高等数学-函数的极限

1 复习 使使时，时，恒有恒有 3、收敛数列的有界性 ： 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. . 反之不一定成立反之不一定成立 ： 有界的数列不一定收敛有界的数列不一定收敛. . 逆否命题成立：逆否命题成立： 无界的数列一定发散 无界的数列一定发散. . 2、收敛数列的唯一性 ： 收敛的数列的极限唯一收敛的数列的极限唯一. . 4、收敛数列的保号性及其推论 5、收敛数列与其子数列的关系及推论 函数极限的两种情形 自变量趋于无穷大 自变量趋于有限值 2 v函数极限与数列极限的联系 数列极限可看作函数f(n)当n时的极限 1-3 1-3 函数的极限函数的极限 一、函数极限的定义一、函数极限的定义 3 一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限 观察函数观察函数 当当时，时， 当当时，时， y =2 4 y x o 当当时，时， 当当时，时， 5 时函数的时函数的极限（单向极限）极限（单向极限） 如果如果 记为：记为： 或者记为：或者记为：当当时，时， 则有：则有： 注意：注意：该定义与数列极限的定义中的区别该定义与数列极限的定义中的区别 X X， 恒有恒有定义： 定义： 则则A A是是时的时的极限极限. .当当 使当使当时，时， 6 时函数的极限（单向极限时函数的极限（单向极限 ） 记为：记为： 或者记为：或者记为： 则有：则有： 当当时，时， 对于对于那么 那么 ？ 那么那么 ？ 如果如果 恒有恒有 定义：定义： 则则 A A 是是的的极限极限. . 当当时时 时，时，使当使当 x X X时，时，函数函数y y= =f f( (x x) )的图形完全落在以直线的图形完全落在以直线y y= =A A 为中心线，为中心线，宽为宽为的带形区域内的带形区域内. . 几何解释几何解释: : 9 例1 证 水平渐近线水平渐近线. . 则 10 当 x x0时, 无限接近于A 其中 体现了 与 x0的接近程度 二、自变量趋向有限值二、自变量趋向有限值 时函数的极限时函数的极限 11 1. 1.自变量趋向有限值自变量趋向有限值时函数的极限定义：时函数的极限定义： 定义：定义：如果如果 恒有恒有 （无论（无论多么小），多么小）， 当当时， 时， 记为：记为：时的 时的极限极限. . 那么那么常数常数A A就叫函就叫函 或者记为：或者记为： 总总 注意：注意： 当当数数 (1)(1) 表示表示任意小；任意小； (2)(2) 表示表示的过程，的过程， 是点是点的去心的去心 是体现是体现x x与与x x 0 0 的接近程度的接近程度. .邻域，邻域，的的 当当时，时， 12 注意：注意： 使得当使得当时， 时，恒有恒有成立成立. . 函数极限函数极限与与在点在点x x 0 0 是否有定义无关是否有定义无关. . 与任意给定的正数与任意给定的正数有关有关. . 是以是以任意任意方式，方式，包括从包括从x x 0 0 的的左边、左边、 或者从或者从x x 0 0 的的两边两边同时接近于同时接近于x x 0 0 . . 从从x x 0 0 的的右边、右边、 (3)(3) (4)(4) (5)(5) 13 函数函数极限的几何意义极限的几何意义 当当时，时， 函数函数f f( (x x) )的图形完全的图形完全 落在以直线落在以直线y y= =A A为中为中 心线，心线， 形区域内形区域内. . 一个一个后，后， 越小越好越小越好. . A A 使得当使得当 时，时， 恒有恒有成立 成立. . 宽为宽为的带的带 显然，显然， 找到找到 14 注意注意 : : 证明极限存在时证明极限存在时, ,关键关键是任意给定是任意给定 15 例1 证任给任给任取任取 当当时，时， 成立，成立， 证明证明 ( (C C为常数为常数) ) 证取取 当当 时，时， 成立，成立， 例例2 2证明 证明 16 证取取当当时，时， 成立，成立， 例例3 3证明 证明 有 分析 要使只需 17 例例4 4 证明证明 分析：注意：函数在处无定义，但这与函数在 该点是否有极限并无关系. 当时， 要使只需取当 有 18 例例4 4 证明证明 证 当时， 有 19 单侧极限的定义单侧极限的定义 左极限：左极限： 右极限：右极限： 记作：记作： 记作：记作： 使当使当 时，时， 恒有恒有 使当使当时，时， 恒有恒有 20 证 不存在不存在. . 则则 例例7 7验证 验证 不存在不存在. . 21 发现：发现： 其中：其中：表示表示x x从从0 0的左边接近的左边接近0. 0. 其中：其中： 表示表示x x从从0 0的右边接近的右边接近0. 0. 求求 观察观察 当当x x00 x x y y o o 1 1 -1-1 不存在不存在 22 解 不存在不存在. . 。 . . 例例6 6 设设 求求 o o x x y y 1 1 1 1 2 2 -1-1 23 解解 即即 x x y y 1 1 -1-1 o o 例例8 8 设设 求求 24 二、函数二、函数极限的性质极限的性质 1. 1.唯一性唯一性 若若 定理 定理1 1：存在， 存在， 则极限唯一则极限唯一. . 2. 2.有界性有界性 定理定理2 2：若若 ( (或或时函数时函数f f( (x x) )的极限存在的极限存在 ， 则存在则存在 ( (或或X X0)0)使得使得f f( (x x) )在该邻域在该邻域内内( (或 或 内内) )有界有界. . 25 3. 3. 保号性保号性 定理定理3:3: 推论推论若若且且 当当 时，时，( (或 或 则则( (或 或 以正数(负数)为极限的函数在 附近是正的(负的) 26 1. 1. 时，时， f f ( (x x) )的极限的极限. . 定理：定理： 定理：定理： 2. 2. 时，时， f f ( (x x) )的极限的极限. . 包含了包含了和和 两个极限过程两个极限过程. . 包含了包含了和和两个极限过程两个极限过程. . 说明：说明： (1) (1) 该定理常用于求该定理常用于求分段函数在分界点的极限分段函数在分界点的极限 (2)(2) 实际上是实际上是 x x 在在x x 0 0 的某邻域的某邻域内变化，内