黑龙江省哈尔滨2017年高三第三次模拟考试数学试题（文）含答案

2017 年高三第三次模拟考试 文科数学试卷 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 B 铅笔填涂；非选择题必须使用 米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚。 出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 定后必须用 黑色字迹的签字笔描黑。 要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第卷（选择题共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） z 满足 12z i i （ i 是虚数单位），则 z （ ） A. 2 D. 5 2. A x y x ， 24B y y x ，则 （ ） A. 0,2 B. 1,2 C. 1,2 D. 1,4 c o s s ，则 的值为（ ） B. 18 D. 78 x ， y 满足3232 3 1 0 ，则 z x y 的取值范围为（ ） A. 0,3 B. 2,7 C. 3,7 D. 2,0 0,2x ， :x x ， 2: x x ，则 p 是 q 的（ ） 章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入 a ， b 分别为 18,27，则输出的 a （ ） 第 6 题 该几何体的体积为（ ） 第 7 题 20x y m m 与 22:5O x y交于 A ， B 两点，若 2O A O B ，则 m 的取值范围是（ ） A. 5,2 5 B. 2 5,5 C. 5,5 D. 2, 5 2 s i n 2 13f x x ，在 0,2随机取一个实数 a ，则 0的概率为（ ） 的四个顶点均在同一个球面上，底面 满足 6C，2，若该三棱锥体积的最大值为 3，则其外接球的体积为（ ） 22 1 0 , 0xy 的左、右焦点分别为 1F 、 2F ， P 为双曲线右支上一点，且120F ，若 12 ,1 2 6P F F ，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. 2, 3 1 B. 2, 2 3 1 C. 2,2 D. 2, 3 1 12. 函数 定 义 在 0, 上 的 可 导 函 数 ， 为 其 导 函 数 ， 若 1xx f x f x e x ，且 20f ，则不等式 0的解集为（ ） A. 0,1 B. 0,2 C. 1,2 D. 2, 第卷（非选择题共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分 3 题 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须 作答，第 22 题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答 . 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分） . 0 人，女教师 100 人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取 x 人参加教师代表大会，若抽到男教师 12 人，则 x _. 当 0x 时， x x x x，则曲线 y f x 在点 ,e f e处的切线方程为 _. A 、 C 为射线 的两点，点 B 、 D 为射线 的两点，则有S C （其中、 分别为 、 的面积）；空间中，点 A 、 C 为射线 的两点，点 B 、 D 为射线 的两点，点 E 、 F 为射线 的两点，则有P _（其中P 、 分别为四面体 P 、 P 的体积） . f x x 的解称为函数 1x 有唯一不动点，且数列 足 1 1a ， 111 ，则 2017a _. 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .） 17.（本小题满分 12 分） 已知直线 3x 是函数 s i n 2 c o s 2f x m x x的图象的一条对称轴 . （）求函数 （）设 中角， A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 2，且 3b ，求2的取值范围 . 18.（本小题满分 12 分） 我国是世界上严 重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 x （吨），一位居民的月用水量不超过 x 的部分按平价收费，超过 x 的部分按议价收费 过抽样，获得了某年 100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按 照 0, ， ， 4,成 9组，制成了如图所示的频率分布直方图 . （）求直方图中 a 的值； （）若将频率视为概率 ，从该城市居民中随机抽取 3 人，记这 3 人中月均用水量不低于 3吨的人数为 X ，求 X 的分布列与数学期望 . （）若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x （吨），估计 x 的值（精确到 并说明理由 . 19.（本小题满分 12 分） 如图，在棱台 中， 与 分别是棱长为 1 与 2 的正三角形，平面 面 四边 形 直 角梯 形， D ， 1， N 为 点， ,0A M A F R . （）设 点为 Q ， 12 ，求证： 平面 （）若 M 到平面 距离为 334 ，求直线 平面 成角的正弦值 . 20.（本小题满分 12 分） 椭圆 22 10xy 的左、右焦点分别为 1 ,0、 2 ,0过椭圆中心的弦 足 2， 2 90 ，且 2的面积为 1. （）求椭圆的方程； （）直线 l 不经过点 0,1A ，且与椭圆交于 M ， N 两点，若以 直径的圆经过点 A ，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标 . 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 x e x. （）若 1a ，求证：当 1x 时， 21f x x ； （）若存在 0，使 002 x x ，求实数 a 的取值范围 . 请从下面所给的 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分 . 22.（本小题满分 10 分）选修 4标系与参数方程 已知极点为直角坐标系的原点，极轴为 x 轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线1 :1C ，22 12:2 12 （ t 为参数） . （）求曲线 1C 上的点到电线 2C 距离的最小值； （）若把 1C 上各点的横坐标都扩大原来为原来的 2 倍，纵坐标扩大原来的 3 倍，得到曲线 1C 1,1P ，曲线 2C 与 1C 交于 A ， B 两点，求 B . 23.（本小题满分 10 分）选修 4等式选 讲 已知 x ， . （）若 x ， y 满足 13 2 ， 12 6 ，求证： 310x ； （）求证： 4 4 3 31 6 2 8x y x y x y . 2017 三 模 文科数学 答案 一、 选择题 、 填空题 14. y x e B D 16. 2017 三、 解答题 17.（ 1）3x 是函数 ( ) s i n 2 c o s 2f x m x x的一条对称轴 2( ) 13 或2 1m3m. ( ) 2 s i n ( 2 )6f x x 增区间：, ( )63k k k Z 6 分 （ 2） ( ) 2fBs i n ( 2 ) 163 又 3b ，由正弦定理得：2 s i n , 2 s i n 2 s i n ( )3a A c C A 2 s i n s i n ( + = 3 s i n ( )2 3 6 A A ）210 , ( , ) s i n ( ) , 13 6 6 2 6 2A A A 33 s i n ( ) , 362A ，即 3 ,322 . 18.（ 1） 4 分 （ 2） 1 0 . 0 6 0 . 0 4 0 . 0 2 0 . 8 8P 8 分 （ 3） ( 0 . 8 8 0 . 8 5 ) 0 . 3 0 0 . 1 3 0 12 分 19（ 1）延长三棱台 的三条侧棱，设交点为 S 1=2时 M 为 中点， 设 点为 R ，连 ,Q 梯形 ，中位线 /C ，又,M R A B C A C A B C平 面 平 面所以 /M R A B ； ，中位线 /N ，又 ,Q R A B C C N A B C平 面 平 面 所以/Q R A B 又 R R 且,M R M Q R Q R M Q R平 面 平 面所以/M Q R A B 平 面所以/M Q A B 4 分 （ 2）设 点为 H ，连 ,H ，在 作 /H 且交 点 O ， ()()B C D C B C D E S B C B C D E S B C B A B B C 平 面 平 面 即平 面 平 面 即平 面 即 平 面 )平 面又 /H ，所以()M O S B C D 平 面， 所以33() 4M O M S B C D M O 为 到 平 面 的 距 离 ，且 为直线 平面 成角 8 分 ()()A B C B C D E S B C B C D E S B C B B C D B C 平 面 平 面 即平 面 平 面 即平 面 A C A B C 平 面 ，所以 C ， / / , 1 , 2 , 1D F A C D F A C C D 33334443M O S M S A 为 中 点2, 2 , 2C F S A C F F M 1023 3 0s i n 20t M C O M C O 中12 分 直线 平面 成角的正弦值为3 302020.（ 1）2 1 290P F Q P F Q F 为矩形12 21F F P Q c 1 2 2 1212P F F P F P F P F 又122P F P F a，得222, 1椭圆方程：2 2 12x y （ 2）222 2 21 ( 2 1 ) 4 2 ( 1 ) 02x yk x k m x my k x m 2221 2 1 2224 2 ( 1 )8 ( 2 1 ) , ,2 1 2 1k m mk m x x x 1 1 2 2( , 1 ) ( , 1 ) 0A M A N x y x y 23 2 1 0 又直线不经过 (0,1)A ，所以 1m ，13m，定点1(0, )312分 21.（ 1） 1a 时，11 1( ) l n , ( )x e x f x e x 设11 1( ) l n 2 1 , ( ) 2x e x x g x e x 1 1 12 2 21 1 1( ) , 1 , 1 , 0 1 , ( ) 0x x xg x e x e g x ex x x ( ) (1, )在递增，又( 1 ) 0 , 1 ( ) 0g x g x 时( ) (1, )在递增，1 , ( ) (1 ) 0x g x g 时，即 l n 2 1 0xe x x 1,x 时 1xe x x ，即 ( ) 2 1f x x （ 2）若存在0 ,00( ) 2 x x，即0 0即存在0 ,00 设()x（ ），则21( ) ( l n )ln x 设21 1 1l n , 0u x ux x x ，1在 ,e递增 110x e u e 时 ,，所以 0u 在 ,e恒成立， ( ) 0 在 ,e 恒成立，所以 () ,e 递增 ,时 m i n( ) ( ) eh x h e e 需e a e 22 （ 1）221 :1C x y，圆心为 (0,0) ，半径为 1 ； 2 :2C y x 圆心到直线距离 | 2 | 22d 所以11 （ 2） 伸缩变换为 23，所以 2