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复旦求是 MBA/MPAcc 考前辅导办公室 第一章：实第一章：实 数数 一、数的分类：一、数的分类： 0 正整数 自然数 整数 有理数负整数 实数 正分数 分数 负分数 无理数（无限不循环小数） 二、质数：二、质数： 大于 1 的正整数，如果除了 1 和自身，没有其他约数的数就称为质数或素数，否则就称 为合数。 则：则：最小的质数为 2，最小的合数为 4，1 既不是质数也不是合数。 常见的质数：常见的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、21、23、29 等。 三、奇数偶数运算性质：三、奇数偶数运算性质： 奇数奇数=偶数， 奇数偶数=奇数， 偶数偶数=偶数； 奇数奇数=奇数， 奇数偶数=偶数， 偶数偶数=偶数。 四、正整数除法中的商数与余数：四、正整数除法中的商数与余数： 设正整数n被正整数除的商数为，余数为r，则可以表示为 ：msnmsr=+ （和为自然数，）.特例，能被整除是指sr0rm0x 0x . （4）三角不等式：|xyxyxy+； xx= 复旦求是 MBA/MPAcc 考前辅导办公室 地址：复旦大学南区国权路 533 号 电话网址： 2 0 0 特别的：a、| |xyxyxy+=+ b、| |xyxyxy=+ c、xyxy+0xy . d、|xa（）的解为0a axa ；|xa的解为xa. e、|xba（）的解为0a baxab+； |xba的解为xba+ 六、算术平均值六、算术平均值： 给定n个数，称 1 a 2 a n a 12 1 1 n n i i aaa aa nn = + = 为这个数的算术平均值。 n 七、几何平均值七、几何平均值： 如果n个正数正数，称 1 a 2 a n a 12 n gn aa aa=为这个数的几何平均值。 n 八、算术平均值与几何平均值的关系： （算术平均值不小于几何平均值）八、算术平均值与几何平均值的关系： （算术平均值不小于几何平均值） 当两个正数，则ab 2 ab ab + （当且仅当ab=时等号成立） 常用变形： （1） （2） 22 2abab+ 2 2 ab ab + 九、比例性质：九、比例性质： 1、更比定理： acab bdcd = 2、反比定理： acbd bdac = 3、合比定理： acabcd bdbd + = 4、分比定理： acabcd bdbd = 5、合分比定理： 1m acamcac bdbmdbd = = = 6、等比定理： aceacea bdfbdfb + + = + 十、指数十、指数 （1） （2） mnm aaa + = nnmnm aaa = （3）() mnmn aa= （4）() （5） mm aba b= m ( ) m m m aa bb =（6） 1 m m a a = （7） 1 n n a =a （8） m nm n aa= （9） 1 m n nm a a = 复旦求是 MBA/MPAcc 考前辅导办公室 十一、指数函数十一、指数函数： 一般地，函数y=ax（a0 且a1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。 指数函数的图象与性质： 指数函数的图象与性质： 地址：复旦大学南区国权路 533 号 电话网址： 3 a10a1 图 像 （1）定义域：R （2）值域： （0，+） （3）过点（0，1） ，即 x=0 时，y=1 图 像 性 质 (4)在 R 上是增函数 （4）在 R 上是减函数 十二、对数（十二、对数（logayN=，且0a 1a ） （1）对数恒等式：log y a yNN= a ； logaN Na=，更常用 lnN Ne= （2）log ()loglog aaa MNM=+N （3）log ()loglog aa M a MN N = （4）loglog n aa Mn=M （5） 1 loglog n a a MM n = （5） 1 loglog n aaM n = （6）换底公式： log lo M Mg log b a b M a =（以b为底） （7） 1 lo （8）log log a b b a =g 10 a =，log1 aa = 十三、对数函数： 十三、对数函数： 函数logayx=（a0，a1）叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是（0，+） 。 复旦求是 MBA/MPAcc 考前辅导办公室 对数函数的图象与性质： 对数函数的图象与性质： a1 0a1 图 像 （1）定义域： （0，+） （2）值域：R （3）过点（1，0） ，即 x1 时，y0 图 像 性 质 (4)在（0，+）上是增函数 （4）在（0，+）上是减函数 第二章：整式第二章：整式 一、常用的基本公式一、常用的基本公式 1、平方差：； 22 ()(abab ab=+ ) 2 2、完全平方和： 22 ()2abaabb+=+； 完全平方差：()2 22 2abaabb=+； 特别的： 2 2 2 11 2xx xx =+ 3、3 项和的平方：() 2222 ()2abcabcabacbc+=+； 4、立方和：；立方差：； 3322 ()(abab aabb+=+) 3 33abaa babb+=+ 33223 33abaa babb 3322 ()(abab aabb=+ 5、 和的立方：()； 差的立方：() 3322 =+ 1) ab aababb =+ ； 6、次方的差：ab. n 1232 ()( nnnnnn 特别的： 12 1(1)(1) nnn xxxxx =+ 地址：复旦大学南区国权路 533 号 电话网址： 4 复旦求是 MBA/MPAcc 考前辅导办公室 第三章：一元二次方程及不等式第三章：一元二次方程及不等式 一、一元二次函数图像一、一元二次函数图像 地址：复旦大学南区国权路 533 号 电话网址： 5 c 2 4ba =0 0 = 0 的根 1 2 2 b x a = 、 1 2 b x= 、 ( )0f x = 2a 方程无实根 ( )0f x 的解集 1 xx 2 b x a x为一切实数 ( )0f x 任意两边之差小于第三边，即abc+ 2 。 三种情况下，最大边对应的三角形的最大内角分别为直角、锐角和钝角。 c 复旦求是 MBA/MPAcc 考前辅导办公室 【射影定理】直角三角形中， 斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项； 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图， 直角三角形中， 角为直角， 斜边ABCCAB 上的高CD分斜边为AD和BD。 则有： ； 2 CDADBD= 2 ACADA=B； 2 BCBDB=A. 2、等腰直角三角形：、等腰直角三角形：两直角边长度相等的直角三角形（有一内角为45或 ? 4 的直角三角形） （1）边长比关系：1:。 1:2 （2）面积公式： 2 11 24 Sac= 2 ，其中为直角边，为斜边。 ac 3、角为的直角三角形：、角为的直角三角形：其中角所对的直角边边长为斜边边长的一半。 30?30? 则三边边长比关系为：1:。 3:2 4、等腰三角形：、等腰三角形：有两个边的长度相等的三角形（或有两个内角相等的三角形） 。 5、等边三角形（正三角形） ：、等边三角形（正三角形） ：三角形三个边长度都相等的三角形（或三个内角都为的三 角形） 。 60? 面积公式： 2 3 4 S =a ABCA B C ，其中为边长。 a 【两三角形全等、相似】【两三角形全等、相似】 1、两个三角形全等全等：，其含义为两三角形的大小与形状完全一致。 【性质】 （1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等。 （2）判定两三角形全等的充分条件： 两三角形有 2 条边及其夹角对应相等； 两三角形有 2 只角及其夹边对应相等； 两三角形的三条边对应相等。 2、两三角形相似相似：ABCA B C，其含义是两三角形的图形是放大、缩小关系。 【性质】 （1）以下都是相似三角形的性质 两相似三角形对应边长成比例（称为相似比） ，对应角相等。 两相似三角形的对应线段的比等于相似比 两相似三角形的周长比等于相似比 两相似三角形的面积比等于相似比的平方 地址：复旦大学南区国权路 533 号 电话网址： 13 复旦求是 MBA/MPAcc 考前辅导办公室 （2）以下都是两三角形相似的充分条件 两三角形有一个内角对应相等，其两夹边对应成比例； 两三角形有 2 组内角对应相等； 两三角形的 3 条边对应成比例。 三、四边形三、四边形 1、平行四边形：两对对边分别平行的四边形称为平行四边形平行四边形。 【性质】 地址：复旦大学南区国权路 533 号 电话网址： 14 h （1）平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分。 （2）一对对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （3）平行四边形的面积为底乘高： ABCD Sa= 特例：四边相等的四边形一定是四边相等的平行四边形， 即为菱形菱形。 且菱形的对角线互相垂直、对角线平分顶角。 2、内角都是直角的四边形称为矩形（长方形）矩形（长方形） 。 【性质】 （1）两对角线相等且互相平分，即 2222ACBDAEECBEDE= （2）矩形的面积等于长乘宽，即 ABCD SCD BCab=. （3）四边相等的矩形称正方形正方形， 则对角线相互垂直还平分顶角， 2 ABCD Sa=. 3、只有一对对边平行的四边形称为梯形梯形，平行的两边称为梯形的 上底上底与下底下底，梯形两腰中点的连线MN称为梯形的中位线中位线。 【性质】 （1）梯形的中位线： 1 () 2 MNa=+b （2）梯形的面积等于中位线与高的乘积，即 1 () 2 ABCD Sa=+b h 四、圆四、圆 【角的弧度制】圆心角所对弧长与半径的比值叫该圆心角的弧度数。 即：圆心角弧度数 l r =，其中： 为圆心角所对的弧长，为圆半径。 lr 度数与弧度数的换算关系： 复旦求是 MBA/MPAcc 考前辅导办公室 1 弧度 180 = ? 1 180 = ? ? 弧度 常用的度与弧度的对照值： 角度 0?30? 45?60?90?120?135?150?180?270?360? 弧度0 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 3 2 2 【定义】与定点A距离等于的平面上动点的轨迹称为以rA为圆心、半径为r的圆圆。 【性质】如图在圆O中，半径为，线段是过圆外点r 1, AB AB2A的两条切线，则 （1）半径为的圆，面积等于r 2 r，圆周长等于2 r. （2）直径所对的圆周角是直角 （3）弧所对应的圆周角是其所对应的圆心角的一半 （4）等弧对等角（圆周角、圆心角） （5）圆的切线在切点处与半径垂直。 （6）从圆外一点所作圆的两根切线相等。即： 12 ABAB=. 五、扇形五、扇形 扇形的弧长：2 360 lr r= = ? ? 扇形的面积公式： 2 1 2360 Slrr = ? ? 【注】为扇形圆心角的弧度数，为圆心角的角度数。 弓形面积： AOB SSS= 弓形ACB扇 . 六、坐标六、坐标 1、平面直角坐标系、象限及平面内点的坐标：、平面直角坐标系、象限及平面内点的坐标： 表示为：(),P x y，其中： x为点的横坐标，为点的纵坐标。 y 象限中的点坐标关系如右图所示。 地址：复旦大学南区国权路 533 号 电话网址： 15 复旦求是 MBA/MPAcc 考前辅导办公室 2、两点间距离公式：、两点间距离公式： 两点及(,) AA A xy(,) BB B xy间的距离d为 22 ()( ABAB) xyy=+dx. 特别地：点与坐标原点O的 ( , )P x y(0,0) 距离为d 22 dxy=+. 3、中点公式：、中点公式： 设，(,) AA A xy(,) BB B xy，则线段AB的中点的 坐标为： (,) CC C xy 1 () 2 CAB xxx=+， 1 () 2 CA yyy=+ B . 4、定比分点：、定比分点： 设两点，(,) AA A xy(,) BB B xy，点是线段PAB或其延长线的 一点，并且分AB的定比为，( ) ,1APPB= ? ? ? 且 则点的坐标为：P, 11 ABAB xxyy + . + 七、平面直线七、平面直线 1、直线的倾斜角与斜率：、直线的倾斜角与斜率： 直线的倾斜角：直线与x轴正方向的夹角，记为：且。 01 ? 80 直线的斜率：反映直线的倾斜程度，记为：tank=， （） 。 90 ? 常见直线倾斜角所对应的直线斜率值： 150?120?60?0?30?45?135? 地址：复旦大学南区国权路 533 号 电话网址： 16 1 3 1 3 3 tan110 3 2、斜率计算公式：、斜率计算公式：经过点和(,) AA A xy(,) BB B xy的直线L 的斜率为tan BA BA yy k xx = . 3、直线方程的常见形式：、直线方程的常见形式： 复旦求是 MBA/MPAcc 考前辅导办公室 1、 水平直线与竖直直线： 过点 00 (,)xy的水平直线为 0 yy=；竖直线为 0 xx=。 2、 直线的点斜式： 00 ()yyk xx= 表示：斜率为k且过点 00 (,)xy的一条直线。 3、 直线的斜截式：ykxb=+ 表示：斜率为k且与y轴相交于点的直线， (0, )b 其中称b为直线的纵截距。 4、 直线的两点式： AA BAB yyxx yyxx = A 求过点与(,) AA A xy(,) BB B xy的直线方程 因为直线AB的斜率为 BA BA yy k xx = ， 把直线AB看做经过点(,) AA xy且斜率为 B BA yy k A xx = 直线， 按直线的点斜式，则方程为 () BA AA BA yy yyxx xx = , 常把这一方程写成关于A和B的对称形式： A BAB yyxx yyxx = A A ，此时为直线的两点式。 5、 直线的截距式：1. xy ab += 表示：直线与x轴及轴都相交且直线与 y x轴交于点，与轴交于点， ( ,0)ay(0, )b 称为直线的横截距横截距，b为直线的纵截距纵截距。 a 地址：复旦大学南区国权路 533 号 电话网址： 17 复旦求是 MBA/MPAcc 考前辅导办公室 6、 直线的一般方程：（0AxByC+=A与B不全为 0） 若，方程则为水平直线0A= C y B = ； 若，方程则为竖直直线0B = C x A = ； 若，直线经过点(0； 0C =,0) 若，则方程可改写为0B AC yx BB = ，此时： 直线的斜率为 A k B = ，纵截距为 C y B = ，横截距为： C x A = . 4、两直线的夹角公式：、两直线的夹角公式： 设直线和直线的斜率分别为和， 1 L 2 L 1 k 2 k 记是两直线夹出的锐角，则 12 12 tan 1 kk k k = + . 【推论】倒角公式（逆时针） ： 如上图，直线到直线的角为 1 L 2 L 12 12 tan 1 kk kk = + . 【性质】两直线与平行（含重合）的充要条件是 1 L 2 L 12 kk=； 两直线与互相垂直的充要条件是 1 L 2 L 12 1k k= . 【推论】对于两直线：和： 1 L 111 0AxB yC+= 2 L 222 0A xB yC+=， 若/；若 1 L 2 L 1221 0ABA B= 12 LL 1212 0A AB B+=. 5、点到直线的距离公式：、点到直线的距离公式： 设点() 00 ,xy是直线外的一个点，则它到直线的距离的计算公式为 :L AxByC+= 0d 00 22 AxByC d AB + = + ； 如果L取形式，则ykxb=+ 00 2 1 ykxb d k = + . 地址：复旦大学南区国权路 533 号 电话网址： 18 复旦求是 MBA/MPAcc 考前辅导办公室 【推论】两平行直线与 1 0AxByC+= 2 0AxByC+=间距离为 12 2