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唐山 市 2016 年度高三年级第三次模拟考试 理 科数学 第 卷(共 60 分) 一、 选择题:本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 2 20A x x x , lo g 1B x y x , 则 ( ) A. 0, B. 1,2 C. 2, D. ,0 i 为 虚数单位, 2 1 1z i i , 则复数 z 的 共轭复数为( ) A. 1355i. 1355i编号为 01, 02, 03, , 49, 50 的 50 个 个体组成,利用随机 数 表(以下选取了随机数表中的第 1 行 和第 2 行 )选取 5 个 个体,选取方法是从随机数表第 1 行 的第 9 列 和第10 列 数字开始由左向右读取,则选出来的 4 个 个体的编号为( ) 双曲线 22: 1 0 , 0a 的 一条渐近线方程为 20 , 则 C 的 离心率为( ) A. 52B. 52或 5 D. 5 图程序框图,若输出 4y , 则输入的 x 为 ( ) A. 3 或 2 或 1 B. 2 C. 2 或 1 项1 1a, 对于任意 *,m n N , 有 3n m na a m , 则 项 和5S( ) 棱锥的三视图如图所示,则其体积为( ) 11x ( 其中 e 为 自然对数的底数) 的 图 象大致为( ) A B C D 9 290 1 2 91 x a a x a x a x , 则1 2 3 9a a a a ( ) c o s 6f x x ( 0 )在 0, 内 的值域为 31,2, 则 的 取值范围是( ) A. 35,23B. 53,62C. 5,6D. 55,63:4C y x 的 焦点为 F , N 为 准线上一点, M 为 y 轴 上一点, 为 直角,若线段 中点 E 在 抛物线 C 上 ,则 的 面积为( ) A. 22B. 2 函数 32f x x a x b x 有 两个极值点12,且12若1 0 223x x x, 函数 0g x f x f x, 则 ) 一 个零点 两个零点 第 卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 向量 3, 1a , 2,1b ,则 a 在 b 方向 上的投影为 的 三个顶点都在球 O 的 球面上 , 2C, 若 三棱 锥 O 的 体积为2, 则该球的表面积为 变量 ,束条件 102 1 00y a , 目标函数 2z x y的 最小值为 5 , 则实数a . n 项 和为若 *214 2nn nS a n N , 则 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分 明过程或演算步骤 .) 中 ,角 A , B , C 所 对应的边分别为 a , b , c , b b C . ( 1) 求证: ; ( 2) 若 1a , C 为 锐角,求 c 的 取值范围 . 简单随机抽样方法抽取了 100 名 同学,对其 日 均课外阅读时间(单位: 分钟 )进行调查, 结果 如下: t 0,15 15,30 30,45 45,60 60,75 75,90 男 同学人数 7 11 15 12 2 1 女 同学人数 8 9 17 13 3 2 若 将 日均 课外阅读时间不低于 60 分钟 的学生称为 “ 读书迷 ”. ( 1) 将频率视为概率,估计该校 4000 名 学 生 中 “ 读书迷 ” 有多少人? ( 2) 从已抽取的 8 名 “ 读书迷 ” 中随机抽取 4 位 同学参加读书日宣传活动 . ( i)求抽 取的 4 位 同学中既有男同学又有女同学的概率; ( 抽 取的 “ 读书 迷 ” 中男生人数为 X , 求 X 的 分布列和数学期望 . 平行四边形 , 24B, 60 , D , E , F 分别 为 中点 , 平面 ( 1) 求证: 平面 ( 2) 求 直线 平面 成角的正弦值 . 椭圆 22: 1 0xy 经 过点 13,2E, 且离心率 为 32. ( 1) 求椭圆 的 方程; ( 2)直线 l 与 圆 2 2 2:O x y b相 切于点 M , 且与椭圆 相 交于不同的两点 A , B , 求 大值 . 函数 2l n 1f x x a x , 0a . ( 1)讨论函数 调性; ( 2) 若 函数 间 1,0 有 唯一零点0x, 证明: 210 1e x e . 是 曲线 2 21 : 2 4C x y 上 的动点,以坐标原点 O 为 极点, x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系,以极点 O 为 中心,将点 P 逆 时针旋转 90 得到 点 Q ,设 点 Q 的 轨迹方程为 曲线2C. ( 1) 求曲线1C,2坐标方程; ( 2)射线 03与 曲线1C,2于 A , B 两点, 定点 2,0M , 求 的 面积 . 函数 21f x x a x . ( 1) 若 1a , 解不等式 5; ( 2) 当 0a 时, 1g a , 求满足 4的 a 的 取值范围 . 唐山市 2016 2017 学年度高三年级 第三次模拟 考试 理 科 数学 参考答案 一 选择题: 填空题 : ( 13) 5 ( 14) 44 ( 15) 3 ( 16)12解答题 : ( 17) 解: ( ) 由 b b C 根据 正弦定理得 s i n s i n s i n c o B C , 即 s i n s i n s i n c o B B C , s i n c o s c o s s i n s i n s i n c o B C B B C , co s B , 得 ( ) 由 余弦定理得 22 2 2 22 c o s 4 4 2 8c a b a b C b b b , 由 b b C 知 21 c o s 1 c o C, 由 C 为 锐角,得 0 C, 所以 12b . 从而 有 218c. 所 以 c 的 取值范围是 1,2 2 . ( 18) 解: () 设 该校 4000 名学生中“读书迷”有 x 人 ,则 8100 4000x,解得 320x . 所以 该校 4000 名学生中“读书迷”约有 320 人 . () () 抽 取的 4 名 同学既有男同学 , 又有女同学的概率: 4548131 14 . () X 可 取 0, 1, 2, 3. 454810 14 , 13354831 7 , 22354832 7 , 31554813 14 , X 的 分布列为: X 0 1 2 3 P 114 37 37 114 1 3 3 1 30 1 2 31 4 7 7 1 4 2 . ( 19) 解: ( 1)连接 因为 平面 平面 所 以 D , 行四边形 , 24B, 60 , 所 以 2, 23, 从而 有 2 2 2A E E D A D, 所以 D , 又 因为 E A , 所 以 平面 平面 从而 有 A , 又 因为 D , D D , 所 以 平面 ( 2)以 E 为 坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 0,2,0A , 2 3, 0, 0D , 3,1,0B , 因为 平面 所 以 E , 又 因为 F 为 点 ,所以 2E, 所 以 0,2,2P , 0,1,1F , 0, 1,1 , 2 3 , 2 , 0, 3 , 0,1 , 设 平面 法向量 为 ,n x y z , 由 0AF n , 0AD n 得 , 02 3 2 0 , 令 1x , 得 1, 3, 3n . 设 直线 平面 成的角为 , 则: 2 3 2 1s i n c o s ,727B F n , 即 直线 平面 成角的正弦值为 217. ( 20) 解 : () 由已知 可得223114, 22 32, 解得 2a , 1b , 所以 椭圆 的方程为 22 14x y ( ) 当 直线 l 垂 直于 x 轴 时,由直线 l 与 圆 O : 221相切, 可 知直线 l 的 方程为 1x , 易求 3. 当 直线 l 不 垂直于 x 轴 时,设直线 l 的 方程为 y kx m, 由 直线 l 与 圆 22:1O x y相 切, 得2 11, 即 221, 将 y kx m代 入 22 14x y, 整理得 2 2 21 4 8 4 4 0k x k m x m , 设 11,A x y, 22,B x y, 则12 2814k, 212 24414k , 2221 2 1 2 1 21 1 4A B k x x k x x x x 2 2 2 22 2 28 1 6 1 6 1 41 4 11 4 1 4 1 4k m m k k k , 又 因为 221, 所 以 222222 3 14 3 1 21 4 1 4 , 当且 仅当 231, 即 22k 时 等号成立, 综 上所述, 最大值为 2. ( 21)解: ( ) 21 2 2 1211a x a xf x a , 1x , 令 22 2 1g x a x a x , 24 8 4 2a a a a , 若 0 , 即 02a , 则 0, 当 1,x 时, 0, 增, 若 0 , 即 2a , 则 0, 仅当 12x时, 等号成立, 当 1,x 时, 0, 增 . 若 0 , 即 2a , 则 个零点 122a a , 222a a , 由 1 0 1 0 , 102g得121102 , 当 11,时, 0, 0, 增; 当 12,x x x时, 0, 0, 减 ; 当 2 ,时, 0, 0, 增 . 综 上所述, 当 02a 时, 1, 上 单 调递增; 当 2a 时, 21, 2a a 和 2,2a a 上 单调递增, 在 22,22a a a a a 上 单调递减 . ( ) 由( 1)及 00f 可 知:仅当极大值等于零,即 1 0, 符 合 要求 . 此时 ,1函数 间 1,0 的 唯一零点0x. 所 以 2002 2 1 0a x a x , 从而有 00121a , 又 因为 20 0 0l n 1 0f x x a x , 所以 00 0l n 1 021xx x , 令0 1,则 12tt t, 设 11t t t , 则 221 2t, 再 由( 1) 知: 102t, 0, 调 递减, 又 因为 22 5 02, 1 3 02, 所 以 21e t e , 即 210 1e x e . ( 22) 解: ( ) 曲线1 设 ,Q ,则 ,2P ,则有 4 c o s 4 s i 所以, 曲线2 () M 到射线3的距离为 2 3d , 4 s i n c o s 2 3 133 , 则 1 332S A B d ( 23) 解: ( ) 21f x x

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