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高等代数试题与答案 一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1. 令q是正有理数集，若规定，则( ) (a) 是代数运算且满足结合律 (b) 是代数运算，但不满足结合律 (c) 不是q上的代数运算 (d) (a),(b),(c)都不对2. 域f有无穷多个元素，域f上的多项式，则( ) (a) f(x)在域f上至少有一个根 (b) f(x)在域f上最多有n个根 (c) f(x)在域f上没有根 (d) f(x)在域f上恰有n个根3. 虚数是有理数域上的( )(a) 代数元 (b) 超越元 (c) 可逆元 (d) 既约元4.若dn表示n个数码的扰乱排列总数，则dn( ) (a) dn1+dn2 (b) ndn1 (c) (n1)(dn1+dn2) (d) n (dn1+dn2)5. 整系数多项式的有理数根，(p,q)=1，则( ) (a) pan，qan (b) pa0，qa0 (c) pan，qa0 (d) pa0，qan二、填空题(每小题3分，本题共15分)6. 自然数a与b的加法定义所满足的两个条件是 7. 函数f(x)是上凸函数的定义为 8. 整环r中的元素p是r中的不可约元素，则pq，p不是可逆元，由p=ab 9. 由5个元素取7个的可重复组合数是 10.整数环z上的多项式为本原多项式，则 (an,an1,a1,a0) 三、简述题(每小题7分，共14分)11. 试给出一个从整数集z到自然数集n的的单映射，但不是满映射12. 试给出一个从整数集z到自然数集n的的双射三、计算题(每小题10，本题共40分)13. 设x，y，z是正实数，且xyz=10，求2x+3y+4z的极小值14. 求(x+y+z)6展开合并同类项后共有多少项，并指出项x2y3z的系数15. 求从1到2 000的自然数中能被5或7或11整除的自然数个数16. 从n个数码1,2,n中取k()个数码，但不允许取两个连续数码(如1，2不能连续取)，求共有多少种取法四、证明题(每小题10分，本题共20分)17. 设z，证明集合r对于普通数的加法和乘法构成一个整环18. 利用反归纳法证明：n个正数的算术平均值大于等于这n个正数的几何平均值，即r) 模拟练习之二一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1. 整环中元素c是不可约元素，则( ) (a) cq，c可逆元素 (b) cq，c可逆元素，cabca或cb (c) cq，c可逆元素，caba可逆或b可逆 (d) c=q且c是可逆元素2. 函数f(x)=n+1是整数集合z到自然数集合n的( ) (a) 单映射 (b) 满映射 (c) 双射 (d) 恒等映射3. p是有理数域上的( )(a) 超越元 (b) 代数元 (c) 可逆元 (d) 不可约元4. 设q1，q2，q3是区间0，p上的三个数，则( ) (a) (b) (c) (d) 5. 设d(x)是f(x)和f (x)的公因式，则( ) (a) d(x)是f(x)的二重因式 (b) d(x)是f(x)单因式 (c) d(x)是f(x)的三重因式 (d) d(x)是f(x)k重因式二、填空题(每小题3分，本题共15分)6. 自然数加法定义为 7. 若d是a和b的最大公因式，则d应满足的两个条件为 8. 掷两颗骰子一共有多少种不同情况 9. n个数码1，2，,n的扰乱排列总数是 10. 反归纳定理为 三、简述题(每小题7分，共14分)11. 空集合的幂集是空集合码？应该是什么？12. 在模12的剩余类环z12中哪些元素是可逆元素三、计算题(每小题10，本题共40分)13. 求在剩余类环z12中的根14. 求(x+y+zt)10展开合并同类项后共有多少项，并指出项x5y2z3的系数15. 上11个台阶，如果每次只能走一阶或二阶，问有多少种不同走法16. 设z，求出r中所有可逆元素和不可约元素四、证明题(每小题10分，本题共20分)17. 证明在整环r中任意两个元素都有最大公因式且对r中的三个元素a，b，c，若(a,b)1，(a,c)1，则(a,bc)118. 如果域f含有无限个元素，求证fx上两个多项式f(x)和g(x)相等，从代数的观点和函数的观点是一致的模拟练习之一解答一、单项选择题1. b2. b3. a4. c5.c二、填空题6. a+1=a；a+b=(a+b)7. q1+q2=1,q10，q20，f(q1x1+q2x2)q1f(x1)+q2f(x2)8. a为可逆元或b为可逆元9. 10. 1三、简述题11. 如 (nn)，(不惟一) 12. 如 (nn)，(不惟一)四、计算题13. 因为x，y，z0，所以 所以2x+3y+4z的极小值是 14. 共有；x2y3z系数为 15. 设a能被5整除的自然数，b能被7整除的自然数 c能被11整除的自然数则，所以，400285181572736575116. 用f(n,k)该数，f(n,k)=f(n1,k)+f(n2,k1)，f(n,k)=参考原教材p152：定理5.1五、证明题17. 易知 r对于数的加法和乘法封闭，在r中有零元，即存在负元素，满足结合律，且对满足分配律存在,，总之，r是整环18. 当n=2,4,8,2m时命题正确设命题对n=k时正确，即则，所以 ，即 因而 ，所以命题对一切自然数成立模拟练习之二解答一、单项选择题1. c2. b3. a4. c5.d二、填空题6. a+1=a；a+b=(a+b)7. da，db，a,b的公因式d 8. 21种 9. 10. 无限个自然数满足定理；k成立k1成立三、简述题11. 不是应为p()= 12. 在z12中是可逆元素四、计算题13. 是方程的根 14. 共有；x5y2z3系数为 15. 对台阶作归纳当n=0时，f(0)=1；当n=1时，f(1)=1；当n=2时，f(2)=2=f(1)+f(0),当n=3时，f(3)=3=f(2)+f(1)；一般地，f(n)=f(f1)f(n2)f(4)=5；f(5)=8；f(6)=13；f(7)=21；f(8)=34；f(9)=55；f(10)=89；f(11)=144走完11个台阶可以有144种不同走法16. r中的可逆元素是；r中的不可约元素为，p为不等于2的素数五、证明题17. 由于(a,b)1(ac，bc)c所以