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上海华是学院 1 上海华是学院管理类硕士考前培训 正规、专业、权威、高效 （MBA 、 EMBA 、MPA 、MEM 、 MPAcc 、 MTA 、 MLIS 、MAud ） 管理类专业学位联考数学 必备公式与结论 【精华版按新大纲修订】 华是学院时光朋老师 上海华是学院 2 目录 第一章算术3 第二章整式、分式及其运算 6 第三章函数、代数方程、不等式7 第四章数列、等差数列、等比数列.13 第五章平面图形 17 第六章平面解析几何 19 第七章排列组合与概率 .24 上海华是学院 3 第一章算术 一、实数的概念、性质、分类 1实数的概念与性质、分类 实数：有理数和无理数统称为实数，记为R. 正整数 正有理数 正分数 有理数 0有限小数，无限循环小数 负整数实数 负有理数 负分数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 自然数 (记为N) :包括 0 及正整数 . 注意： 有理数一定可写成分数形式，无理数则不能，这是二 者的本质区别. 2正整数的分类： 1 1 1 正整数质数（也称素数，只有和自身两个约数） 合数（有除和自身以外的约数） 注意： 最小的质数2 为偶数， 其余质数均为奇数，两个相邻 整数必一奇一偶. 任何一个合数都能分解为若干个质因数 之积 . 最小的合数为4. 1既不为质数，也不为合数. 上海华是学院 4 二、实数的运算 1. 乘方运算负实数的奇次幂为负数，偶次幂为正数. na n aa aa 个 , 当 0 1 01, n n aaa a 时，. ,(),() x xyxyxyxxxxyxy y a aaaaababaa a . 2. 开方运算 在运算有意义的前提下，, n mnnnn m aaabab, , , n np nnmmpmn n n aa aaaa bb m （）. 三、比和比例 比、比例 %(1%) a pap 原值 增长率现值 , %)1 (%pap a 现值下降率 原值 . %,%pppp 甲乙甲乙 甲比乙大乙比甲小 乙甲 ， %pp甲是乙的甲乙. 注意： 甲比乙大%p不等于乙比甲小%p，不要混淆 . 先减小%p，再增加%p不等于 原值 . 上海华是学院 5 比例的基本性质 1. 合分比定理： acabcd bdabcd ( 1 a b ). 2. 等比定理 : 0 aceacea bdf bdfbdfb （） 3. 增减性 : 当0,0,0abm时 若0 1 a b ，则 b a mb ma . ( 记住此结论 ) 若1 b a ，则 b a mb ma . 四、算术平均值、几何平均值 定理及性质 : 当 12 , n x xx为n个正实数时，它们的算术平均值不小于 它们的几何平均值，即 12 12 . . n n n xxx x xx n , 当且仅当 12n xxx时，等号成立. 常用的基本不等式 ( ,) 2 ab ab a bR, 3 ( , ,) 3 abc abc a b cR. 2 ab ba （0ab） ； 上海华是学院 6 第二章整式、分式及其运算 一、代数式的分类 A (B0,A,B) B 单项式 整式 多项式 有理式 代数式的分类 分式：为整式 无理式：根号内含有字母 二、整式的运算1. 常用的乘法公式： 22 ()()ab abab. 222 ()2abaabb. 2233 ()()abaabbab. 2222 ()222abcabcabacbc. 33223 ()33abaa babb. 2整式的除法运算 余数定理 1 01 ( ) nn n F xa xa xa除以一次因 式()xa所得的余数一定是( )F a. 因为( )() ( )F xxa g xr，令xa，必有( )F ar. 上海华是学院 7 因式定理多项式 ( )F x 含有因式 ()xa ，即 ( )F x 被 ()xa整除的充要条件是( )0F a（即0r）. 三、分式1. 分式定义： 若A，B表示两个整式B中含 有字母，且0B，则称 A B 是分式 . 2. 分式运算： 通分和约分运算，注意分母不能为零. 3. 分式方程 :可能产生增根,必须验根 . 第三章函数、代数方程、不等式 一 、常用函数及其性质 常见的一次函数、反比例函数与一元二次函数: 1. 一次函数 : ykxb (0)k，其图像为一条直线， 其中k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距 . 2. 反比例函数 : k y x (0)k. 3二次函数 2 (0)yaxbxc a其图像为抛物线. 2 22 4 ()(0) 24 bacb yaxbxca xa aa 上海华是学院 8 二指数函数(01) x yaaa且图象和性质 : 1a01a 图 象 1 o y x 1 o y x 性 质 (1) 定义域： R （2）值域：（0，+） （3）过点（ 0，1） ，即 x=0 时， y=1 （4）在 R 上是增函数（4）在 R上是减函数 三 对数函数log(01) a yx aa且的图象和性质 1. 对数定义 ：若Na b 0,1aa，则数b叫做以a为 底N的对数，记作bN a log，a叫做对数的底数，N叫 做真数 ,0,N. 常用对数：N 10 log，简记作lg N. 2. 常用对数的运算定律： 积、商、幂的对数运算法则：若0a，1a， ,0M N，则有：log ()loglog aaa MNMN， 上海华是学院 9 logloglog aaa M MN N ;loglog() n aa MnM nR 常用公式：（假设下列各式有意义） log 10 a ，1log a a . 对数恒等式Na N a log . 3。对数函数log(01) a yx aa且的图象 : 1a01a 图 象 3 2.5 2 1.5 1 0.5 - 0.5 - 1 - 1.5 - 2 - 2.5 - 112345678 0 1 1 3 2 .5 2 1 .5 1 0 .5 - 0 .5 - 1 - 1 .5 - 2 - 2 .5 - 112345678 0 1 1 性 质 定义域：（0，+） 值域： R 过点（ 1，0） ，即当 x=1 时， y=0 ) 1 , 0(x时0y ), 1(x时0y ) 1 , 0(x时0y ), 1(x时0y 在（ 0，+）上是增函数在（ 0，+）上是减函数 上海华是学院 10 二、方程 一元二次方程一般形式为： 2 0(0)axbxca. 1根的判别式(, ,a b cR) 无实根 两个相等的实根 两个不相等的实根 0 0 0 4 2 acb 2一元二次方程解法: 因式分解法（常用） 求根公式法 : 2 2 1,2 4 40 2 bbac xbac a . 3. 一元二次方程根与系数的关系( 韦达定理 ) 韦达定理 :设 12 ,x x是方 2 0axbxc(0,0)a 的两个根，则 1212 , bc xxx x aa . 韦达定理的扩展及其应用 利用韦达定理可以求出关于两个根的对称轮换式的数值. 12 1212 11xx xxx x . 21 2 21 2 2 2 1 2)(xxxxxx. 上海华是学院 11 21 2 21 2 2121 4)()(xxxxxxxx 3322 12121122 ()()xxxxxx xx 3)( 21 2 2121 xxxxxx. 3.一元二次方程根的分布（重点） 代数方法： 利用韦达定理. 数形结合： 结合二次函数的图像的特征 三、不等式 1. 一元二次不等式的解法: 设相应的一元二次方程00 2 acbxax的两根为 12 xx、，acb4 2 ，则不等式的解的各种情况如下表： 注意 ： 2 0axbxc对于xR都成立 ,则 0 0 a . 2 0axbxc对于xR都成立 ,则 0 0 a . 上海华是学院 12 2. 对于高次不等式( 重点 ): 一般先因式分解，求出零点， 再用数轴标根法求解，注意重根的情况. 3. 分式不等式的解法：等价转化为整式不等式 ( ) 0( ) ( )0, ( )0 ( ) f x f x g xg x g x . 4绝对值不等式的解法: ( )( )( )( )f xg xf xg x或( )( )f xg x. 上海华是学院 13 ( )( )( )( )( )f xg xg xfxg x. 22 ( )( )( )( )f xg xfxgx. 5. 无理不等式的解法: 等价转化为整式不等式. 6. 指、对数不等式的解法：( 重要 ) 利用函数的增减性等价 转化，同时注意对数的底数与真数的限制条件. 第四章数列、等差数列、等比数列 一、数列的概念 : 数列通项公式 n a与前n项和 n S的关系解题： 前n项和： 123nn Saaaa. 前n项和与通项公式 n a的关系 : 1 1 (1) (2) n nn S n a SSn . 二、等差数列 : 1。通项公式 : 1 1(,) n aand dnN（）为常数 推广 :(,) nm aanmd dnmN（）为常数、. 可变形 : nm aa d nm . 上海华是学院 14 2。等差中项 :如果 , ,a A b成等差数列 , 那么A叫做a与b的 等差中项 , 即 2 ab A. 3. 前n项和公式（重点）: 21 11 ()1 () 2222 n n aann ndd Snadnan （） 当公差0d时，可将其抽象成关于n的二次函数 2 1 ( )()() 22 dd f nnan， 其特点： 常数项为零，过零点；开口方向由d决定； 二次项系数为 2 d ； 对称轴 1 1 2 a x d （求最值）； 若 0d ，等差数列的前n 项和只能为二次函数； 若0d，则为一次函数. 如：数列前n项和 2 3 n Snn， 此数列为等差数列，且公差是6，首项是2. 三、等差数列的性质 :( 重点) 1.在等差数列 n a中, 若mnpq, 则(, ,) mnpq aaaam n p qN. 上海华是学院 15 特殊地 , 当pq时,2 mnp aaa. 注意 ：可以将此公式推广到多个，但要满足两个成立条件： 一是角码之和要分别相等，二是等号两端的项数要分别相等. 如： 28124711616 aaaaaaaa（因为项数不同） 2. 若 n S为 n a的前 n 项和 , 则 232 , nnnnn SSSSS 成等差数列，公差为 2 n d. ( 重要 ) 3. 等差数列 nn ba和的前n项和分别为 nn ST和， 则有 21 21 kk kk aS bT ( 重要 ) 四、等比数列 : （注意等比数列任何一个元素均不能为零！） 1. 通项公式 : 1 1 (,) n n aa qqnN为常数 推广 : (,) nm nm aa qqnmN为常数、. 2. 等比中项 :如果 ,a G b成等比数列 , 那么G叫做a与b的等比中项 ,Gab，显然0ab. 上海华是学院 16 3. 前n项和 : 1 11 (1) (1) (1) 11 n n n na q S aa qaq q qq 或 五、等比数列的性质与有关结论:( 重点 ) 1. 在等比数列 n a中 若mnpq, 则(, ,) mnpq aaaam n p qN. 特殊地 , 当pq时, 2 mnp aaa. 注意： 可以将此公式推广到多个，但要满足两个成立条件： 一是角码之和要分别相等，二是等号两端的项数要分别相等. 如： 28124711616 aaaaaaaa.( 因为项数不同) 2. 若 n a为 n S的前 n 项和 , 则 232 , nnnnn SSSSS 成等比数列 . 公比为 n q. ( 重要 ) 六、无穷等比数列: 无穷等比数列 n a的公比为q，若01q， 则该数列的各项和为 11 (1) limlim 11 n n nn aqa SS qq . 上海华是学院 17 第五章平面几何 一、三角形 三角形的分类 : 1.按边分类： 等边三角形 腰和底不等的三角形 等腰三角形 不等边三角形 三角形 2. 按角分类： 直角三角形 钝角三角形 锐角三角形 斜三角形 三角形 三角形面积公式 11 sin()()() 22 SahabCp papbpc( 海仑公 式) ， 其中2pabc. 其中h是a边上的高，C是ba, 边所夹的角，p为三角形的半周长. 等边三角形面积： 23 4 Sa，a为三角形的边长. 简单的锐角三角函数 锐角三角函数定义：在Rt ABC中， 90C ， 上海华是学院 18 则正弦 :sin a A c ，余弦 :cos b A c ， 正切 :tan a AtgA b , 余切 :cot b ActgA a . 二、四边形1. 知识框图 一组邻边相等 一个角是直角 矩形（一个角是直角） 平行四边形（两组对边分别平行）正方形 菱形（一组邻边相等） 四边形 等腰梯形（两腰相等） 梯形（只有一组对边平行） 直角梯形（有一个角是直角） 2. 梯形的性质 : 两底平行 . 梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半. 3. 常见四边形的面积公式: 正方形 : 2 Sa. 矩形 :Sab. 平行四边形：Sah. 梯形： 1 () 2 Sab h. 三、圆和扇形： 1. 圆: 圆的半径为R, 则周长为2CR，面积 2 SR. 2、圆和圆的位置关系： 设两圆半径分别为 , ,(),R rRr 圆心距为 d 上海华是学院 19 注意：两圆有交点()RrdRr Rr. 3. 扇形： 关键是看中心角，可转化为圆面积的几分之几. 在扇形 OAB中，n表示扇形圆心角的角度数，表示弧度数， AB弧长 180 n r l，扇形面积 2 360 n Sr. AB弧长Rl,扇形面积 2 11 22 SRlR. 第六章解析几何 一、平面解析几何基本公式： 1. 两点之间距离公式：设点 1122 (,),(,)A x yB xy， 两圆位置关系有关性质 外离dRr 外切 dRr 两圆的连心线经过切点 相交 RrdRr 两圆的连心线垂直平分公共弦 内切dRr两圆的连心线经过切点 内含0dRr 上海华是学院 20 则 22 2121 ()()ABxxyy. 2. 线段的定比分点坐标公式：若点 111222 (,),(,)P x yP xy， 为实数，且 1 PP 2 PP，则点( , )P x y的坐标为 : 1212 , 11 xxyy xy. 3. 直线的倾斜角与斜率： 倾斜角不是90的直线的倾斜角的正切叫做此直线的 斜率常用k表示，即tank. 过两点 111 (,)P x y、 222 (,)Pxy的直线的斜率公式: 21 21 yy k xx . 4. 两条直线的到角与夹角公式: 若 111 :lyk xb， 222 :lyk xb, 12 1k k 直线 1 l到 2 l的角公式 : 21 21 tan 1 kk k k , 范围为0,. 直线 1 l和 2 l夹角公式 : 21 21 tan| 1 kk k k , 范围为0, 2 上海华是学院 21 5. 点到直线的距离公式：平面内一点 00 (,)P xy到直线 :0lAxByC的距离公式： 00 22 AxByC d AB 两条平行线间的距离公式 112212 :0,:0()lAxByClAxByCCC 之间的距离为: 12 22 CC d AB . 二 、直线方程、两条直线的位置关系、对称 直线方程的五种形式： 两条直线的位置关系: 上海华是学院 22 1. 两条直线的交点: 若直线 1111 :0lA xB yC, 2222 :0lA xB yC相交 1221 ()A BA B，则它们交点坐标为方程组 111 222 0 0 A xB yC A xB yC 的唯一一组实数解. 2. 两条直线的平行和垂直： 斜截式 : 若 111 :lyk xb， 222 :lyk xb 121212 |,llkkbb. 1212 1llk k. 一般式 : 1111 :0lA xB yC, 2222 :0lA xB yC ( 2222 1122 00ABAB且), 12211221 12 12211221 00 | 00 A BA BA BA B ll B CB CACA C 或. （两条直线平行的充要条件） 121212 0llA AB B（两条直线垂直的充要条件） 点、线之间的对称( 重要 ) 上海华是学院 23 三 、圆的方程 圆的标准方程： 222 ()()(0)xaybrr, 称为圆的标准方程,其圆心 坐标为( , )a b, 半径为r. 圆的一般方程：0 22 FEyDxyx （ 22 40DEF）, 其圆心坐标为（ 2 D ， 2 E ） ， 半径为FEDr4 2 122 . 圆的参数方程（用来求最值比较方便） 圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：（为参数） 222 )()(rbyax cos sin xar ybr , 其圆心坐标为( , )a b, 半径为r. 圆与圆的位置关系： 设两圆圆心分别为 1 O、 2 O, 半径分别为 12 ,r r. dOO 21 12 drr外离4 条公切线 . 12 drr外切3 条公切线 . 上海华是学院 24 1212 rrdrr相交2 条公切线 . 12 drr内切1 条公切线 . 12 0drr内含无公切线 . 注意：两圆有交点 1212 rrdrr. 第七章排列组合与概率初步 一、两大计数原理 1. 分类计数原理（加法原理）： 12n Nmmm 2. 分步计数原理（乘法原理）： 12n Nmmm 二、排列数公式（,m nNmn） . )!( ! ) 1()2)(1( mn n mnnnnP m n 1. 规定 0 1, n P0!1. 2.!.123)2)(1(nnnnP n n 上海华是学院 25 3.!(1)!n nnn; !1 !1 (2)!nn nn nn 三、组合数公式:),(nmNmn且 1. (1)(2)(1) ! m m n n m m Pn nnnm C Pm ! !()! n m nm 即 mmm nnm PC P，即排列是先组合再排列. 2组合数的性质: mn n m n CC； 即 xy nn CCxy或xyn. m n C 1 m n C+ 1m n C. 作用 : 恒等变形 , 简化计算 . 规定：1 0 n