《信息与通信工程中的随机过程》 第三版 陈明 课堂作业参考答案 最终版 完整版.pdf

信息与通信工程中的随机数学 课堂作业参考答案 东南大学信息科学与工程学院 2011 年 12 月 目录 第 一 章概率空间和随机对象.1 第 二 章随机变量.2 第 三 章随机向量.4 第 四 章离散时间随机过程.9 第 五 章连续时间随机过程.11 第 六 章二阶矩过程的数学分析.14 第 七 章随机对象的变换.19 第 八 章随机与统计信号分析.22 第 九 章连续时间信号分析.26 第 十 章信号检测.28 第十一章信号的参数估计.31 第十二章波形估计.33 第十三章离散时间 markov 链34 第十四章连续时间 markov 链37 第十五章随机对象的计算机模拟.42 1 第一章概率空间和随机对象 1.2.4已知集合1,2,3,4,5s=，试给出三个定义于集合s上的 borel 集 解解解解：在s上可以定义如下三个 borel 集： 1 , ,1,2,3,4,5ss= ， 2 ,ss= ， 3 , ,1,2,3,4,5ss= 1.5.4证明全概率公式(1.5-2)。 若事件 12 , n a aa两两互斥，且它们的并等于样本空间s，即 1 n n n as = = ， 则称这些事件 12 , n a aa为样本空间s的一个分割。设b为定义于s上的一个事 件，则有 1122 ( )(|) ()(|) ()(|) () nn p bp ba p ap ba p ap bap a=+ 证明证明证明证明：因为 12 , n a aa互斥，所以 12 , n ba baba也互斥。 又 12 ()()()1 n p ap ap a+=，故 12 12 1122 ( )( (,) ()()() (|) ()(|) ()(|) () n n nn p bp b a aa p bap bap ba p ba p ap ba p ap ba p a = =+ =+ 全概率公式得证。 1.5.6某实验室从 a、b、c 三个芯片制造商处购得某芯片，数量比为1 : 2 : 2。已知 a、b、 c 三个制造商的芯片次品率分别为 0.001、0.005 和 0.01。若该实验室随机使用的某 芯片是次品，问该次品芯片购自制造商 a 或 c 的概率分别是多少？ 解解解解：设 i a为事件：芯片来源于 a、b、c 三个制造商， i b为 a、b、c 三个制造商的次品概 率， 1,2,3i=,c为事件：使用的芯片是次品。 112233 ( )() ()() ()() () 122 0.0010.0050.01 555 0.0062 p cp a p bp a p bp a p b=+ =+ = 次品芯片购自制造商 a 的概率是： 1 1 1 0.001 () 5 (|)0.0323 ( )0.0062 p ac p ac p c = 次品芯片购自制造商 c 的概率是： 3 3 2 0.01 () 5 (|)0.6452 ( )0.0062 p ac p ac p c = 2 第二章随机变量 2.2.4设n是样本空间为0,1,2, x s=的几何分布的随机变量，试求：p nk； n的概率分布函数；n为偶数的概率。 解：解：解：解：几何分布的概率质量函数为 (1) ,0,1,2, m m pppm=-= 1 11 (1)(1) mk m mkmk p nkpppp + = += + =-=- 概率分布函数为 00 ( )()(1)() m nm mm fxp u xmppu xm = =-=- n为偶数的概率为 偶数 2 2 00 1 (1) 2 i i ii p nppp p = =-= - 2.2.5 设随机变量x的分布函数为 2 0,0 ( ),01 1,1 x x fxaxx x 试求： 系数a；x落在区间(0.3,0.7)内的概率；x的概率密度。 解：解：解：解：根据分布函数( ) x fx的右连续性，即 lim( )( ) xx xa fxfa + = ，可得 1 lim( )(1) xx x fxf + = ， 并且 1 lim( )1 x x fx + = ，(1) x fa=所以1a= (0.30.7)(0.7 )(0.3)0.4 xx pxff - rayleigh 分布的均值为 2 ( )( ) 2 x e xxfx dx pa - = 第三章随机向量 3.1.3 举例说明，随机向量时间的概率蕴含分量随机变量之间的关联信息。 解答略 3.2.4 设随机变量x和y的联合概率密度函数为： 22 /2/2 ( , )ee, 0,0,0,0 axby f x yaxbyxyab - = 试求：联合概率分布函数； p xy ； 1p xy- = 求 ()p xy 22 2 2 /2/2 00 /2 2 0 ()dd d x axby abx ax p xyxaxebyey b axeaxex ab + - + +- - = =-= + 求 (1)p xy-； min( ,)2px y z； max( ,)6px y z 22 52 522 (5,2,2)(5) (2) (2) ( )d( )d ( )d( )d xyzz p xyzp xp yp z fxxfyyfzzfzz +-+ - =+ (2) 求 (min , 2)px y z 222 (min , 2)(2,2,2) ( )d( )d( )d xyz px y zp xyz fxxfyyfzz + = = (3) 求 (max , 6)px y z =- =- = =+ + 6 3.3.1 设二维随机变量( , )x y的特征函数为： 2 ( , ) (j )(j ) xy u v uv a aa = - ,式中，a为正常 数，试求( , )x y的概率密度函数( , ) xy fx y。 解：解：解：解： () j() 2 jj 2() 1 ( , )d( , )ed 2 11 eded0,0 2j2j 0 e 0,0 0 uxvy xyxy uxvy xy fx yuu vv uvxy uv xy a p aa papa a + -+ - + - - -+ =f =- = 其他 其他 3.3.4设随机变量( , )x y的概率密度函数为： ( , )sin(), 0, 0 22 xy fx yaxyxy pp =+ 求：系数a；均值 x m和 y m；方差 2 x s和 2 y s；协相关矩 xy c和自相关系数 xy r。 解：解：解：解： 求系数a 22 00 1 d( , )ddsin()d21 2 xy xfx yyaxxyyaa pp + - =+= 求 x m和 y m 22 00 1 d( , )ddsin()d 24 1 dsin()d 24 xxy y mxxfx yyxxxyy mxyxyy pp p p + - + - =+= =+= 求 2 x s和 2 y s 2 222 22 00 2 222 22 00 2 2222 1 ()d( , )ddsin()d2 282 1 ()d( , )ddsin()d2 282 ()2 162 xy xy yxx e xxx fx yyxxxyy e yxy fx yyxyxyy e xm pp pp pp pp pp ss + - + - =+=+- =+=+- =-=+- 求 xy c和 xy r 22 00 2 2 2 22 1 ()d( , )ddsin()d1 22 ()1 162 816 832 xy xyxy xy xy xy e xyxxyfx yyxxyxyy ce xym m c pp p pp pp r pp s s + - =+=- =-= -+- -+ = - +- 7 3.4.3已知二位随机变量( , )x y的联合概率密度函数为： / 1 ee, 0,0 ( , ) 0, x yy xy f x yy - = 其他 试求：( ) x fy； () x y fx y ； e x y 。 解：解：解：解： 求( ) y fy / 0 1 , 0d , 0 ( ) 0, else 0, else yx yy y eyeexy fyy + - = 求 | (| ) x y fxy / | 1 , 0,0( , ) (| ) ( ) 0, else x y xy x y y exyfx y fxyy fy - = 求 |e xy / 0 |d x y x e xyexy y + - = 3.4.4已知二维随机变量( , )x y的联合概率密度函数为： e, 01 ( , ) 0, x yx f x y - (2) 二维概率分布函数 12 12 1 12121122 12 1/1/ 12 12 1/1/ 12 (,;,)( ,) (,) (,) 1, 1,1 min, x nn nn n fx xn np x nx x nx p sx sx p sxsx xx xx = = = = 2 1 2 12 1/ 112 1/ 221 , 01,01 , 01,1 , 01,1 0, n n n xx xxx xxx 其他 4.3.2随机过程 a x n ne-=，其中 1,2,n=a是标准正态随机变量，试求xn的均值函 数、均方函数、方差函数、以及自相关函数。 解：解：解：解： (1)xn的均值函数为 2 222 2 () 222 1 ( )dd 2 1 =d 2 a anan a annn ex nefaaeea eeae p p - - - + - - = = (2)xn的均方函数为 2 2 22 2 22 2 (2 ) 22 2 1 ( )dd 2 1 d 2 a anan a an nn ex nefaaeea eeae p p - - - + - - = = (3)xn的方差函数为 2222 2 var( ) nn x nex nex nee =-=- (4)xn的自相关函数为 10 12 2 12 222 121212 * 1212 2 ()()() 222 ,( )d 1 d 2 1 d 2 anan xa a anan nnannnn rn nex n x neefaa eeea eeae p p - - - - - + - - = = = 4.4.4设xn是独立同分布的均值为a的poisson随机变量序列，试求其和过程 s n的一维 概率质量函数，并求 s n和s nk+ 的联合概率质量函数。 解：解：解：解： (1) 由条件知xn的概率质量函数和概率生成函数分别为 x =,0,1, ! k pikek k a a - = (1) ( ) z x i gzea - = 由xn独立同分布知 (1) 12 ( )( )( )( ) nz sxxx n gzgz gzgze a- = 所以 s n为均值为na的poisson随机过程，其一维概率质量函数为 () ,0,1,2, ! k n n p s nkek k a a - = (2) s n和s nk+的联合概率质量函数为 121 2121 1212 121 () 121 , ()() !()! = !()! nnn nk nnnn nk p s nn s nknp s nnp s kn nk ee nnn n k e nnn aa a aa a - - - -+ =+= = - - 4.4.5 考虑移动平均过程： 1 1( ) 2 nnn yxx - =+， 0 0x=。 (1)若 n x为独立同分布随机过程时， n y是否严平稳？ (2) 若 n x为严平稳， n y是否严平稳？ 解：解：解：解： (1) n y是严平稳过程 当 n x为独立同分布随机过程时， n y也为独立同分布随机过程，因此 n y为严平稳过程。 (2) n y不一定是严平稳过程 n x为严平稳，不能保证 n y独立同分布，因此 n y不一定是严平稳过程 11 第五章连续时间随机过程 5.1.2 试比较连续时间随机过程与离散时间随机过程的区别与联系。 解解解解：见教材 p128（略） 5.2.1已知某通信系统呼叫到达的时间点为 0 nt, 0 t是某个正常数,0,1,2n=,在这些整数 时间点上达到k个呼叫的概率是 k p,0,1,k=, 01 1pp+=.此外,这些时间点上 到达的呼叫数相互独立。设 ( )x t是该系统在)0,t 到达的呼叫数，试求连续时间 随机过程 ( )x t的一维概率质量函数和二维概率质量函数。 解：解：解：解：设 0 /ntt = 为不超过 0 t t 的最大整数, 0 ()y nt为 0 nt时刻到达的呼叫个数,有 0 0 ( )() n n x ty nt = =, 0 ()y mt与 0 ()y nt相互独立(mn),且 00010 0 ( )() (0),(),() n n n p x tkpy ntkp yk y tky ntk = = 其中 01n kkkk+=,因为 0 ()y mt与 0 ()y nt相互独立(mn),所以 01 ( ) n kkk p x tkp pp= ( )x t可以看作是 0 ()y nt的和过程, 12 1122 112121 01011010201202 00 ( ),( ) ( ) () (0),(),() (0),(),() ij nn nn kk ij p x tk x tk p x tkp x ttkk p yky tky ntkp yky tky n tk pp = = =-=- = = 其中 1 1 0 t n t =, 21 2 0 tt n t - =, 1 11 0 n i i kk = = , 2 22 0 n j j kk = = 5.2.5设随机信号过程( )z t的取值为 0 或 1,当计数过程( )n t的时间没发生一次,则( )z t的取 值变化一次。已知 1 ( ) 11 k t p n tk tt l ll = + ， 0,1,2k=试求( )z t的一维和 二维概率质量函数。 解：解：解：解：不妨设 (0)0p zp= ，则 (0)11p zp=- ，根据 ( )n t的概率质量函数， 2 0 11 ( )= 1112 m m tt p n t ttt ll lll = + = + 偶， 12 2+1 0 1 ( )= 1112 m m tt p n t ttt ll lll = = + 奇， 根据 ( )z t和( )n t的关系，由题意知 ( )0( )0 |(0)0(0)0( )0 |(0)1(0)1 ( )(0)0( )(0)1 1+ =(1) 1+21+21+2 p z tp z tzp zp z tzp z p n tp zp n tp z ttpt pp ttt lll lll =+= =+= +-= 偶奇 并且 1 ( )11( )0 12 tp p z tp z t t l l +- =-= + 。 ( )z t的二维概率质量函数为： 121 12121 121 +1+ () ( )0, ( )0( )0()= 1212 tptt p z tz tp z tp n tt ttt ll ll - =- +- 偶 （） , 121 12121 121 +() ( )0, ( )1( )0()=1 212 tptt p z tz tp z tp n tt ttt ll ll - =- +- 奇 （） , 121 12121 121 +1() ( )1, ( )0( )1()= 1212 tptt p z tz tp z tp n tt ttt ll ll - =- +- 奇 （） , 121 12121 121 +11+ () ( )1, ( )1( )1()= 1212 tptt p z tz tp z tp n tt ttt ll ll - =- +- 偶 （） 5.3.1设 ( )g t为矩形脉冲函数 101 ( ) 00,1 t g t t = ， ， 定义) 0, 上的连续时间随机过程 0 ( )() i x tag ti = =- ，其中a为等概率的取1 的随机变量。试求： (1)( )x t的一维概率质量函数； (2) 均值函数 x m (t)； (3)( )x t和()x td+的联合概率质量函数； (4) 自协相关函数( ,) x ct td+，0d 解：解：解：解： (1) 由题意知 1 11 2 p ap a= -=，则 ( )x t的一维概率质量函数 0 1 ( )()1 2 i p x tg tip a = =-= ， 0 1 ( )()1 2 i p x tg tip a = = -= -= (2) 均值函数 x m (t)由题意知 00 ()()0 x ii m (t)e ag tie ag ti = =-=-= (3)( )x t和()x td+的联合概率质量函数 00 1 ( )(),()()1 2 ii p x tg tix tdg tip a = =-+=-= ， 13 00 1 ( )(),()()1 2 ii p x tg tix tdg tip a = = -+= -= -= (4) 自协相关函数 ( ,)( ,)( )()( ) ()1 xxxx ct tdrt tdmt mtde x t x td+=+-+=+= 5.4.4 设有连续时间过程 1 ( )(cossin) n nnnn n x tatbtww = =+ , 1 n nn a = , 1 n nn b = 独立同分 布,均值为零,方差为 2 s ,验证 ( )x t是宽平稳随机过程。 解：解：解：解：由题意知， 111 ( )(cossin)cossin0 nnn nnnnnnnn nnn e x teatbte ate btwwww = =+=+= 11 11 2 1 ( ,) ( ) () (cossin)cos()sin() coscos()cossin() sincos()sinsin() cosco x nn nnnnmmmm nm nn nmnmnmnm nm mnnmnmnm n nn n rt tde x t x td eatbtatdbtd ea attda bttd a bttdb bttd eat wwww wwww wwww w = = = +=+ =+ =+ + = 22 1 s()sinsin()cos n mnnmn n tdbttddwwwsw = += 因此， ( )x t是宽平稳过程。 5.4.14设( )( )()z tx tax ts=-，其中( )x t是 wiener 过程，试求( )z t的一维概率密度函 数和均值函数( ) z mt。 解：解：解：解：由 ( )x t是 wiener 过程，知( )x t的概率密度函数 2/21 ( , ) 2 xt x fx te t a pa - =， ( )z t是两个零均值高斯随机变量之和， 2 ( ) ( )()()var z tvar x tax tsatatsa=-=-， 因此 ( )z t的概率密度函数为： 22 /2() 2 1 ( , ) 2 () zatats z fz te atats a pa - = - ， ( )z t均值函数：( )( )()0 zxx mtmtamts=-= 5.4.17某事件的发生是一个参数为l的 poisson 过程，试求在某长度为t的时间区间内没 有该事件发生的概率。 解：解：解：解：由题意知 () ( ),0,1,2 ! k t t p n tkek k l l - =， 某一时间区间内时间没有发生的概率 ( )0 t p n te l- =， 所以长度为t的时间区间内时间没有发生的概率 ( )0 ttt pp n te l- =。 14 5.4.27 考虑某一个特定保险公司的全部赔偿。设在) 0,t 内投保死亡的人数 ( )0n tt， 是 平均概率为l的 poisson 过程， n y表示第n个投保人的赔偿价值， n y，1,2,3n= 相互独立同分布，且 ,0 ( ) 0,0 n ay y aey fy y - = ( ) 1 ( ) n t n n x ty = =表示在)0,t 内保险公司必须付出的全部赔偿，试求 ( )e x t 和 ( )var x t 。 解：解：解：解：由题意知 () ( ),0,1,2 ! k t t p n tkek k l l - =， 对 ( ) 1 ( ) n t n n x ty = =， ( )x t是一个复合 poisson 过程，且有 n y服从参数为a的指数分布， 1 n y m a =， 2 2 2 e y a =， ( )e n ttl=，因此 ( ) ( ) x t mte n te y a l =， 2 2 2 ( ) ( ) t var x te n te y a l =。 第六章二阶矩过程的数学分析 6.1.2 设 lim n n msxx = ，若函数 ()f x满足下列 lipschitz 条件：存在常数m，使得 ( )( )f xf ym xy- 。 证明：若() n f x和()f x的二阶矩存在，则()() lim n n msf xf x = 证明：证明：证明：证明：由条件知 22 2 ()() nn ef xf xe mxx- 在上式中令n ，则 2 lim0 n n exx -= 故 2 lim()()0 n n ef xf x -= ，可得 ()()ms lim n n f xf x = 6.1.3 已知时间序列 n x的自相关函数为 12 12 1 2 ,1 2 x nn rn n n n - = - 试证明 n x均方收敛。 证明：证明：证明：证明：因为 15 1212 12 12 12 , 1 2 , 12 lim,lim1 2 11 lim11 22 x n nn n n n nn rn n n n nn - =- =-= 所以， n x均方收敛。 6.2.1已知随机变量 x 与 y 都是掷骰子实验所得到的随机变量，样本空间都是 1,2,3,4,5,6，每个样本点所对应的单点事件的概率都是 1/6。讨论下列几种情况下 x+y 的样本空间及其概率质量函数： 解解解解： 1）x y+的样本空间为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，xy+的概率质量函数为： 1234 2,3,4,5 36363636 5654 6,7,8,9 36363636 321 10,11,12 363636 p xyp xyp xyp xy p xyp xyp xyp xy p xyp xyp xy +=+=+=+= +=+=+=+= +=+=+= 2） x 与 y 在概率意义上相等： xy+的样本空间为2,4,6,8,10,12 xy+的概率质量函数为： 111 2,4,6 666 111 8,10,12 666 p xyp xyp xy p xyp xyp xy +=+=+= +=+=+= 3） x 与-y 在概率意义上相等：xy+的样本空间为 f ，xy+的概率质量函数为 1p xyf+= 4） x 与 y 的 联 合 概 率 质 量 函 数 为() , mn p xm ynp= ， 其 中 ,m n 是 取 值 于 1,2,3,4,5,6的 整 数 且 有 6 ,1 1,10 mnmn m n pp = = ，xy+的 样 本 空 间 为 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 xy+的概率质量函数为： 111221133122 144123321551244233 166125523443 2662355344 36634554 466455 2,3,4 5,6 7 8 9, 10 11 p xypp xyppp xyppp p xyppppp xyppppp p xypppppp p xyppppp p xypppp p xyppp p xyp +=+=+=+ +=+=+ +=+ +=+ +=+ +=+ += 566566 ,12pp xyp+= 16 6.3.2 讨论下列随机过程的均方连续性： 定义于上的随机过程 2 ( )x tatbtc=+，其中 a、b、c 是相互独立的标准正 态随机变量。 平均到达率为l的 poisson 随机过程 (1) 由条件知 ()( )() ()() 1212 22 1122 2 2 2222 2 1 21 21 21 2 , 1 x rt tex tx t eatbtcatbtc e a t tb t tct tt t = =+ =+=+ 显然由上式知() 12 , x rt t 在 12 ttt=上连续，故( )x t在上具有均方连续性。 (2) 用 ( )x t表示该平均到达率为l的 poisson 随机过程，则 ()( )()() 121212 ,1 x rt te n tn tttll=+ 则由上式知，() 12 , x rt t 在 12 ttt=上连续，故( )x t在上具有均方连续性 6.4.2设 ( )x tatb=+ ，其中a和b是互不相关的随机变量，试证明： 2 0 d( ) ,( )d d2 t x ta axtbt t tt=+ 证明证明证明证明：由于， 22 ()() limlim0 a tbatba tbatba eae tt ttt tt +-+- -= 所以： d( ) d x t a t =。 又： 2 22 2 2 2 222 ()() 22 lim() () 1 2 limlimlim0 44 aa tb ttbt eatb a atbatb eeae a t ttt tt t tttt t t t +- -+ +-+ = 所以： 2 d 2 ( ) d at bt x tatb t + =+ 根据均方积分的性质，有： 2 0 ( )d 2 t a xtbttt=+ 17 6.5.2 已知 2 ( )2x ta t=，其中 a 是随机变量，且 4 e a 解：解：解：解：由条件知 ()( )()()() 22 12121122 2 2 2222 2 1 21 21 21 2 , 1 x rt tex tx teatbtcatbtc e a t tb t tct tt t =+ =+=+ 由 1212 ( ,)dd x rt ttt - = 可知 ( )x t在上不具有均方可积性，但对于任意有限区间， ( )x t是均方可积的，因为： 1212 ( ,)dd bb x aa rt ttt 。设输入过程( ) x t是一个 均值为 x m，方差为 2 x s的宽平稳 gauss 随机过程，试求输出过程( ) y t的一维概率密 度函数、均值及方差。 解：解：解：解： (),0 ( )( ( ) 0,0 x y f mymby fyp g xy y - = = 其中，a 和 b 为正常数。试求 ( )x t的自相关函数。 ( )x t的自相关函数为 121 112 2 1 2 1 2 222 122 1 1 ( )( ) d d d d sin2 (+) d sin2 2cos(2) d sin2sin jf xx fff jfjfjf fff f jfjf f f f rsfef b efa efa ef bf aeef bf aff bfa p t p tp tp t p tp t t p t pt p t p t pt p t - - - - = =+ =+ =+ + = 21 2sin2fafp tp t pt - 9.2.4将 零 均 值 且 功 率 谱 密 度 为 0 / 2n的 白 噪 声 输 入 一 个 传 递 函 数 为 ( )1 / (12)h fjfp=+ 的线性系统，试求( )s( )( )s ( ) yxyxyy rfrftt、。 0 1 ( )( ) ( ) 2 12 yxx n sfsf h f jfp = + fourier 变换得到 0 ( )( ) 2 t yx n re u tt - = 2 0 2 1 ( )( )( ) 21 (2) yx n stsfh f fp = + fourier变换得到 0 ( ) 4 t y n ret - = 9.3.1设宽平稳带限过程( )x t，其抽样(/)x nps互不相关，若 2 ( ),( )1e x te xth=， 试求 ( )x t的功率谱密度( ) x sf。 解解解解：由题意知 6 s t p =。 0m时()()( )()() 1 2 2 0 xsxsxxxs cmtrmtmtmtrmth=-=-=， 28 因此() 2, 0 1,0 xs m m rmt h = = 。 ( )() ( ) 22 22 22 1 1 jmjm xxs m ff m sfrmt f ee pp hh h dh - =-=- = + -+ =- 9.4.1 设随机过程( ) a t的fourier变换为( )a f,且对fb 有 ( )0a f= 。 若 0 fb， 试求下 列三组过程的fourier变换，并比较每组的结果： (1) 0 ( )cos2a tf tp和 0 2 ( )/ 2 jf t a t e p ； (2) 0 ( )sin2a tf tp和 0 2 ( )/ 2 jf t ja t e p -； (3) 0 ( )cos2a tf tp和 0 ( )sin2a tf tp。 (1) 0 ( )cos2a tf tp的fourier变换为 00 1 ( )() 2 a ffa ff+- 0 2 ( )/ 2 jf t a t e p 的fourier变换为 0 1 () 2 a ff- (2) 0 ( )sin2a tf tp的fourier变换为 00 ()() 2 j a ffa ff+- 0 2 ( )/ 2 jf t ja t e p -的fourier变换为 0 () 2 j a ff- (3) 0 ( )cos2a tf tp的fourier变换为 00 1 ( )() 2 a ffa ff+- 0 ( )sin2a tf tp的fourier变换为 00 ()() 2 j a ffa ff+- 第十章信号检测 10.1.2 举一个信号检测的例子 解答略 10.2.4考虑如下二元假设问题：1:hxsn=+；0:hxn=,式中，s和n是独立随机 变量，概率密度函数分别为( ),0 as s fsaes - =；( ),0 bn n fnben - =,试给出最大 似然检测的判决分割。 解解解解： 因为s和n是独立随机变量，所以xsn=+的概率密度函数满足 29 () 1 2 () 0 ()( )( )()d , d , xsn ax x bx a ba axbx f x hfxf s fxss a xeab abees ab ee ab ba - - - - =- = = - - (1) 当ab=时， 10 1 ()(),f x hf x hx b 即1h的判决域为 1 x b ，0h的判决域为 1 0x b = = 上述三种假设是等概率的 试给出最小错误概率判决准则的判决区域 对于给定条件 22 2, baa msss=，在上画出判决区域。 在(2)条件下计算最小错误概率。 (1) 1 h的判决区域为 2222 2222 2lnln2lnln , 2 abbaabba baba m x s ssss sss ssss - - - - 2 h的判决区域为 22222222 2222 2ln2ln2ln2ln max, 2 bbbb babbababba aaaa mmmm m x baba ssss ss sssss sss ssss -+-+- - 3 h的判决区域为 ()()() ()()() 2222 2222 2222 2222 2ln2ln2ln max, 2ln2ln2ln min, bababbbaaba ab baba bababbbaaba ab baba mm xor mm x ssss sssssss s s ssss ssss sssssss s s ssss +- - -+- - - 30 (2) 1 :2ln2 2 m hmx- () 2 :22ln2 2 m hxm+ () 3 : 22ln22ln2hmx or xm+ - 判决区域如下图所示： 3 h 1 h 2 h 3 h 1.2m-00.5m3.84m (3) 最小错误概率 () ()()() 3 1 2 2 0.53.84 22 1.1770.5 2 3.84 2 1.177 () d 11 1expd1expd 1 2222 3 1 expd 42 1 20.51.773.84 3 i eii d i mm mm m m ppf x hx xm x xx mmmm x x mm pp p = - - = - -+- = +- =- f+ f - f+ f - () 3.841.17 0.522 22 +f -f - 10.3.2推导公式(10.3-9)中待检测量与观察量的条件概率， 并给出最大似然检测所对应的数 学优化问题的表达式。 1 0 /21/2 0 (/ 2)1 ( )exp 2 (2 )det(/ 2) t n k nnhn fn nhp - =- 因此 ()() 1 0 /21/2 0 () (/ 2)()1 exp 2 ()det() y bn t k fy bfyheb yhebnhyheb nhp - =- - =- 最大似然准则： () 0 arg max iy b b hfy b = 10.4.1证明定理 10.4.1 证明证明证明证明： 0010 01 11 0j 00 000000000111011111 000100000 ()()()()dx()d ()()()dx()d()()( )dx( )d ()()()dx()d jj mm jjjijjjj ij rp hf xcf p hf xcfp hf xcf p hf xcf pqqq qqqqqq qqq - qo = qoqo qo = =+ + 11 011111111 ()()( )dx( )dp hf xcfqqq qo 因为 31 1010 00001111 ()dx1()dx ;()dx1()dxf xf xf xf xqqqq oooo =-=- 代入可得： 00 10 10 0000100000000 111011111111 11110000 ()()()()()dx()d ()()( )( )dx( )d ()( )d()()d rp hf xccf p hf xccf p hfp hf pqqqq qqqq qq qo qo qq = - +- + 上式中后两项和为常数，要取 0 o使得 0 ()r p达到最小， 0 o应当是那些所有使得被积函数为 负值的x的集合，即 10 00 111011111111 000100000000 ()()( )( )dx( )d ()()()()dx()d0 p hf xccf p hf xccf qqqq qqqq qo qo - -= 所以知道下一台机器出故障的时间服从参数为的km指数分布。 (2) t xi=时 38 () () ,1 ,1 ,1,1 0001 ,1 ( )e1e,01 ( )1ee,1 ( )1( )( )1() ,01 ( )1( )1 ( )11 i hh i i i hh i i iii ii i nnn n hhin hhin hhhhin hhh hn h ma ma pa pm pppah ppa ppm - + - - +- - =- =- =-+- =- =- 状态转移矩阵 10 1 2( ) 1(1) 01 hh hhh hhh nhhh n hn h aa mma ma maa mm - - p= - - 状态转移图： 012n-1n aaaaa m2m3m (1)nm- nm (3) 记稳态概率矢量 012 , n ppp pp=，由状态转移图列平稳状态方程： 01 102 12 1 ()2 (1) nnn nn pp ppp nppn p pn p am amam ma