郑州大学历届微积分试题(含答案)

微积分（下）理工共 52 页 第 1 页2002 级 微积分(理工)课程试题答案（A 卷） 二、 （ 5 分） du, 22 22 22zx xy xy dx dy +三、 （ 5 分） 求球面 x2+y2+9 上点 ( 3,3,3)处的切平面方程 解： F（ x,y,z） = x2+y2+9 n=( 23,23,23) 切平面方程 (3)(3)(3)0+= 四、 （ 5 分） 设函数 u（ x,y） ， v（ x,y）由下述方程组 1022=+求偏导数 u x ， v x 求导解，222,22 22vx uy =+五、 （ 5 分） 设函数22,),(= 求具有连续的二阶偏导数其中 六、 （ 5 分） 2D y 3 x y 1 x= =+计算 其中 是由抛物线 与直线 围成的闭区域 七、 （ 10 分） 333 22Sx y z S z 1 x y ,+ =计算 其中 为上半球面 取上侧 八、 （ 10 分） 222S z x y z 0 z 1=+ = =计算 其中 为锥面 上介于平面 和 之间的部分 九、 （ 10 分） 的势函数是保守场，求验证设向量场+= 12（ 10 分） f(x)1,f(1)(0,f(x)xf(x)满足内有定义且有连续的导在与积分路径无关，其中内曲线积分设在右半平面=+l 微积分（下）理工共 52 页 第 2 页十二、 （ 10 分） 0(0,0)f(0,0)f(0,0)y)f(x,)0,0(),(, 0)0,0(),(,)(y)f(x,y =+=点不连续，但在证明设（ 10 分） (最优价格问题 ) 假设某电视机厂的生产处于平衡状态：即生产量等于销售量。把产量记为x，再记一台电视机的生产成本为 C，销售价格为 P。根据市场预测，销量 x 与销售价格 P 有下述关系： x=中 M， a 都是正的常数，同时，生产部门对产量 x 和单机成本 C 有下述测算： C=x 1),其中 k 都是正的常数。根据上述条件，销售价格 P 为多少时，可使该厂获得最大利润。 （提示：利润（ P C） x ） 郑州大学 2003 级 高等数学（下） 理工 课 程 试题 （A 卷 ） 一计算题（每小题 6 分，共 30 分） 1 微分方程 032/= 解：原微分方程的特征方程为 0322= 21=方程的通解为 = ),ln = 求 +解： 11+=所以， +=换积分次序： ()=110, 。 解：积分区域 :D ).,010= 5求中 C 是折线段 ()1|1 = 微积分（下）理工共 52 页 第 3 页解： 长方体的体积可表示为： (). = 令()() ,22+=解方程组：()()4,04,0422/22/22/=+=+=+=+=： .2=大圆锥内接长方体体积 = 郑州大学 2005 级 高等数学（下） 理工 课 程 试题 三填空题（每小题 3 分，共 15 分） 2 求全微分() 4 ()曲线 = ,在点2,1,=计算题（前 4 题各 6 分，后 4 题各 8 分，共 56 分） 微积分（下）理工共 52 页 第 9 页1。计算 ,其中 0: 解： =函数 ()= 由方程 确定，求微分 解：方程两边微分，得： ()+ ，故 = 。 3计算第一型曲线积分中 L 为抛物线 上从点 ()0,0o 到点()2,2A 的一段弧。 解： 2:222+=20232202220=+=+=+ 4计算第二型曲线积分()()+中 L 是圆周 ，取正向。 解：()()()() () =+=+算曲面积分为圆锥面 被平面 1=z 截下的部分。 解：由圆锥面方程 ，得： =+=+=所以 微积分（下）理工共 52 页 第 10 页=+102201222222 6计算第二型曲面积分 ,222其中 为上半球面的上侧。 解：补充辅助平面 ,1,0:221+=下侧。 则由高斯公式： () +=+=+2222221=球 = = 8设 f 有连续的二阶偏导数， 02,22=+=求 ： () ;+=2/ / / /11 21 11 4 .= + = +三 （ 10 分）设函数 () 满足 2 = 且 () ,21,1 =u 求 () 在区域 () 14|,22+=最大值。 解： （一）由于 ,2222=以， () .,22= 又 () ,21,1 =u 故 () 2+=2/=得 () ,0 = （二）在边界 1422=+ ()=+=2241积分（下）理工共 52 页 第 11 页令 ,010 = 0=y 又 ,321,0 =+= 所以， () 在区域 () 14|,22+=最大值 3。 四应用题（ 10 分） 设 () ()+ , 连续可导，且对于平面上不包围原点的任一条简单闭曲线l，都有(),022=+() 证明： （一）由于(),022=+)+=+)() ()()22+=()(), 亦即 () () () 2/= 因对任意点 ()(), x=0， y 不能为 0，要恒等必须 f (x)0 可得： () 五 （ 9 分）求曲面+= 在点 ()2,0,1 处的切平面与曲面 所围成立体的体积。 解： （一）令 () ,1,22+= 则曲面+= 在点 ()2,0,1 的切平面之法向量为： () () ,21,2,2,|2,0,12,0,1/= 平面的方程为 ()(),0212 = （二） +=，消 z ，得： 0222=+ 切平面与曲面 所围成的立体在 2:22221+ (3) ()() =+= 积分（下）理工共 52 页 第 12 页微积分（下册）测验试题(一) 1 设 ()= ，则 0=在点 ()1,1,1 的切平面方程为 + = 在2=t 处的切线方程 =)直角坐标系下的二次积分化为极坐标系下的二次积分有 () ()=100111026积分( ) +)+ 10 ()+ 的全微分 解：两边取对数 += 1） ， 再对（ 1）两边取全微分： += += 微积分（下）理工共 52 页 第 13 页所以， += 2计算由方程确定的函数 ()= 的全微分。 解：21ln ln dx + +or =2223设 ()= ，由方程 0, =定，且 F 为可微函数，求 解：方程两边求全微分，并注意到一阶全微分形式的不变性，有： + 01112/32/22/1=+ 整理， 得： +=/12/2/32/1/3/22111，故： += 4设 ( )2,22+=其中 f 有二阶连续偏导数，求 .;22解： （一）+=（二）+=，所以 微积分（下）理工共 52 页 第 14 页+=22/21/12/112225。求曲线 .:222=+=+)1,2,1 的切线。 解：方程组两边关于 ： .222=+=+|11= 切线向量为： 1,0,1 =s 曲线在点 ()1,2,1 的切线为： =+= 计算 ,422= 其中 D是 。 解： =算 =110解：() 1010101010 001022=证明：点 ()2,3 是函数 ()() =的极值点。 （ 10 分） 五解：()( )()()()426,2/2/=) () ,02,32,3/=)2,3 是函数 ()() =驻点。 微积分（下）理工共 52 页 第 15 页() ()( )( ) ()()()26,2426,42,2/2/= 记() () () 0144,182,3,02,3,082,32/+ I 化为柱坐标及球坐标下的三次积分。 解：联立()=+222222222z，得 向 面上的投影区域为， :D 。 （一）在柱坐标下 () ( ).,20304422222 = （二）在球坐标下 () ( ) =2030202 () + 3求 +=22222102210解： 如图所示。宜采用球坐标计算之。 ( )= 4已知某一物体由 ,2,222=+ =z 所围成且每一点处的面密度函数 微积分（下）理工共 52 页 第 17 页为 ，试求该物体的质量。 解：记 ： ()=+ ： += 才采用直角坐标系下的“切片法” 。 设 : 为过点 ()( )82,0,0 的截面。 =+=+=8220202228222 23822 =5试证明 ()()()()()=+=,0,0,0,22在原点处不可微。 证明： （一）因为 () ()0,00|,|022+= 所以， () ()0,00,，故函数 () 在原点处连续。 （二）因为()(),0000,0=+();00,0/=() () 在原点处可偏导。 （三）下面考察() ()0,00,00，即考察 ()()() ()()()()()()()=+ 2222022/0,00,00,0 微积分（下）理工共 52 页 第 18 页()()=存在，故 () 在原点处不可微 。 微积分期末考试综合题参考答案 四设 (),.,0=0（ 1） () +=分部 ()+211（兜圈子） ，故，()2111+= ()=+=+=011211 （ 2）令 ()() ),1,1,101+=+)1,1x 时，由逐项求导公式，有： ()=+=+=11100/1， 故 () () () ),1=+=)()=+=+=已知函数 ()= 的全微分 ,22 = 并且 () ,21,1 =f 求 () 在椭圆域 ()+= 14|,22的最值。 解： （ 1）由 ,2222+= 微积分（下）理工共 52 页 第 19 页() .,22= 又 () ,21,1 =f 故 ,2=C 所以， () 2+=（ 2）下面求 () 2,22+=椭圆域 ()+= 14|,22的最值。 （ i）令=2驻点 ()0,01P， () =f=2椭圆 1422=+椭圆的参数方程： 2,= ()() 222+=+=2232=。 所以， ()()30,= () 22,=综合 (i),(， ()3, ()2,= 六在椭球面 122222=+得 () += 沿着点A(1,1,1)到点 B(2,0,1)的方向导数具有最大值。 解： （ 1）记 = 0,21,21,0,1,10则 () += 沿椭球面 122222=+() ()= 20,21,2.,0/。 （ 2）问题转化为求函数 () 在条件 0122222=+用拉格朗日乘数法解之。 微积分（下）理工共 52 页 第 20 页令 ()() += 122,2222 由()=+=+=+=)4(02)2(042)1(042222/）不符舍，因与（解上述方程组，得：=1,21=1,21 0,21,211 0,21,212P（ 3） 因为20,21,21=20,21,21=() +=椭球面上点 0,21,211(1,1,1)到 B(2,0,1)的方向导数具有最大值 2 。 七证明：曲面+= 上任意一点处的切平面与曲面 所围成的立体体积为定值。 证明： （ 1）令 () +=224, ，则曲面+= 上任意一点( ) 处的切平面的法向量为：() () () 1,2,2,00/= 从而点 M 处的切平面方程为： ()( ) ()02200000=+化简得： 0422202000=+ 微积分（下）理工共 52 页 第 21 页（ 2）联立+=+422，消去 z，得立体向 上的投影区域()()2+ 因此，所求立体的体积为 ()()=+=8420220=注意：上述计算二重积分的过程中， 其实用到了变量替换公式：11001.,22/00+=()()() ()+=422222222/4|4004八。设 )( a,0 上连续， 试证明： () ()=+,0,0|,)(0证明： () ()+=+00其中， () ()=+=+ 视为常数） ，所以， () ()=+0（交换积分次序后） () () ()=0000（最后一步是利用积分与变量记号无关） 。 九设 )( 上连续且单增，记 () .,|, = 微积分（下）理工共 52 页 第 22 页试证明 () .)(222 ()=)()(222() ( )= ()()( 1） 由轮换对称性，易知： ()= ()( 2） 所以， ()( ) 0)()(2 = )(增， 故无论 , = ，函数 ),( 有连续偏导数，且对于任意 0t 都有 ),(),(2 。试证明：对 D 内的任意分段光滑的有向 微积分（下）理工共 52 页 第 26 页闭曲线 L 都有 (),( =证明： （一）因为 ),(),(2 1） （ 1）式两边对 t 求导，得： ),(2),(),(3/2/1=+ 2） （ 2）式中，令 t=1,得： 0),(),(),(2/2/1=+ 3） （二）由格林公式： ()()02,(,(),(),(/2/1= S 为椭球面 122222=+ 为 S 在点 P 处的切平面， (), 为原点到平面 ().,3= 解： （一）设切点 (), ，则 P 处的切平面方程为： ()()()02 =+ ，即 =+=+ 整理后，得： 022 =+ 由点到平面的距离公式： (),=+=+=） 由 122:222=+即：221:22= 。 微积分（下）理工共 52 页 第 27 页,221222=,221222=因此 =+=（三） () 42214=21(闭区域 () 0,|,22+= ()= ,81),(22，求 ),( 解：设 ),( ，则由已知： (22= 1） ， 从而 =81),(22() = 由上式解之， k 所以， 微积分（下）理工共 52 页 第 28 (2222+=十九。 设 () )+,0 上连续， 且满足 () +=2222422421，求 () 解： （一）由于 =+20202042222221222， 所以， () +=2022 1） （ 1）两边同时对 t 求导，得： () () ，即 ()(8 = 2） 此为一阶线性非齐才次微分方程。 （二）由公式，解方程（ 2） ，得： () +=+= 2444448848822222-（ 3） 又显见 1)0( =f ，代入（ 3） ，得： C=1. 所以， () () 二十。设有半径为 R 的定球，另有一半径 r 为的变球与定球相割。若变球中心在定球球面上，试问：当 r 等于多少时，含在定球内的变球部分的表面积最大，并求出最大表面积。 解： （一）建立空间直角坐标系，使原点 在定球球心上，两球的球心连线为 则定球的方程为：=+， 变球：()=+。 由()=+，= 。所以， ,222=,222=+= 微积分（下）理工共 52 页 第 29 页又联立()=+=+消去 z，得投影区域为 ()+（二）由公式，所求变球含在定球内的变球部分的表面积 () ()0232420 222022222=）令 () = 又 ,046434|34/x 任意的光滑有向曲面 S 都有： )(2=() ()+,0 上具有一阶连续导数，且 () ,10+) 解： （一）由高斯公式： ()()()()()(22=+=积分（下）理工共 52 页 第 31 页即： () 0)()(2/=+对对于半空间 0x 任意的光滑有向曲面 S 都成立。故必须： () ( )() ()(111 =+=+ 1） 为一阶线性非齐次微分方程。 （二）由公式， （ 1）的通解为： ()+=+=+=+=222） ()=+20必有： ( ) +=+=+.)(2 二十四。设函数 ()点 0=x 点可导，且 () 00 =f ，求+222410其中 .:2222+ 解：()() =+所以，() +=+()() ()()2=+=高等数学（下册） 测验试题 （ 二 ） 填空题（每小题 4 分，共 20 分） 微积分（下）理工共 52 页 第 32 页1 设 L由 o（ 0， 0）沿 2,0(A ，再沿 2=y 到处 )2,2(B ，再沿 回到)0,0(o ，则 ()( ) 2. 设 为柱面 422=+1 z 的部分，法向量指向内部，+为下半圆周 (),0222=+ ) + 为平面 222 =+ 三个坐标面相截在第一卦限的部分，则()+注意：边界条件可以代入） 5设 = 上从 )0,2(A 到 )0,0(o 的弧段，则 二 计算题（每小题 7 分，共 70 分） 1。求 ,| 其中 o（ 0， 0） ， )1,0(A ， )1,1(B ，为顶点的三角形边界，方向为逆时针方向。 解：如图。=+=+=B 1010 （其中， ;1|1|;01010|= ()()()|0101=+=+= 2计算 ,22+ 1| =+ 围区域边界的正向。 解：作充分小的圆周222: =+逆时针方向） ，使之完全包含在 L 内。 记 。则由格林公式： 0= 222 222222=+=+积分（下）理工共 52 页 第 33 页3 计算()+ 51232， 其中 L 为()22332+=从 2=x 到 1=x 的一段。 解： (),32:223=+2/+= 2+=+=+= ，所以， () ()212+=+()()3535241212+=+=+= 3) ( )=计算 () () ,+=其中 是由曲线()21,0,=z 轴旋转一周生成的曲面的内侧。 解：+= 。补充辅助平面 ,4,2:221+=下侧；及补充辅助平面 ,1,1:222+=上侧。 记 与 21, 所围成的空间闭区域为 。由高斯公式： ()()()()=+=+ = 微积分（下）理工共 52 页 第 34 +=+=+= 计算 ,24=其中 是由 和平面2,1 = 成区域的表面外侧。 解：由高斯公式： ()()()373123110012422324 =+=+=+=算 ,2=是柱面 422=+0 z 部分。 解：将 投影到 面上，得 :0,4,4:2222/+=计算 ,= 是柱面 ()0222=+ =y 与 ()0= 解：将 投影到 面上，得 :0积分（下）理工共 52 页 第 35 页=,1,: .,0,220= =22=8 计算(),22223333+为球面 ()02222=+ 解：注意到边界条件可以代入，所以有： +=高斯=+ =9 ()()(),+=其中 :22=+=+从 x 轴正向看去， 方向为顺时针方向。 解：用斯托克斯公式。记 为由 所围成的平面 1=+ 的椭圆，取下侧。 ,21,1,0,1,1:0 = 微积分（下）理工共 52 页 第 36 页=I = =+线积分 () ()=与路径无关，试求满足条件 () 10 = 的可微函数 ()并计算 ()()()1,11.+的值。 解： （一）由于 () ()=与路径无关，所以， ()()()+=21，即： () ()= 分离变量，且两边积分，得： () ,+=+=因此， () ，代入初始条件 () 10 = ，得 c= () （二） 。选取路径 :.,: =来计算 微积分（下）理工共 52 页 第 37 页()()() +=+31 222223,31,1111111. = tx 223434=三计算 ,3=是锥面介于 10 z 部分的下侧。 （ 10 分） 解：将 投影到 面上，得 :+= ,+=+=+1,1,222220+= 4 作题。计算 ,2=是锥面介于 0=z 和 2=z 之间的部分。 （ 10 分） 解：将 投影到 面上，得 : += ,2222=+ 微积分（下）理工共 52 页 第 38 +=+=下 ) 一计算下列各题： 1 7 分 计算其中,x2+ 介于 z=0,z=1 之间部分 . 2 7 分 利用函数x11麦克劳林公式逐项微分求级数 =1123. 7 分 判别级数 =+111收敛求其和。 4 7 分 计算 I ，其中是由曲面及平面2