狄拉克式不定方程的扩展研究及求解体系——五猴分桃类型题的扩展研究及通解公式VIP

狄拉克式不定方程的扩展研究及求解体系 五猴分桃类型题的扩展研究及通解公式 陈 小 刚 中国农业银行湖南祁阳县支行 搞要 ：研究狄拉克式不定方程题简易计算方法，是个已有近百年的趣味数学难题。 从研究该题的分配的规律入手，可 得到它的最简计算公式 y=c。 在此基础上，如果将研究对像扩展到此类问题的整个领域，我们则可进一步得到： 型 问题的通解公 式 ; 解、惑无解的条件 ; 形成了一个完美的求解体系 。 同时这个研究结果还使人们惊喜发现：在大多数条件下，这类问题都会百分之百的得到解，从而极大的提升了狄拉克式不定方程的扩展研究的意义。 s is a a of of of we y=c. On if of as to be 1. to of . or no 3. a At of to in by of s ： 谓 的狄拉克式不定方程“水手分椰子 ” ，于 1926 年发表在美国星期六晚邮报上。 据 说 最早是由 大物理学家狄拉克出 来的，但寻找此题的简易计算方法，却 困扰住了 狄拉克本人以及他的数学界朋友。随后该题在经过美国的著名的数学科普大师马丁 *加德纳的大 力 推 广 后 ， 得 到 了 更 为 广 泛 的 流 传 。 1979 年 ，诺贝尔物理学奖获得者李政道博士在 中国 讲学时 。又以 “ 五猴分桃 ” 形式，将此题带到中国。 自此以后 ， 研究该题的简易计算方法风靡国内。 在研究该问题的长河中， 著 名 现代数理逻辑学家怀德海，曾用高阶差分方程理论的通解和特解的关系； 对“水手分椰子”一 题，给 出过一个 ( - 4)的 巧妙 特解；许多的后来者，也为解决此问题而作了不懈努力。 但严格说 来 ： 到 目前 为此对该题的研究，仍然还是 局 限在 “水手分椰子” ，这样一个具体的题目上。 离 系统、 简 易的 求解这类型 问题 ,还存在着 很大 的 差 距。 作者于 1979年 在月刊中国青年看到 了，中国式狄拉克式不定方程题“五猴分跳”。并在当时求 得了它的最简易计算公式： y=c。 近几年 作者又将该问题研究的对像，扩展到这类问题的整个领域，得到了此类问题求解的通解公式 y=ka(a/m)y=ka(a/m)c，以及相关求解体系。现与大家共同探讨 2. 狄拉克 式不定方程题及狄拉克式 不定方程问 题 拉克提出的原不定方程 ： 对于 狄拉克提出的趣味数学原题目，现用简单数学语言形式表示如下： 有一堆要被分配的椰子，如果它的总数我们用 y 来表示， 则有第一次分配时，把 y 分成了 5份，还剩余 1 个。 接着第二次分配时 ; 从弟一次分的 5 份中拿取 4 份，并将这 4份之和，又分成 5份，也刚好剩余一个。 接着第三次，第四次和第五次的分配方法，也和前面完全相同，分配后，最后也正好剩余一个。求开始的第一次分配时，看到y 是多少？对于该题目，由于它最后可以用不定方程的形式来表示，因些我们将它称之为：狄拉克式不定方程。 拉克式不定方程问题 ： 如果我们将每次分配的总份数，剩余的余数，分的总次数等等各个参与分配的因素，都扩展为变量（详见后面的狄拉克式不定方程）；。丛而将这个问题的研究，扩展到了这类问题的整个领域。这时为了研究方便，我们将这个扩展的研究对象称之为：狄拉克式不定方程问题（简称：狄式不定方程问题）， 不定方程 问题的通解公式及求解体系 拉克式不定方程问题的陈氏通解公式组 ： 陈氏通解公式 (1) y=ka(a/m)c (用于 b/ 。 陈氏通解公式 (2) y=ka(a/m)c, (用于 b/。 其式中的各个符号所代表的意义分别为 : y 要被分的某物的总个数。 a 每次要分配的份数 ,（ a=d+c） n 需要分配的总次数，（ n 大于等于 2） b 每次分配 a 份后的剩下的余数 c 每次分配 a 份后、拿走 a 的其中的份数 d 每次分 a 份、拿走 c 份后 ,剩下继续再分的份数 k 公式 (2)中的、能使 m a 和 说明 ： （ 1）在上试公式中，按照这种类型题题意的要求； y、 a、 b、c、 d、 n、 为正整数 ,且 n 大于等于 2， (反之无意义） （ 2） 解公式有或无解同等于题目本身有解或无解， 式组各公式适用范围及有解或无解的条件 （ 1） 对于公式 (1)，若 b/则公 式（ 1） 必定会有解。若 b/c 不是一个正整数 ,则用通解公式 (2)求解 , （ 2） 对于公式 (2)，若 b/则公 式（ 2） 必定会有解。若 b/m 不是一个正整数 ,则通解公式 (2)也 无解。 （ 3） 从上面可看出：对于任何一个此种类型的狄拉克式不定方程，如果 a 和 时则通解公式都能 100%的求得它的整数解及最小解， 在这种情况下，通解公式就也可以简化为如下简易通解公式组形式： 简易通解公式 (1) y= c 简易通解公式 (2) y=c 从而，使该类问题的求解，会显得更为直观、简易和高效。 对于李政道博士提出的五猴分桃一题：则可将通解公式（ 1）化简成 y=y=5种及为简易的求解公式来求解。 解公式的解集及最小整数解： 公式 (1) y=ka(a/m)k 为任意自然数所得到的整数解，当 k 为 1 时得到的解是符合题意的最小整数解。 公式 (2) y=ka(a/m)c,解集是：当 k 的取值范围为：k+所得到的所有整数解。当 k 小于等于 c 时所得到的解，为公式的最小整数解。 中 在 公式（ 1)有解时，式中的 k 可取任意自然数， 在公式 （ 2)有解时， 式中的 k 公式：k=(fc+b)(m/d) (试中的 f 是使 k 能取整数的自然数 , 在一般情况下 , c), 公式推导及 求 k 公式的求证 解公式（ 1） y=ka(a/m)c 推导及求证： （ 1） 设 : 被分 配的物数量的总数 为 y， 每次分 配 的总份数为 a, 余数为 b. 每次分 a 份后拿走的为 c 份，剩下再分的份数为 d ，总共分的次数为 n 次，最后一个人分 a 份时的每份 的数量为 x（ x 为正整数） 那么最后一次分配时看到的数量时是 ： ax+b 则 上一 次分配时 看到的 数 为 ; (xa+b)a/d+b=d+ba/d+b。 再 上一 次分配时 看到的 数量 为 ： (d+ab/d+b)a/d+b=d2+b(a/d)2+b(a/d)+b。 同样：再上一 次分配时 看到的桃子数为： d3+b(a/d)3+b(a/d)2+b(a/d)+b。 这样以此类推我们可得到， 最初 第一次分配时， 看到 的总 的数量为 y=(a/d)a/d)a/d)a/d).+(a/d)+ 1b。 这时的上式中有部分已成 等比数例 ，经 整理有： y=-(d/a)n/(1-d/a)b/=-(d/a)nba/c/an)ad/c/=b/c/(c)/=(c)/c 此时可 得到这样一个求解的基础方程 ： y an(x+b/c)/c, 对于 上式中的 a(a/d) 若 (a/d)无公约数 ,则 故上式可进一步写成： y=x+b/c)/db/c 对于上式中的 (x+b/c)/分 ,当 (b/c)为正整数 时 ,我们可通过变量 x，而使 (x+b/c)/分 取得最小 整 数 1 或 1 的任意整倍 数的整数 (设这个任意整倍数为 k） ,这时会有这类问题的简易通解公式 y=db/c， 这个公式虽然很简单，但从求证过程可看到：如果 (a/d)有公约数时，它所得到的解，不会是这类问题所需要求的最小解，故需进一步研究、 （ 2） 最小解的研究， 现在我们接着 y=an(x+b/c)/c，这一步继续求证，设 m 为 a 和 d 的最大公约数，则有： y a(a/m)/(d/m)x+b/c)c a(a/m)x+b/c)/（ d/m)db/c。 同样的， 对于式中的 (x+b/c)/（ d/m)分。我们也可通过变量 x,使 (x+b/c)/（ d/m)分 取得最小 整 数 1 或 1 的任意整倍数的整数， 从而我们可得到了：必定包含有最小解的通解公式（ 1）： y=ka(a/m)db/c， （这个公式也自然包函简易通解公式（ 1） （ 3） 到这个公式 （ 1） 的前提是 :b/c 是一个整数，否则就不能推导出这个公式，故 即使通解公式： y=ka(a/m)db/c 中的（ db/c）部分是一个 整数，而 也能够得到 整数 y，但 此时的 这个整数 y 并 不能成为公式的解 ，只有当 b/是一个整数的时候，公式所得到的整数解，才是 问题 的解） 解公式（ 2） y=ka(a/m)c 推导及求证 若 b/c 不为正整数 ,则 必须 用通解公式； y=ka(a/m) 2）来求解 ,其公式推导如下 : 对于等式 y=ka(a/m)x+b/c)/(d/m)c。 ,可将其中的 a(a/m)x+b/c)/(d/m)部分的分子和分母 ,同时剩以 c,得到y=ka(a/m)x+b/c)c/c(d/m)c,记为 h, 如果使 (x b/c)c=k(d/m)份是一个正整数 (，这样式h 便可简化成： y=ka(a/m)c,并进 一步得与包含有最小解的通解公式（ 2）： y=ka(a/m)c。 （这个公式包函简易公式（ 2） 于求 值的求取 。 对于上面 第 （ 3）点中得到的 y ka(a/m)x+b/c)c/c(d/m)c 这一等式，对于其中的“ (x+b/c)c/c(d/m)部分，由于我们已经知道公式（ 2）中的b/c 已不是一个整数 ， 故我们设 (x+b/c)c/c(d/m)k（ ；这时 有 x=k(d/m)c, 进一步得到： cx+b=k(d/m)儿有 k=cx+b/(d/m)最后可得到 求 k 公式 : k=(fc+b)(m/d)f 为能使 k 取整数的自然数 ） 。 同样的的道理，只有当公式中的 b/能找到使公式二能得到整数解的 k，否 则我们就找不到这个 正整数 k 也即当 b/m 不 是一个整数时 ，公式会无解。 本文在解决 “狄拉克式不定方程 ”的 简易计算方法这个问题上，跳出了单个、局部考虑问题的思路 , 从这 类 问题的分的规律来寻找整体解决方案，得到了 能求解任何一个这类问题的 通解公式 ，且 具有以