【成人高考 专升本】2013年成人高考 专升本 数学试题 (历年成考数学试题答案与解答提示).pdf

1 数学试卷数学试卷(文史类文史类)题型分类题型分类 一、集合与简易逻辑一、集合与简易逻辑 2001 年年 (1) 设全集m=1,2,3,4,5，n=2,4,6，t=4,5,6，则(mt)n是（ ） (a) 6 , 5 , 4 , 2 (b) 6 , 5 , 4 (c) 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 (d) 6 , 4 , 2 (2) 命题甲：a=b，命题乙：sina=sinb. 则（ ） (a) 甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； (b) 甲是乙的充分必要条件； (c) 甲是乙的必要条件但不是充分条件； (d) 甲是乙的充分条件但不是必要条件。 2002 年年 （1） 设集合2 , 1a，集合5 , 3 , 2b，则ba等于（ ） （a）2 （b）1,2,3,5 （c）1,3 （d）2,5 （2） 设甲：3x，乙：5x，则（ ） （a）甲是乙的充分条件但不是必要条件； （b）甲是乙的必要条件但不是充分条件； （c）甲是乙的充分必要条件； （d）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件. 2003 年年 （1）设集合 22 ( , )1mx y xy，集合 22 ( , )2nx y xy，则集合 m 与 n 的关系是 （a）mn=m （b）mn= （c）nm （d）mn （9）设甲：1k ，且 1b ；乙：直线ykxb与yx平行。则 （a）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （b）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （c）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （d）甲是乙的充分必要条件。 2004 年年 （1）设集合, , ,ma b c d，, ,na b c，则集合mn= （a）, ,a b c （b） d （c）, , ,a b c d （d） （2）设甲：四边形 abcd 是平行四边形 ；乙：四边形 abcd 是平行正方，则 （a）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （b）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （c）甲是乙的充分必要条件； （d）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件. 2005 年 2005 年 （1）设集合p= 12 3 4,， ， ，5，q= 2,4,6,8,10，则集合pq= （a）2 4， （b）12,3,4,5,6,8,10， （c） 2 （d） 4 （7）设命题甲：1k ，命题乙：直线ykx与直线1yx平行，则 （a）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （b）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （c）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （d）甲是乙的充分必要条件。 2006 年 2006 年 （1）设集合m=1012， ， ，n= 12 3， ，则集合mn= （a）01 ， （b）012， ， （c）101， ， （d）1012 3， ， ， ， （5）设甲：1x ；乙： 2 0xx. （a）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （b）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （c）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （d）甲是乙的充分必要条件。 2007 年2007 年 （8）若xy、为实数，设甲： 22 0xy；乙：0x，0y 。则 （a）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件； （b）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件； 2 （c）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件； （d）甲是乙的充分必要条件。 2008 年 2008 年 （1）设集合a= 2 4 6， ，b= 12 3， ，则ab= （a） 4 （b）1,2,3,4,5,6 （c）2,4,6 （d）1,2,3 （4）设甲： 1 , :sin 62 xx 乙，则 （a）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件； （b）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件； （c）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件； （d）甲是乙的充分必要条件。 二、不等式和不等式组二、不等式和不等式组 2001 年 2001 年 (4) 不等式53x的解集是（ ） (a) 2|xx (b) |82x xx 或 (c) 0|xx (d) 2|xx 355358282xxxxx 或 2002年年 （14） 二次不等式023 2 xx的解集为（ ） （a）0|xx （b）21| xx（c）21|xx （d）0|xx 2003年年 （5） 、不等式2|1|x的解集为（ ） （a）13|xxx或 （ b）13|xx （c）3|xx （d）1|xx 2004年年 （5）不等式123x的解集为 （a）1215xx （b）1212xx （c）915xx （d）15x x 2005 年 2005 年 （2）不等式3 27 4521 x x 的解集为 （a）(,3)(5,+ ) （b）(,3)5,+ ) （c）(3,5) （d）3,5) 1 2 3327390 (39)(525)0 452152505 xxx xx xxx 2006 年 2006 年 （2）不等式31x的解集是 （a）42xx （b）2x x （c）24xx（d）4x x （9）设, a b r，且ab，则下列不等式中，一定成立的是 （a） 22 ab （b）(0)acbc c （c） 11 ab （d）0ab 2007 年 2007 年 （9）不等式311x的解集是 （a）r （b） 2 0 3 x xx 或 （c） 2 3 x x （d） 2 0 3 xx 2008 年 2008 年 3 （10）不等式23x的解集是 （a）51x xx 或 （b）51xx （c）15x xx 或 （d）15xx (由x2332315xx ) 三、指数与对数三、指数与对数 2001 年 2001 年 (6) 设7 . 6log 5 . 0 a，3 . 4log2b，6 . 5log2c， 则, ,a b c的大小关系为（ ） (a) acb (b) bca (c) cba (d) bac ( 0.5 logax是减函数,1x时,a为负； 2 logbx是增函数，1x时a为正.故 0.522 log 6.703 2 (1,2) 2 01,sin0x，由3-x得3x ， 03 =00.5, 50.5, 50x，由3-x得3x， 03 =00 n a， 2 (1)1n ，故 n x为正数列。当n2时 222 12 2 222 1 121 22 2 2 (1)1(1)1(1)121 =2 1 22 111 (1)11 = 2= 2 22 1 nn n n n na aannxn a x nn na aann nn nn n 可见 n x的公比是常数2，故 n x是等比数列。 （）由 1 3 5212 5 x?， 1 2 n n x q x 得： 3 1 12 32332 (1)2(12 ) 2( 21)( 21)( 21) ( 22) 1 12 2222( 2)( 2)2 22 nn nn nn nnnn aq sxxx q 2003 年 2003 年 （23）已知数列 n a的前n项和23 nn sa. （）求 n a的通项公式， （）设 2 n n n na b ，求数列 n b的前 n 项和. 解解（）当1n 时， 111 23asa，故 1 3a ， 当2n 时， -111 23(23)22 nnnnnnn assaaaa ， 故 1 2 nn aa ， 1 11 2 2 nn nn aa q aa ，所以， 11 1 3 2 nn n aa q （） 1 3 23 2 22 n n n nn na nn b ， 1 3 2 3(1)1 2 n n n b n q bnn ， n b不是等比数列 13 1 3(1)33 222 nn nn dbb ， n b是等差数列 n b的前 n 项和： 1 33 () () 3 22 (1) 224 n n n n bbn n sn 2004 年 2004 年 （7）设 n a为等差数列， 5 9a ， 15 39a，则 10 a （a） （b） （c） （d） 1015151101051510515 1 9 ,2182,()24 2 aad aaadaaaaaaa 是的等差中项，和 （23） （本小题满分 12 分） 设 n a为等差数列且公差 d 为正数， 234 15aaa， 2 a， 3 1a ， 4 a成 等比数列，求 1 a和d. 解解 由 2343 315aaaa，得 3 5a ， 24 10aa 由 2 a， 3 1a ， 4 a成等比数列，得 22 243 (1)(5 1)16a aa? 由 24 24 10 16 aa a a ? ，得 1 2 2 23 2 8(,) a aa 大于舍去 ， 32 12 523 231 daa aad 2005 年 2005 年 （13）在等差数列 n a中， 3 1a ， 8 11a ，则 13 a （a） （b） （c） （d）22 83133 831381331383 (83)1 511, 2, (133)1 101 10 221 2=2=2 11 1=21 aadddaadd aaaaaaaaa 或者这样解：是的等差中项和，+ ， （22） （本小题满分 12 分） 已知等比数列 n a的各项都是正数， 1 2a ，前 3 项和为 14。求： （）数列 n a的通项公式； （）设 2 log nn ba，求数列 n b的前 20 项之和。 解解（） 332 1 3 (1)2(1)2(1)(1) 14 111 aqqqqq s qqq ， 得 2 6qq， 1 2 , 2 3() q q 不合题意 舍去 ，所以， 11 1 2 22 nnn n aa q （） 22 loglog 2n nn ban， 数列 n b的前 20 项的和为 20 (120) 20 12320210 2 s 2006 年 2006 年 （6）在等差数列 n a中， 3 1a ， 5 7a ，则 7 a （a）11 （b）13 （c）15 （d）17 5375 (73)127, 4, 272 ( 4)=15aadddaad （22） （本小题 12 分） 已知等比数列 n a中， 3 16a ，公比 1 2 q 。求： （）数列 n a的通项公式； （）数列 n a的前 7 项的和。 14 解解（） 2 31 aa q， 2 1 1 =16 2 a ， 1=64 a， 1 17617 1 1 642222 2 n nnnn n aa q （） 7 7 1 7 1 64 1 2 (1)11 128 1=128 1127 1 12128 1 2 n aq s q 2007 年 2007 年 （13）设等比数列 n a的各项都为正数， 1 1a ， 3 9a ，则公比q （a）3 （b）2 （c）2 （d）3 （23） （本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前 n 项和为(21) n snn, （）求该数列的通项公式； （）判断39 n a 是该数列的第几项. 解解（） 当2n 时， -1 (21)(1) 2(1)141 nnn assnnnnn 当1n 时， 11 1 (2 1 1)3as ，满足41 n an， 所以，41 n an （） 4139 n an ，得10n . 2008 年2008 年 （15）在等比数列 n a中, 2=6 a， 4=24 a， 6= a （a）8 （b）24 （c）96 22 2 4 2646 2 24 96 6 a a aaa a （d）384 （22）已知等差数列 n a中， 1 9a ， 38 0aa （）求等差数列的通项公式 （）当n为何值时，数列 n a的前n项和 n s取得最大值，并求该最大值 解解（）设该等差数列的公差为d，则 31 2aad， 81 7aad， 38111 27290aaadadad 将 1 9a代入 1 290ad得：2d ， 该等差数列的通项公式为 1 ( -1)9( -1) ( 2)11 2 n aandnn （）数列 n a的前n项之和 21 ()(9 112 ) 10 22 n n n aann snn 1020 n sn 令，5n ， 2 max5 (10)25 nn snn 六、导数 六、导数 2001 年2001 年 (22) (本小题 11 分) 某种图书定价为每本a元时，售出总量为b本。如果售价上涨x%，预计售出总量 将减少0.5x%，问x为何值时这种书的销售总金额最大。 解解 涨价后单价为(1) 100 x a元/本，售量为 0.5 (1) 100 x b本。设此时销售总金额为y，则： 2 0.50.50.5 = (1) (1)=(1) 10010010010000 xxxx y abab, 令 0.5 =()=0 10010000 x yab，得50x 所以，50x 时，销售总金额最大。 2002 年 2002 年 15 （7） 函数 21 3 2 yxx的最小值是 （a） 5 2 （b） 7 2 （c）3 （d）4 2 min 1117 21,23 2222 yxxy （） （） （22） （本小题 12 分） 计划建造一个深为4m，容积为 3 1600m的长方体蓄水池，若池壁每平方米的造 价为 20 元，池底每平方米的造价为 40 元，问池壁与池底造价之和最低为多少元？ 解解 设池底边长为x、y，池壁与池底造价的造价之和为u，则 1600 400 4 xy ， 400 y x 2 2 400400 4020 4(22 )40 400 160()16000160()160(1) 400 1020(20)u = uxyxyxyxu = x x xx x 令0，得舍去 ， ， min20 400400 16000 160 ()16000160 (20)22400() 20 x ux x 元 答：池壁与池底的最低造价之和为 22400 元 2003 年 2003 年 （10）函数 32 21yxx在1x 处的导数为 （a）5 （b）2 （c）3 （d）4 2 11 (62 )4 xx yxx 2004 年 2004 年 （15） 3 ( )3f xx，则(3)= f （a）27 2 3 (3)327 x fx （b）18 （c）16 （d）12 2005 年 2005 年 （17）函数(1)yx x在2x 处的导数值为 5 22 (21)5 xx yx （21）求函数 3 3yxx在区间0,2的最大值和最小值（本小题满分 12 分） 解解 令 22 333(1)3(1)(1)0yxxxx ，得 1 1x ， 2 1x （不在区间0,2内，舍去） 33 012 0, 13 12, 23 22 xxx yyy 可知函数 3 3yxx在区间0,2的最大值为 2，最小值为2. 2006 年 2006 年 （17）已知 p 为曲线 3 yx上的一点，且 p 点的横坐标为 1，则该曲线在点 p 处的切线方程是 （a）320xy （b）340xy （c）320xy （d）320xy 2 11 33, (1,1), 13(1)320 xx kyxpyxxy 点的坐标： 2007 年 2007 年 （12）已知抛物线 2 4yx上一点 p 到该抛物线的准线的距离为 5，则过点 p 和原点的直线的斜率为 （a） 44 55 或 （b） 55 44 或 （c）11或 （d）33或 22 1 24= , 54 41 2 y ypxyxpxpxyk x 由和得2 （18）函数 2 yxx在点（1，2）处的切线方程为 31yx 16 1 1 (21)3 x x kyx ，2(1)yk x，即31yx 2008 年 2008 年 （8）曲线 2 1yx与直线ykx只有一个公共点，则k （a）2或2 （b）0或4 （c）1或1 （d）3或7 （25）已知函数 42 5f xxmx（ ），且224 f （ ） （）求m的值 （）求f x（ ）在区间2 2 ，上的最大值和最小值 解解（） 3 42fxxmx（ ）， 3 24 22224fm（ ），2m （）令 33 42=440fxxmxxx（ ），得： 1 0x ， 2 1x ， 3 1x =5f（0），1 =1 25=4f （），=1 2 5=4f （1），=16 8 5=13f （-2），=16 8 5=13f （2） 所以，f x（ ）在区间2 2 ，上的最大值为13，最小值为4. 七、平面向量 七、平面向量 2001 年 2001 年 (18)过点(2,1)且垂直于向量( 1,2) a的直线方程为20xy。 1 ( 1,2)21(2) 2 kkyk x 所在直线的斜率与 垂直的直线的斜率所求直线，aa 2002 年 2002 年 （17）已知向量(3,4)a ，向量b 与a 方向相反，并且| 10b ，则b 等于( 6, 8)b 。 解解 设( , )bx y ，因向量b 与a 方向相反（一种平行） ，故 34 xy ，即43xy ， 22 34|cos180341050a bxya b 将与组成方程组： 43 34 =50 xy xy ，解得： 6 8 x y ，故( 6, 8)b 也可这样简单分析求解也可这样简单分析求解： 因| 5a ，| 10b ，|b 是|a 的二倍，b 与a 方向相反，故2 =2 (3,4)=(6,8)ba 2003 年 2003 年 (13)已知向量a、b满足|=4a，|=3b，=30 a,b，则=a b （a）3 （b）6 3 =cos=4 3cos30 =6 3 a baba,b （c）6 （d）12 2004 年 2004 年 （14）如果向量(3, 2)a，( 1,2) b，则(2) ()a+ba -b等于 （a）28 （b）20 （c）24 （d）10 2 =2(3, 2)=(6,4), 2=(6,4)+( 1,2)=(5, 2)=(3, 2)( 1,2)=(4,4) (2) ()=(5, 2) (4,4)=28 ? ，aa+bab a+bab 2yx 2yx x y 2 22 2 2 2 121 1 221,2 2 yxyxyx yx y yxyxxky x yx 的切线就与只有一个公共点， 17 2005 年 2005 年 （14）已知向量a,b满足3a，4b，且a和b的夹角为120，则a b （a）6 3 （b）6 3 （c） （d）6 2006 年 2006 年 （3）若平面向量(3, )xa，(4, 3)b，ab，则x的值等于 （a）1 （b）2 （c）3 （d）43 4( 3 )0, 4xx 2007 年 2007 年 （3）已知平面向量ab=(2,4) ，ac=( 1,2) ，则bc= （a）(3, 6) （b）(1, 2) （c）( 3,6)( 1,2)(2,4)=(3,6) （d）( 2, 8) 2008 年 2008 年 （18）若向量2x（ ，）a ，2 3 （，）b ，/ab，则x 4 3 24 , 223 x x 八、三角的概念 八、三角的概念 2001 年2001 年 (5) 设角的终边通过点512p（，），则sincot等于（ ） (a) 13 7 (b) 13 7 (c) 156 79 (d) 156 79 22 5121251279 cot =, sin =, cotsin = 12131213 156 (5)12 （5） 已知 5 1 cossin， 7 sincos 5 ，则tan等于（ ） （a） 3 4 （b） 4 3 （c）1 （d）1 188 sincos2sin = 2sin45 55 , , tan= 762cos63 sincos2cos = 555 得 得 +： -： 2003 年 2003 年 （4）已知0) sinsin= sin1 sin= sincos= sincos= sincos ,(sincos 0 , cos , sin2 =2sin cos =2 1 cos cos =2 1= 25525 0 2006 年 2006 年 （）在abc中，c=30 ，则cosacosbsinasinb的值等于 （a） 1 2 （b） 3 2 （c） 1 2 （d） 3 2 22 =cosacos(150a)sinasin(150a) =cosa(cos150 cosasin150 sina)sina(sin150 cosacos150 sina) 3 =cos acos150sin acos150 =cos150 = 2 原式 2007年年 （19）sin(45)coscos(45)sin 的值为 sin(45)coscos(45)sin=sin(45)=sin45 19 十、三角函数的图像和性质 十、三角函数的图像和性质 2001 年2001 年 (14)函数xxy3sin33cos的最小正周期和最大值分别是（ ） (a) 2 1 3 ， (b) 2 2 3 ， (c) 22， (d) 2 1， 13 cos33sin3 =2 ( cos3sin3 )=2(sin cos3cos sin3 )=2cos(3) 22 2213 sincoscos(3)= 1 322 yxxxxxxx tx 当时函数取得最大值， ， ，2 2005 年 2005 年 （4）函数sin 2 x y的最小正周期是 （a）8 （b）4 2 4 1/2 t （c）2 （d） （20） （本小题满分） （本小题满分11分）分） （）把下表中x的角度值化为弧度值，计算tan-sinyxx的值填入表中： x的角度值 0 9 18 27 36 45 x的弧度值 10 tan-sinyxx (精确到0.0001) （）参照上表中的数据，在下面的直角坐标系中画出函数tan-sinyxx在区间0 4 ，上的图像 解（） x的角度值 0 9 18 27 36 45 x的弧度值 0 20 10 3 20 5 4 tan-sinyxx (精确到0.0001) 0 0.0019 0.0159 0.0553 0.1388 0.2929 （） 20 10 3 20 4 5 /x rad y 0 0.1 0.2 0.3 20 10 3 20 4 5 /x rad y 0 0.1 0.2 0.3 20 2006 年 2006 年 （18）函数sin2yx的最小正周期是 2007 年 2007 年 (4)函数 1 sin 3 yx的最小正周期为 （a） 3 （b）2 （c）6 （d）8 2008 年 2008 年 （2）函数ycos 3 x 的最小正周期是 （a）6 （b）3 （c）2 （d） 3 十一、解三角形 十一、解三角形 2001 年2001 年 (20) (本小题11分) 在abc中，已知 45a， 30b，ab=23.26，求ac（用小数表示，结 果保留到小数点后一位） 。 解解 abac = sinc sinb ， 23.26ac = sin(1804530 ) sin30 ， 23.26sin30 ac=12.0 sin75 2002 年 2002 年 （20)（本小题11分） 在abc中，已知60a，且2bcab，求sinc（精确到0.001） 。 解解 abbc = sinc sin60 abab33 sinc=sin60 =0.612 bc2 2ab2 2 2003 年 2003 年 （22） （本小题12分） 如图，某观测点b在a地南偏西10方向，由a地出发有一条走向为南偏东12的公路，由观测点b 发现公路上距观测点10km的c点有一汽车沿公路向a驶去，到达d点时，测得90dbc ， 10bdkm，问汽车还要行驶多少km才可到达a地（计算结果保留两 位小数） 解 101222bad 90dbc ，bcbd， bcd是等边直角三角形，45bdc 452223abdbdcbad 10 sinsin2310.43() sin sin22 bd adabdkm bad 答：为这辆汽车还要行驶10.43km才可到达a地 2004 年 2004 年 （21） （本小题满分12分） 已知锐角abc的边长ab=10，bc=8，面积s=32.求ac的长（用小数表示， 结果保留小数点后两位） ab c 60 2ab a 东 d c b 北 10 12 10km 10km 21 a b c 2 22222 11 s=ab bc sinb=10 8sinb=32 22 443 sinb=cosb= 1 sin b= 1= 555 3 ac =abbc2ab bccosb=1082 10 8=68 5 ac= 688.25 2 得： ， ， 解解 2006 年 2006 年 （23） （本小题12分） 已知在abc中，bac=60 ，边长ab=5，ac=6. （）求bc的长 （）求ab ac 值 22 22 bc= abac2ab accos bac = 562 5 6cos 60 = 31 ? （）解解 （）ab ac= abac cosbac=5 6 cos60 =15 2007 年 2007 年 （22） （本小题满分12分） 已知abc的三个顶点的坐标分别为a（2，1） 、b（1，0） 、c（3，0） ，求 （）b的正弦值； （）abc的面积. 解解（）b=45 ， 2 sinb=sin45 = 2 （）abc的面积 abc 1 s=2 1=1 2 2008 年 2008 年 （20）在abc中，若 1 sina= 3 ，c=150 ，bc=4，则ab= sin4sin150 , 6 1 sinsinsin 3 bcabbcc ab aca （23） 如图， 塔po与地平线ao垂直， 在a点测得塔顶p的仰角45pao ， 沿ao方向前进至b点， 测得仰角60pbo ，a、b相距44m，求塔高po。 （精确到0.1m） 解解 由已知条件得：30bpo ，aopo， 3 tantan30 3 bopobpopopo 3 44 3 abaobopobopopo 44 104.1( ) 3 1 3 pom 十二、直线 十二、直线 2001 年 2001 年 a 60 c b 5 6 a bc 12 3 1 0x y p o ba c b a 22 (18)过点2 1（ ， ）且垂直于向量( 1,2) a的直线方程 。 (, )(2,1)(2,1)( 1,2)=020x yxyxyxy设在所求直线上取点得向量则，即：，bab 2002 年 2002 年 （4）点p(3,2)关于y轴的对称点的坐标为（ ） （a）)2, 3( （b）( 3,2) （c）)2 , 0( （d）)2, 3( （18）在x轴上截距为 3 且垂直于直线02yx的直线方程为 。 2(2) 11 20,2 2 kyxxyk k 的斜率所求直线的斜率为所求直线的方程：， 2003 年 2003 年 （16）点p(1 2)，到直线21yx的距离为 00 2222 2 1 ( 1) 2 15 5 2( 1) axbyc d ab 2004 年 2004 年 （4）到两定点( 1,1)a 和(3,5)b距离相等的点的轨迹方程为 . （a）40xy （b）50xy （c）50xy （d）20xy 2222 (1)(1)(3)(5)40xyxyxy ， （12）通过点(3,1)且与直线1xy垂直的直线方程是 . （a）20xy （b）380xy （c）320xy （d）20xy （20） （本小题满分11分） 设函数( )yf x为一次函数，(1)=8f，(2)= 1f ，求(11)f 解解 依题意设( )yf xkxb，得 (1)8 ( 2)21 fkb fkb ，得 3 5 k b ，( )35f xx，(11)=38f 2005 年 2005 年 （16）过点21（ ， ）且与直线1yx垂直的直线方程为3yx 2006 年 2006 年 （8）设一次函数的图像过点(1,1)）和( 2,1)，则该函数的解析式为 （a） 12 33 yx （b） 12 33 yx （c）21yx （d）2yx （20）直线32yx的倾斜角的度数为60 arctan360 2008 年 2008 年 （14）过点(1,1)且与直线210xy 垂直的直线方程为 （a） 210xy （b）230xy （c）230xy （d）210xy 直线210xy 的斜率为 1 2 k ，所求直线的斜率为2k ，由点斜式方程可知应选（a） （19） 若是直线2yx 的倾斜角， 则= 3 4 3 tan1, 0,arctan( 1)145 = 4 十三、圆 十三、圆 2006 年 2006 年 23 （24） （本小题12分） 已知o?的圆心位于坐标原点, o?与x轴的正半轴交于a，与y轴的正半轴交于b，ab =2 2 （）求o?的方程； （）设p为o?上的一点，且op/ab，求点p的坐标。 解（）依题设得 2 2 2= abr， 2 2 2 2 ab =2 22 r， 故o?的方程： 22 4xy （）因为a(2,0)，b(0,2)，所以ab的斜率为1。 过o且平行于ab的直线方程为yx . 由 22 4 yx xy 得： 1 1 2 2 x y ， 2 2 2 2 x y 所以，点p的坐标为( 2,2)或(2, 2) 2008年年 （24）已知一个圆的圆心为双曲线 22 1 412 xy 的右焦点，并且此圆过原点. （）求该圆的方程； （）求直线3yx被该圆截得的弦长. 解解（） 22 4 124cab， 双曲线 22 1 412 xy 的右焦点坐为 4 0（ ， ）， 圆心坐标o 4 0（ ， ），圆半径为4r 。 圆的方程为 22 416xy（） （）因直线3yx的倾角为60， 故oa=obcosaob=2 4cos60 =4 所以，直线3yx被该圆截得的弦长为4 十四、圆锥曲线 十四、圆锥曲线 2001 年 2001 年 (3) 已知抛物线2 2 axxy的对称轴方程为1x,则这条抛物线的顶点坐标为（ ） (a) )3, 1 ( (b) ) 1, 1 ( (c) )0 , 1 ( (d) )3, 1( 2 0000 1, 2, 21 ( 2) 1 23 2 a xayxax (8) 点p为椭圆225925 22 yx上一点， 1 f和 2 f是焦点，则 21 pfpf的值为（ ） (a) 6 (b) 5 (c) 10 (d) 3 22 12 2592255,22 510xyapfpfa (9) 过双曲线1 936 22 yx 的左焦点 1 f的直线与这双曲线交于 a,b 两点，且3ab， 2 f是右焦点，则 22 bfaf的值为（ ） (a) 21 (b) 30 (c) 15 (d) 27 o a b 22 1 412 xy 22 416xy（） 3yx x y 1 p x b a y 2 p 24 ， (24) (本小题11分) 已知椭圆1 2 2 2 2 b y a x 和点p( ,0)a，设该椭圆有一关于x 轴对称的内接正三角形， 使得p为其一个顶点。求该正三角形的边长。 解解 设椭圆的关于x 轴对称的内接正三角形为pab，a,x y，则： 3 ax y ， 2 2 3 ax y ， 2 2 3 ax y ， 22 22 () 1 3 xax ab ， 222 222222 22 33 (2)3,1230 b xb aaxxbxaxab aa 2 42222 222 22 2 2 1 22 222 2 22 3 33 244 13 322 3 33 2 12 b aabab aaab aba a xa a x ab bab xa aa 由于axa ，所以， 22 22 3 3 ab xa ab 因 - 3 a x y ， - 3 a x y ，ab=2y，于是pab的边长为 2222222 222222 -2232334 3 ab=2211= 3333333 a xaxaaba ababab y a ababab 2002 年 2002 年 （8） 平面上到两定点)0 , 7( 1 f，)0 , 7( 2 f距离之差的绝对值等于10的点的轨迹方程为（ ） （a） 22 1 10016 yx （b） 22 1 10049 yx （c） 22 1 2524 yx （d） 22 1 2524 yx 2 (c)(a) (b);210525aaa 点的轨迹为双曲线，排除排除、， x y b a( , )x y p b b aa x y b a( , )x y p b b a a x y a b 1 f 2 f 11 122222 12 abafbf =3 afaf =2 =12afbf3=24afbf =27 bfbf =2 =12 a a 25 （23） （本小题12分） 设椭圆)0( 1 6 2 22 yx 的焦点在x轴上，o为坐标原点，p、q为椭圆上两 点，使得op所在直线的斜率为1，opoq，若poq的面积恰为 3 2 4 ，求该椭圆的焦距。 解解 设 11 ( ,)p x y、 22 q(,)xy，因opoq，故poq=90 .又因op所在直线的斜率为1，故 22222222 q11221122 113 2 224 po sop oqxyxyxyxy 。 将 22 11 3 2 4 xy代入)0( 1 6 2 22 yx ，得： 3 23 2 1(0) 244 ，即 2 4 26=0， 解得： 1 222 22 = 2 =3 2(=18=6,)ba 舍去 由 2 222 =6=2=2ab，得该椭圆的焦距： 22 222 624cab 2003 年 2003 年 （14）焦点( 5 0)，、(5 0)，且过点(3 0)，的双曲线的标准方程为 （a） 2 2 1 169 yx （b） 2 2 1 94 yx （c） 2 2 1 916 yx （d） 2 2 1 916 yx 222 (a) (d)5, 3, (b),(c)5316, xcab 焦点在 轴，排除、 ；排除选 （15）椭圆 2 2 1 49 yx 与圆 22 (4)2xy的公共点的个数是 （a）4 （b）2 （c）1 （d）0 （24）已知抛物线 2 8yx的焦点为f，点a、c在抛物线上（ac与x轴不垂直）. （）若点b在抛物线的准线上，且a、b、c三点的纵坐标成等差数列，求证bfac； （）若直线ac过点f，求证以ac为直径的圆与定圆 22 ( -3)9xy相内切.