热力学统计物理学答案第七章.pdf

第七章第七章第七章第七章 玻耳兹曼统计玻耳兹曼统计玻耳兹曼统计玻耳兹曼统计 习题习题习题习题7.1 根据公式证明，对于非相对论粒子： = l l l V aP ，=0，1，2，)() 2 ( 2 1 2 222 2 2 zyx nnn Lmm p s+= zyx nnn, 有,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。 V U p 3 2 = 证证证证：= = l l l V aP + )() 2 ( 2 1 222 2 zyx l l nnn LmV a = + )( )2( 2 222 2 3 zyx l l nnn Lm L V a 其中; V a u ll =V 3 L =p + )( )2( 2 1 222 2 3 2 zyx l l nnn V mV a (对同一 ,)l 222 zyx nnn+ = m a l l 2 1 2 )2()( 222 zyx nnn+) 3 2 ( 3 5 V = m a l l 2 1 2 222 2 )()2( L nnn zyx + ) 3 2 ( 3 5 3 2 VV V U 3 2 习题习题习题习题7.2 试根据公式证明，对于极端相对论粒子： = l l l V aP ，=0，1，2， 2 1 222 )( 2 zyx nnn L ccp+= zyx nnn, 有,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。 V U p 3 1 = 证证证证：； = l l l V aP 课后答案网 对极端相对论粒子 2 1 222 )( 2 zyx nnn L ccp+= 类似得 3 1 2 1 2 )( )2( = Vn V aP i l l = V U VVa l ll 3 1 ) 3 1 ( 3 4 3 1 = 习题习题习题习题7.3 当选择不同的能量零点时，粒子第 个能级的能量可以取为，以l l l 或 表 示二者之差。试证明相应的配分函数存在以下关系，并= l l 11 ZeZ = 讨论由 配分函数Z1和Z*1求得的热力学函数有何差别。 证证证证： 配分函数 = l eZ l 1 () 11 1 * ZeeeZ ll l+ = 以内能 U 为例，对Z1: 1 lnZNU = 对Z1*:()UNeNZNU Z += = = 1 lnln 1 * 习题习题习题习题7.4 试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为 = s PsPsNkSln 式中 Ps是总粒子处于量子态 s的概率，,对粒子的所有量 1 Z e N e P ss s = s 子态求和。 证证证证法一：出现某状态几率为Ps s 设 S1,S2,Sk状态对应的能级； s 设 Sk+1,Sk+2,Sw状态对应的能级； s 类似； 则出现某微观状态的几率可作如下计算：根据玻尔兹曼统计 ； N e P s S = 显然NPs代表粒子处于某量子态 S 下的几率，。于是 S eNPS = 课后答案网 代表处于 S 状态下的粒子数。例如，对于能级 S e s = K S S SS e 1 个粒子在上的 K 个微观状态的概率为： s ( ) () = = k S SS s e SS PPSP 1 粒子数 类似写出：() = = k S SS s e S PSP 1 等等。 于是 N 个粒子出现某一微观状态的概率。 ( )= = S SS SPP = k S SS s e S P 1 = k S SS s e S P 1 一微观状态数， （基于等概率原理） P 1 = =lnkS = + = = W S K SS S k S SS S e S e S PP kS 11 1 ln k=()() + + KW K SS S S S S S S PePe 11 lnln 将带入； S eNPS = S S S PPkNSln = 习题习题习题习题7.5 固体含有 A、B 两种原子。试证明由于原子在晶体格点的随机分布引起 的混 合熵为其中 N 是总原子数，xkS= )1ln()1(ln !)1(! ! xxxxN xNN N x += 是 A 原子的百分比， （1-x ）是 B 原子的百分比。注意 x1，上式给出的熵为正值。 证证证证： 显然 !)1()!( ! ! ! 21 xNNx N nn N = S=-N=；kk)1ln()1(lnxxxx+ )1( )1(ln xx xxNk 由于1， 故；原题得证。 )1( )1( xx xx 0S 习题习题习题习题7.6 晶体含有 N 个原子。原子在晶体中的正常位置如图中 O 所示。当原子 课后答案网 离开正 常位置而占据图中位置时，晶体中就出现缺位和填隙原子，晶体这种缺陷 叫做弗伦克缺陷。 (1)假设正常位置和填隙位置数都是 N，试证明由于在晶体中形成 n 个缺位和 填隙原子而具有的熵等于； )!( ! ! ln2 nNn N kS = (2)设原子在填隙位置和正常位置的能量差为u。试由自由能F=nu-Ts为极小 值证明，温度为T时，缺位和填隙原子数为n(设nN) kT u Ne 2 证证证证：(1)= = )!( ! ! )!( ! ! lnln nNn N nNn N kkS )!( ! ! ln2 nNn N k (2)略，参见 ex7.7 习题习题习题习题7.7 如果原子脱离晶体内部的正常位置而占据表面上的正常位置，构成新 的一 层，晶体将出现缺位，晶体的这种缺陷称为肖脱基缺陷。以N表示晶体中的原 子 数，n 表示晶体中的缺位数。如果忽略晶体中体积的变化，试由自由能为极 小的条件证明，温度为T时n(设nN)其中W为原子在表面位置与 kT W Ne 正常位置的能量差。 证证证证：,设原子皆未跳出到表面时,U=0,则形成 n 个空位需要能量TSUF= ；,而在N个格点上形成 n 个空位，其可能的状态数nWU=lnks !)!( ! nnN N = ;利用!ln)!ln(!lnlnnnNN=)1(ln!lnmmm )1(ln1)ln()()1!(lnln=nnnNnNNN ) 1(ln1)ln() 1(ln+=nkTnnNnNkTNkTNnWF 利用自由能判据0= n F ) 1 ()1(ln) 1 )(1)1ln(0 n kTnnkTn nN nNkTnkTW+ += 0ln)ln(=+nkTnNkTW ；。,)( kT W enNn =Nn kT W Nen = 习题习题习题习题7.8 气体以恒定的速度沿方向作整体运动。试证明，在平衡状态下分子动 量的最 概然分布为 课后答案网 e 2 0 22 )( 2 pppp m xyx += 3 L dpdpVdp zyx 证证证证： 设能级这样构成：同一中，P 相同，而 P 与 P 在变化，于是有： l l zxy )3(0 )2(0 )1(0 = = = lzlz llll ll apapp aaE aaN () = 0 papp lz 参照教材玻耳兹曼分布证明；有 -,ENln z p 其中）（ 2 22 2 1 Z yxl ppp m += 由(1)知: Ndpdpdpe h V zyx pz = 3 将代入 并配方得: l zyx pp m dpdpdpe h Vzzyx +) 2 ()( 3 2 =Ndpdpdpe h V zyx m p m m zyx = + 2 )( 2 )() 2 2 ( 3 其中 m p m p y y x x 2 , 2 2 2 = 对比 page238 式（7.2.4）得： 2 3 2 2 3 2 ) 2 ( ) 2 () 2 ( 2 mkT h n mkT h V N e m = 整个体积内，分布在内分子 zzzyyyxxx dpppdpppdppp+, 数为： zyxzyxzyx m p m dpdpdppppfdpdpdpe mkT N zyx = + ),() 2 1 ( 2 )( 2 )( 2 3 由条件（3）知 = 0 ),(Npdpdpdppppfp zyxzyxz 计算得 课后答案网 z m p m zyx dpe mm pdpedpe mkT z y x 2 )( 2 2 3 )() 2 1 ( + + = z m p m yx dpe m dpdpe mkT z yx + + 2 )( 2 )( 2 3 )() 2 1 ( = 0 p N dpdpfdp m zyx = 0 p m = 代入得出分布： 3 )( 2 2 0 22“ h dpdpVdp e zyx pppp m zyx + 其中, 2 2 m = 0 p m = 习题习题习题习题7.9(略)结合（7.8）求平均值。 习题习题习题习题07.10 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动， 可以看作二维理想气 体。 试写出在二维理想中分子的速度分布和速率分布。并求平均速率 ，最概然速v 率和方均根速率。 m v s v 解解解解： 对于二维情形，)( 2 1 22 yx pp m += （准）连续能量下的简并度：面积s h dpsdp yx ; 2 玻耳兹曼分布：；利用 yx pp kTm dpdpe h syx )( 2 1 2 22+ kTm N e h s N m e h s Ndpdpe h s yx pp m yx 2 2 4 22 )( 2 2 22 = + + yx vv kT m dvdve kT m N y x )( 2 22 ) 2 (: + 速度分布率 进而推出速率分布：vdve kT Nm kT mv 2 2 习题习题习题习题17.11试根据麦克斯韦速度分布率导出两分子的相对速度和相对 12 vvvr = 速率的概率分布，并求相对速率的平均值。 rr vv = r v 课后答案网 解解解解：两分子的相对速度在内的几率 r v rzryrx dvdvdv 2 1 22 111 )()()()( 2 3 211 )( ) 2 ( )()()( 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 + = = = kT m e dvdvdve kT m vVvVvdvV rx rzzryyrxxzyx v kT m zyx vvvvvvvvv kT m rr 同理可求得分量为和 zy vv 11 , 2 1 22 )( 2 kT m e ry v kT m 2 1 22 )( 2 kT m e r v kT m 222 3 2 3 3 22 22 )( 8 1 )() 2 ()( rr v kT mv kT m rr e kT m kT m kT m evV = 引进，速度分布变为 2 m = rr v kT m dvve kT r 2 22 3 2 ) 2 ( 利用球极坐标系可求得速率分布为： rr v kT m dvve kT r 2 22 3 2 ) 2 (4 相对速率平均值v kT dvvev kT v rr v kT m rr r 2 8 ) 2 (4 2 2 0 2 3 2 = 习题习题习题习题27.12 试根据麦氏速度分布率证明，速度和平均动量的涨落为 2 22 )( 2 3 )(), 8 3()(kTee m kT vv= 解解解解：；（略） 2 2 2 22 )2()(vvvvvvvv+=+= 2 22 )(= 习题习题习题习题37.13 试证明，单位时间内碰到单位面积上，速率介于与之间的分vdvv+ 子数为：dvve kT m nd kT mv 3 2 2/3 2 ) 2 ( = 证证证证： 在斜圆柱体内,分速度为的方向的分子数为: z vv dtdsvVVvvvnfdn zzyx =;),( * 圆柱 dsdtdvdvdvve kT m ndsdtnfvdn zyxz vvv kT m z zyx )( 2 2 / 3 * 222 ) 2 ( + = 课后答案网 对于 :0,积分得从对从+ zyx vvv 时间碰撞到面积上的分子数（）dtdsdvvv+ + + + + = 0 )( 2 23* 222 ) 2 (dsdtdvdvdvve kT m nn zyxz vvv kT m zyx =dsdtddvdve kT m n kT mv cos) 2 ( 2/ 0 3 2 2 0 2 3 2 得到：若只计算介于分子数则为： （只对积分）dvvv+, dvve kT m nn v kT m 3 2 2/3* 2 )2/1(2) 2 ( = dvve Tk m n kT mv 3 2 2/3 2 ) 2 ( = 习题习题习题习题47.14 分子从器壁小孔射出，求在射出的分子束中，分子平均速度和方均 根速度。 解解解解：； 变量代换 dvve kT m n dvve kT m n v kT nv v kT m 3 0 2 2/3 0 4 2 2/3 2 2 ) 2 ( ) 2 ( + + = =dx m kT dvxn kT m2 ; 2 0 45/22/3 2 ) 2 () 2 (dxxe m kT kT m n x ;)8/3() 2 () 2 ( 2/52/3 m kT kT m n= = 0 322/33 0 2 2/3 2 2 ) 2 () 2 () 2 (dxxe m Tk kT m ndvve kT m n x Tk mv =)2/1() 2 () 2 ( 22/3 m kT kT m n 略类似求,; 8 9 2/1 ) 2 ()8/3( 2/1 s v m kT m kT v = 习题习题习题习题57.15 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为： 其中是常数，求粒子的平均能量。bxaxppp m zyx += 2222 )( 2 1 ba, 解解解解： a b a b a bx xa m p 4 ) 4 ( 2 2 2 2 2 2 += 课后答案网 +=),(; 4 ) 2 ()( 2 1 2 2222 据均分律四个平方项 a b a b xappp m zyx a b kT a b Tk 4 2 4 )2/1(*4 22 = 习题习题习题习题67.16 气柱的高度为，截面为，在重力场中。试求解此气柱的内能和热HS 容量。 解解解解：配分函数 + = zyx mgzppp m dpdpdxdydzdpe h Z zyx )( 2 3 222 1 dzedpe h S H mgz x p m x = 0 3 2 3 2 mgH e mg m h S =1 1 )2( 2/52/3 3 设； = mg m h S A 1 )2( 2/3 3 mgHeAZ +=1lnln)2/5(lnln 1 )2/5( 1 1 )2/5( ln / += += kTmgHmgH mgH e mgH kT e mgHeZ )()(; 1 )2/5( ln / 0 略 Vv TkmgH T U C e NmgH NkT Z NUU = += = 习题习题习题习题77.17 试求双原子理想气体的振动熵。 解解解解： 振动配分函数 = e e Z V 1 2/ 1 代入式（7.6.1）)1ln(2/ln 1 =eZ = e eZ 1 2/ ln 1 代入熵计算式。 VV kTNkNkS=+=其中)./ln( 习题习题习题习题87.18 对于双原子分子，常温下远大于转动的能级间距。试求双原子分kT 子理 想气体的转动熵。 解解解解：由