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第九章 静电场 (electrostatic field)二、计算题9.7 电荷为q和2q的两个点电荷分别置于x1 m和x1 m处一试验电荷置于x轴上何处，它受到的合力等于零？解：设试验电荷置于x处所受合力为零，根据电力叠加原理可得即：。因点处于q、2q两点电荷之间，该处场强不可能为零故舍去得 m9.8 一个细玻璃棒被弯成半径为r的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+q，沿其下半部分均匀分布有电荷q，如题图9.4所示试求圆心o处的电场强度解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在q 处取微小电荷dq = ldl = 2qdq / p它在o处产生场强按q 角变化，将de分解成二个分量：对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷0 所以 9.9如图9.5所示，一电荷线密度为的无限长带电直导线垂直纸面通过a点；附近有一电量为的均匀带电球体，其球心位于o点。是边长为的等边三角形。已知处场强方向垂直于，求:和间的关系。解：如图建立坐标系。根据题意可知9.10 如题图9.6所示，一电荷面密度为s的“无限大”平面，在距离平面a处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为r的圆面积范围内的电荷所产生的试求该圆半径的大小解：电荷面密度为s的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为 ：e=s / (2e0)。以图中o点为圆心，取半径为rrdr的环形面积，其电量为dq = s2prdr。它在距离平面为a的一点处产生的场强 则半径为r的圆面积内的电荷在该点的场强为 由题意,令e=s / (4e0)，得到r9.11 如题图9.7所示,一均匀带电直导线长为，电荷线密度为。过导线中点o作一半径为（）的球面，p为带电直导线的延长线与球面的交点。求：（1）、通过该球面的电场强度通量。（2）、p处电场强度的大小和方向。解：（1）利用静电场的高斯定理即可得：。（2）如图建立一维坐标系，坐标原点与圆心重合。在带电导线上坐标为处取长度为的带电元，其所带电荷量为，在p点产生的电场强度为：则p点的电场强度为 9.12 题图9.8中，虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为：exbx，ey0, ez0。高斯面边长a0.1 m，常量b1000 n/(cm)试求该闭合面中包含的净电荷(真空介电常数8.8510-12 c2n-1m-2 ) 解：设闭合面内包含净电荷为q因场强只有x分量不为零，故只是二个垂直于x轴的平面上电场强度通量不为零由高斯定理得：则9.13 体图9.9所示，有一带电球壳，内、外半径分别为、，电荷体密度为，在球心处有一点电荷。证明：当时，球壳区域内电场强度的大小与半径无关。证：用高斯定理求球壳内场强： ,而r qa b r图9.9要使的大小与r无关，则应有 ：， 即 9.14 如题图9.10所示，一厚为b的“无限大”带电平板，其电荷体密度分布为 (0xb )，式中k为一正的常量求： (1) 平板外两侧任一点p1和p2处的电场强度大小； (2) 平板内任一点p处的电场强度； (3) 场强为零的点在何处？ 解： (1) 由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面设场强大小为e作一柱形高斯面垂直于平面其底面大小为s，如图所示 按高斯定理，即：得到：， (板外两侧)(2) 过p点垂直平板作一柱形高斯面，底面为s设该处场强为，如图所示按高斯定理有：得到： (0xb)(3) =0，必须是， 可得9.15 一球体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷,若保持电荷分布不变,在该球体挖去半径为r的一个小球体,球心为,两球心间距离,如题图9.11所示。 求：(1) 在球形空腔内,球心处的电场强度；(2) 在球体内p点处的电场强度。设、o、p三点在同一直径上，且。解：挖去电荷体密度为r 的小球，以形成球腔时的求电场问题，可在不挖时求出电场，而另在挖去处放上电荷体密度为r的同样大小的球体，求出电场，并令任意点的场强为此二者的矢量叠加，即：在图(a)中，以o点为球心，d为半径作球面为高斯面s，则可求出o与p处场强的大小。得： 方向分别如图所示。在图(b)中，以o点为小球体的球心，可知在o点e2=0. 又以o 为心，2d为半径作球面为高斯面s 可求得p点场强e2p (1) 求o点的场强 . 由图(a)、(b)可得 eo = e1o =， 方向如图(c)所示.(2)求p点的场强.由图(a)、(b)可得 方向如(d)图所示.e1p rpe2pep图(d) o ope1o r图(a) o r o deo=e1 o图(c) ope2p-r o re2o=0图(b)e1p9.16 如题图9.12所示，两个点电荷q和3q，相距为d. 试求： (1) 在它们的连线上电场强度的点与电荷为q的点电荷相距多远？ (2) 若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势u=0的点与电荷为q的点电荷相距多远？解：设点电荷q所在处为坐标原点o，x轴沿两点电荷的连线 (1) 设的点的坐标为，则 解出：另有一解不符合题意，舍去 (2) 设坐标x处u0，则 得：9.17 一均匀静电场，电场强度，空间有两点和，（以米计）。求两点之间的电势差。解：空间某点的位矢表示为，则9.18 题图9.13所示，为一沿x轴放置的长度为l的不均匀带电细棒，其电荷线密度为，为一常量取无穷远处为电势零点，求坐标原点o处的电势解：在任意位置x处取长度元dx，其上带有电荷dq=l0 (xa)dx 。它在o点产生的电势o点总电势：9.19 题图9.14所示，电荷q均匀分布在长为2l的细杆上。求（1）、在杆外延长线上与杆端距离为a的p点的电势(设无穷远处为电势零点)。（2）、杆的中垂线上与杆中心距离为a的p点的电势。(设无穷远处为电势零点)解：（1）设坐标原点位于杆中心o点，x轴沿杆的方向，如图所示细杆的电荷线密度lq / (2l)，在x处取电荷元dq = ldxqdx / (2l)，它在p点产生的电势为 整个杆上电荷在p点产生的电势：（2）设坐标原点位于杆中心o点，x轴沿杆的方向，如图所示.杆的电荷线密度l=q / (2l)在x处取电荷元dqdq = ldx = qdx / (2l) 它在p点产生的电势整个杆上电荷产生的电势：9.20 两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为r10.03 m和r20.10 m已知两者的电势差为450 v，求内球面上所带的电荷解：设内球上所带电荷为q，则两球间的电场强度的大小为 (r1rr2） 两球的电势差： 2.1410-9 c9.21 电荷以相同的面密度s 分布在半径为r110 cm和r220 cm的两个同心球面上设无限远处电势为零，球心处的电势为u0300 v 8.8510-12 c2 /(nm2) (1) 求电荷面密度 (2) 若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？解：(1) 球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，即 8.8510-9 c / m2(2) 设外球面上放电后电荷面密度为，则应有： = 0即 ：外球面上应变成带负电，共应放掉电荷：6.6710-9 c9.22如题图9.15所示，半径为r的均匀带电球面，带有电荷q沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为，长度为l，细线左端离球心距离为r0设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零) 解：设x轴沿细线方向，原点在球心处，在x处取线元dx，其上电荷为，该线元在带电球面的电场中所受电场力为：整个细线所受电场力为： ，方向沿x正方向电荷元在球面电荷电场中具有电势能：整个线电荷在电场中具有电势能： 9.23一真空二极管，其主要构件是一个半径r1510-4 m的圆柱形阴极a和一个套在阴极外的半径r24.510-3 m的同轴圆筒形阳极b，如题图9.16所示阳极电势比阴极高300 v，忽略边缘效应. 求电子刚从阴极射出时所受的电场力(基本电荷e1.610-19 c) 解：与阴极同轴作半径为r (r1rr2 )的单位长度的圆柱形高斯面，设阴极上电荷线密度为l按高斯定理有：即两极间的电场强度可表示为：， (r1rr2)，的方向沿半径指向轴线两极之间电势差所以，两极间的电场强度为：在阴极表面处电子受电场力的大小为 4.3710-14 n方向沿半径指向阳极 9.24 题图9.17为一球形电容器，在外球壳的半径b及内外导体间的电势差u维持恒定的条件下，内球半径a为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小解：设内球壳带电量为，则根据高斯定理可得出两球壳之间间半径为的同心球面上各点电场强度的大小为内外导体间的电势差：当内外导体间电势差u为已知时，内球壳上所带电荷即可求出为：内球表面附近的电场强度大小为：欲求内球表面的最小场强，令，则得到： 并有 可知这时有最小电场强度：9.25 题图9.18所示，一半径为r的“无限长”圆柱形带电体，其电荷体密度为： (rr)，式中a为常量求： (1) 圆柱体内、外各点场强大小分布； (2) 选与圆柱轴线的距离为l (lr) 处为电势零点，计算圆柱体内、外各点的电势分布解：(1) 取半径为r、高为h的高斯圆柱面(如图所示)面上各点场强大小为e并垂直于柱面则穿过该柱面的电场强度通量为：为求高斯面内的电荷，时，取一半径为r，厚d r、高h的圆筒，其电荷为：则包围在高斯面内的总电荷为 由高斯定理得：解出： (rr) 时，包围在高斯面内总电荷为： 由高斯定理：解出： (r r) (2) 计算电势分布 当时： 当rr时 ：9.26已知某静电场的电势函数 (si)求点(4，3，0)处的电场强度各分量值解：由场强与电势梯度的关系式得=-1000 v/m；9.27 如题图9.19所示，在电矩为的电偶极子的电场中，将一电荷为q的点电荷从a点沿半径为r的圆弧（圆心与电偶极子中心重合，r电偶极子正负电荷之间距离）移到b点，求此过程中电场力所作的功。解：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势 式中为从电偶极子中心到场点的矢径于是知a、b两点电势分别为 ； q从a移到b电场力作功(与路径无关)为 第十章 静电场中的导体和电介质二、计算题10.13 如题图10.4所示，一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有电荷q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q设无限远处为电势零点，试求： (1) 球壳内外表面上的电荷 (2) 球心o点处，由球壳内表面上电荷产生的电势 (3) 球心o点处的总电势 解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q，外表面上带电荷q+q (2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离o点的距离都是a，所以由这些电荷在o点产生的电势为 (3) 球心o点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q在o点产生的电势的代数和 10.14 有一无限大的接地导体板 ，在距离板面b处有一电荷为q的点电荷如题图10.5(a)所示，试求： (1) 导体板面上各点的感生电荷面密度分布(参考题图10.5(b)；(2) 面上感生电荷的总电荷(参考题图10.5(c)。 解：(1) 选点电荷所在点到平面的垂足o为原点，取平面上任意点p，p点距离原点为r，设p点的感生电荷面密度为s 在p点左边邻近处(导体内)场强为零，其法向分量也是零，按场强叠加原理， (2) 以o点为圆心，r为半径，dr为宽度取一小圆环面，其上电荷为 总电荷为10.15 如题图10.6所示，中性金属球a，半径为r，它离地球很远在与球心o相距分别为a与b的b、c两点，分别放上电荷为qa和qb的点电荷，达到静电平衡后，问： (1) 金属球a内及其表面有电荷分布吗？ (2) 金属球a中的p点处电势为多大？(选无穷远处为电势零点)解：(1) 静电平衡后，金属球a内无电荷，其表面有正、负电荷分布，净带电荷为零 (2) 金属球为等势体，设金属球表面电荷面密度为s 10.16 三个电容器如题图10.7联接，其中c1 = 1010-6 f，c2 = 510-6 f，c3 = 410-6 f，当a、b间电压u =100 v时，试求： (1) a、b之间的电容； (2) 当c3被击穿时，在电容c1上的电荷和电压各变为多少？ 解：(1) 3.1610-6 f (2) c1上电压升到u = 100 v，电荷增加到110-3 c10.17 一个可变电容器，由于某种原因所有动片相对定片都产生了一个相对位移，使得两个相邻的极板间隔之比为，问电容器的电容与原来的电容相比改变了多少？解：如下图，设可变电容器的静片数为，定片数为，标准情况下，极板间的距离为（图a），极板相对面积为。则该电容器组为个相同的平行板电容器并联（图a）。总电容为。当动片由于某种原因发生相对位移而使相邻的极板间隔变为后，总电容为：所以电容增加了：10.18 一平行板空气电容器充电后，极板上的自由电荷面密度1.7710-6 c/m2将极板与电源断开，并平行于极板插入一块相对介电常量为 的各向同性均匀电介质板计算电介质中的电位移、场强和电极化强度的大小。(真空介电常量8.8510-12 c2 / nm2)解：由的高斯定理求得电位移的大小为 由的关系式得到场强的大小为 2.5104 v/m介质中的电极化强度的大小为 10.19 如题图10.8所示，一空气平行板电容器，极板面积为，两极板之间距离为，其中平行地放有一层厚度为 (、相对介电常量为的各向同性均匀电介质略去边缘效应，试求其电容值。解：设极板上的自由电荷面密度为应用的高斯定理可得两极板之间的电位移大小为 由得：空气中的电场强度大小为；电介质中的电场强度的大小为。两极板之间的电势差为 电容器的电容为作法二： 看成二个电容串联， ， ，则 10.20一平行板电容器，极板间距离为10cm，其间有一半充以相对介电常量的各向同性均匀电介质，其余部分为空气，如题图10.9所示当两极间电势差为100 v时，试分别求空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量。 解：设空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量分别为、和、，则 (1) (2) (3)联立解得 v/m；方向均相同,由正极板垂直指向负极板 10.21 一导体球带电荷，放在相对介电常量为 的无限大各向同性均匀电介质中求介质与导体球的分界面上的束缚电荷。解：导体球处于静电平衡时，其电荷均匀分布在球面上以为半径作一同心高斯球面按的高斯定理，可求出介质内半径的同心球面上各点电位移的的大小介质与导体球的分界面上各点的电场强度大小为电极化强度的大小为 极化电荷面密度为：分界面上的束缚电荷为10.22 半径为的介质球，相对介电常量为、其自由电体荷密度，式中为常量，是球心到球内某点的距离试求： (1) 介质球内的电位移和场强分布 (2) 在半径多大处场强最大？ 解：(1) 在介质中，取半径为d的同心薄壳层，其中包含电荷 取半径为的同心球形高斯面，应用的高斯定理， 则介质内半径为的球面上各点的电位移为：，（ 为径向单位矢量）介质内半径为的球面上各点的电位移为：，(2) 对求极值得，且因，所以：处最大 10.23 如题图10.10，一各向同性均匀电介质球，半径为r，其相对介电常量为，球内均匀分布有自由电荷，其体密度为求球内的束缚电荷体密度和球表面上的束缚电荷面密度。解：介质是球对称的，且r0均匀分布， r，s 也必为球对称分布因而电场必为球对称分布用的高斯定理，可求得半径为的同心球面上； 在介质内，取半径间的球壳为体元，则可求出介质内极化电荷体密度： 略去dr的高次项，则 ， (与异号)介质表面极化电荷面密度：, （与同号） 10.24 如题图10.11所示，一平行板电容器，极板面积为s，两极板之间距离为d，中间充满介电常量按规律变化的电介质。在忽略边缘效应的情况下，试计算该电容器的电容。解：设两极板上分别带自由电荷面密度，则介质中的电场强度分布为 两极板之间的电势差为该电容器的电容值为10.25 如题图10.12所示，一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为，外筒半径为，筒长都是，中间充满相对介电常量为的各向同性均匀电介质。内、外筒分别带有等量异号电荷+q和-q设，l b，可以忽略边缘效应，求： (1) 圆柱形电容器的电容； (2) 电容器贮存的能量 解：（1）、由题给条件 (和，忽略边缘效应, 应用高斯定理可求出两筒之间的场强为：两筒间的电势差 电容器的电容 （2）、电容器贮存的能量10.26两个相同的空气电容器,其电容都是,都充电到电压各为后断开电源,然后,把其中之一浸入煤油 (中,然后把两个电容器并联,求:(1)、浸入煤油过程中损失的静电能；（2）、并联过程中损失的静电能。解：（1）电容器浸入煤油前的能量为浸入煤油后，电容器的能量在此过程中损失的能量为（2）、并联前，两个电容器的总能量为并联后的总电容。并联电容器上的总电量并联后电容器的总能量为并联过程中损失的能量为10.27电容的电容器在的电势差下充电,然后切断电源,并将此电容器的两个极板与原来不带电、的电容器的两极板相连，求：（1）、每个电容器极板所带的电荷量；（2）、连接前后的静电能。解：1）、电容器的总电荷量为：设两个电容器极板所带的电荷量分别为和，则由：，得：2） 、连接前的静电场能就是连接前第一个电容器的能量，即：连接后的静电场能即并联后电容器的能量，即：10.28 一平行板电容器的极板面积为s = 1 m2，两极板夹着一块d = 5 mm厚的同样面积的玻璃板已知玻璃的相对介电常量为。电容器充电到电压u = 12 v以后切断电源。求把玻璃板从电容器中抽出来外力需做多少功。(真空介电常量e 0 = 8.8510-12 c2n-1m-2 )解：玻璃板抽出前后电容器能量的变化即外力作的功抽出玻璃板前后的电容值分别为，撤电源后再抽玻璃板板上电荷不变，但电压改变，即 抽玻璃板前后电容器的能量分别为外力作功 = 2.5510-6 j10.29 一平行板电容器，极板面积为s，两极板之间距离为d，中间充满相对介电常量为的各向同性均匀电介质设极板之间电势差为u试求在维持电势差u不变下将介质取出，外力需作功多少？ 解：在两极板之间电势差u不变下，有介质时电容器中的电场能量为取出介质后的电场能量为在两极板之间电势差u不变下，由于电容值改变，极板上电荷发生变化 dq = q2 -q1 = c2u -c1u电源作功设外力作功为a1，则根据功能原理， a1 +a2 = dw = w2 -w1故外力作功第十一章 稳恒电流(steady current)二、计算题11.6 已知导线中的电流按的规律随时间变化，式中各量均采用国际单位。计算在到的时间内通过导线截面的电荷量。解：导线中的电流不是恒定的，在时间间隔内通过导线截面的电量。在时间段内，通过导线截面的电量11.7 内外半径分别为、的两个同心球壳构成一电阻元件，当两球壳间填满电阻率为的材料后，求该电阻器沿径向的电阻。解：在半径间取球壳（），该球壳沿经向的电阻为该电阻器沿经向的总电阻应为这些壳层电阻的串联，即该电阻器沿径向的电阻为：11.8 当电流为，端压为时，试求下列各情形中电流的功率以及内产生的热量。（1）电流通过导线；（2）电流通过充电的蓄电池，该蓄电池的电动势为；（3）电流通过充电的蓄电池，该蓄电池的电动势为。解：（1）、电流的功率。电流在内产生的热量。（2）、电流的功率。当给电动势为、内阻为的蓄电池充电时，有：故电流在内产生的热量：。（3）、电流的功率。当电动势为、内阻为的蓄电池放电时，有：故电流在内产生的热量：。11.9在一由电动势恒定的直流电源供电的载流导线表面某处带有正电荷，已知其电荷面密度为，在该处导线表面内侧的电流密度为，其方向沿导线表面切线方向，如图11.4所示导线的电导率为，求在该处导线外侧的电场强度。解：规定在导线内侧和导线外侧各物理量分别用角标1，2区分由高斯定理可求得导线表面电场强度的垂直分量 ：。由边界条件和欧姆定律可求得导线外侧电场强度的平行分量 ：。则导线外侧电场强度的大小 的方向：, 11.10在如题图11.5所示的电路中，两电源的电动势