初三数学教案.docx

初三数学教案初三数学教案 导语：音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌 能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活， 但数学能给予以上的一切。以下是品才网小编整理的初三 数学教案，欢迎阅读参考。 正多边形的有关计算 教学设计示例 1 教学目标： (1)会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周 长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题; (2)巩固学生解直角三角形的能力，培养学生正确迅速 的运算能力; (3)通过正多边形有关计算公式的推导，激发学生探索 和创新. 教学重点: 把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问 题. 教学难点: 正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角 形的问题解决、综合运用几何知识准确计算. 教学活动设计: (一)创设情境、观察、分析、归纳结论 1、情境一：给出图形. 问题 1：正 n 边形内角的规律. 观察：在图形中，应用以有的知识(多边形内角和定理， 多边形的每个内角都相等)得出新结论. 教师组织学生自主观察，学生回答.(正 n 边形的每个 内角都等于 .) 2、情境二：给出图形. 问题 2：每个图形的半径，分别将它们分割成什么样的 三角形?它们有什么规律? 教师引导学生观察，学生回答. 观察：三角形的形状，三角形的个数. 归纳：正 n 边形的 n 条半径分正 n 边形为 n 个全等的 等腰三角形. 3、情境三：给出图形. 问题 3：作每个正多边形的边心距，又有什么规律? 观察、归纳：这些边心距又把这 n 个等腰三角形分成 了个直角三角形，这些直角三角形也是全等的. (二)定理、理解、应用： 1、定理： 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形. 2、理解：定理的实质是把正多边形的问题向直角三角 形转化. 由于这些直角三角形的斜边都是正 n 边形的半径 R，一 条直角边是正 n 边形的边心距 rn，另一条直角边是正 n 边 形边长 an 的一半，一个锐角是正 n 边形中心角 的一半，即 ，所以，根据上面定理就可以把正 n 边形的有关计算 归结为解直角三角形问题. 3、应用： 例 1、已知正六边形 ABCDEF 的半径为 R，求这个正六 边形的边长、周长 P6 和面积 S6. 教师引导学生分析解题思路： n=6 =30，又半径为 R a6 、r6. P6、S6. 学生完成解题过程，并关注学生解直角三角形的能力. 解： 作半径 OA、OB;作 OGAB，垂足为 G，得 RtOGB. GOB= ， a6 =2Rsin30=R， P6=6a6=6R， r6=Rcos30= ， . 归纳：如果用 Pn 表示正 n 边形的周长，由例 1 可知， 正 n 边形的面积 S6= Pn rn. 4、研究：(应用例 1 的方法进一步研究) 问题：已知圆的半径为 R，求它的内接正三角形、正方 形的边长、边心距及面积. 学生以小组进行研究，并初步归纳： 上述公式是运用解直角三角形的方法得到的. 通过上式六公式看出，只要给定两个条件，则正多边 形就完全确定了.例如：(1)圆的半径或边数;(2)圆的半径 和边心距;(3)边长及边心距，就可以确定正多边形的其它 元素. (三)小节 知识：定理、正三角形、正方形、正六边形的元素的 计算问题. 思想：转化思想. 能力：解直角三角形的能力、计算能力;观察、分析、 研究、归纳能力. (四)作业 归纳正三角形、正方形、正六边形以及正 n 边形的有 关计算公式. 教学设计示例 2 教学目标： (1)进一步研究正多边形的计算问题，解决实际应用问 题; (2)通过正十边形的边长 a10 与半径 R 的关系的证明， 学习边计算边推理的数学方法; (3)通过解决实际问题，培养学生简单的数学建模能力; (4)培养学生用数学意识，渗透理论联系实际、实践论 的观点. 教学重点: 应用正多边形的基本计算图解决实际应用问题及代数 计算的证明方法. 教学难点: 例 3 的证明方法. 教学活动设计： (一)知识回顾 (1)方法：运用将正多边形分割成三角形的方法，把正 多边形有关计算转化为解直角三角形问题. (2)知识：正三角形、正方形、正六边形的有关计算问 题，正多边形的有关计算. 组织学生填写教材 P165 练习中第 2 题的表格. (二)正多边形的应用 正 多边形的有关计算方法是基本的几何计算知识之一， 掌握这些知识，一方面可以为学生进一步学习打好基础， 另一方面，这些知识在生产和生活中常常会用到，掌握后 对学生参加实践活动具有实用意义. 例 2、在一种联合收割机上，拨禾轮的侧面是正五边形， 测得这个正五边形的边长是 48cm，求它的半径 R5 和边心距 r5(精确到). 解：设正五边形为 ABCDE，它的中心为点 O，连接 OA， 作 OFAB，垂足为 F，则 OA=R5，OF=r5，AOF= . AF= (cm)，R5= (cm). r5= (cm). 答：这个正多边形的半径约为，边心距约为 建议：组织学生，使学生主动参与教学;渗透简单 的数学建模思想和实际应用意识;对与本题除解直角三角 形知识外，还要主要学生的近似计算能力的培养. 以小组的学习形式，每个小组自己举一个实际生活中 的例子加以研究，班内交流. 例 3、已知：正十边形的半径为 R，求证：它的边长 . 教师引导学生： (1)AOB=? (2)在OAB 中，A 与B 的度数? (3)如果 BM 平分OBA 交 OA 于 M，你发现图形中相等 的线段有哪些?你发现图中三角形有什么关系? (4)已知半径为 R，你能不通过解三角形的方法求出 AB 吗?怎么计算? 解：如图，设 AB=a10.作OBA 的平分线 BM，交 OA 于 点 M，则 AOB=1=2=36，OAB=3=72. OM=MB=AB= a10. OABBAM OA:AB=BA:AM，即 R :a10= a10:(R- a10)，整理，得 (取正根). 由例 3 的结论可得 回顾：黄金分割线段.AD2=DCAC，也就是说点 D 将线 段 AC 分为两部分，其中较长的线段 AD 是较小线段 CD 与全 线段 AC 的比例中项.顶角 36角的等腰三角形的底边长是 它腰长的黄金分割线段. 反思：解决方法.在推导 a10 与 R 关系时，辅助线角平 分线是怎么想出来的.解决方法是复习等腰三角形的性质、 判定及相似三角形的有关知识. 练习中练习 1 (三)总结 (1)应用正多边形的有关计算解决实际问题; (2)综合代数列方程的方法证明了 . (四)作业 教材 P173 中 8、9、10、11、12. 探究活动 已知下列图形分别为正方形、正五边形、正六边形， 试计算角 的大小. 探究它们存在什么规律?你能证明吗? (提示： .) 画正多边形 教学设计示例 1 教学目标： (1)了解用量角器等分圆心角来等分圆;掌握用尺规作 圆内接正方形和正六边形，能作圆内接正八边形、正三角 形、正十二边形; (2)通过画图培养学生的画图能力; (3)对学生进行审美教育，提高学生的审美能力，促进 学生对几何学习的热情. 教学重点： (1)量角器等分圆心角来等分圆; (2)尺规作圆内接正方形和正六边形. 教学难点： 准确作图. 教学活动设计： (一)提出问题： 由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性， 所以会画正多边形应是学生必备能力之一. 问题 1：已知O 的半径为 2cm，求作圆的内接正三角形. 教师组织学生进行，方法不限. 目的：充分发展学生的发散思维. (二)解决问题： 以下为解决问题的参考方案：(上课时教师归纳学生的 方法) (1)度量法：用量角器或 30角的三角板度量，使 BAO=CAO=30. 用量角器度量，使AOB=BOC=COA=120. (2)尺规法：(如上右图)用圆规在O 上截取长度等于 半径(2cm)的弦，连结 AB、BC、CA 即可. (3)计算与尺规结合法：由正三角形的半径与边长的关 系可得，正三角形的边长= R=2 (cm)，用圆规在O 上截取长度为 2 (cm)的弦 AB、AC，连结 AB、BC、CA 即可. (三)研究、归纳 1、用量角器等分圆： 依据：等圆中相等的圆心角所对应的弧相等. 操 作：两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分 圆，这种方法比较准确，但是麻烦;其二是先用量角器画一 个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等 弧，于是得到圆的等分点，这种方法比较方便，但画图的 误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边形的边长误 差较大. 问题 2：把半径为 2cmO 九等份. (先画半径 2cm 的圆，然后把 360的圆心角 9 等份， 每一份 40) 归纳：用量角器等分圆，方法简便，可以把圆任意 n 等分，但有误差. 2、 用尺规等分圆： (1)问题 3：作正四边形、正八边形. 教师组织学生，分析、作图. 归纳：只要作出已知O 的互相垂直的直径即得圆内接 正方形，再过圆心作各边的垂线与O 相交，或作各中心角 的角平分线与O 相交，即得圆接正八边形，照此方法依次 可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形 (2 )问题 4：作正六、三、十二边形. 教师组织学生，分析、作图. 归纳：先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边 形，正二十四边形理论上我们可以一直画下去，但 大家不难发现，随着边数的增加，正多边形越来越接近于 圆，正多边形将越来越难画. (四)总结 (1)用量角器等分圆周作正 n 边形; (2)用尺规作正方形及由此扩展作正八边形、用尺规作 正六边形及由此扩展作正 12 边形、正三角形. (五)作业 教材 P173 中 13. 教学设计示例 2 教学目标： 1、能应用画正多边形解决实际问题;会画正五边形的 近似图;了解等分圆的美丽图形; 2、通过运用正多边形的有关计算和画图解决实际问题 培养学生分析问题、解决问题的能力; 3、对学生进行审美教育和文化传统教育和爱国教育; 4、渗透数学建模思想. 教学重点： 应用正多边形的计算与画图解决实际问题. 教学难点： 数学模型的建立，和正多边形的有关计算问题. 教学活动设计： (一)知识回顾： 分别画半径 2cm 的圆内接正六边形、内接正三角形、 内接正十二边形、内接正方形、内接正八边形. 要求尺规作图;说明画法;指出作图依据;学生 独立完成. 教师巡视，对画的好的学生给于表扬，对有问题的学 生给于指导. (二)画图应用： 例 1、有一个亭子，它的地基是半径为 4m 的正八边形， (1)用 1200 的比例尺画出地基平面图;(2)求地基的边长 a8(精确到)和面积 S8(精确到) 教师引导学生分析：比例尺= ;正八边形的半径 R=2cm;如何解正八边形和近似计 算. ( 1)画法：1.以任意一点 O 为圆心，以 4m 的 ，即 2cm 为半径画O(如图). 2.作O 的直径 AC、BD，使 ACBD. 3.作平分 、 的直径 EG、FH. 4.顺次连结 AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA. 八边形 AEBFCGDH 就是亭子地基的正八边形. (2)解(学生分析解题方法)： (m) (m) (m2) 答：(略) 我国民间相传有五边形的近似画法，画法口诀是： “九五顶五九，八五两边分” ，它的意义如图：如果正五边 形的边长为 10，作它的中垂线 AF，取 AF=，在 AF 上取 FM=，则 AM=，过点 M 作 BEAF，在 BE 上取 BM=ME=8.连结 AB、BC、DE、EA 即可. 例 2、用民间相传画法口诀，画边长为 20mm 的正五边 形. 分析：要画边长 20mm 的正五边形，关键在于计算出口 诀中各部分的尺寸，由于要画的正五边形与口诀正五边形 相似，所以要画的正五边形的各部分应与口诀正五边形各 部分对应成比例.由已知知道要画正五边形的边 CD=20mm.请 同学们算出各部分的尺寸，并按口诀画出正五边形 ABCDE. (画法：略.参看教材 P170) 说明：虽然这种画法是近似画法，但是这种画法的精 确度却是很高的.有能力的学生课下可以探究和计算. 通过正五边形的民间近似画法的教学弘扬民族文化， 揭示其科学性，渗透实践出真知的观点. (三)优美图案欣赏和画法： 请学生欣赏下列图案，分析图案结构，画出图案. 组织学生进行，可以让学生独立完成，也可以让学生 协作完成，对画的较好的同学给予表彰. (四)总结 1、运用正多边形的知识解决实际问题; 2、学习了民间画正五边形的近似画法; 3、学习了分解与组合有关正多边形的几何图案. (五)作业 教材 P171 中练习 1;P173 中 12;P173 中 14. 探究活动 图案设计 某学校在教学楼前的圆形广场中，准备建造一个花园， 并在花园内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉。为了美 观，种植要求如下： (1)种植 4 块面积相等的牡丹、4 块面积相等的月季和 一块杜鹃。(注意：面积相等必须由数学知识作保证) (2)花卉总面积等于广场面积 (3)花园边界只能种植牡丹花，杜鹃花种植在花园中间 且与牡丹花没有公共边。 请你设计种植方案：(设计的方案越多越好;不同的方 案类型不同.) 答案提示： 切线长定理 1、教材分析 (1)知识结构 (2)重点、难点分析 重点：切线长定理及其应用.因切线长定理再次体现了 圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂 直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用， 因此它是本节的重点. 难点：与切线长定理有关的证明和计算问题.如 120 页 练习题中第 3 题，它不仅应用切线长定理，还用到解方程 组的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的 把知识连贯起来. 2、教法建议 本节内容需要一个课时. (1)在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深 刻剖析切线长定理的基本图形;对重要的结论及时总结; (2)在教学中，以“观察猜想证明剖析 应用归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为 主体，活动式教学. 教学目标 1.理解切线长的概念，掌握切线长定理; 2.通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯， 提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想. 3.通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣， 调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度. 教学重点: 切线长定理是教学重点 教学难点: 切线长定理的灵活运用是教学难点 教学过程设计: (一)观察、猜想、证明，形成定理 1、 切线长的概念. 如图，P 是O 外一点，PA，PB 是O 的两条切线，我 们把线段 PA，PB 叫做点 P 到O 的切线长. 引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切 线是直线，不能度量;切线长是线段的长，这条线段的两个 端点分别是圆外一点和切点，可以度量. 2、观察 利用电脑变动点 P 的位置，观察图形的特征和各量之 间的关系. 3、 猜想 引导学生直观判断，猜想图中 PA 是否等于 PB. PA=PB. 4、证明猜想，形成定理. 猜想是否正确。需要证明. 组织学生分析证明方法.关键是作出辅助线 OA，OB，要 证明 PA=PB. 想一想：根据图形，你还可以得到什么结论? OPA=OPB(如图)等. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切 线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 5、归纳： 把前面所学的切线的 5 条性质与切线长定理一起归纳 切线的性质 6、切线长定理的基本图形研究 如图， PA，PB 是O 的两条切线，A，B 为切点.直线 OP 交O 于点 D，E，交 AP 于 C (1)写出图中所有的垂直关系; (2)写出图中所有的全等三角形; (3)写出图中所有的相似三角形; (4)写出图中所有的等腰三角形. 说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中 关键，它是灵活应用知识的基础. (二)应用、归纳、反思 例 1、已知： 如图，P 为O 外一点，PA，PB 为O 的切线， A 和 B 是切点，BC 是直径. 求证：ACOP. 分析：从条件想，由 P 是O 外一点，PA、PB 为O 的 切线，A，B 是切点可得 PA=PB，APO=BPO，又由条件 BC 是直径，可得 OB=OC，由此联想到与直径有关的定理“垂径 定理”和“直径所对的圆周角是直角”等.于是想到可能作 辅助线 AB. 从结论想，要证 ACOP，如果连结 AB 交 OP 于 O，转 化为证 CAAB，OP AB，或从 OD 为ABC 的中位线来考 虑.也可考虑通过平行线的判定定理来证，可获得多种证法. 证法一.如图.连结 AB. PA，PB 分别切O 于 A，B PA=PBAPO=BPO OP AB 又BC 为O 直径 ACAB ACOP (学生板书) 证法二. 连结 AB，交 OP 于 D PA，PB 分别切O 于 A、B PA=PBAPO=BPO AD=BD 又BO=DO OD 是ABC 的中位线 ACOP 证法三.连结 AB，设 OP 与 AB 弧交于点 E PA，PB 分别切O 于 A、B PA=PB OP AB = C=POB ACOP 反思： 教师引导学生比较以上证法，激发学生的学习兴趣， 培养学生灵活应用知识的能力. 例 2、 圆的外切四边形的两组对边的和相等. (分析和解题略) 反思：(1)例 3 事实上是圆外切四边形的一个重要性质， 请学生记住结论.(2)圆内接四边形的性质：对角互补. P120 练习： 练习 1 填空 如图, 已知O 的半径为 3 厘米，PO=6 厘米