化动为静—解 圆锥曲线中的定值问题

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 化动为静解圆锥曲线中的定值问 题 “MsoNormal” style=“ 化动为静 解圆锥曲线中的定值问题 “MsoNormal” style=“ 摘 要：探索性问题中的定值问题，主要考 查学生解决非传统完备问题的能力，以 函数为蓝本,将数学知识有机融合，并赋 予新的情景创设而成的。在圆锥曲线中, 某些几何量在特定的关系结构中,不受相 关变元的制约而恒定不变,则称该几何量 具有定值特征,这类问题称之为定值问题。 那么如何动中觅静、动静互化以动制动， 这就要求学生学会观察分析， “创造性” 地综合运用所学知识解决问题。这类问 题其过程可以用下图表示为：观察猜 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 测抽象概括证明。 “MsoNormal” style=“ “MsoNormal” style=“关键词：定值 定点 圆锥曲线 特例 求解策略 动中觅 静 以动制动 “MsoNormal” style=“ “MsoNormal” style=“纵观近几年全 国各地高考数学题的命制，都非常注重 对学生能力的考查。定值问题作为探索 性问题之一，很好地具备了内容涉及面 广、重点题型丰富，而结论封闭、客观 等命题要求，方便考查考生的分析、比 较、猜测、归纳等综合能力，因而受到 命题人的喜爱。本文仅就圆锥曲线中的 定值问题，作一点解法上的探讨。 “MsoNormal” style=“探求之一： 特值探路, 方向明确 “MsoNormal” style=“在解数学题时， 我们应该根据题目的特点，选取灵活的 方法求解，而选择题和填空题是一类只 注重结果而不需写出解题过程的特殊问 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 题而大题解答中可以根据特殊性与普遍 性 的辨证关系, 以特例探路, 从特例中 求出几何量的定值。从而化繁为简，有 了方向继而进行计算和推证。 “MsoNormal” style=“例 1： 已知动 直线与椭圆 C: 交于 P、 Q 两不同点， 且OPQ 的面积=,其中 O 为坐标原点. “MsoNormal”证明和均为定值; “MsoNormal”设线段 PQ 的中点为 M，求的最大值； “MsoNormal”椭圆 C 上是否存在点 D,E,G，使得? 若存在，判断 DEG 的形 状；若不存在，请说明理由. “MsoNormal”解：当直线的斜率不存 在时，P，Q 两点关于 x 轴对称，所以 “MsoNormal”因为在椭圆上，因此 又因为 “MsoNormal”所以 由、得 “MsoNormal”此时 “MsoNormal” 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 “MsoNormal”由题意知 m，将其代 入，得， “MsoNormal”其中即 “MsoNormal”又 “MsoNormal”所以 “MsoNormal”因为点 O 到直线的距 离为 “MsoNormal” “MsoNormal”又整理得且符合式， “MsoNormal”此时 “MsoNormal” “MsoNormal”综上所述，结论成立。 “MsoNormal” style=“波利亚所说: “特殊化石从考虑一组给定的对象集合 过渡到考虑该集合的一个较小的子集,或 仅仅一个对象。 ” 特殊化策略是一种退 的策略，通过特殊探索法借助“退” 的结 果不但能够确定出定值，还可以为我们 提供解题的线索。 “MsoNormal” style=“探求之二：利 用恒等，方程架桥 “MsoNormal” style=“ 例 2：.已知 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合， 椭圆与抛物线在第一象限的交点 为，.圆的圆心是抛物线上的动点, 圆与 轴交于两点，且. 求椭圆的方程； “MsoNormal”证明:无论点运动到何 处,圆恒经过椭圆上一定点. “MsoNormal”解：抛物线的焦点坐 标为， 点的坐标为. “MsoNormal”椭圆的左焦点的坐标 为，抛物线的准线方程为. “MsoNormal”设点的坐标为，由抛物 线的定义可知, “MsoNormal”，解得. “MsoNormal”由，且,得.点的坐标 为. “MsoNormal”. . “MsoNormal”.椭圆的方程为. “MsoNormal”设点的坐标为,圆的半 径为， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 “MsoNormal” 圆与轴交于两点， 且, “MsoNormal” . “MsoNormal”圆的方程为. “MsoNormal” 点是抛物线上的动 点, . “MsoNormal”.把代入消去整理 “MsoNormal”得:. 方程对任意实 数恒成立， 解得 点在椭圆:上, 无论点运动到何处,圆恒经过 椭圆上一定点. 探求之三：设参消参，借梯借船 “MsoNormal” style=“从整体考虑,瞄 准所求,抓住本质,巧设未知数,设而不求, 或整体求解,或代换转化,不仅会使问题 化繁为简,化难为易,而且有助于培养同 学们创造性思维,提高同学们的分析问题、 解决问题的能力. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 “MsoNormal”例 3：. 已知椭圆 C： 1，F 为其焦点，离心率为 e。 “MsoNormal”若抛物线 xy2 的准线 经过 F 点且椭圆 C 经过 P，求此时椭圆 C 的方程； “MsoNormal”过 A 的直线与椭圆 C 相切于 M，交 x 轴于 B，且，求证： c20。 “MsoNormal”解：依题意知，即 “MsoNormal”由椭圆定义知：, “MsoNormal”所以,即椭圆的方程为： . “MsoNormal”证明：由题意可设直线 的方程为： “MsoNormal”根据过的直线与椭圆相 切 ,可得： 易知设,则由上知 “MsoNormal”由知 “MsoNormal”， 探求之四：数形结合,依旧好用 “MsoNormal” style=“数缺形时少 直觉 ,形少数时难入微 ,数形结合百般 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 好 ,隔离分离万事非”. 这说明以形助数 可以使许多抽象的概念和复杂的关系直 观化、形象化 .那么“ 形”从何来 ?“形” 从我们学过的知识中来 ,解析几何中大 量存在着我们需要的“ 形”,所以我们在教 学中应强调几何模型与数学问题的转换。 结合图象合理选取求弦长问题的方法。 “MsoNormal” style=“例 4：设，点 在轴的负半轴上，点在轴上，且 “MsoNormal” style=“当点在轴上运 动时，求点的轨迹的方程； “MsoNormal” style=“若，是否存在 垂直轴的直线被以为直径的圆截得的弦 长恒为定值？若存在，求出直线的方程； 若不存在，请说明理由 “MsoNormal”解：，故为的中点设， 由点在轴的负半轴上， “MsoNormal”则 又， “MsoNormal”又， 所以，点的轨 迹的方程为 “MsoNormal”设的中点为，垂直于轴 的直线方程为， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 “MsoNormal”以为直径的圆交于两点， 的中点为 “MsoNormal”， “MsoNormal” -9 分 “MsoNormal” style=“ 所以，令， 则对任意满足条件的， “MsoNormal” style=“都有，即为定 值 “MsoNormal” style=“求定值是解析 几何中颇有难度的一类问题，由于它在 解题之前不知道定值的结果，因而更增 添了题目的神秘色彩。解决这类问题时， 要善于运用辩证的观点去思考分析，在 动点的“变”中寻求定值的 “不变”性。因 此面对高考试题的命题原则, 应逐步养