随机过程课后习题解答毛用才胡奇英.pdf

1 第一章习题解答第一章习题解答 1 设随机变量 X 服从几何分布，即：(),0,1,2, k P Xkpqk。求 X 的特征函 数，EX 及 DX。其中01,1pqp 是已知参数。 解 0 ( )() jtxjtkk X k ftEeep q 0 () kj t k k pqe = 0 () 1 jtk jt k p pqe qe 又 2 00 () kk kk qq E Xkpqpkqp pp 22 2 ()() () q D XE XE X P （其中 000 (1) nnn nnn nxnxx ） 令 0 ( )(1) n n S xnx 则 1 0 00 0 ( )(1) 1 x x nn kn x St d tntd tx x 2 0 22 0 1 ()( ) (1) 11 (1)1(1) x n n d SxS t dt dxx x nx xxx 同理 2 0000 (1)2 kkkk kkkk k xkxkxx 令 2 0 ( )(1) k k S xkx 则 21 001 0 ( )(1)(1) x kkk kkk S t dtkt dtkxkx ）? 2 2、 （1） 求参数为( , )p b的分布的特征函数，其概率密度函数为 1 ,0 ( )0,0( ) 0,0 p pbx b xex p xbpp x （2） 其期望和方差； （3） 证明对具有相同的参数的 b 的分布，关于参数 p 具有可加性。 解 （1）设 X 服从(,)pb分布，则 1 0 ( ) ( ) p jtxpbx X b ftexedx p 1() 0 () p pjtb x b xedx p 1 0 1 () ()()() (1) pupp pp p beub u jtb xdu jt pbjtbjt b 1 0 () xp pexdx （2） 1 ()(0) X p E Xf jb 2 22 1(1) ()(0) X p p E Xf jb 22 2 ( )()( ) P D XE XE X b （4） 若 ( , ) ii Xp b? 1,2i 则 12 1212 () ( )( )( ) (1) P P XXXX jt ftft ft b 1212 (, )Y XXP P b ? 3 同理可得： ( )() i i P X b ft bjt ? 3、设 X 是一随机变量，( )F x是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量 的特征函数。 （1）(),(0,)YaF Xb ab是常数 ； （2）ln(),()( k ZF XE Zk并求是常数）。 解 （1） 11 ( )( )( )P F xyP xFyF Fyy （01y） 00 ()01 11 y Fyyy y ( )F x在区间0，1上服从均匀分布 ( )F x的特征函数为 1 1 0 0 1 ()(1) jtx jtxjt X e f te dxe jtjt 1 ( )()(1) jbtjbtjta YX ftefatee jat （2） ln( ) ( )() jtzjtF x Z ftE eE e = 1 ln 0 1 jty ed y = 1 0 1 1 jt y dy jt 2 () ( 1)(1) Z f tjjt 23 ( )( 1)( 2)(1) Z ftjjt 4 ( )( 1) () ( 1 ) !(1) kkkk Z ftk jjt ( ) 1 ()(0)( 1)! kkk Z k E Zfk j 4、设 12n XXX，相互独立，且有相同的几何分布，试求 1 n k k X 的分布。 解 1 1 ( )() n k k n k k jtx X ftE e = 1 () k n jtx k E e = 11 n jt k p qe =(1) njtn pqe = 0 () knkjtk n k C pqe 1 () n knk kn k PxnkC pq 5、 试证函数 (1) ( ) (1) jtjt jt ee f t ne 为一特征函数，并求它所对应的随机变量 的分布。 证 （1） 000 (1)1(1) lim( )limlim1 (1)1 jtjntjtjt jtjt ttt eeee f t nene 0000 (1)1(1) lim( )limlimlim1 (1)1 jtjntjt jt jtjt tttt eee f te nene (0)1f 0 lim( )1 t f t ( )f t为连续函数 5 1111 1() () (1) ii kk i k jtjt n nnnn jtjt ikikikjt ikik jt ee ee f tt e n e = 11 1 ()(1) (1) iii kkk i k jtjtjt nn jtjtjt ikjt ik jt eee eee e n e = () 111 1 ik nnn j ttl ik ikl e n = 111 1 i k jlt nnn ik jlt ikl e ne = 1111 1 ik nnnn jltjlt ik ilkl ee n 11 ()0 nn ikik ik f tt 非负定 （2） (1) ( ) (1) jtjnt jt ee f t ne = 2(1) (1)(1) (1) jtjtjtjtntj jt eeeee ne = 1 1 n jtk k e n 1 k P xk n （0,2,kn） 6、证函数 2 1 ( ) 1 f t t 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 解 （1） 11 () nn ikik ik f tt 6 = 22 1111 0 1 ()1 nnnn ikik ikik ik ttM （ 1, max ik i j n Mtt ） 且( )f t连续(0) 1f ( )f t为特征函数 （2） 22 11111 ( ) 11 ()2 11 f t tjtjtjt = (1)(1) 00 1 2 jtxjtx edxedx = 1 2 jtxx edx = 1 2 xjtx eedx 1 ( ) 2 x P xe ? 7、设 12n XXX，相互独立同服从正态分布 2 ( ,)N ，试求 n 维随机向量 12 (,) n XXX的分布， 并求出其均值向量和协方差矩阵， 再求X 1 1 n i i X n 的率密度 函数。 解 12 1 (,)() i n nxi i PxxxPx 2 1 2 2 () 1 exp 2 (2 ) n i i n n xa 又 i X的特征函数为： 2 2 1 2 ( )exp i X ftjatt 12 2 2 1 ,122 11 ( ,)( )exp() n nn XXXniii ii ft ttf tjatt 均值向量为 , , 协方差矩阵为 222 (,)Bdiag 又 7 2 2 1 2 1 ( )( , ,)( )exp n tttt nnnnn X i ftffjatt 8、设 XY 相互独立，且（1）分别具有参数为( , )m p及( , )n p分布； （2）分别服 从参数为 12 (, ),(, )p bp b的 分布。求 X+Y 的分布。 解（1） 0 ( ) k n jtxjtxxxn x Xkn kx ftePeC p q = 0 () n itxxn x n x peC q = 0 () n pnjtxx nq x qeC =(1) pnjtn q qe =() jtn qpe 则 12 ,1, 2 ()() () jtjtmn X Y ft tpeqpeq ( )( )( )() jtm n X YXY ftft ftpeq (, )XYb mn p? （2） 1 12 () 12 ( )(1) ( )(1) (, ) p X pp X Y jt ft b jt ft b XYpp b ? 9、已知随机向量（X、Y）的概率密度函数为 22 1 41 (), 1,1 ( , ) 0, xy xyx y p x y 其他 求其特征函数。 解 12 () 12 ( ,) j t xt y f ttE e 8 12 1 1 ()33 1 4 1 1 (1) jx t y ex yxydy 1 11 33 1 222 10 cos()sin jt x edxt yj x yxyt y dy 12 1 2 1 sinsintt t t 10、已知四维随机向量 1234 (,)XXXX服从正态分布，均值向量为 0，协方差矩阵 为 4 4, () kl BE 1234 求（X X X X ）。 解 14 4 4 14 140 14 ( ,) (,)( ) ( ,) tt f tt E XXj tt 又 1 142 ( ,)expf tttBt 44 1 2 11 exp kl k l kl t t 其中 11121314 21222324 31323334 41424344 B cov(,) klkl XX ( ,1,2,3,4)k l 123413242314 E 1234 （X X X X ）= 11 、 设 123 XXX，和相 互 独 立 ， 且 都 服 从N（0，1）， 试 求 随 机 变 量 112212 YXXYXX和组成的随机向量 12 （Y，Y）的特征函数。 解 12,3 3 ,123 1 ( , , )exp XXXkk k ft t tjt x 33 2 1 2 11 exp kk jt x k kk et 123 ,1234 (,) XXX fuu u u 222 1 12122 exp ()uuuu 12、设 123 XXX，和相互独立，都服正态分布 2 N（0，），试求： 9 （1） 随机向量 123 （X，X ，X ）的特征函数。 （2） 设 112123123, ,SX SXXSXXX， 求随机向量 123 (,)S S S的特征函数。 （3） 1 21232 YXXYXX和组成的随机向量 12 （Y，Y）的特征函数。 解（） 123 222 ,123233123233 1 (, )exp()() 2 XXX fttt tt ttttttt （） 12,3 ,1231 12 23 3 ( , , )exp () S S S ft t tEj t st st s 123123233 exp ()()Ej ttt xtt xt x 123 ,123233 (, ) XXX fttt tt t 222 123233 1 exp()() 2 tttttt （） 1122 12 () ,12 (,) j t yt y YY fttE e 1 112223 exp ()Ejt xttxt x 2222 1 11222 exp()tttt 13、设 123 （X，X ，X ）服从三维正态分布N（0，B），其中协方差矩阵为, ld 3 3 B=（），且 2 112233 .试求 。 解 222222 123 () () () EXXX 222222222426 1231213231 3E X X XE X XX XX XE X 又 1 2 ( )expf ttBt 123 4 42 012 2 2 1 2 2 ttt f b t t 同理可得 2242 1313 ()2E X Xb 2242 2323 ()2E X Xb 22262222 123121312 23 13 ()228E X X Xbbb b b 222222 1231223 13 ()()()8E XXXb b b 14、设 12n XXX，相互独立同服从分布 2 N（0，）。试求 2 1 exp() n ni i YX 的期望。 10 解 2 (0,) k XN? (1,2,)kn 令 12 ( ,) n Xx xx 12 ( , ,) n tt tt 则 22222 1 11 ( )exp(,) exp 22 n Xk k fttdiagtt 2 1 () e x p () n nk k EYEt 2 2 2 2 1 1 2 k k x n x k k edx 1 2 2 2 1 (1) 2 nk yx 2 1 2 2 1 11 (1) 22 k n y k k edy 1 2 2 1 11 (1) 22 n k 2 2 (12) n 15、 设 X Y 相互独立同分布的(0,1)N随机变量， 讨论 22 X UXYV Y 和的独立性。 解 22 1 2 ZXY X Z Y 有 12 22 2 1 2 2 1 2 2 1 1 z z x zxy z x z z y y z 或 12 2 2 1 2 2 1 1 z z x z z y z 则 2 12 2 21 22 222(1) x yy xy x Jz y 又 22 2 1 ( , ) 2 xy X Y Rx ye 2 ( , )x yR 1 12 12 ,12122 2 2 11 ( ,)(0,) 2(1) z Z Z Pz zezzR z 11 1 1 2 1 1 ( ) 2 z Z Pze 1 (0)z 2 2 2 2 11 () 21 Z Pz z 2 zR 1 Z服从指数分布， 2 Z服从柯西分布，且 对 2 1,2 (),z zR有 1212 ,1212 ( ,)( )() Z ZZZ Pz zPzpz 12 ,Z Z 相互独立。 16、设 X Y 相互独立同服从参数为 1 的指数分布的随机变量，讨论 X UXYV XY 和的独立性。 解（1） 0 ( ) 00 x X xe Px x () , 0,0 ( , ) 0 x y X Y xye Px y 其它 (2) 001 0 u U V uvue Pu ? ? -u(1-v)+uv （u,v）=e 其它 (3) 00 ( )( , ) 0 UU V u u P uPu v dv ueu ? 0 0 01 ( ) 101 Vu vv P v ue duv 或 ( , )( )( ) U VUV Pu vP u P v ? ? 对 2 ( , )u vR均成立 ,U V相互独立 17、设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数分别如下，试求)YyE（X （1） 1 ,0,0 ( , ) , 0 x y y xye p x y y 其它 12 （2） 2 ,0 ( , ) ,0 x yxe p x y 其它 证 （1）() X Y E X YyxPx y dx = 0 0 1 1 x y x y y y xedx y y edx y （2） 2 2 1 () x y x y xedx y E X YY edx ? 18、设X、Y是两个相互独立同分布的随机变量，X服从区间0，1上的均匀分 布，Y服从参数为的指数分布。 试求 （1）X与X+Y的联合概率密度；（2）().D X Yy 解 1(0,1) ( ) 0 X x Px 其它 ( ) 0 y Y e P y y0 y0 , 01 ( , ) 0 y X Y xe Px y y0 其它y0 令 UX VXY 则10J xu yvu () , 01 ( , )( ,) 0 v u X X YX Y uvue Pu vPu vuJ ? 其它 （2） 111 3412 ()( )D X YyD x 13 19、设,0, 1, 2, n Xn 是一列随机变量，且 0 121 1 n kkk nn X nnn ，其中 K 是正常 数。试证： （1） 当1 n kX 时，几乎收敛于0。 （2） 当2 n kX 时，均方收敛于 0； （3） 当20 n kX 时，不均方收敛于 。 证 令0X k P 1 k n 2 1 k n 1 k n n X n 0 n k P 2 1 k n 2 k n 2 n X 0 2 n lim01 n n PX (当1k ， 2 lim0 k n n ) n X几乎肯定 收敛于 0 2 22 2 k nn E XXE Xn 当 2 2 2lim lim20 k n nn kE XXn ?时， n X均方收敛于 0 当2k 时， 2 lim 0 n n E XX 即0 n X 不均方收敛于 。 14 20、设,. PPP nnnn Xa YbXYab 试证 证0 ()() nn xyab=()() nn xayb 22 nn xayb 0()() nn Pxyab 0 22 nn P xaP yb ()n P nn xyab 第二章习题解答第二章习题解答 1.设(1,2,)X i 是独立的随机变量列，且有相同的两点分布 11 22 11 ，令 1 (0)0, ( ) n i i YY nX ，试求： （1） 随机过程 ( ),0,1,2,Y n n 的一个样本函数； （2） (1)P Yk及PY(n)=k之值； （3） ( )P Y nk； （4） 均值函数； （5） 协方差函数； 解： （1）当1 i X 时，(1,2,)i ，( )y nn （2） 1 2 1 11 (1) 0 k P ykP Xk 或 其它 12 XX 2 0 -2 k P 1 4 1 2 1 4 15 1 4 1 2 12 1 4 2 0 (2) 2 0 k k p YkP XXk k 其它 当 n 为奇数时 Y （n） n 2n 1 1 2n n k P 0 2 n n C 1 2 n n C 1 2 2 n n n C 1 2 2 n n n C 1 2 n n n C 2 n n n C 当 n 为偶数时 Y （n） n 2n 2 2 2n n k P 0 2 n n C 1 2 n n C 1 2 2 n n n C 1 2 2 n n n C 1 2 n n n C 2 n n n C （） 11 ( )( ) nn ii ii E Y nExE x 而( )0 i E x ( )0E Y n （） 11 ( ), ( ) nn ij ij Cov Y n Y mExx mn若 22 11 nn kk kk ExE xm 若nm，则有CovY(n),Y(m)=n 即有CovY(n),Y(m)=min(n,m) 16 2.设X(t)cossinAtBt，其中 A、B 是相互独立且有相同的 2 (0,)N分布的随机 变量，是常数，(,)t ，试求： （1）X（t）的一个样本函数； （2）X（t）的一维概率密度函数； （3）均值函数和协方差函数。 解： （1）当 A=B=1 时，X(t)cossintt （2） cos ( )(,) sin t X tA B t 1 ( , ) (0,)A BNB 2 1 2 0 0 B ( )X t 2 (0,)N 2 2 2 1 ( )(,) 2 x X pxex （3）( )0E X t cov( ),( )( cossin)( cossin)X s X tEAsBs AtBt 2 cos ()s t 3.设随机过程 1 ( )(cossin),0 n kkkk k X tYtZt t 。 其中 1212 , nn Y YY Z ZZ是相互独 立的随机变量，且, kk Y Z 2 (0,),1,2, k Nkn。 （1）求X(t)的均值函数和相关函数； （2）证明X(t)是正态过程。 解： （1） 1 ( ) ( )cos()sin0 n kkkk k E X tE YtE Zt ( , )( ) X Rs tE X s X t 11 22 1 2 1 (cossin)(cossin) (coscossinsin) cos() nn kkkkkkkk kk n kkkkkk k n k k EYsZsYtZt EYstZst st 17 （2） 121212 ( ),( ),( )( ,) nnn X tX tX tY YY Z ZZA 1212 ( ,) (0, ) nn Y YY Z ZZNB 其中 1 11 21 12 1 11 21 12 coscoscos coscoscos sinsinsin sinsinsin n nnn n n nnn n ttt ttt A ttt ttt ， 222222 1212 (,) kk Bdiag 由 n 维正态分布的线性性质得 12 ( ),( ),( ) n X tX tX t (0,)NABA 因此 X(t)是正态过程。 4.设( ),0W t t 是参数为 2 的 Wiener 过程，求下列过程的均值函数和相关函数： （1） 2 ( )( ),0;X tWt t （2） 1 ( )( ),0X ttWt t （3） 12 ( )(),0X tc W c t t （4）( )( )( ),01X tW ttW tt 解： （1） 22 ( )( )( ) X mtE X tE Wtt 22222 ( , )( )( )( )( )2 ( )( ) X Rs tE Ws WtE WsE WtE W s W t 442 2min ( , )sts t （2） 1 ( )( )0 X mtE tW t 1111 ( , )( )( )( )( ) X Rs tE sWtWstE WW stst 2 2 1 1 min( , ) min( , ) st s t s t （3） 1212 ( )( )()()0 X mtE X tE c W c tc E W c t 1212 ( , )( )( )()() X Rs tE X sX sE c W c sc W c t 222 222 2 ()() min( , ) min( , ) c E W c s W c t ccs t s t 18 （4）( )( )( )( )0 X mtE X tE W ttW t ( , )( )( ) X Rs tE X s X t 2 ( )( )( )( ) (1)(1)( )( ) (1)(1)min( , ) E W ssW sW ttW t st E W s W t sts t 5.设到达某商店的顾客组成强度为的 Poisson 流， 每个顾客购买商品的概率为 p,且与其他顾客是否购买商品无关，若 ( ),0Y t t 是购买商品的顾客流，证明 ( ),0Y t t 是强度为p的 Poisson 流。 证：令 n X表示“第n个顾客购买商品” ，则(1),(0)1 nn P Xp P Xpq 且 ( ) 1 ( ) N t n n Y tX 。其中( )N t为0, t时间段内到达商店的顾客人数，则( )Y t的特征函数 为 ( )( ) exp( ) Y t fuEjuY t ( ) 1 ( ) 01 0 (1) exp exp( ) ( ) () ! ju N t n n N t k nk n junt n p t e EjuX EjuXN tnP N tn t peqe n e ( ),0Y t t 是强度为p的 Poisson 流。 6.在题 5 中，进一步设 ( ),0Z t t 是不购买商品的顾客流，试证明 ( ),0Y t t 与 ( ),0Z t t 是强度分别为p和(1)p的相互独立的 Poisson 流。 证： （1）( )( )( )N tZ tY t ( ) ( ) 1 ( )exp() N t Z ti i fuEju NX 19 01 0 () (1)(1) ( ) exp() ! 1 () ! ju ju n n t i ni n jujut n t p qet tp e t Eju nXe n tepeq e n e e () ex p ( ) N fuEju Nt 0 (1) () ! ju k jukt k t e t ee k e ( )( )( ) NYZ fufufu ( ),0Z t t 与 ( ),0Y t t 独立且强度为(1)p的 Poisson 流。 7.设 1 ( ),0N t t 和 2 ( ),0N t t 分别是强度为 1 和 2 的独立 Poisson 流。试证明： （1） 12 ( )( ),0N tN t t是强度为 12 的 Poisson 流； （2）在 1 ( ),0N t t 的任一到达时间间隔内， 2 ( ),0N t t 恰有 k 个时间发生的概率 为 12 1212 .() ,0,1,2, k k pk 证： （1） 12 12 () ( )( )( ) ju NN N tNt ftE e 12 12 12 (1)(1) ()(1) juju ju juNjuN ee e E eE e ee e ( ),0N t t 是强度为 12 的 Poisson 流。 （2）令 T 表示过程 12 ( )( ),0N tN t t任两质点到达的时间间隔。A 表示 2 ( ),0N t t 恰有 1 个事件发生在 1 ( ),0N t t 的任一到达时间间隔内，则 20 21 2121 0 ( ) xy x P AP TTedxedy 8.设 ( ),0N t t 是 Poisson 过程， n 和 n T分别是 ( ),0N t t 的第 n 个事件的到达时 间和点间间隔。试证明： （1）()(),1,2, nn EnE Tn； （2）()(),1,2, nn DnD Tn。 证： 22 11 (),(),(),() nnnn nn E TED TD ()(),1,2, nn EnE Tn ()(),1,2, nn DnD Tn 9.设某电报局接收的电报数( )N t组成 Poisson 流， 平均每小时接到 3 次电报， 求： （1）一上午（8 点到 12 点）没有接到电报的概率； （2）下午第一个电报的到达时间的分布。 解： 10.设 1 ( ),0N t t 和 2 ( ),0N t t 分别是强度为 1 和 2 的独立 Poisson 过程，令 12 ( )( )( ),0X tN tN t t，求( ),0X t t 的均值函数与相关函数。 解： 121212 ( )( )( )( )( )()E X tE N tN tE N tE N tt 1212 ( , )( )( )( )( )( )( ) X Rs tE X s X tEN sNsN tN t 11122122 22 111222 2 1212 ( )( )( )( )( )( )( )( ) min( , )2min( , ) ()()min( , ) E N s N tN s N tNs N tNs N t sts tststs t sts t 11.设( ),0X t t 是强度为的 Poisson 过程，T 是服从参数为的指数分布的随 机变量，且与( )X t独立，求0, T内事件数 N 的分布律。 解：由0, T内 N 的分布律为： () ( )( ) ! k x T x P N Tkepx dx k 21 () 0 1 1 ! ! !() () k kx k k k k x edx k k k 0,1k 第三章习题解答第三章习题解答 1证明 Poisson 随机变量序列的均方极限是 Poisson 随机变量。 证： 令 , n X nN 是Poisson随机变量序列， 则对nN 0,1 ! n k n n p Xkek k 又 22 22 lim lim()() n nn E XE X ，其中 X 为 Poisson 随机变量。 2设 ,1,2 n X n，是独立同分布的随机变量序列，均值为，方差为 1，定义 1 1 n ni i YX n ，证明l.i.m n n X 。 证： 22 11 11 () nn kkk kk XXE X nn 2 1 2 11 2 11 2 1 1 () 1 ()() 1 cov(,) 1 ()() 1 0() n kk k nn kkll kl nn kl kl n kn k EXE X n EXE XXE X n XX n D XX n n n 的独立性 l.i.m n n Y 。 3研究下列随机过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。 （1）( )X tAtB，其中 A、B 是相互独立的二阶矩随机变量，均值为 a、b，方 差为 22 12 、； （2） 2 ( )X tAtBtC，其中 A、B、C 是相互独立的二阶矩随机变量，均值为 a、 22 b、c，方差为 222 123 、； （3） ( ),N t to是 Poisson 过程； （4）( ),W t to是 Wiener 过程。 解： （1）( )E X tE AtBtab ( , )( )( )()() X Rs tE X s X tEAsBAtB 2 2222 12 ()()()() () stE AsE ABtE ABE BB stasabtabb 是关于 s, t 的多项式函数 存在任意阶的偏导数 过程是均方连续，均方可导，均方可积。 (2) 22 ( )E X TE AtBtCatbtc 22 2 22222222222 123 ( , )( )( ) ()() ()() X Rs tE X s X t EAsBsCAtBtC s tas tabs acst abst bt actbcc （3）由 2 ( , )min( , ) N Rs tsts t知 Poisson 过程 ( ),N t to是均方连续，均方可 积的。 22 2 2 0 0 2 0 (, )( , )()() limlim (, )( , ) lim NN s s NN s Rts tRt tts tttt t ss Rts tRt t t s ( , ) N Rt t不存在，即均方不可导。 （4） 由 2 ( , )min( , ) W Rs ts t知 Wiener 过程( ),W t to是均方连续， 均方可积的。 0 0 2 0 (, )( , )0 limlim0 (, )( , ) lim WW t t WW t Rtt tRt t tt Rtt tRt t t ( , ) W Rt t不存在，即均方不可导。 23 4试研究上题中过程的均方可导性，当均方可导时，试求均方导数过程的 均值函数和相关函数。 解： （1）均方可导 ( ) X mta 22 1 ( , )( , ) st X Rs tRs ta 又 2222 12 ( , )()() X Rs tstaab stb 0 0 2222 12 0 0 2222 12 2222 12 1 1 lim(,)(, )( ,)( , ) 1 lim()()()()() () ()() ()()() ( XXXX t s t s Rss ttRss tRs ttRs t t s ss ttaab ss ttb t s ss taab sstb s ttaab sttb st 2222 2 2222 11 0 0 )() 1 lim() t s aab stb as ta t s T X均方可微。 （2）均方可导，且 22222 12 ( )( )2 ( , )( , )()22()20 X tss X E X tmtatb Rs tR s tastabsabstbsacbc 2222 12 2222 12 4()220 4()2() astabsabtb astab stb （3）Poisson 过程 ( ),N t to均方不可导。 （4）Wiener 过程( ),W t to均方不可导。 5求下列随机过程的均值函数和相关函数，从而判断其均方连续性和均方可微 性。 （1）( )cos()X tt，其中是常数，服从0,2 上的均匀分布； （2） 1 ( )( ),0X ttWt t ，其中( )W t参数为 1 的 Wiener 过程； 24 （3） 2 ( )( ),0X tWt t，其中( )W t参数为 2 的 Wiener 过程。 解： （1） 2 0 2 11 ( )cos()sin()0 022 E X ttdt 。 ( , )( )( )cos()cos() X Rs tE X s X tEst 2 0 1 cos()2 )cos() ) 4 1 cos() 2 tstsd ts （2） 1 ( )( )0E X tE tW t 当st， 111111 ( , )( )( )( )( )( )( ) X Rs tE tsWWstE WWWW ststtt 2 11 1 ( )min( , )stE Wsts ts t ( , )min( , )min( , ) X Rs ts ts t 均方连续，但均方不可微，均方可积。 （3） 22 ( )( )E X tE Wtt 4 22 4 (2 ) ( , )( )( ) (2 ) X s ts Rs tE Ws Wt t st s st st 均方连续，但均方不可微，均方可积。 6均值函数为( )5sin X mtt、相关函数为 0.5()2 ( , )3 t s X Rs te 的随机过程( )X t输入 微分电路， 该电路输出随机过程 ( )( )Y tX t， 试求( )Y t的均值函数和相关函数、( )X t 和( )Y t的互相关函数。 解： ( )( )( )(5sin )5cos t X E Y tE X tmttt ( , ) ( ) ( )( )( ) Y Rs tE Y s Y tE X s X t 22 2 0.5()20.5() ( , )(3()31 () t st s Xt Rs tetstse s t 2 0.5() ( , )( ) ( )(