材料力学第八章-组合变形

Chapter8 Combined deformationChapter8 Combined deformation (Combined Deformation)(Combined Deformation) 第八章第八章 组合变形组合变形 （Combined deformationCombined deformation） 8-18-1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理 （Combined deformation andCombined deformation and superposition method superposition method） 8-28-2 拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合（ Combined axial and flexural loadsCombined axial and flexural loads） 8-38-3 偏心拉（压）偏心拉（压） 截面核心截面核心(Eccentric (Eccentric loads ; I I y y , , I Iz z 分别为横截面对分别为横截面对 y y 轴和轴和 z z 轴的惯性矩轴的惯性矩; ; （ （z zF F， ， y y F F ） 为为力力 F F 作用点的坐标作用点的坐标; ; （ （z z， ，y y）为所 ）为所求应力点的坐标求应力点的坐标. . (y,z) C (Combined Deformation)(Combined Deformation) 上式是一个平面方程 上式是一个平面方程. .表明正应力在横截面上按线性规律变表明正应力在横截面上按线性规律变 化化. .应力平面与横截面的交线（直线应力平面与横截面的交线（直线 = 0= 0）就是中性轴）就是中性轴. . 四、中性轴的位置四、中性轴的位置（The location of neutral axisThe location of neutral axis） (Combined Deformation)(Combined Deformation) 令 令 y y 0 0 , , z z 0 0 代表中性轴上任一点的坐标 代表中性轴上任一点的坐标, ,即得中性轴方程即得中性轴方程 讨论 讨论 （ （1 1）在偏心拉伸）在偏心拉伸 ( (压缩压缩) ) 情况下情况下, , 中性轴是一条不通过截面形心的直线中性轴是一条不通过截面形心的直线 O z 中性轴 y y (Combined Deformation)(Combined Deformation) y y z z 中性轴 O O （2 2） 用用 a a y y 和和 a a z z 记中性轴在记中性轴在 y , zy , z 两轴上的截距两轴上的截距, ,则有则有 (yF , zF ) a a y a a z （3 3）中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧）中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧 (Combined Deformation)(Combined Deformation) y y O z z 中性轴外力作用点 y y z z 中性轴 （4 4）中性轴将横截面上的应力区域分为拉伸区和压缩区中性轴将横截面上的应力区域分为拉伸区和压缩区 横截面上最大拉应力和最大压应力分别为 横截面上最大拉应力和最大压应力分别为D D 1 1 , , D D2 2 两切点两切点 D D 1(y y1,z z1) D D 2(y y2,z z2) (Combined Deformation)(Combined Deformation) (a) ) ( (b) ) ( (c) ) y y z z （5 5）对于周边具有棱角的截面）对于周边具有棱角的截面, ,其危险点必定在截面的棱角处其危险点必定在截面的棱角处, , 并并 可根据杆件的变形来确定可根据杆件的变形来确定 F/AF/A y z FyF/Wz FzF/Wy (Combined Deformation)(Combined Deformation) y z D D 1 D2 中性轴 最大拉应力最大拉应力 tmaxtmax 和最大压应力和最大压应力 cmincmin 分分别在截面的棱角别在截面的棱角 D D 1 1 D D 2 2 处处. .无需先确定中性轴的位置无需先确定中性轴的位置, ,直接观察确定危险点的位置即可直接观察确定危险点的位置即可 五、强度条件五、强度条件 （Strength conditionStrength condition） 由于危险点处仍为单向应力状态 由于危险点处仍为单向应力状态, ,因因 此此, ,求得最大正应力后求得最大正应力后, ,建立的强度条件为建立的强度条件为 (Combined Deformation)(Combined Deformation) y y z z 六、截面核心六、截面核心（The kern of a sectionThe kern of a section） 中性轴 （y yF F， ， z z F F ）为外力作用点的坐标）为外力作用点的坐标 a ay y, ,a az z 为中性轴在为中性轴在y y轴和轴和z z轴上的截距轴上的截距 (yF,zF) 当中性轴与图形相切或远离图 当中性轴与图形相切或远离图 形时形时, ,整个图形上将只有拉应力或只整个图形上将只有拉应力或只 有压应力有压应力 (Combined Deformation)(Combined Deformation) y y z z 中性轴 y z 中性轴 中性轴 y y z z (yF,zF) (yF,zF) (yF,zF) (Combined Deformation)(Combined Deformation) y y z z 截面核心 1 1. .定义定义（DefinitionDefinition）当外力作用点位于包括截面形心的一个区域当外力作用点位于包括截面形心的一个区域 内时内时, ,就可以保证中性轴不穿过横截面（整个截面上只有拉应力或就可以保证中性轴不穿过横截面（整个截面上只有拉应力或 压应力）压应力）, ,这个区域就称为这个区域就称为截面核心截面核心 （the kern of a sectionthe kern of a section） (Combined Deformation)(Combined Deformation) y z z 当外力作用在截面核心的边当外力作用在截面核心的边 界上时界上时, ,与此相应的中性轴正好与此相应的中性轴正好 与截面的周边相切与截面的周边相切. .截面核心截面核心 的边界就由此关系确定的边界就由此关系确定. . 中性轴 2.2.截面核心的确定截面核心的确定（Determine the kern of a sectionDetermine the kern of a section） (yF,zF) 截面核心 (Combined Deformation)(Combined Deformation) 例例5 5 求圆形截面的截面核心求圆形截面的截面核心 y y z z O d A 解解: : （）（）作切线作切线 为中性轴为中性轴 , ,在两个形心主惯性轴上的截距分别为在两个形心主惯性轴上的截距分别为 圆截面的惯性半径圆截面的惯性半径 1 d/8 （）由于圆截面对于圆心（）由于圆截面对于圆心O O是对称的是对称的, ,因而因而, ,截面核心的边界对截面核心的边界对 于圆也应是对称的于圆也应是对称的, ,从而可知从而可知, ,截面核心边界是一个以截面核心边界是一个以O O为圆心为圆心, ,以以 d d/8/8为半径的圆为半径的圆 (Combined Deformation)(Combined Deformation) h h b A A B C D y z O 解解: :作切线作切线 为中性轴，为中性轴，得两截距分别为得两截距分别为 矩形截面的矩形截面的 1 例例6 6 求矩形截面的截面核心求矩形截面的截面核心 (Combined Deformation)(Combined Deformation) h h b b A A B C C D D y y z z O 1 2 3 4 （2 2）同理）同理, ,分别作切线分别作切线 、 、 ， 可求得对应的核心边界上点的坐标可求得对应的核心边界上点的坐标 依次为依次为 （3 3）矩形截面核心形状分析）矩形截面核心形状分析 直线直线绕顶点绕顶点B B旋转到直线旋转到直线时时, ,将得到一系列通过将得到一系列通过 B B点但斜点但斜 率不同的中性轴率不同的中性轴, ,而而 B B点坐标点坐标 y y B B , , z z B B 是这一系列中性轴上所共有 是这一系列中性轴上所共有 的的. . (Combined Deformation)(Combined Deformation) h b A B C D y z O 2 3 4 1 这些中性轴方程为这些中性轴方程为 上式可以看作是表示外力作用点上式可以看作是表示外力作用点坐标间关系的直线方程坐标间关系的直线方程. . 故外力作用点移动的轨迹是直线故外力作用点移动的轨迹是直线. . (Combined Deformation)(Combined Deformation) （a a）对于具有棱角的截面）对于具有棱角的截面, ,均可按上述方法确定截面核心均可按上述方法确定截面核心 （b b）对于周边有凹进）对于周边有凹进 部分的截面（如部分的截面（如T T字形截面）字形截面）, ,能取与能取与 凹进部分的周边相切的直线作为中性凹进部分的周边相切的直线作为中性 轴轴, ,因为这种直线穿过因为这种直线穿过 横截横截 面面. . （4 4）讨论）讨论 （discussiondiscussion） (Combined Deformation)(Combined Deformation) l a A B C F 研究对象研究对象（research objectresearch object） 圆截面杆圆截面杆（circular barscircular bars） 受力特点受力特点（character of external forcecharacter of external force） 杆件同时承受转矩和横向力作用杆件同时承受转矩和横向力作用 变形特点变形特点（character of deformationcharacter of deformation） 发生扭转和弯曲两种基本变形发生扭转和弯曲两种基本变形 8-48-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合 （Combined bending and torsionCombined bending and torsion） (Combined Deformation)(Combined Deformation) 一、一、 内力分析内力分析 （Analysis of internal forceAnalysis of internal force） 设一直径为设一直径为d d 的等直圆杆的等直圆杆AB, BAB, B 端具有与端具有与ABAB成直角的刚臂成直角的刚臂. . 研究研究ABAB 杆的内力杆的内力. . 将力将力 F F 向向 ABAB 杆右端截面的形杆右端截面的形 心心B B简化简化得得 横向力横向力 F F （引起平面弯曲）（引起平面弯曲） 力偶矩力偶矩 MM= = FaFa （引起扭转）（引起扭转） AB AB 杆为弯曲与扭转局面组合杆为弯曲与扭转局面组合 变形变形 B A A F M x l a A B C F F (Combined Deformation)(Combined Deformation) 画内力图确定危险截面画内力图确定危险截面 固定端固定端A A截面为危险截面截面为危险截面 AA F M M Fl (Combined Deformation)(Combined Deformation) A截面 C3 C4 T C3 C4 C2 C1 二、应力分析二、应力分析（Stress analysisStress analysis） 危险截面上的危险点为危险截面上的危险点为C C 1 1 和和 C C 2 2 点点 最大扭转切应力 最大扭转切应力 发生在截面周边发生在截面周边 上的各点处上的各点处. . C2 C1 危险截面上的最大弯曲正应力 危险截面上的最大弯曲正应力 发生在发生在C C 1 1 、C C2 2 处 处 对于许用拉压应力相等的塑性材对于许用拉压应力相等的塑性材 料制成的杆料制成的杆, ,这两点的危险程度是相同这两点的危险程度是相同 的的. .可取任意点可取任意点C C 1 1 来研究来研究. . C C 1 1 点点处于平面应力状态处于平面应力状态, , 该该 点的单元体如图示点的单元体如图示 C C 1 (Combined Deformation)(Combined Deformation) 三、三、强度分析强度分析（Analysis of strength conditionAnalysis of strength condition） 1.1.主应力计算主应力计算 （Calculating principal stressCalculating principal stress） C1 2.2.相当应力计算相当应力计算（Calculating equal stressCalculating equal stress） 第三强度理论 第三强度理论, ,计算相当力计算相当力 第四强度理论 第四强度理论, ,计算相当应力计算相当应力 3.3.强度校核强度校核（Check the strengthCheck the strength） (Combined Deformation)(Combined Deformation) 该公式适用于图示的平面应力状态该公式适用于图示的平面应力状态. . 是危险点的正应力是危险点的正应力, , 是是 危险点的切应力危险点的切应力. .且横截面不限于圆形截面且横截面不限于圆形截面 讨讨 论论 C C 1 该公式适用于弯扭组合变形该公式适用于弯扭组合变形; ;拉（压）与扭转的组合变形拉（压）与扭转的组合变形; ;以以 及拉（压）扭转与弯曲的组合变形及拉（压）扭转与弯曲的组合变形 （1 1） (Combined Deformation)(Combined Deformation) 弯扭组合变形时 弯扭组合变形时, ,相应的相当应力表达式可改写为相应的相当应力表达式可改写为 （2 2）对于圆形截面杆有）对于圆形截面杆有 C C 1 式中 式中WW为杆的抗弯截面系数为杆的抗弯截面系数. .MM, ,T T分别为危险截面的弯矩和扭分别为危险截面的弯矩和扭 矩矩. . 以上两式只适用于弯扭组合变形下的圆截面杆以上两式只适用于弯扭组合变形下的圆截面杆. . (Combined Deformation)(Combined Deformation) 例题例题7 7 空心圆杆空心圆杆ABAB和和CDCD杆焊接成整体结构杆焊接成整体结构, ,受力如图受力如图. .ABAB杆的外杆的外 径径 D D=140mm,=140mm,内外径之比内外径之比 = = d/Dd/D=0.8,=0.8,材料的许用应力材料的许用应力 = = 160MPa.160MPa.试用第三强度理论校核试用第三强度理论校核ABAB杆的强度杆的强度 A B C D 1.4m 0.6m 15kN 10kN 0.8m A B F e 解解: :（1 1）外力分析）外力分析 将力向 将力向ABAB杆的杆的B B截面形心简化截面形心简化 得得 ABAB杆为杆为扭转和平面弯曲的组扭转和平面弯曲的组 合变形合变形 (Combined Deformation)(Combined Deformation) A B F Me + 15kNm （2 2）内力分析画扭矩图和弯矩图）内力分析画扭矩图和弯矩图 固定端截面为危险截面 固定端截面为危险截面 - 20kNm (Combined Deformation)(Combined Deformation) 例题例题8 8 传动轴如图所示传动轴如图所示. .在在A A处作用一个外力偶矩处作用一个外力偶矩MM e e =1kN=1kN m,m,皮皮 带轮直径带轮直径D D=300mm,=300mm,皮带轮紧边拉力为皮带轮紧边拉力为F F 1 1 , ,松边拉力为松边拉力为F F 2 2 . .且且 F F1 1 =2=2F F 2 2 , ,l l=200mm,=200mm,轴的许用应力轴的许用应力 =160MPa.=160MPa.试用第三强度理论设试用第三强度理论设 计轴的直径计轴的直径 z F F1 1 F F2 2 x y A B l/2 l/2 Me Me MeC F=3F2 解解: :将力向轴的形心简化将力向轴的形心简化 轴产生扭转和垂直纵向对称轴产生扭转和垂直纵向对称 面内的平面弯曲面内的平面弯曲 (Combined Deformation)(Combined Deformation) + T=1kNm + 中间截面为危险截面中间截面为危险截面 1kNm Me MeC F=3F2 (Combined Deformation)(Combined Deformation) 例题例题9 9 图示一钢制实心圆轴图示一钢制实心圆轴, ,轴上的齿轮轴上的齿轮C C上作用有铅垂切向力上作用有铅垂切向力 5 5 kN,kN,径向力径向力 1.82 kN;1.82 kN;齿轮齿轮 D D上作用有水平切向力上作用有水平切向力10 kN,10 kN,径向力径向力 3.643.64 kN.kN.齿轮齿轮 C C 的节圆直径的节圆直径 d d 1 1 = 400 mm,= 400 mm,齿轮齿轮 D D 的节圆直径的节圆直径 d d2 2 =200mm.=200mm.设许用应力设许用应力 =100 MPa=100 MPa , , 试按第四强度理论求轴的直试按第四强度理论求轴的直 径径. . B A C D y z 5kN 10kN 300mm300mm 100mm x 1.82kN 3.64kN (Combined Deformation)(Combined Deformation) 解解: :（1 1）外力的简化）外力的简化 将每个齿轮上的外力 将每个齿轮上的外力 向该轴的截面形心简化向该轴的截面形心简化 B A C D y z 5kN 10kN 300mm300mm 100mm x 1.82kN 3.64kN x y z A CBD 5kN 1kNm 1.82kN 3.64kN 10kN 1kNm 1 kN 1 kN mm使轴产生扭转使轴产生扭转 5kN 5kN, ,3.64kN3.64kN 使轴在使轴在 xzxz 纵对称面内产生弯曲纵对称面内产生弯曲 1.82kN,10kN 1.82kN,10kN 使轴在使轴在 xy xy 纵对称面内产生弯曲纵对称面内产生弯曲 （2 2）轴的变形分析）轴的变形分析 (Combined Deformation)(Combined Deformation) T T = 1kNm= 1kNm 圆杆发生的是斜弯曲与扭 圆杆发生的是斜弯曲与扭 转的组合变形转的组合变形 由于通过圆轴轴线的任一 由于通过圆轴轴线的任一 平面都是纵向对称平面平面都是纵向对称平面, ,故轴在故轴在 xzxz和和xyxy两平面内弯曲的合成结两平面内弯曲的合成结 果仍为平面弯曲果仍为平面弯曲, ,从而可用总弯从而可用总弯 矩来计算该截面正应力矩来计算该截面正应力 1 C T 图 - My图 0.57 C B 0.36 Mz图 0.227 1 C B x y z A CBD 5kN 1kNm 1.82kN 3.64kN 10kN 1kNm （3 3）绘制轴的内力图）绘制轴的内力图 (Combined Deformation)(Combined Deformation) B B 截面是危险截面截面是危险截面 （4 4）危险截面上的内力计算）危险截面上的内力计算 1kNm1kNm C T图 - My图 0.57kNm C B 0.36kNm Mz图 0.227 1 C B B B和和C C截截面的总弯矩为面的总弯矩为 (Combined Deformation)(Combined Deformation) （5 5）由强度条件求轴的直径）由强度条件求轴的直径 轴需要