七年级数学第3章 整式及其加减教学案北师大版

1 第三章第三章 整式及其加减整式及其加减 1.掌握用代数式表示简单的数量关系的方法,并能够计算代数式的值. 2.理解代数式求值的意义,以及代数式和代数式求值之间的关系. 3.掌握合并同类项和去括号的方法,并能够用其化简代数式. 4.了解整式的相关概念,理解合并同类项和去括号的法则,并会进行简单的整数加减运 算,发展运算能力. 5.建立数感、符号意识,初步形成运算能力,发展抽象思维. 1.经历探索事物之间的数量关系,并用字母与代数式进行表示的过程,建立初步的符号 意识,发展抽象思维. 2.在具体情境中进一步理解用字母表示数的意义,能分析简单问题的数量关系,并用代 数式表示. 3.会求代数式的值,能解释值的实际意义,能根据代数式的值推断代数式反映的规律. 1.经历用代数式探求数学规律的过程,初步体会代数式在数学和实际中的应用. 2.探求具体问题中的一般规律及解释具体问题中的现象或规律. 3.在解决问题的过程中,能对问题提出自己的猜想,树立学好数学的信心. 用字母表示数,是数学上一次伟大的进步,它使得数的概念一般化了.由于学生在此前 缺乏符号感和必要的逻辑思维,所以本章在安排上注意通过实验引入有关知识. 本章在学习有理数的基础上,结合学过的知识和已有的生活经验,引入字母表示数,使 思维达到由数到式的飞跃,继而介绍了代数式、代数式的值、整式、单项式与多项式及其 相关概念,并在理解这些概念的基础上逐步学习同类项的概念、合并同类项法则以及去括 号法则,最后将这些法则应用于本章的重点整式的加减,使得全章知识井然有序,层层 深入,结构分明,重点突出. 【重点】 1.用代数式准确表示数量关系. 2.能够使用合并同类项和去括号法则对代数式进行化简. 【难点】 1.掌握代数式求值的方法,理解所求值的实际意义. 2.通过代数式对问题进行分析和思考,培养抽象思维能力. 2 1.让学生通过大量的既生动又有现实意义的例子体会到使用字母表示数的重要意义, 逐步熟悉这种用符号进行逻辑思维的方法,通过用语言描述代数式,锻炼学生表述的能力. 2.本章重点是代数式及其运算,但是决不能脱离实际背景来空谈代数式的内容.在各个 部分的教学中都应该给出具有实际背景的事实材料,让学生充分认识到使用代数知识能够 很好地认识实际问题中的数学规律,避免给学生造成代数就是进行纯粹的符号运算的认识. 3.用整式表示数学关系,使很多数学规律一般化、形式化.在教学中让学生用整式表示 以前学过的有关运算律和各种公式等内容,使学生能够从事物的本质上把握规律,提高对规 律本身的认识,同时也发展了抽象思维能力. 4.在教学中,通过代数关系认识和理解一些有趣的数学规律,既能够增强学生对数学的 热爱,同时又使学生充分地认识到代数对于探索数学规律的重要作用,形成学习代数知识的 正确态度. 1 字母表示数1 课时 2 代数式2 课时 3 整式1 课时 4 整式的加减3 课时 5 探索与表达规律2 课时 本章概括整合1 课时 1 字母表示数 1.在观察、思考的过程中形成字母表示数的一般概念. 2.体会用字母表示数的特点和意义. 3.通过用字母表示一些具体的数学量,初步培养抽象思维能力和符号逻辑. 在实践的过程中,体会用一个一般的量来表示具体数值的必要性.通过自主式学习和研 究式学习,在教师的帮助下形成代数的思维方式. 1.通过实践、观察、思考、归纳等环节,总结规律,培养自主学习的能力. 2.体会简单的数学思想是如何运用到具体情况中的. 3 3.在与其他同学的交流和讨论中,培养既合作又竞争的意识. 【重点】 1.通过实践总结规律,并使用字母表示规律. 2.能够自觉地使用字母表示简单的数学关系. 【难点】 1.认识用字母表示数具有不唯一性. 2.能根据实际情况列出合理的代数式. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材 P7879. 导入一: 同学们,我们来欣赏一首非常熟悉的儿歌. 一只青蛙一张嘴,两只眼睛四条腿,扑通一声跳下水; 两只青蛙两张嘴,四只眼睛八条腿,扑通扑通两声跳下水; 三只青蛙三张嘴,六只眼睛十二条腿,扑通扑通扑通三声跳下水 处理方式 引导学生接着唱下去,激发学生的学习兴趣.刚开始有的同学还能接着 唱,唱着,唱着,唱不完了,怎么办? 师:你能不能用一句话来概括这首儿歌? 生:n只青蛙n张嘴,2n只眼睛 4n条腿,扑通n声跳下水. 师:很好,掌声鼓励.这样一首儿歌我们用一个字母n就概括了,这就是我们今天所要学 习的“字母表示数”(板书课题). 设计意图 利用儿歌使学生感受使用一般性符号表达事物的重要性,自然的渗透更 说明生活处处有数学,使学生注意力集中.让学生体验把实际问题抽象成数学问题,把特殊 问题上升到一般问题的方法,产生认知冲突,变被动学习为主动学习,有利于学生完成知识 的自我构建. 导入二: 在我们的生活中,到处可见用字母表示的图片,下面是我搜集的部分图片: 4 提出问题: 1.以上这些图案都是什么标志,每个标志中的字母都代表什么? 2.谁还能说一说,我们身边的其他用字母来表示的例子? 学生先独立思考,再小组交流.展示交流成果: 生 1:NBA美国职业篮球联赛. 生 2:UFO不明飞行物. 生 3:WC厕所(全班哄堂大笑). 生 4: 师:很好,你们知识真丰富,那么这些名称用字母表示有什么优势呢?今天,我们就一起 探究用字母表示数(板书课题). 设计意图 利用身边的一些事物让学生明白字母能简明表示一些名称,与此同时培 养学生观察和积累的能力.本设计能启发学生思维迁移,使学生明白用字母也可以表示数, 也能让复杂的运算变得简单. 过渡语 在我们身边有许多用字母来表示的例子,数学也可以.想一想,你在以前的 学习中有哪些地方用到了字母?这些字母都表示什么? 探究活动 1 公式中的字母 (1)长方形的面积计算公式S=ab,S表示面积,a,b分别表示长与宽. (2)圆的面积计算公式S=r2,S表示面积,r表示圆的半径. (3)长方体的体积计算公式V=abc,V表示体积,a,b,c分别表示长方体的长、宽、高. (4)圆柱的体积计算公式V=r2h,V表示体积,r表示底面半径,h表示圆柱的高. (5)运算律:a+b=b+a ,(a+b)+c =a+(b+c),ab=ba, a(b+c)=ab+ac,其中a,b,c分别表 示任何数. 教师板书:字母可以表示任何数. 强调: (1)我们在不引起混淆的情况下,ab,2a通常表示为ab,2a. (2)一般除号可用分数线来代替,例如ab可以写成. 设计意图 过渡到由字母表示的以前学过的运算律、公式中,在复习旧知识的基础 上,把已学知识重新规划,让学生有一个重新认识的过程.运算律的展示使学生进一步体会 用字母表示数可以使数量关系简明和一般化,初步体验和确认字母可以表示任何数这一点. 探究活动 2 用字母表示数(1) 过渡语 公式中字母表示数,让我们更进一步地感受到字母表示数的价值,下面我们 5 做个游戏,请同学们取出课前准备的火柴棒,动手拼以下图形,并同时思考以下几个问题. (以 4 人为一个小组合作完成,也可以通过画图完成探索) 思路一 搭一个正方形需要 4 根火柴棒. (1)按上图的方式,搭 2 个正方形需要几根火柴棒?搭 3 个正方形需要几根火柴棒? (2)搭 10 个这样的正方形需要多少根火柴棒? (3)搭 100 个这样的正方形需要多少根火柴棒?你是怎样得到的? (4)如果用x表示所搭正方形的个数,那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒? 处理方式 先动手摆一摆,数一数火柴棒的根数,再小组交流,体会用字母表示数的 优越性. 展示交流结果: (1)2 个正方形需 7 根;3 个正方形需 10 根. (2)31 根.(有些同学动手画出正方形为 10 个时的图形,再确定用几根火柴棒,有些同 学通过找规律得到了答案.) (3)301 根.将第一根火柴棒摘出来,后面每增加一个正方形火柴棒就增加 3 根,所以搭 100 个这样的正方形需要火柴棒 1+3100=301(根).(无法动手摆出或画出相应图形,都投 入了思考和讨论.) (4)教师巡视观察学生思考,通过操作实践,探究交流,学生从多角度去思考,再去发现 规律,将小组的作用发挥到极致. 生 1:第一个正方形用火柴棒 4 根,后面每增加一个正方形火柴棒就增加 3 根,那么搭 x个这样的正方形需要火柴棒4+3(x - 1)根. 生 2:将第一根火柴棒摘出来,后面每增加一个正方形火柴棒就增加 3 根,那么搭x个 这样的正方形需要火柴棒(1+3x)根. 生 3:假设每一个正方形都用 4 根火柴棒,则搭x个正方形需要火柴棒 4x根,而这样会 多算火柴棒(x - 1)根,所以搭x个这样的正方形需要火柴棒4x - (x - 1)根. 生 4:上面的一排和下面的一排各用了x根火柴棒,竖直方向用了(x+1)根火柴棒,共用 了 x+x+(x+1) 根火柴棒. 6 设计意图 摆火柴棒的环节,涉及的知识主要是运用字母表示规律,但其中蕴涵丰富 的教育价值.此环节可以使学生经历运用数学符号描述变化规律的过程 ,发展了符号感和 抽象思维.通过与同伴交流,学生将体验解决问题的策略的多样性,学会合理清晰地阐述自 己的观点. 思路二 (1)按照上图的方式,搭 2 个正方形需要多少根火柴棒?搭 3 个正方形需要多少根火柴 棒? (2)搭 10 个这样的正方形需要多少根火柴棒? (3)搭 100 个这样的正方形需要多少根火柴棒?你是怎样得到的? (4)如果用n表示所搭的正方形的个数,那么搭n个这样的正方形需要多少根火柴棒? 与同伴进行交流. 师:请各小组选派一名学生说一说(1),(2),(3)的答案. 生 1:(1)搭 2 个正方形需要 7 根火柴棒,3 个需要 10 根火柴棒. (2)需 31 根火柴棒. (3)需 301 根.这 301 根火柴棒我们是这样得到的,第一个正方形用 4 根,其余的 99 个正方 形每个用的 3 根,所以总共用 301 根. 师:你能用算式表示吗? 生 1:算式为 4+3(100 - 1). 师:同学们同意吗?他的结果对不对,解释得有道理吗? 生:结果对,解释得有道理. 师:这位同学说得很好.(鼓掌)还有不同的方法吗? 生 2:我是这样想的,如果把每个正方形都看成需要 4 根火柴棒,那么 100 个正方形需 400 根火柴棒,可是除去第一个正方形,其余的正方形都少用 1 根火柴棒,所以我的算式是 4100 - 99. 师:同学们明白了吗?这道题还有没有其他方法呢? (生沉默思考) 生 3:还有就是把每个正方形都看成是由 3 根火柴棒搭成的,100 个正方形就需要 300 根,但第一个正方形多用了 1 根,所以列出的算式是 3100+1. 师:这位同学的方法也非常好.大家想了三种不同的方法去解决问题,充分说明了大家 善于动脑,也展示了同学们心灵手巧的优点.我们看第(4)个问题,大家再分组研究一下怎样 解决,有几种方法,越多越好. 生 4:第(4)个问题基本上和第(3)个问题差不多,列出的算式是:3n+1,4+3(n - 1), 4n - (n - 1). 探究活动 3 用字母表示数(2) 课本 78 页,做一做 (1)根据你的计算方法,搭 200 个这样的正方形需要 根火柴棒. (2)利用小明的计算方法,我们用 200 代替 4+3(x - 1)中的x,可以得到 4+3(200 - 1)=601,你的结果与小明的结果一样吗? 7 处理方式 学生根据自己的计算方法得出搭 200 个这样的正方形需要 601 根火柴棒. 生 1:601 个,一样.我的算式是 1+3200. 生 2:601 个,一样.我的算式是 4200 - (200 - 1). 生 3:601 个,一样.我的算式是 200+200+(200+1). 师:很好,不同的方法得到的算式是不一样的,我们已经知道当正方形的个数为 200 时, 3 个算式的结果是相等的.下面同学们用自己得到的式子验证一下当正方形个数为 2,3,10,100 时,是否和你刚才计算的结果一样呢?(独立完成验证后,小组内简单交流结果.) 知识拓展 用字母表示数,同一问题中,同一字母只能表示同一数量,不同的数量要 用不同的字母表示.用字母表示实际问题中的某一数量时,字母的取值需要使这个问题有意 义,并且符合实际.用字母表示数可简明表达问题中的数量关系、公式、法则、规律等. 1.用字母表示数量关系、公式、法则、运算律等. 2.规律的探求. 3.把题中变量或未知数用字母表示是写表达式的前提. 1.某种糖每千克 10 元,小红妈妈买了a千克,共花了多少元? 解析:根据“单价数量=总价”可求出答案. 解:共花了 10a=10a(元). 2.如图所示,把一个长、宽分别是a,b的长方形纸板的四角各剪去一个边长为c的正 方形(ab2c),再做成一个无盖的长方体盒子,用字母表示它的体积和表面积. 解析:由题意知长方体的长为a - 2c,宽为b - 2c,高为c.该长方体的体积=长宽 高,表面积=长宽+(长高+宽高)2. 解:长方体的体积为(a - 2c)(b - 2c)c; 表面积为(a - 2c)(b - 2c)+2(a - 2c)c+(b - 2c)c. 1 字母表示数 用字母表示数的例子: (1)长方形的面积计算公式S=ab; (2)圆的面积计算公式S=r2 ; (3)长方体的体积计算公式V=abc; (4)圆柱的体积计算公式V=r2h. 8 一、教材作业 【必做题】 教材第 79 页习题 3.1 的 1 题. 【选做题】 教材第 79 页习题 3.1 的 2,3 题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.香蕉每千克售价 3 元,m千克售价 元. 2.温度由 5 上升t 后是 . 3.每台电脑售价x元,降价 10%后每台售价为 元. 4.某人完成一项工程需要a天,此人的工作效率为 . 5.一圆半径为a cm,将圆半径增加 5 cm 后,圆的周长是 cm,圆的面积是 cm2. 【能力提升】 6.某市对一段全长 1500 米的道路进行改造. 原计划每天修x米,为了尽量减少施工对城市 交通所造成的影响,实际施工时,每天修路比原计划的 2 倍还多 35 米,那么修这条路实际用 了多少天? 【拓展探究】 7.已知a0,S1=2a,S2=,S3=则S2013= .(用含a的式子表示) 【答案与解析】 1.3m(解析:总价=单价数量.故填 3m.) 2.(5+t)(解析:上升后的温度=原来的温度+上升的温度.故填(5+t).) 3.(1 - 10%)x(解析:降价后的价格等于原价减去降价,x - 10%x=(1 - 10%)x.故填(1 - 10%) x.) 4.(解析:工作效率=工作总量工作时间=1a=.故填.) 5.2(a+5) (a+5)2 (解析:由圆的周长、面积公式可知周长=2r=2(a+5)cm,面积 =r2=(a+5)2 cm2.) 6.解:修这条路实际用的天数等于这条路的全长 1500 米除以实际每天的工作量,原计划每 天修x米,所以实际施工时每天修(2x+35)米,所以修这条路实际用了 1500(2x+35)=(天). 7.2a(解析:依题意可得S2=,S3=2a,S4=由此可以看出Sn的值的规律是:当n为奇数时, Sn等于 2a;当n为偶数时,Sn等于.所以S2013=2a.) 通过对正方形的个数与火柴棒的数量关系的探索,让学生动手,动口,动脑,合作探究, 9 从而经历寻找规律的过程,在过程中锻炼学生的思维,让学生体会从特殊到一般,再从一般 到特殊的思维模式,感受用字母表示数或数量关系的优越性.在规律探索中,要给学生留有 充分的思考时间,要充分相信学生的能力. 课堂节奏把握的不够紧凑,最后达标检测环节时间不够充分. 本节课始终要围绕着字母表示数展开,让学生多角度、多层次地感受字母表示数. 随堂练习(教材第 79 页) (1)3v (2)解:mn - pq. 习题 3.1(教材第 79 页) 1.(1)(t - 2) (2)(m - 1) (m+5) (3) (4)(2a+10) (5) (6)(a - 1)3 6(a - 1)2 2.解:对,她先把每个正方形看成由 4 根火柴棒搭成的,然后再减去多数的根数,就得到 4x - (x - 1). 3.解:(1)从左到右依次填:7,12,17,22,27,32.(2)第n个图形需要7+5(n - 1)根或(5n+2)根. 教法:根据教师为主导学生为主体的原则,始终贯穿“激发情趣手脑并用启发诱导 反馈矫正”的教学方法. 学法:引导学生主动探索,发现问题;互动合作,解决问题;归纳概括,形成能力. 将一些小圆点按如图所示的规律摆放,第 1 个图形中有 6 个小圆点,第 2 个图 形中有 10 个小圆点,第 3 个图形中有 16 个小圆点,第 4 个图形中有 24 个小圆点依此 类推,第 6 个图形中有 个小圆点,第n(n为正整数)个图形中有 个小圆点. 解析 观察这些图形的外部可知每个图形的最外侧都有 4 个小圆点,再观察每个 图形内部圆点的行数和列数可知第 1 个图形中共有 4+12=6 个小圆点,第 2 个图形中共有 4+23=10 个小圆点,第 3 个图形中共有 4+34=16 个小圆点,第 4 个图形中共有 4+45=24 个小圆点依此类推,第 6 个图形中共有 4+67=46 个小圆点,第n个图形中 10 共有4+n(n+1)个小圆点. 答案 46 4+n(n+1) 2 代数式 1.进一步认识用字母表示数的方法和意义. 2.能够根据实际意义列出代数式. 3.能够说出一个代数式的意义. 使学生通过自主式学习和探究式学习在实践中尝试归纳自己观察到的数学现象的规律,初 步形成数学归纳的能力. 1.进一步了解用字母表示数是学生在数学学习上的一个重要的突破. 2.培养思维的灵活性和多样性. 【重点】 1.理解具体代数式的意义. 2.能够用代数式表示简单的数量关系. 3.能够进行简单的代数式求值. 【难点】 1.准确理解代数式的意义. 2.在理解实际问题的基础上准确列出代数式. 第课时 11 1.进一步理解字母表示数的意义,能结合具体情境给字母赋予实际意义;理解代数式和 代数式的值的意义,能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义,在具体情境中能求出代 数式的值. 2.通过创设实际背景和引用符号,经历观察、体验、验算、猜想、归纳等数学过程,体 会数学与现实世界的联系,增强符号感,发展运用符号解决问题的能力和数学探究意识. 教学中从实际问题出发,激发学生的兴趣,引导学生积极独立地思考问题,使学生在自 主探索与交流合作中掌握知识. 在解决问题的过程中体验类比、联想等思维,体验数学美,增强学习的自信心. 【重点】 理解具体代数式的意义,能够用代数式表示简单的数量关系,并能对简单的 代数式求值. 【难点】 正确列出代数式,解释代数式的实际意义. 【教师准备】 预想学生在学习过程中可能遇到的问题. 【学生准备】 预习教材 P8182. 导入一: (多媒体展示:播放建国 60 年国庆阅兵式上女民兵和三军女兵两种方队的视频影像.) 过渡语 有一种视觉叫震撼!有一种感觉叫澎湃!相信国庆阅兵一定给同学们留下了 难以磨灭的记忆,接下来请同学们完成下面的问题. 在国庆阅兵式上,检阅了女民兵和三军女兵两种特殊方队,请据此回答: (1)若女民兵有a人,三军女兵有b人,两种方队共有女兵 人. (2)若三军女兵平均年龄为m岁,比女民兵平均年龄大n岁,则女民兵平均年龄为 岁. (3)若三军女兵共有m排,且每排有 25 人,则三军女兵的人数为 人. (4)女民兵方队用t秒走了s米,她们的平均速度可以表示为 米/秒. 12 处理方式 让学生独立思考理解题意,选出 4 名同学依次说出 4 个问题相应的数量 关系式,其他同学纠错互评,规范答案. 生 1:(a+b). 生 2:(m - n). 生 3:25m. 生 4:. 设计意图 通过阅兵式的情境再现,激励学生的斗志,激发学生的学习热情.既复习 上节课所学的用字母表示数的知识,也为学习代数式做铺垫.学生回答问题中的几个式子包 含有+, - ,等多种运算,学生口答过程中,教师顺势板书好答案,为下一步学生观察、 理解和引出代数式埋下了伏笔. 导入二: 问题 1 用字母表示下列数量关系. 1.用火柴棒拼摆正方形,如下图所示,如果用x表示所搭正方形的个数,那么搭x个这 样的正方形需要多少根火柴棒?请用不同式子来表示这个数量关系? 2.填空: (1)边长为a cm 的正方形的周长是 cm,面积是 cm2; (2)钢笔每支 2 元,铅笔每支 0.5 元,m支钢笔和n支铅笔共 元; (3)温度由 2 下降t 后是 ; 让学生独立思考理解题意,选出 2 名同学在黑板上写出 2 个问题相应的数量关系式,其 他纠错互评,规范答案. 生 1:1.4+3(x - 1)根;x+x+(x+1)根;(3x+1)根. 生 2:2.(1)4a a2 (2) (2m+0.5n) (3) (2 - t) 问题 2 仔细观察以上式子,它们有什么共同的特点? 处理方式 学生互相讨论数量关系式的特点,教师引入课题.(板书课题) 设计意图 通过复习上一节的知识内容,承接先前的若干实例,为引出代数式埋下了 伏笔,不仅降低了教学难度,而且激发了学生的学习兴趣. 探究活动 1 认识代数式 思路一 过渡语 请同学们仔细观察下面式子:4+3(x - 1);x+x+(x+1); 3x+1;4a;a2;2m+0.5n;2 - t.它们有什么特点? 出示问题:谈谈你对代数式的认识? 处理方式 学生自主学习,畅所欲言,教师给予评价,从而归纳代数式的意义:用运算 符号把数字和字母连接而成的式子称为代数式. 13 教师进而强调: (1)运算符号包括:加、减、乘、除、乘方. (2)单独的一个数或字母也是代数式. (3)用具体数值代替代数式中的字母,就可以求出代数式的值. 设计意图 让学生经历代数式概念产生的过程,使学生在学习过程中构建自己的数 学知识结构,获得对代数式概念的理解,发展数学能力. 思路二 师:请同学们观察并思考下列式子:a+b,m - n,25m,6a2,a3,它们有哪些共同点? 生 1:都含有数字或字母. 师:除了数字和字母外,还有什么? 生 2:还有运算符号(+, - ,乘方). 师:运算符号在数字和字母之间起到什么样的作用? 生 3:把数和字母连接起来了. 师:回答得很好!同学们,这就是代数式.现在你们能用自己的语言叙述一下什么是代数 式吗? (学生交流 2 分钟后,找不同学生语言叙述,互相补充,教师加以引导,然后投影展示代 数式的定义.) (投影展示)定义:像a+b,m - n,25m,6a2,a3这样,用运算符号把数和字母连接起 来的式子叫做代数式. 单独的一个数或字母也是代数式 . 师:你能举个代数式的例子吗? (找几个同学进行举例,教师做好板书并给予积极的评价.) 设计意图 通过观察、思考、小组合作交流等活动,加深学生对知识的认识和理解, 从而生成新知识,体验探究成功的快乐感. 探究活动 2 典例讲评 (教材例题)列代数式,并求值. (1)某公园的门票价格是:成人票每张 10 元,学生票每张 5 元.一个旅游团有成人x人, 学生y人,那么该旅游团应付多少门票费? (2)如果该旅游团有 37 个成人,15 个学生,那么他们应付多少门票费? 处理方式 学生理解题意,自主探究,然后小组内讨论、交流,教师同时巡视指导,参 与小组讨论,请一名学生给全体同学讲解板演,然后借助多媒体展示解答过程. 解:(1)该旅游团应付的门票费是(10x+5y)元. (2)把x=37,y=15 代入代数式 10x+5y得 1037+515 =445. 因此,他们应付 445 元门票费. 设计意图 让学生从实际问题中抽象出数学问题,学会列代数式和求代数式的值,体 验数学来源于生活,又为现实生活服务.用多媒体展示解题过程,进一步规范学生的解题格 式,让学生体会数学的规范性、严密性. 探究活动 3 代数式在现实生活中的意义 出示问题:在例题中,10x+5y表示的是x个成人,y个学生进公园的门票费,那么它还可 以表示什么呢?请大家编写能用此式来表达的情境. 处理方式 教师举例引导,对于 10x+5y,如果用x(m/s)表示小明跑步的速度,用 y(m/s)表示小明走路的速度,那么 10x+5y表示他跑步 10 s 和走路 5 s 所经过的路程.然后 要求学生在独立思考的基础上,建立自己的情境框架,小组交流,随后全班交流,教师给予鼓 励和引导,并作出积极的评价,共同归纳: 10x+5y可以赋予很多的实际意义.投影展示学生 思考的多种结果. 14 设计意图 让学生充分体会代数式在现实背景中的意义,提高学生活学活用知识的 能力,将学生的知识进行深化和升华. 探究活动 4 趣题滋润,建模感悟 过渡语 大家的思维活跃,能把数学知识和生活实例结合起来,看来数学与现实生活 是密切相关的.下面我们再研究一个生活中的实际问题.(出示题目) (教材做一做)现代营养学家用身体质量指数衡量人体胖瘦程度,这个指数等于人体体 重(kg)与人体身高(m)平方的商.对于成年人来说,身体质量指数在 2025 之间,体重适中; 身体质量指数低于 18,体重过轻;身体质量指数高于 30,体重超重. (1)设一个人的体重为w(kg),身高为h(m),求他的身体质量指数; (2)张老师的身高是 1.75 m,体重是 60 kg,他的体重是否适中? (3)你的身体质量指数是多少? 处理方式 先让学生自主探究,然后小组内讨论、交流.教师同时巡视指导,参与小 组讨论.请一名学生板演,其他学生在练习本上面解答. 设计意图 这里首先展示出学生生活中用身体质量指数衡量人体胖瘦程度的问题, 目的是刺激学生的感官,引发学生的求知欲望.对于第(1)问,根据题意列代数式,让学生体 会数学建模的思想.对于第(2)问,目的在于让学生进一步学会求代数式的值.对于第(3)问, 目的在于加深学生对人体胖瘦程度与人体体重(kg)和人体身高(m)的关系的体会. 探究活动 5 练习巩固,深化提高 1.代数式 6a可以表示什么? 2.(1)一个两位数的个位数字是a,十位数字是 2,请用代数式表示这个两位数; (2)一个两位数的个位数字是a,十位数字是b,请用代数式表示这个两位数; (3)如何用代数式表示一个三位数? 3.(1)代数式(1+8%)x可以表示什么? (2)用具体数值代替(1+8%)x中的x,并解释所得代数式值的意义. 处理方式 学生独立思考,自主完成.教师巡视学生的答题情况,对做得好的同学应 给予表扬,同时对做得不够好的同学加强辅导. 设计意图 在课堂练习中强化学生列代数式的能力,了解代数式的用途,调动学生的 积极性,使他们人人具有成就感,充分体现了人文关怀. 知识拓展 1.对于一个代数式,它的意义没有统一的规定,以简明而不致引起误解为 出发点,同一个代数式可用不同形式的文字语言表述它的意义. 2.如果式子中含有“=” “” “” “”等符号,它们不是运算符号,那么这样的 式子不是代数式. 3.数与字母,字母与字母相乘,乘号可以省略,也可以写成“”;数字与数字相乘,乘 号不能省略;数字要写在字母前面. 4.在含有字母的除法中,一般不用“”号,而写成分数的形式;式子后面有单位时,和 差形式的代数式要在单位前把代数式括起来. 5.带分数一定要写成假分数. 1.什么是代数式? 15 用运算符号把数和字母连接起来的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式 . 2.代数式书写要求. 3.代数式求值的步骤:先把未知数的值代入,然后按照给定的运算顺序计算. 1.下列各式:(1)a+b=5;(2)5a - 3y;(3)2;(4)n;(5)2(a+b)+7;(6);(7)2+7 - 6;(8) 23;(9)x+53.其中哪些是代数式,哪些不是代数式? 解析:代数式是用运算符号(加、减、乘、除、乘方等)把数和字母连接而成的式子,而 用“=” “” “” “” “”等关系符号连接而成的式子都不是代数式. 解:(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)是代数式,而(1)(9)不是代数式. 2.下列各式中符合代数式书写要求的个数为( ) 5x2y;y3;ab2;. A.4 B.3 C.2 D.1 解析:根据代数式的书写要求,不能出现带分数,故不符合;数字与字母相乘时,乘号 省略或用“”表示,并且数字在前,故不符合;含有字母的除法中,一般应写成分数的形 式,故不符合.故选 D. 3.对于代数式 2x - 3y,下列读法不正确的有 ( ) A.2x减去 3y B.2x与 3y的差 C.x的 2 倍与y的 3 倍的差 D.2 乘x减去 3 乘y 解析:代数式的读法有两种,一种是按运算关系读,另一种是按运算结果来读.无论哪一 种,都要注意运算顺序.A,B,C 的读法都可以与代数式相对应,D 有可能误理解为(2x - 3)y. 故选 D. 第 1 课时 1.代数式: 用运算符号把数和字母连接起来的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式. 2.列代数式,并求值. (1)某公园的门票价格是:成人票每张 10 元,学生票每张 5 元.一个旅游团有成人x人, 学生y人,那么该旅游团应付多少门票费? (2)如果该旅游团有 37 个成人,15 个学生,那么他们应付多少门票费? 一、教材作业 【必做题】 教材第 83 页习题 3.2 的 1,2 题. 【选做题】 16 教材第 83 页习题 3.2 的 3,4 题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.下列各式: - x+1,+3,92,S=ab,其中代数式的个数是 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 2.以下代数式书写规范的是( ) A.(a+b)2B.y C.1xD.xy 3.举例说明下列代数式的意义. (1)4a2可以解释为 ; (2)x(1 - 5%)可以解释为 . 4.今年小明m岁,前年小明 岁,8 年后小明 岁. 5.一个长方形的宽为a cm,长比宽的 2 倍少 1 cm,这个长方形的长是 cm. 【能力提升】 6.设甲数为x,乙数为y,用代数式表示下列关系. (1)甲、乙两数的差除以两数的积: . (2)甲数的立方与乙数的 3 倍的和: . (3)甲数除以乙数的商与乙数平方的差: . (4)甲数与乙数差的立方: . 【拓展探究】 7.已知a - b=1,则代数式 2a - 2b - 3 的值是多少? 【答案与解析】 1.C(解析:由代数式的定义可知 - x+1,+3,是代数式,92 和S=ab不是代数式.故选 C.) 2.B (解析:根据代数式的书写要求,代数式中不能出现除号,故 A 不符合;不能出现带分数, 故 C 不符合;字母与字母相乘时,乘号省略或用“”表示,故 D 不符合.故选 B.) 3.(1)如果一个正方形的边长为a,则 4 个这样的正方形的面积为 4a2 (2)如果某件商品的 原价为x元,按照降价 5%进行降价促销,则降价后这件商品的售价为x(1 - 5%)元(答案不 唯一) 4.(m - 2) (m+8)(解析:前年比今年小两岁,所以为(m - 2)岁,8 年后比今年大 8 岁,所以 为(m+8)岁.) 5.(2a - 1) 6.(1) (2)x3+3y (3) - y2 (4)(x - y)3 7.解:2a - 2b - 3=2(a - b) - 3=21 - 3= - 1. 在实际情境中说明代数式的意义,让学生通过交流创设生活中最感兴趣的情境,学生从 中能体会代数式在社会生活中的实际意义.发挥小组合作的积极作用,使每个同学都参与课 17 堂,培养了学生善于观察、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识. 让学生小组合作解决疑惑时,仍有部分学生参与不到发现问题、探讨问题、解决问题 的状态中,对于这部分学生教师关注度还不是很高. 积极参与到学生的小组讨论中,及时发现问题,解决问题. 随堂练习(教材第 82 页) 1.解:答案不唯一. 例如如果a表示正六边形的边长,那么代数式 6a表示正六边形的周长; 如果a表示一本书的价格,那么代数式 6a表示 6 本这样的书的价格. 2.解:(1)10b+a. (2)用a,b,c分别代表一个三位数的个位、十位和百位上的数字,则这个 三位数可表示为 100c+10b+a. 3.解:(1)答案不唯一.例如若x表示某件商品的进价,那么(1+8%)x表示价格提高 8%后的售 价. (2)答案不唯一.合理即可. 习题 3.2(教材第 83 页) 1.(1)11f+2 (2)a+a (3)2n 4n (4)(1+15%)m 2.B 3.答案不唯一.以下均为参考答案.(1)某种笔记本单价为 2 元,买x本需要 2x元 (2)甲种 商品每件a元,乙种商品每件b元,因母亲节做活动,两种商品均打 5 折,则表示买两种商品 各一件共需的钱数 (3)正方体的棱长为a, 8a3表示 8 个正方体的体积 4.解:(1)用x表示蟋蟀 1 min 叫的次数,该地当时的温度为 . (2)温度大约是 14 , 17 和 20 . 合作探究法借助多媒体为辅助手段,充分利用生活中的实际背景,让学生积极主动 地参与,经历知识的生成过程,了解其生活化的意义,理论联系实际,拓展学生的思维,培养 学生探究的习惯,提高学生语言表达能力及小组合作意识,提高学生应用数学的习惯和意识. 下列代数式中,a不能取 0 的是( ) A.a B. C.D.2a - b 解析 代数式中字母的取值必须使这个代数式有意义,由分母不能为 0 可知 B 选 项中的a不能取 0.故选 B. 18 第课时 1.能熟练地求代数式的值,感受代数式求值可以理解为一个转换过程. 2.掌握代数式求值的方法和步骤,能解释代数式值的实际意义. 教学中从实际问题出发,激发学生的兴趣,引导学生积极独立地思考问题,使学生在自 主探索与交流合作中掌握知识. 感受字母取值的变化与代数式的值的变化之间的联系,能利用代数式的值推断一些代 数式所反映的规律. 【重点】 会求代数式的值并解释代数式的值的实际意义. 【难点】 利用代数式的值推断代数式所反映的规律. 【教师准备】 问题卡片. 【学生准备】 预习教材 P8384. 导入一: 过渡语 上节课,我们学习了代数式的有关内容,想一想,如何列代数式? 1.用代数式表示. (1)a与b的和的平方 ; (2)a,b两数的平方和 ; (3)a与b的和的 50% ; (4)x的平方与y的立方的差 ; (5)一个三位数,个位是a,十位是b,百位是c,则这个三位数是 . 2.某商店购进一批茶杯,每个 1.5 元,则买n个茶杯需付款 元.如果茶杯的零 19 售价为每个 2 元,则售完茶杯盈利 元.当n=300 时,该商店的利润为 元. 处理方式 第 1 题由学生独立完成后说出答案,然后教师加以矫正,第 2 题学生认真 审题,教师引导学生分析题目,首先正确书写代数式,再进行代入计算. 设计意图 将复习旧知识与引入新知识有效地结合起来,既达到了温故而知新的效 果,也为下面的学习做好铺垫. 导入二: 过渡语 同学们,你们想预测一下自己的身高吗? 出示问题:(1)遗传是影响一个人身高的因素之一. 国外有学者总结出由父母身高预测 子女身高的公式:儿子成年后的身高=,女儿成年后的身高=,其中a是父亲的身高,b是母亲 的身高,单位:m. 现在你可以预测一下自己的身高了. (2)你们用同一个公式计算的结果相同吗?为什么? 处理方式 学生独立思考,完成第(1)问答案,然后互相交流,完成第(2)问答案. 设计意图 学生通过计算自己的身高,发现实际就是代入求值问题,为本节课代数式 的求值的学习做准备. 探究活动 1 认识数值转换机 思路一 出示图片: 如图所示的是一对“数值转换机”,根据数值转换机填写下表: 输入 - 2 - 00.264.5 图的输 出 图的输 出 处理方式 小组合作来完成图输出的数据,可以引导学生直接代入运算,也可以写 出代数式之后代入计算.一般地,对于同一个数值转换机,当输入的字母x的值不同时,输出 的结果不相同;对于图,学生可以试着说出“?”表示什么,也可以引导学生直接代入代数 式计算.最后观察计算结果是否相同,写出的代数式是否相同,然后总结因为两个数值转换 机所表示的代数式不同,所以输出的结果不相同. 设计意图 使学生感受代数式求值可以理解为一个转换过程或某种算法.进一步理 解求代数式值的方法就是用数值代替代数式里的字母,在进行计算时必须按代数式指明的 运算顺序进行计算. 20 思路二 过渡语 下面是一组“数值转换机”,请根据图上的信息,回答下列问题. (展示) (1)图输出的结果是什么?简单叙述一下过程. (2)请写出图的转换步骤. 生 1:从图中可以看出x表示输入的数字,先算x与 6 的积,再算与 3 的差,因此输出 的结果可表示为 6x - 3. 生 2:图这台转换机是先用输入的x值减去 3,所得的差再乘 6. 探究活动 2 议一议: 过渡语 同学们说得很好,下面我们一起完成下表. 出示问题:填写下表,并观察下列两个代数式的值的变化情况. n12345678 5n+6 n2 (1)随着n的值逐渐变大,两个代数式的值如何变化? (2)估计一下,哪个代数式的值先超过 100? 处理方式 根据求代数式值的方法让学生计算填表,然后观察并分析表中的数据来 回答两个代数式的值的变化情况.小组讨论完成第(2)个问题,然后教师引导得出结果. 设计意图 通过填表使学生进一步感受求代数式值的过程和方法,进一步理解代数 式值的概念,并感知字母的取值的变化与代数式的值之间的联系,能利用代数式的值推断一 些代数式所反映的规律,从而解决问题. 探究活动 3 例题解析,应用新知 有一数值转换器,原理如图所示,若开始输入x的值是 5,可发现第一次输出的 结果是 8,第二次输出的结果是 4,请你探索第 2014 次输出的结果是 . 处理方式 首先让学生认真阅读例题,由小组合作完成.如果学生不理解题意,由教 师引导完成.首先由数值转换器发现第二次输出的结果是 4,为偶数,所以第三次输出的结 果为 2,第四次为 1,第五次为 4,第六次为 2,可得出规律:从第二次开始,每三次一个循 环.因为(2014 - 1)3=671,所以第 2014 次输出的结果是 1. 设计意图 此题考查了代数式的求值,关键是由已知找出规律,从第二次开始每三次 一个循环,根据此规律求出第 2014 次输出的结果.也考查了学生利用代数式的值推断一些 代数式所反映的规律的能力. 探究活动 4 变式训练,能力提高 21 物体自由下落的高度h m 和下落的时间t s 的关系,在地球上大约是h=4.9t2,在月球 上大约是h=0.8t2. (1)填写下表: t0246810 h=4.9t2 h=0.8t2 (2)物体在哪儿下落得快? (3)当h=20 m 时,比较物体在地球上和月球上自由下落所需的时间. 处理方式 首先由学生独立思考,遇到不解问题时,可与同学互相交流,最后由教师 引导,共同完成答案. 知识拓展 (1)代数式的值是按代数式的运算关系得到的具体数值,随字母取值的不同而不同,字 母的值确定了,代数式的值也就确定了,但字母的取值必须确保代数式有意义. (2)代数式中原来省略乘号时,代入具体数值后出现数与数相乘时,必须恢复乘号. (3)若做乘方运算,字母给出的数值是负数或分数时,代入时要加括号. (4)一个代数式的值由它所含字母的值决定,具有不唯一性. 1.代数式求值步骤: 求代数式的值时,先确定是直接代入还是整体代入,然后按照运算顺序进行计算. 2.如何列代数式? 列代数式时,要善于抓住关键性的词语,如“大、小、多、少、增加、减少、和、差、 积、商”等,还要注意已知量和未知量之间的关系. 1.当x=2 时,下列代数式中与代数式 2x+1 的值相等的是( ) A.1 - x2B.3x+1 C.3x - x2D.x2+1 解析:将x=2 代入各代数式,得 2x+1=5,1 - x2= - 3,3x+1=7,3x - x2=2,x2+1=5.故选 D. 2.如右图所示的图形的面积用代数式表示是( ) A.ab+bc B.cb - d+d(a - c) C.ad+c(b - d) D.ab - cd 解析:把图形看成一个大的长方形,面积为ab,再减去长为d,宽为c的长方形的面积, 剩下的就是所求图形的面积,即ab - cd.故选 D. 3.当m=3,n= - 2 时,代数式m2 - 2n2的值是 . 解析:将m=3,n= - 2 代入m2 - 2n2得 9 - 2( - 2)2=1.故填 1. 4.若x2 - 2x+1=0,则 2x2 - 4x= . 解析:根据已知条件目前还解不出x的值,所以把x2 - 2x+1=0 进行整体思考,将x2 - 2x+1=0 变形为x2 - 2x= - 1,2x2 - 4x=2(x2 - 2x)=2( - 1)= - 2,所以求得 2x2 - 4x= - 2.故填 - 2. 5.代数式x2+x+3 的值为 7,则代数式 2x2+2x - 3 的值为 . 22 解析:由x2+x+3=7 可知x2+x=4,所以 2x2+2x - 3=2(x2+x) - 3=24 - 3=5.故填 5. 第 2 课时 1.用代数式表示. (1)a与b的和的平方(a+b)2; (2) a,b两数的平方和a2+b2; (3)a与b的和的 50%(a+b)50%; (4)x的平方与y的立方差x2 - y3. 2.数值转换机 一、教材作业 【必做题】 教材第 85 页习题 3.3 的 1,2 题. 【选做题】 教材第 85 页习题 3.3 的 3,4 题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.在下列表述中,不能代表“4a”的意义的是 ( ) A.4 的a倍B.a的 4 倍 C.4 个a相加 D.4 个a相乘 2.当x=2 与x= - 2 时,代数式x4 - 2x2+3 的两个值( ) A.相等 B.互为倒数 C.互为相反数 D.既不相等也不互为相反数 3.当x= - 2 时,代数式 - x2+2x - 1 的值等于( ) A.9 B.1 C. - 9D. - 1 4.如下图所示的是一个正三角形场地,如果在每边上放 2 盆花共需要 3 盆花,如果在每边上 放 3 盆花共需要 6 盆花,如果在每边上放n(n1)盆花,那么共需要花 ( ) A.3n盆 B.(3n - 1)盆 C.(3n - 2)盆D.(3n - 3)盆 5.若 2m - 4=