性质（曲率）表示的量，但是，公式的右面却只和曲面整体的拓扑不变量。高斯博内公式的重要意义在于：它用曲面的局部不变量刻画了整体性质。 16 五、四色问题 四色问题也称“四色猜想”或“四色定理”，它于 1852年首先由一位英国大学生 F古色利提出。 他在为一张英国地图着色时发现 ,为了使任意两个具有公共边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜色就够了。 但是他证明不了这一猜想。于是写信告诉他的弟弟弗雷德里克。弗雷德里克转而请教他的数学老师 ,杰出的英国数学家德 摩根，希望帮助给出证明。 17 德 摩根很容易地证明了三种颜色是不够的 ,至少要四种颜色。下图就表明三种颜色是不够的。 18 但德 摩根未能解决这个问题 ,就又把这个问题转给了其他数学家 ,其中包括著名数学家哈密顿。 但这个问题当时没有引起数学家的重视。 直到 1878年 ,英国数学家凯莱对该问题进行了一番思考后，认为这不是一个可以轻易解决的问题，并于当年在 伦敦数学会文集 上发表了一篇 论地图着色 的文章 ,才引起了更大的注意。 19 1879年，一位英国律师肯泊在 美国数学杂志 上发表论文，宣布证明了“四色猜想”。 但十一年后，一位叫希伍德的年轻人指出，肯泊的证明中有严重错误。 20 一个看来简单，且似乎容易说清楚的问题，居然如此困难，这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问题的魅力。 实际上，对于地图着色来说 ,各个地区的形状和大小并不重要 ,重要的是它们的相互位置。 下图中的三个地图对地图着色来说都是等价的。从数学上看 ,问题的实质在于地图的“拓扑结构”。 21 一百多年来许多数学家对四色问题进行了大量的研究 ,获得了一系列成果。 1920年弗兰克林证明了 ,对于不超过 25个国家的地图 ,四色猜想是正确的。 1926年雷诺兹将国家的数目提高到 27个。 1936年弗兰克林将国家的数目提高到 31个。 1968年挪威数学家奥雷证明了 ,不超过 40个国家的地图可以用四种颜色着色。但是，他们都没有最终证明“四色猜想”。 22 四色问题的解决 直到 1972年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在前人给出算法的基础上，开始用计算机进行证明。 到 1976年 6月 ,他们终于获得成功。他们使用了 3台耗时 1200小时 ,终于证明了四色猜想。 23 这是一个惊人之举。当这项成果在 1977年发表时 ,当地邮局特地制作了纪念邮戳 四色足够 (加盖在当时的信件上。 24 拓展了人们对“证明”的理解 由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学家从数学及哲学方面对“证明”的思考。 25 六、素数的奥秘 自然数是整个数学最重要的元素。 自然数中有一种特别基本又特别重要的数，称为“素数”。 素数是大于 1的自然数中，只能被自己和 1整除的数； 大于 1的自然数中不是素数的都称为“合数”； 1则既不是素数也不是合数。 26 由于在大于 1的自然数中，素数的因子最少，所以素数是特别简单的数。 又由于一切大于 1的自然数都能够从素数通过乘法得到，所以素数又是特别基本的数。 素数很早就被古希腊的数学家所研究。 2300多年前欧几里得的几何 原本 第 9卷的定理20，就给出了“素数有无穷多个”的漂亮证明。 27 但是，素数的有些规律，表述出来很容易听懂，研究起来却出人意料地困难。（当然，素数的有些规律表述出来也是相当复杂的。） 关于素数的规律，人类有许多的“猜想”。至今还有不少关于素数的重要猜想，既没有被证明，也没有被否定。 有的猜想的解决，现在看来可能会十分遥远。有人甚至预言，“人类探寻素数规律的历史，将等同于人类的整个文明史”。 28 三个关于素数规律的问题 从加法的角度研究素数 从乘法的角度研究素数 找一个公式来表示素数 29 从加法的角度研究素数 两个猜想： 每个足够大的偶数都是两个素数的和； 每个足够大的奇数都是三个素数的和。 后一个猜想现在已被证明；前一个猜想至今却既没有人举出反例，也没有人给出证明。 前者就是著名的“哥德巴赫猜想”。 30 从乘法的角度研究素数 算术基本定理：任一个大于 1的自然数，都可以被表示为有限个素数（可以重复）的乘积，并且如果不计次序的话，表法是唯一的。 算术基本定理早已被证明，但不是采用“构造性”的证明 。 未解之谜：这个问题是：对任一个大于 1的自然数，试给出一个一般的方法，以便较快地找到有限个素数（可以重复），使它们的乘积等于那个预先写出的大于 1的自然数。 31 下面用“构造性”证明的思路，来试图找到解决的办法，同时也体会它的困难所在。 32 解决问题的困难 不严格的地方，或者说“跳步”的地方，就在最前面的两步。 即，如何较快地判断“ 及当判断出 b，得到 a = b c 。 解决问题的本质困难，也在这两个步骤。虽然现在有了高速计算机，但是对于很大的数 a，例如 200位的数 a，这两步的计算仍然很费时日，以至于实际上是不可能解决问题的 33 这样的困难，反倒给密码通讯提供了思路 a = b c （ b 、 比如都是 100位的大素数 ） 在造密码时，你可以把 a 公开，但 b 、 有“我方”了解。 必须知道 b 、 “敌方”只知道 无法了解密文的意思。要想破译密文，首先需要把 b c 。但是因为 a 这个数很大，以及上面提到的本质困难，把 b 34 找一个公式来表示素数 费马素数 (1640年 ) 2 2n + 1 梅森素数 (1644年 ) = 2n 1 （ n = 2、 3、 5、 7、 13、 17、 31、 67、 127、 257 ） “梅森数中是否有无穷个素数”的问题，也是未解之谜。 35 关于费马素数 ， n = 5 时， 4294967297 = 641 6700417 梅森的判断中有五个错误： n = 67、 257时 而 n = 61、 89、 107时 36 科尔： 大数的因子分解 1903年 10月 267 1 193707721 761838257287 267 1 = 193707721 761838257287 科尔一言未发；会场上爆发了热烈的掌声。 37 七、“蒲丰投针”的故事 38 八、“化归”的方法 化归”，是把未知的问题，转化为已知的问题；把待解决的问题，归结为已解决的问题，从而解决问题的过程。 波利亚：关于“烧水”的例子 39 九、体会公式 中的数学美 可以从公式 中， 令 = 推出来。 公式 ，用 “等号” 连接了数学中五个重要的常数，反映了数学的“统一美”。 10 10 c o s s i 10 40 M克莱因（ 849 1925）： 音乐能激发或抚慰人的感情，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人聪慧，科学可以改善生活，而数学能做到所有这一切。 41 【 思考题 】 请你举一个例子，展示数学的魅力。 42 43 抓三堆： 有三堆谷粒（例如 100粒、 200粒、 300粒），甲、乙轮流抓，每次只能从一堆中抓，最少抓 1粒，可抓任意多粒；甲先抓，规定谁抓到最后 一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？ 44 提示： 二进制 45 “ 抓三堆 ” 的二进制解法 用二进制表示这三堆谷粒数，写成三行，并上下对齐，各列相加，列的加法定义为 这就是 模 2加法 。（只要是 2的倍数，就记为 0） 关于 模 2加法 ，可以推广；比如推广为 模 7加法： 例 1：如果 1号是星期一，问 27号是星期几？ 解答 ： 27号与 1号相差 26天，因为 ，说明过去 3个 7天之后，再过 5 天，这样 27号这天就是星期一再加上 5天，即星期六。（事实上，这里只要是有 7的倍数，就都可以记为 0。） 例 2：如果 1号是星期三，问 27号是星期几？（答：星期一） 0 + 0 = 0 ; 0 + 1 = 1 ; 1 + 0 = 1 ; 1 + 1 = 02 6 7 3 5 46 思 ：如果 9月 号是星期 ， 问 9月 号是星期几？ x 们断言：把三堆谷粒数均表为二进制，写成三行，将位数对齐， 各列模 2相加 ，若和全为 0，则后抓者有必胜策略； 若和中出现 1，则先抓者有必胜策略。 和中出现 1时，先抓者的具体策略是：先抓者从最左边的 1所在的 列 ，寻找某堆的谷粒数中相应的列也有 1，就从该堆中抓走适当个数，使得抓完后各列的和（ 模 2）为 0。 48 “ 抓三堆 ” 中的数学思想 1. 由于谷粒数越来越少，最后，先抓者可以使得后抓者 始终 面临各列模 2之和为（ 0， 0， ， 0）状态，这意味着先抓者获胜。 2. 后抓者只要抓，谷粒就将减少，因此该行中至少有一个 1变为 0（如果 1都不变为 0，只会使谷粒数增加或不变），从而该列模 2之和将为 1。于是先抓者就不会面临（ 0， 0， ， 0）状态。 3. 先抓者的正确抓法，应使得各列模 2之和均为 0。 即， 先抓者应总是抓成（ 0， 0， ， 0）状态 。 49 例 1：设原始状态（ 2， 3， 4），则先抓者胜。 例 2：设原始状态（ 5， 8， 13），则后抓者胜。 例 3：设原始状态（ 5， 12， 13），则先抓者胜。 50 推 广 改为 “规定谁抓到最后一把谁输” ？ 改为“抓四堆” ？ 改为“抓五堆”、 “抓六堆”，以至“抓 改为用“三进制”？ 51 52 本节结束 谢谢！ 53 )sL&5sL&45pI!i %5sL&59sL&i %5sL&%5sL&i &5sL&5sL&5pI!5sL&5oH%5sL&59sL&5sL