四川省成都市2017届高中毕业班第三次诊断检测数试题(理)含答案

成都市 2014 级高中毕业班第三次诊断性检测 数学（理科） 第 卷（ 选择题， 共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 0,1A ， ( + 2 ) ( 1 ) 0 , B x x x x Z ， 则 （ ） A 2, 1, 0,1 B 1,0,1 C 0,1 D 0 2已知复数122 6 , 2z i z i 若12,线段 中点 C 对应的复数为 z ， 则 z （ ） A 5 B 5 C 25 D 2 17 3在等比数列 1 2a， 公比 2q 若1 2 3 4 ()ma a a a a m N ， 则 m （ ） A 11 B 10 C 9 D 8 4 表示空气质量的指数， 数值越小 ， 表明空气质量越好 ， 当 数值不大于 100 时称空气质量为“优良”如图是某地 4 月 1 日到 12 日 数值的统计数据 ，图中点 A 表示 4 月 1 日的 数值为 201则下列叙述不正确的是（ ） A 这 12 天中有 6 天空气质量为“优良” B 这 12 天中空气质量最好的是 4 月 9 日 C这 12 天的 数值的中位数是 90 D 从 4 日到 9 日，空气质量越来越好 5已知双曲线 22: 1 ( 0 , 0 )a ， 直线 : 2 2l y x 若直线 l 平行于双曲线 的一个顶点 ， 则双曲线 C 的焦点到渐近线的距离为 （ ） A 1 B 2 C 5 D 4 6高三某班 15 名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图 1执行图 2 所示的程序框图，若输入的 ( 1, 2 , , 1 5 )别为 这 15 名学生的考试成绩，则输出的结果为（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 7已知 2 2 2 ( , ) A x y x y ， B 是曲线 与 x 轴围成的封闭区域 若向区域 投入一点 M ， 则点 M 落入区域 B 的概率为 （ ） A 2B 4C 32 D34 8在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角 三角形的四面体称为鳖臑如图，在鳖臑 ， 平面 且 C ， 则异面直线 成角的余弦值为（ ） A 12B 12C 32D 329已知抛物线 2: ( 0 )C y m x x的焦点为 F ， 点 (0, 3)A 若射线 抛物线 C 相交于点 M ， 与其准线相交于点 D ， 且 : 1 : 2F M M D ， 则点 M 的纵坐标为 （ ） A 13B 33C 23D 23310已知函数 2( ) 2 c o s 2 2f x x 给出下列命题 ： , ( )R f x 为奇函数 ； 3(0, )4 ， ( ) ( 2 )f x f x 对 恒成立 ； 12,x x R， 若 12( ) ( ) 2f x f x，则12最小值为4； 12,x x R， 若12( ) ( ) 0f x f x， 则12 ()x x k k Z 其中的真命题有 （ ） A B C D 11如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 （ ） A 27 B 48 C 64 D 81 12设等差数列 n 项和为11, 1 3 , 0 , 1 5n m m S S ， 其中 且2m 则数列11的前 n 项和的最大值为 （ ） A 24143B 1143C 2413D 613第 卷（ 非选择题， 共 90 分） 二、填空题 ：本大题共 4 小题， 每 小 题 5 分， 共 20 分 1361(2 )x x的展开式中 ， 常数项为 （用数字作答） 14若变量 ,3003 ， 则 3z x y的最小值为 15从甲、乙等 8 名志愿者中选 5 人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天 若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为 （用数字作答） 16如图，将一块半径 为 2 的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底 半圆的直径 ，上底 端点在半圆上 ， 则所得梯形的最大面积为 三、解答题 ： 本大题共 6 小题，共 70 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 的内角 ,对边分别为 ,已知 2 2 c o sc a b A （ ）求角 B 的大小 ； （ ）若 23b ， 求 的最大值 18如图，在多面体 ， 底面 边长为 2 的菱形， 60， 四边形 矩形 ， 平面 平面 2 M 为线段 一点 ， 且 面 （ ）求 长 ； （ ）求二面角 A 的余弦值的大小 19几个月前，成都街头开始兴起“ “ 共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等 为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了 50 人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表： 年龄 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 40,45) 受访人数 5 6 15 9 10 5 支持发展 共享单车人数 4 5 12 9 7 3 （ ）由以上统计数据填写下面的 22 列联表 ， 并判断能否在犯错误的概率不超过 前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系； 年 龄低于 35 岁 年龄不低于 35 岁 合计 支持 不支持 合计 （ ）若对年龄在 15,20) ， 20,25) 的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的 4人中支持发展共享单车的人数为 X ， 求随机变量 X 的分布列及数学期望 参考数据： 2()P K kk 考公式： 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b b c d a c b d ， 其中 n a b c d 20已知圆 22: ( 1 ) 8C x y ， 点 (1,0), 上任意一点 ， 线段 垂直平分线交 点 Q ， 当点 P 在圆上运动时 ， 点 Q 的轨迹 为 曲线 E （ ）求曲线 E 的方程 ； （ ） 若直线 :l y kx m与曲线 E 相交于 , O 为坐标原点 ， 求 面积的最大值 21已知函数 ( ) 1 1 ,af x n x a （ ）若关于 x 的不等式 1( ) 12f x x在 1, ) 上恒成立 ， 求 a 的取值范围 ； （ ）设函数 ()() 若 () 21, e 上存在极值 ， 求 a 的取值范围 ， 并判断极值的正负 请考生在 第 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22 已知曲线 C 的极坐标方程为 2 ， 在以极点为直角坐标原点 O ， 极轴为 x 轴的正半轴建立的平面直角坐标系 ， 直线 l 的参数方程为222352 （ t 为参数 ） （ ）写出直 线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程 ； （ ）在平面直角坐标系中，设曲线 C 经过伸缩变换 1: 2 得到曲线 C ， 若 ( , )M x C 上任意一点 ， 求点 M 到直线 l 的最小距离 23已知 ( ) ,f x x a a R （ ）当 1a 时 ， 求不等式 ( ) 2 5 6f x x 的解集 ； （ ）若函数 ( ) ( ) 3g x f x x 的值域为 A ， 且 1, 2 A， 求 a 的取值范围 试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13 14 15 5040 16 33 三、解答题 17解：（ ）由已知及正弦定理，得 2 s i n s i n 2 s i n c o B A 1 8 0 ( )C A B ， 2 s i n ( ) s i n 2 s i n c o A B A 化简，得 s i n ( 2 c o s 1 ) 0 A ， 1 0 B ， 3B （ ）由已知及余弦定理，得 22 12a c 即 2( ) 3 1 2a c a c ,0a c c， 22( ) 3 ( ) 1 22 ，即 2( ) 48 43 ，当且仅当 23 时，取等号 的最大值为 43 18解：（ ） 底面 边长为 2 的菱形， 60， D ，且 23， 2 四边形 矩形， D 平面 平面 平面 面 D ， 平面 平面 记 D O 取 点 H ，则 /E 平面 如图，以 O 为原点，分别以 ,C 方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系 由题意，得 (1,0,0)B ， (0, 3, 0)C ， ( 1, 0, 0)D ， (0, 3 , 0)A ， ( 1, 0, 2)E ， (1,0,2)F ( 0 , 2 3 , 0 ) ， ( 1, 3 , 2 ) M 为线段 一 点，设 (1 , 0 , ) ( 0 2 )M t t ( 2 , 0 , )DM t 平面 E 2 0 2 0D E A E t 解得 1t (1,0,1)M 1 （ ）由（ ），可知 平面 平面 ( 1, 3 , 0 ) ， (1, 3 ,1) 设平面 法向量为 ( , , )n x y z 由 00n M ，得 30y z 取 1y ，则 ( 3 , 1, 2 3 )n n ， 2 3 14| | | | 4 2 3n A C ， 二面角 A 的余弦值为 14 19解：（ ）根据所给数据得到如下 22 列联表： 年龄低于 35 岁 年龄不低于 35 岁 合计 支持 30 10 40 不支持 5 5 10 合计 35 15 50 根据 22 列联表中的数据，得到 2K 的观测值为 25 0 ( 3 0 5 1 0 5 )( 3 0 1 0 ) ( 5 5 ) ( 3 0 5 ) ( 1 0 5 )k 不能在犯错误的概率不超过 前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系 （ ）由题意，年龄在 15,20) 的 5 个受访人中，有 4 人支持发展共享单车；年龄在 20,25)的 6 个受访人中，有 5 人支持发展共享单车 随机变量 X 的所有可能取值为 2， 3， 4 114522562( 2 )15 ， 1 1 2 14 5 4 522567( 3 )15C C C ， 6( 4 ) 15， 随机变量 X 的分布列 为 X 2 3 4 P 215715615 随机变量 X 的数学期望 2 7 6 4 9( ) 2 3 41 5 1 5 1 5 1 5 20解： （） 点 Q 在线段 垂直平分线上， | | | |Q 又 | | | | | | 2 2C P C Q Q P ， | | | | 2 2 | | 2C Q Q A C A 曲线 E 是以坐标原点为中心， ( 1,0)C 和 (1,0)A 为焦点，长轴长为 22的椭圆 设曲线 E 的方程为 22 1 ( 0 )xy 1, 2， 2 2 1 1b 曲线 E 的方程为 2 2 12x y （ ）设1 1 2 2( , ) , ( , )M x y N x y 联立 22 12y kx mx y 消去 y ，得 2 2 2( 1 2 ) 4 2 2 0k x k m x m 此时有 221 6 8 8 0 由一元二次方程根与系数的关系，得 12 2412k， 212 22212k 222224 2 2| | 1 ( ) 41 2 1 2k m 2 2221 8 ( 2 1 )12k 原点 O 到直线 l 的距离2|1， 1 |2M O N d 2 2 222 ( 2 1 )12 m k 由 0 ，得 222 1 0 又 0m ， 据基本不等式，得 2 2 222 ( 2 1 ) 21 2 2 2M O Nm k mS k 当且仅当 22 212时，不等式取等号 面积的最大值为 22 21解：（ ）由 1( ) 12f x x，得 11 1 12an x 即 2112a x nx x 在 1, ) 上恒成立 设函数 21( ) 12m x x n x x ， 1x 则 ( ) 1 1m x n x x 设 ( ) 1 1n x n x x 则 1( ) 1 易知当 1x 时， ( ) 0 ()1, ) 上单调递增，且 ( ) (1) 0n x n 即 ( ) (1) 0m x m对 1, )x 恒成立 ()1, ) 上单调递增 当 1, )x 时，m i n 1( ) ( ) ( 1 ) 2m x m x m 12a，即 a 的取值范围是 1( , 2 （ ）211() n x x x x ， 21, 221 1 1( ) 332 2 1 2a x x n x 设 ( ) 2 1 2h x x x n x a ，则 ( ) 2 ( 1 1 ) 1 1h x n x n x 由 ( ) 0，得 当 1 时， ( ) 0；当 2e x e 时， ( ) 0 ()1, )e 上单调递增，在 2( , 单调递减 且 (1) 2 2 ， ( ) 2h e e a ， 2( ) 2h e a 显然 2(1) ( )h h e 结合函数图象可 知，若 () 21, e 上存在极值， 则 ( ) 0(1) 0或2(1) 0( ) 0 （ ）当 ( ) 0(1) 0，即 12时， 则必定 212, 1, x x e，使得12( ) ( ) 0h x h x，且 2121 x e x e 当 x 变化时， ()( )()变化情况如下表： x 1(1, ), ), ) 0 + 0 - ( ) 0 + 0 - () 极小值 极大值 当 12时， () 21, e 上的极值为12( ), ( )g x g x，且12( ) ( )g x g x 11 21 1 11 1() nx x x x 1 1 1211x nx x 设 ( ) 1x x n x x a ，其中 12， 1 ( ) 1 0x ， ()x 在 (1, )e 上单调递增， ( ) (1 ) 1 0 ，当且仅当 1x时取等号 11 ， 1( ) 0 当 12时， () 21, e 上的极值21( ) ( ) 0g x g x （ ） 当2(1) 0( ) 0，即 01a时， 则必定 23 (1, )，使得3( ) 0 易知 ()3(1, ) 23( , 此时， () 21, e 上的极大值是3() 223 4( ) ( ) 0x g e e 当 01a时， () 21, e 上的极值为正数 综上所述：当 02时， () 21, e 上存 在极值，且极