七年级数学思维探究（19）乘法公式（含答案）

高斯 1777 1855 ，德国数学家、天文学家和物理学家，有“数学王子”之称，高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、重变函数论、椭圆函数论等方面均有开创性贡献，他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方 法 19 乘法公式 解读课标 多项式的形式是多种多样的，两个有一定关联的特殊多项式相乘，结果常常简洁而优美 乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性又有实用性的具体结论，学习乘法公式应注意： 1 理解公式，掌握公式的结构特征 ； 2 了解公式的变形与发展； 3 灵活运用公式，既能正用、又能逆用，而且还能适当变形或重新组合，综合运用公式 ； 4 把握公式的几何意义，领悟数形结合的思想 问题解决 例 1如果正整数 x ， y 满足方程 2264 ，则这样的正整数对 ,_ 试一试 22a b a b a b ， 以 的奇偶性相同，这个十分简单的结论是解本例的基础 例 2已知 a 、 b 、 c 满足 2 27， 2 21 ， 2 6 17 则 的值等于 （ ） A 9 B 3 C 4 D 5 试一试 由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑 例 3计算 （ 1） 2 4 8 1 62 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 （ 2） 22220042003 120042002 20042004（ 3） 334 5 . 1 1 3 . 9 4 5 . 1 1 3 . 93 1 . 2 试一试对于 （ 1） ，通过对待求式恰当变形，使之符合平方差公式的结构特征 ； 对于 （ 2） ，用字母表示数，将数值计算转化为式的计算 例 4老师在黑板上写出三个算式 225 3 8 2 ， 229 7 8 4 ， 2215 3 8 27 ，王华接着又写了两个具有同样规律的算式： 2211 5 8 12 ， 221 5 7 8 2 2 （ 1） 请你再写出两具有上述规律的版式； （ 2） 用文字写出上述算式反映的规律； （ 3） 证明这个规律的正确性 试一试 由特殊到一般，用字母表示算式反映的规律并证明 例 5（ 1） 已知 2 2 2 2 4 6 1 4 0x y z x y z ， 求 x y z 的值 （ 2） 2226 5 1， 2253 7 2， 26 53 1378 ， 221378 37 3 任意挑选另外两个类似 26 、 53 的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗？你能说出其中的道理吗？ 分析 对于 （ 1） ，由平方和联想到完全平方公式及其逆用，利用配方求出 x ， y ， z ，的值 ：对 于（ 2） ，从试验入手，然后给出一般情形的证明 解 （ 1） 由条件得 2 2 21 2 3 0x y z ， 1x ， 2y ， 3z ，原式 2 （ 2）一般地，设 22m a b， 22n c d ， 则 2 2 2 2m n a b c d 2 2 2 2 2 2 2 2a c b d b c a d 2 2 2 2 2 2 2 222a c b d a b c d b c a b c d a d 22a c b d b c a d 或 22a c b d b c a d 智慧数 例 6整数问题常是饶有兴趣又发人思考的，若对整数作一些特殊的规定，就会得到一些特殊定义下的新数，并由此产生令人思考的问题， 我们规定：若一个自然数能表示成两个非零自然数的平方差，则把这个自然数称为“智慧数”，如2216 5 3，则 16称为智慧数 请判断：在自然数列中，从数 1起，第 2000个智慧是哪个数？ 分析与解 要确定第 2000个智慧数，应先找到智慧数的特征及分布规律 因为 2 22 1 1k k k ， 显然 ， 每个大于 4 ，并且是 4 的倍数的数也是智慧数 由此可知，被 4 除 2 的偶数都不是智慧数 所以，自然数列中最小的智慧数是 3 ，第 2 个智慧数是 5 ，从 5 起，依次是 5 ， 7 ， 8 ； 9 ， 11， 12； 13，15， 16； 17， 19， 20 ； 即按 2 个奇数，一个 4 的倍数，三个一组地依次排列下去 根据这个结论，我们容易知道：因为 2 0 0 0 1 3 6 6 6 1 ，所以第 1999个智慧数是 4 666 4 2668 ，故第 2000个智慧数是 2669 数学冲浪 知识技能广场 1 若 2220a ab b ，则代数式 4 2 2a a b a b a b 的值为 2 已知 2 8， 2 2，则 22=_ 3 已知 2 2 2 1 0x y x y ，则 999=_ 4 已知 22 2 4 5 0a b a b ，则 22 4 3的值为 _ 5 已知以 a 、 b 、 x 、 y 满足 3ax ， 5ay ， 则 2 2 2 2a b x y的值为 _ 6 如图，从边长为 a 的正方形内去掉一个边长为 b 的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形，上述操作所能验证的等式是 （ ） A 22a b a b a b B 2 222a b a a b b C 2 222a b a a b b D 2a a b a a b 7 已知 1 2020， 1 1920， 1 2120， 则代数式 2 2 2a b c a b b c a c 的值是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 8 已知 1， 222， 那么 44的值是 （ ） A 4 B 3 C 72D 529 若 a 、 b 为有理数，且 222 2 4 4 0a a b b a ， 则 22a b =（ ） A 8 B 16 C 8 D 16 10 在 2004， 2005， 2006， 2007这四个数中，不能表示为两个整数 平 万 的 数是 （ ） A 2004 B 2005 C 2006 D 2007 11 计算 （ 1） 2 4 86 7 1 7 1 7 1 7 1 1 （ 2）2 246901 2 3 4 6 1 2 3 4 5 1 2 3 4 7（ 3） 2222005200420052003 20052005 212 一 个自然数减去 45 后是一个完全平方数，这个自然数加上 44 后 仍是一个完全平 方 数 ，试求这个自然数 思维方法天地 13 已知 2 0 0 7 2 0 0 5 2 0 0 6 ，那么 222 0 7 2 0 0 5 =_ 14 已知 4 ， 2 40ab c ，则 =_ 15 杨辉三角是一个由数字排列成昀三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示 （ 此处 0n ， 1， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ） 的展开式中的系数，杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是a 组成的，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 0 1 1a b a b 2 222a b a a b b 3 3 2 2 333a b a a b a b b 4 4 3 2 2 3 44 6 4a b a a b a b a b b 5 5 4 3 2 2 3 4 55 1 0 1 0 5a b a a b a b a b a b b 6 6 5 4 2 2 3 2 4 5 65 1 5 2 0 1 5 6a b a a b a b a b a b a b b 上图的构成规律你看懂了吗？ 请你直接写出 7_ 杨辉三角还有另一个特征 （ 1） 从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为 121） 都是上 一 行的 数与 _积 （ 2） 由此你可写出 511 =_ （ 3） 由第 _行 可写出 811 =_ 16 如果 2 3 12a b c ，且 2 2 2a b c a b b c c a ，则 23a b的值 是（ ） A 12 B 14 C 16 D 18 17 如果 1， 223， 那么 33的值为 （ ） A 2 B 3 C 4 D 5 18 把 2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有 （ ） A 16种 B 14种 C 12种 D 10种 19 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如 224 2 0，2212 4 2， 2220 6 4， 因此 4 ， 12， 20 这三个数都是神秘数 （ 1） 28 和 2012这 两个数是神秘数吗？为什么？ （ 2） 设两个连续偶数为 22k 和 2k （ 其中 k 取非负整数 ） ，由这两个连续偶数构造的神秘数是 4 的倍数吗？为什么？ （ 3） 两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？ 20 已知 0 ， 2 2 2 1 （ 1） 求 ab bc 的值； （ 2） 求 4 4 4的值 应用探究乐园 21 （ 1） 证明：奇数的平方被 8 除余 1 （ 2） 请你进一步证明： 2006不能表示为 10个奇数的平方之和 22 某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个 8 列的长方形队列如 果原队 列中增 120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少 120人 ，也能组成一个正方形队列问原长方形队列有多少名同学？ 19乘法公式 问题解决 例 1 2 对 64x y x y ， 0x y x y 且 与 的奇偶性相同，得 322， 164， 则 1715， 106例 2B 三等式相加得： 2 2 23 1 1 0a b c 3a ， 1b ， 1c 例 3（ 1）原式 2 4 8 1 62 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 4 8 1 62 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 322 1 1 322 （ 2）设 200420003 a ，则原式 222111 2 2 11221 （ 3）原式 224 5 . 1 1 3 . 9 4 5 . 1 4 5 . 1 1 3 . 9 1 3 . 9 4 5 . 1 1 3 . 94 5 . 1 1 3 . 9 24 5 3 3481 例 4（ 1）略 （ 2）规律：任意两个奇数的平方差等于 8 的倍数 （ 3）设 m 、 n 为整数， 222 1 2 1 4 1m n m n m n 当 m 、 n 同奇或同偶， 4 是 8 的倍数，当 m 、 n 一奇一偶， 41 是 8 的倍数 数学冲浪 1 0 2 5 3 1由条件得 210 4 7 5 34 原式 2 2 2 2 2 2 2 2a x a y b x b y 22a x b y a y b x 6 A 7 2 2 212 a b b c c a 8 C 9 B 2220a b a 10 C 形如 4k 或 21k 的数为“智慧数” 11 （ 1） 167 ；（ 2） 24690 ；（ 3） 1212 设这个自然为 x ，由题意得 224445 - 得 2289，即 8 9 1n m n m 从而 891，解得 4544故 24 5 4 4 1 9 8 1x 13 4016 原式 22 0 0 7 2 0 0 5 2 2 0 0 7 2 0 0 5a a a a 14 0 把 4 代入 2 40ab c 得 2 220 ， 2b ， 0C ， 2 4 2a ， 0 15 略（ 1） 11 （ 2） 161051（ 3） 9 ； 214358881 16 B 由 2 2 2a b c a b b c a c ， 得 2 2 21 02 a b b c a c ，从而 2 17 C 2 2222x y x y x y 1 ， 3 3 2 2 4x y x y x x y y 18 C 提示： 22 0 0 9 7 4 1x y x y 有 6 个正因数，分别是 1， 7 ， 41 ， 49 ， 287 和 2009， 因此对应的方程组为： 1 , 7 , 4 1 , 4 9 , 2 8 72 0 0 9 , 1 , 7 , 4 1 , 4 9 , 2 8 7 , 2 0 0 92 0 0 9 , 2 8 7 , 4 9 , 4 1 , 7 , 1 ,2 0 0 9 , 2 8 7 , 4 9 , 4 1 , 7 , 1 故 ,2组不同的表示 19 （ 1） 222 8 4 7 8 6 ， 222 0 1 2 4 5 0 3 5 0 4 5 0 2 故 28 和 2012都是神秘数 （ 2） 222 2 2 4 2 1k k k ，为 4 的倍数 （ 3）神秘数是 4 的倍数，但一定不是 8 的倍数，但 222 1 2 1 8n n n ， 故两个连续奇数的平方差不是神秘数 20 （ 1） 2 2 2 2 2 2 2a b c a b c a b b c a c ， 得 12ab bc （ 2）由 12ab bc ， 得 2 14ab bc ，即 2 2 2 2 2 2 124a b b c c a a b c a b c 得 2 2 2 2 2 2 14a b b c c a 又 2 2 2 1 ，平方得 4 4 4 2 2 2 2 2 22 2 2 1a b c a b b c c a 故 4 4 4 2 2 2 2 2 2 111 2 1 242a b c a b b c c a 21 （ 1） 22 1 4 1 1n n n 8| 4 1，故奇数的平方被 8 除余 1 （ 2）假设