[工学]cad二维图形变换.ppt

第二章 图形变换 计算机图形学的基础理论知识 第一节 矩阵及其运算 一、矩阵的基本概念 说明： 1）mn个数排成行列的数表叫做mn阶矩阵，当m=n时，又 叫做n阶方阵。 矩阵:是一组元素所排成的数表。 例如: 2）矩阵与行列式是两个不同的概念。n阶行列式是一个数， 而n阶矩阵不是一个数，而是n个数排列的数表。 二、矩阵的运算 1. 加法和减法 运算条件：两个矩阵的行和列都相同。 运算原则：每对对应元素实行加法或减法。 如： 二、矩阵的运算 2乘法 运算规则：矩阵A中的第i行元素与矩阵B中的第j列对应元 素乘积之和就是矩阵C中第i行第j列元素。 运算条件：第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数 ， 乘法方可进行。 矩阵乘法实例 一个mn阶矩阵乘以一个nq阶矩阵产生一个mq 阶矩阵。 矩阵乘法规则 n适应结合律 ：A(BC)=(AB)C n适应分配律：A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC n交换律不成立 ： ABBA 在进行级联（矩阵连乘）时，特别注意 矩阵的前后次序 。 第二节 二维图形的矩阵变换 二维空间（平面）的一个点P，可 以用它的坐标（X，Y）来表示，也 可以用一个的矩阵X Y来表示。 点由某一位置（X，Y）变换到另 一个位置，如右图所示，可以利用 矩阵乘法来实现。即 变换矩阵 矩阵 称为变换矩阵 。 变换后，点的新坐标取决于A、B、C、D的值 。 二维图形变换程序 画一个的矩形，键入不同的A、B、C、D值，观看其对图 形的影响。 头文件 int main(void) /* request auto detection */ int gdriver = DETECT, gmode, errorcode; int i,xmax, ymax; float A,B,C,D; float px10,py10,x10,y10; /* initialize graphics and local variables */ initgraph( #include #include #include #include 主程序入口 变量、数组定义 绘图初始化 二维图形变换程序（续） printf(“A,B,C,D=“); scanf(“%f,%f,%f,%f“, px1=0.0;py1=20.0; px2=40.0;py2=20.0; px3=40.0;py3=0.0; px4=0.0;py4=0.0; px5=0.0;py5=20.0; /* read result of initialization */ errorcode = graphresult(); /* an error occurred */ if (errorcode != grOk) printf(“Graphics error: %sn“, grapherrormsg(errorcode); printf(“Press any key to halt:“); getch(); exit(1); 对绘图初始化的结果进行判别，如有错误，则退出 。 读入A、B、C、D 对矩形的四个角点进行赋值 。 二维图形变换程序（续） i=1; do xi=A*pxi+C*pyi; yi=B*pxi+D*pyi; xi+1=A*pxi+1+C*pyi+1; yi+1=B*pxi+1+D*pyi+1; 获得屏幕的最大象素点的x、y的坐标 画出屏幕的四边框 对前面赋值的矩形进行图形变换 setcolor(getmaxcolor(); xmax = getmaxx(); ymax = getmaxy(); /* draw a diagonal line */ line(0, 0, 0, ymax); line(0, ymax, xmax, ymax); line(xmax, ymax, xmax, 0); line(xmax, 0, 0, 0); 二维图形变换程序（续） 设置绘图的颜色 /* clean up */ getch(); closegraph(); return 0; 绘原矩形 绘变换后的矩形 关闭绘图方式 setcolor(5); line(160+pxi,300-pyi,160+pxi+1,300-pyi+1); setcolor(11); line(160+xi,300-yi,160+xi+1,300-yi+1); i+; while (i 0，图形沿X轴正方向错切，如图13-10所示。 若C0，图形沿Y轴 正方向错切，如图13 -12所示。 若B0，图形沿Y轴 负方向错切，如图13 -13所示。 五、旋转变换 n平面图形的旋转，是指图形绕坐标原点旋转一个 角度。此时 n变换矩形为 注意:这个旋转矩阵是特指图形绕原点（0，0）旋转的变 换矩阵。并且规定逆时针方向旋转时，旋转角取正值 ，反之，按顺时针方向旋转时，旋转角取负值。 旋转变换实例 将程序稍作修改： 用ZJ表示旋转角，将数据输入改为： printf(“ZJ=“); scanf(“%f“, A=COS（ZJ）； B=SIN（ZJ）； C=-B；D=A 输入旋转角ZJ，即可 按要求画出图形了。 X Y 六、平移变换及齐次坐标 平移变换是二维变换中最基本的一种，但是 ，一般的矩阵不能完成平移变换。原因是平移为 一般矩阵的任何积都不能找到上述关系，在此引入一个附 加坐标，使 平移变换矩阵 平移变换矩阵为 M为沿X方向的平移量，N为沿Y方向的平移量。 二维图形的变换矩阵 前面所讲的几种变换 都可以表示为 用33阶矩阵 表示包括平移在内的各种线性变换了 齐次坐标 用三维向量表示二维向量或者说用n+1维 向量表示一个n维向量的方法，称为齐次坐标 表示法。 一般地把 称为点 的齐次坐标，其 中H为任意实数。当H=1时，就是点的正常化（或标准化 ）的齐次坐标。 例:齐次坐标 正常化齐次坐标为 它表示二维空间点 点的齐次坐标并不是唯一的。例如(2，5)的齐次坐标可认 为是(4，10，2)；(-20，-50，-10)；(2.1，5.25，1.05)或者 (2，5，1)等等。 (2，5，1)就是点的正常化齐次坐标。 二维变换图形的性质 前面所讲比例、反射、错切、旋转、平移等 变换都具有仿射变换的性质。即变换前后的图形 之间仍保持： l1)从属性：变换前一直线上的每一点在变换后的直线上 都有一确定的对应点。 l2)同属性：变换前的点或直线，变换后仍是一个点或直 线，即点对应点，直线对应直线。 l3)平行性：两平行直线经过变换后仍保持平行。 l4) 定比性：变换前两线段之比等于变换后对应之比。 第三节 组合变换 很多变换是不能用上述的某个矩阵进行单一 的变换来实现的，而要用几个变换组合起来方可 完成，这种变换称为组合变换或级联变换。 一、平面图形绕任意点旋转 的变换 1) 将旋转中心点P(m，n)移到原点，原图形随之一起平移，这 可用一个平移矩阵来实现，平移量X方向为-m，Y方向为-n。 一般情况下图形绕平面上任意点P(m，n)的旋转，可按 下述步骤进行： 2) 绕原点旋转所需要的转角，这用一个旋转矩阵来实现。 3) 将旋转后的图形再移回原位置，这用一个平移矩阵来实现 ，平移量为m，n。 三个变换矩阵T1，T2，T3的级联，就是平面图形绕任意点旋 转的变换矩阵T。 平面图形绕任意点旋转的变换 平面图形绕任意点旋转的变换 矩阵T 这样只要知道了旋转中心的坐标（m，n）和旋转角即可 进行图形变换。 平面图形绕任意点旋转的变 换实例 例 使三角形A(6，4) ，B(9，4)， C(6，6)绕点P(5， 3)旋转60，求变换后的图形。 二、平面图形以任意点为中心的 比例变换 我们前面所讲的比 例变换，是专指以原点 为中心的比例变换。如 果以任意点为中心进行 比例变换，图形不仅大 小或形状发生了变化， 而且其位置也随比例发 生了变化， 以任意点P(m，n)为中心 的比例变换则较好地解决了定 位问题。 以任意点为中心的比例组合变换 步骤 （1）将比例中心P(m，n)(即变换后的不 动点)平移到原点，图形随之一同平移。这 可以用一个平移矩阵来实现，平移量X方 向为-m，Y方向为-n。 （2）将平移后的图形按要求的比例进行缩 放变换，这可用一个比例变换矩阵来实现 。 （3）再将变