面试真题解析数学试讲答辩.pdf

国 家 教 师 资 格 考 试 面 试 真 题 解 析 （数学试讲与答辩） 粉 笔 出 品 粉笔教师 编著 1 目 录 第一部分 试讲真题解析 第一章 数与代数 3 异分母分数加法简案 4 异分母分数加法详案 7 函数简案 15 函数详案 17 奇函数简案 22 奇函数详案 25 第二章 综合实践 31 植树问题简案 32 植树问题详案 35 第三章 图形与几何 39 三角形的面积简案 41 三角形的面积详案 43 平行四边形的性质简案 48 平行四边形的性质详案 50 2 圆的标准方程简案 55 圆的标准方程详案 58 第四章 统计与概率 62 平均数简案 64 平均数详案 67 加权平均数简案 72 加权平均数详案 74 古典概型简案 81 古典概型详案 83 第二部分 答辩专业知识真题 第一章 小学数学 91 第二章 初中数学 95 第三章 高中数学 102 第一部分 试讲真题解析 第一部分 试讲真题解析 3 第一章 数与代数 例一 1. 题目： 异分母分数加法 （小学）2015 年 12 月 2. 内容： 面试真题解析（数学试讲与答辩） 4 3. 基本要求： （1）如果教学期间需要其他辅助教学工具，进行演示即可； （2）教学中注意师生间的交流互动，有适当的提问环节； （3）要求配合教学内容有适当的板书设计； （4）请在 10 分钟内完成试讲内容。 异分母分数加法简案 一、教学目标 | 知识与技能目标 | 学生能够通过探索而理解异分母分数加法的计算方法，进而进一步理解分数加法 的算理。 | 过程与方法目标 | 学生通过小组合作交流、讨论，体会异分母分数加法在生活中的运用，能解决一 些简单数学问题，进而提高理解能力、数学运算能力及解决问题的能力。 第一部分 试讲真题解析 5 | 情感态度与价值观目标 | 通过本节课的学习，学生的数学学习兴趣得以提高，学生的合作与探索意识得以 培养，能够进一步体会数学来源于生活并服务于生活的特点。 二、教学重难点 | 教学重点 | 掌握异分母分数加法的计算方法，理解其中蕴含的算理。 | 教学难点 | 理解异分母分数加法为什么要先进行分母通分的道理。 三、教学方法 讲授法、提问法、讨论法。 四、教学过程 （一）创设情境，激情导入 教师出示情境图 1，复习同分母分数加法的计算方法。 教师出示情境图 2，通过提问，引导学生思考后列出算式： 31 104 += ，进一步 引出本节课课题异分母分数加法。 （二）探究新知 1. 交流讨论，探究方法 将全班同学分成三个小组，给大家五分钟的时间思考、讨论。讨论结束后，找同 学代表展示他们的讨论结果。小组交流讨论结束后，找同学代表到黑板进行板书。 生： 316511 104202020 +=+= 2. 计算结果，总结算法 面试真题解析（数学试讲与答辩） 6 教师询问学生计算方法，其他同学补充后，教师进一步补充并进行评价，最后由 教师做整体总结。 （三）巩固练习 为了使学生对本节课的知识有更明确的梳理和掌握，可以通过不同的练习来进行 巩固。做一做 P12 的第一题：让学生独立去做，然后交流是如何计算的，以便学生进 一步明确笔算加法算理。 第二题： 以实际应用问题为例，加深学生对加法计算应用于解决实际问题的理解。 （四）课堂小结 教师引导学生对本节课所学知识进行小结，学生畅谈本节课的收获，教师给予点 评和补充。 （五）布置作业 学生回家复习本节课所学知识，并完成剩余的课后习题，搜集身边见到的能用本 节课所学知识解决的一些日常生活问题，以待下节课分享、交流。 五、板书设计 异分母分数加法 36 1020 = 练习： 5115823 83242424 +=+= 15 420 = 13235 48888 +=+= 316511 104202020 +=+= 第一部分 试讲真题解析 7 异分母分数加法详案 一、教学目标 | 知识与技能目标 | 学生能够通过探索而理解异分母分数加法的计算方法，进一步理解分数加法的 算理。 | 过程与方法目标 | 学生通过小组合作交流、讨论，体会异分母分数加法在生活中的运用，能解决一 些简单数学问题，进而提高理解能力、数学运算能力及解决问题的能力。 | 情感态度与价值观目标 | 通过本节课的学习，学生的数学学习兴趣得以提高，学生的合作与探索意识得以 培养，能够进一步体会数学来源于生活并服务于生活的特点。 二、教学重难点 | 教学重点 | 掌握异分母分数加法的计算方法，理解其中蕴含的算理。 | 教学难点 | 理解异分母分数加法为什么要先进行分母通分的道理。 三、教学方法 讲授法、提问法、讨论法。 面试真题解析（数学试讲与答辩） 8 四、教学过程 （一）创设情境，激情导入 师：同学们，良好的生活环境有助于我们的健康成长，所以同学们要养成爱护环 境、保护环境的好习惯。在上课前呢，老师先请大家观察一幅图片，并思考老师提出 的问题。首先，来看情境图 1：保洁阿姨今天打扫了很多生活垃圾，其中固体垃圾占 2 5 ，液体垃圾占 2 5 ，其他垃圾占 1 5 ，那么，同学们，固体垃圾和液体垃圾一共占总垃 圾的多少呢？ 生： 2 5 + 2 5 = 4 5 。 （通过教师的提问，学生一起列式并给出计算结果） 师：非常棒！看来大家对上节课我们学习的同分母分数的加法掌握得很准确，而 且，老师发现大家的计算速度也是相当快，老师非常高兴，在这里给大家一个小掌声。 那么我们继续来看下一幅图片（课件出示课本例 1 的生活垃圾分布图） 。 简单向学生介绍什么是生活垃圾，教育学生要养成爱生活、讲卫生、保护环境的 好习惯。并进一步向学生提出问题：纸张和废金属等是生活垃圾中回收的主要对象， 它们一共占生活垃圾的几分之几？ 通过提问，引导学生思考后列出算式： 31 104 += 。 师：观察这个算式，我们又该如何计算呢？ 生：摇头。 师：看大家都在摇头，没关系，学习这节课的知识后，这个问题就迎刃而解了。 进一步引出本节课课题异分母分数的加法。 （二）探究新知 1. 交流讨论，探究方法 老师向学生进行引导式提问：你能用学习过的知识计算上面的算式吗？ 第一部分 试讲真题解析 9 生 1： 3 10 和 1 4 的分母不相同，也就是它们的分数单位不相同，不能够直接使分 子相加。 老师继续引导提问：你能想出解决这个问题的办法吗？ 生 2：把它们转化成同分母后就可以利用同分母分数相加的方法进行计算了。 师：同学们分析得有道理，那么该如何进行转化呢？下面我将全班同学分成三个 小组，给大家五分钟的时间思考、讨论，讨论结束后，找同学代表展示你们的讨论结 果。讨论之前老师先给大家一个小提示，之前我们学习了通分，好的，就提示到 这里，现在开始讨论吧。 （同学们利用桌上已有的圆形纸片，进行折一折、涂一涂，小组内交流讨论并探 究算理） 小组交流讨论结束后，找同学代表到黑板进行板书。 生 3： 316511 104202020 +=+=。 2. 计算结果，总结算法 师：大家同意这位同学的计算结果吗？结果相同的请举手。 生：都举手。 师：你能具体说说为什么这么计算吗？ 生 3：我是先利用之前的通分，就是找分母的最小公倍数，10 和 4 的最小公倍数 是 20，然后把分数化成分母都是 20 的分数后，再进行分子相加。 师：跟她想法一样的同学请举手。啊？都一样啊，非常不错，理解得很到位，计 算过程也十分准确，请回到座位上。 师：在刚刚大家讨论、计算的过程中，我还看到有的同学是通过涂一涂、数一数 的方式也得到了最后的正确结果，但我发现，虽然那样的过程有助于我们对计算方法 的理解，但比较浪费时间，计算得也比较慢，所以大家要掌握这种通过通分进行异分 母分数加法的计算方法。 面试真题解析（数学试讲与答辩） 10 师：下面再找一位同学起来重新说一下刚刚这道题的计算方法。 生 4：先利用之前的通分，就是找分母的最小公倍数，10 和 4 的最小公倍数是 20，然后把分数化成分母都是 20 的分数后，再进行分子相加。 师：最后，老师再跟大家一起来总结下，由于 3 10 和 1 4 的分母不相同，也就是它 们的分数单位不相同，不能够直接使分子相加。因此，先利用之前的通分，就是找分 母的最小公倍数，10 和 4 的最小公倍数是 20，然后把分数化成分母都是 20 的分数， 再进行分子相加。也就是异分母分数相加时，先对分母进行通分再相加。 （三）巩固练习 为了使学生对本节课的知识有更明确的梳理和掌握，可以通过不同的练习来进行 巩固，做一做 P12 的第一题：让学生独立去做，然后交流是如何计算的，以便学生进 一步明确笔算加法算理。 第二题： 以实际应用问题为例，加深学生对加法计算在解决实际问题中应用的理解。 （四）课堂小结 教师引导学生对本节课所学知识进行小结，学生畅谈本节课的收获，教师给予点 评和补充。 （五）布置作业 学生回家复习本节课所学知识，完成剩余的课后习题，并搜集身边见到的能用本 节课所学知识解决的一些日常生活问题，在下节课进行分享交流。 第一部分 试讲真题解析 11 五、板书设计 异分母分数加法 36 1020 = 练习： 5115823 83242424 +=+= 15 420 = 13235 48888 +=+= 316511 104202020 +=+= 面试真题解析（数学试讲与答辩） 12 例二 1. 题目： 函数 （初中）2016 年 5 月 2. 内容： 第一部分 试讲真题解析 13 面试真题解析（数学试讲与答辩） 14 3. 基本要求： （1）如果教学期间需要其他辅助教学工具，进行演示即可； （2）教学中注意师生间的交流互动，有适当的提问环节； （3）要求配合教学内容有适当的板书设计； （4）请在 10 分钟内完成试讲内容。 第一部分 试讲真题解析 15 函数简案 一、教学目标 | 知识与技能目标 | 1. 说出一些生活实例中的常量和变量； 2. 掌握函数概念； 3. 理解自变量与函数值的对应关系。 | 过程与方法目标 | 通过分析生活实例与小组讨论等活动，引导学生参与到变量的发现和函数概念形 成的过程中，提高学生发现问题和分析问题的能力。 | 情感态度与价值观目标 | 1. 体会数学的应用价值； 2. 体验发现、创造数学知识的乐趣，提高参与数学活动的热情，增强学习数学的 自信心。 二、教学重难点 | 重点 | 1. 理解函数概念； 2. 把握常量与变量的区别与联系。 | 难点 | 函数概念的形成过程。 三、教学方法 启发诱导法、讲练结合法、创设情境法。 面试真题解析（数学试讲与答辩） 16 四、教学过程 （一）视频导入 教师播放柯南破案视频，提出问题，导入新课。 （二）常量与变量的探究 教师通过大屏幕播放生活情境问题，并提出问题：同学们，通过思考这些问题， 你们发现了什么？教师引导学生建立常量和变量的概念，并让学生指出实例中的常量 和变量，最后引导学生自己举例。 （三）函数的概念 教师引导学生回到课初展示的四个问题，并提出新的问题。最后师生共同得出相 应结论。 教师引导学生观察体检时的心电图和我国人口数统计表。 提出问题，并让学生观察、思考得出答案。教师顺势讲解函数的概念。 出示反例，让学生通过对函数的理解得出：一对多的关系不是函数关系，函数关 系必须是单值对应。 （四）总结提高 为了完善学生已有的知识结构，教师提出问题：你们学到了什么？ 生：学习了常量与变量的概念，函数的定义。 五、板书设计 函数 x 是自变量，y 是 x 的函数 函数 一一对应关系 第一部分 试讲真题解析 17 函数详案 一、教学目标 | 知识与技能目标 | 1. 说出一些生活实例中的常量、变量； 2. 掌握函数概念； 3. 理解自变量与函数值的对应关系。 | 过程与方法目标 | 通过分析生活实例、小组讨论等活动，引导学生参与到变量的发现和函数概念形 成的过程中，提高学生发现问题和分析问题的能力。 | 情感态度与价值观目标 | 1. 体会数学的应用价值； 2. 体验发现、创造数学知识的乐趣，提高学生参与数学活动的热情，增强学生学 习数学的自信心。 二、教学重难点 | 重点 | 1. 理解函数概念； 2. 把握常量与变量的区别与联系。 | 难点 | 函数概念的形成过程。 三、教学方法 启发诱导法、讲练结合法、创设情境法。 面试真题解析（数学试讲与答辩） 18 四、教学过程 （一）视频导入 教师从学生感兴趣的动漫入手，播放柯南破案视频，提出问题：柯南能够根据案 发现场的脚印，估计嫌疑人的身高，大家知道其中的道理吗？导入新课。 （二）常量与变量的探究 教师通过大屏幕播放生活情境问题： （1）汽车行驶速度为 60 km / h，路程为 s km，时间为 t h，填写 s 随 t 的变化表格； （2）电影票价为 10 元 / 张，电影院售出 x 张，收入 y 元，y 随 x 的变化而变化吗？ （3）水中涟漪是圆形，其面积随半径的变化而变化吗？ （4）白菜价格为 0.90 元 / 千克，卖出 x 千克，收入 y 元，y 随 x 怎样变化？ 师：同学们，通过思考这些问题，你们发现了什么？ 生：有些量的数值是变化的，而有些则是固定不变的。 引导学生得出固定的量：速度、票价、圆周率等。变化的量：时间和路程，票数 和收入等。教师指出：数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。 教师继续在大屏幕上呈现生活问题： （1）水价为 4 元 / t，用水量为 x t，水费为 y 元； （2）把 10 本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放） ，第一个抽屉放入 x 本，第 二个抽屉放入 y 本。 师：你们能说出上述问题中的常量和变量吗？ 学生快速回答：水价和 10 本书是常量，用水量、水费、第一个抽屉和第二个抽 屉分别放书的本数是变量。 （教师提出表扬） 师：你们还能举出什么例子？它们中的常量和变量又分别是什么？ 生 1：手机话费为 0.2 元 /min，我存了 30 元，如果通话 t min 后，卡内余额为 w 元，其中 0.2 元和 30 元是常量，t 和 w 是变量。 生 2：还是老师举的水中涟漪的例子，把面积换成周长，常量是圆周率，变量是 第一部分 试讲真题解析 19 半径和周长。 （三）函数的概念 教师引导学生回到课初展示的四个问题，并提出问题：以上四个问题是否各有两 个变量？同一个问题中的变量之间又有什么联系呢？探究之前，大家先完成问题（1） 的表格。学生以小组为单位进行探究。 一组代表： 问题（1）中，通过表格发现，t 和 s 是两个变量，s 随 t 的变化而变化。 师：当 t 取定一个值时，s 有几个值对应呢？ 生：有唯一确定的值与之对应。 其余三个问题分别由其他三组回答，教师继续提出问题：这四个结论有什么共同 点？学生得出：每个问题都有两个互相联系的变量，当其中一个变量确定一个值时， 另一个变量有唯一确定的值与之对应。教师给予肯定评价和表扬。 教师通过大屏幕展示每个问题中两个变量相互变化的表格， 让学生更直观地感知。 教师引导学生观察体检时的心电图和我国人口数统计表。 提出问题：心电图中，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应 吗？那在人口数统计表中年份与人口呢？学生观察、思考得出答案是肯定的。教师指 出：在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，则称 x 为自变量，y 是 x 的函数。如果当 x=a 时，y=b， 那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值。 教师引导学生回到柯南破案的例子，一个脚印可以对应多个身高，学生通过对函 数的理解得出：一对多的关系不是函数关系，函数关系必须是单值对应。 师：现在大家都知道什么是函数了吗？我们回到前面的问题，大家说一下谁是谁 的函数，并尝试说出自变量取某一值时相应的函数值。 生 1：路程 s 是时间 t 的函数，当 t=1 时，函数值 s=60。 生 2： （四）总结提高 为了完善学生已有的知识结构，教师提出问题：你们学到了什么？ 面试真题解析（数学试讲与答辩） 20 生：学习了常量与变量的概念，函数的定义。 五、板书设计 函数 x 是自变量，y 是 x 的函数 函数 一一对应关系 例三 1. 题目： 奇函数 （高中）2015 年 5 月 2. 内容： 第一部分 试讲真题解析 21 面试真题解析（数学试讲与答辩） 22 3. 基本要求： （1）要有板书； （2）试讲 10 分钟左右； （3）条理清晰，重点突出； （4）讲解奇函数的概念及利用定义法判断一个函数是否为奇函数； （5）讲明奇函数的定义域关于原点对称。 奇函数简案 一、教学目标 | 知识与技能目标 | 理解奇函数的概念，知道奇函数的定义域关于原点对称，并能熟练利用定义法判 断一个函数是否为奇函数。 | 过程与方法目标 | 通过探究活动，培养学生类比、观察、归纳、思考与创新能力，使他们体会由特 殊到一般、由具体到抽象的数学思维方法，并从中感受数形结合的巨大魅力。 | 情感态度与价值观目标 | 通过本节课的学习，激发学生的学习信心与参与热情，培养他们良好的数学素养 与学习习惯。 二、教学重难点 | 重点 | 理解奇函数概念。 | 难点 | 能熟练利用定义法判断一个函数是否为奇函数。 第一部分 试讲真题解析 23 三、教学方法 讲授法、讨论法、练习法。 四、教学过程 （一）温习旧知，导入新课 教师引导学生看课件上的这两个图形，观察这两个图形具有的对称性，并找学生 来说一下观察结论。 f (x) = x 教师引导学生说出中心对称图形的定义，回忆中心对称图形上对称点的性质，引 入本节课的学习内容。 （二）新课讲授 教师引导学生观察：对于这两个函数图象而言，对称点的横、纵坐标之间分别有 什么关系？并请学生快速填完下面的两个表格，思考：从这两个表中能看出什么？ x.432101234. f (x) = x.432101234. x.432101234. f (x) = 1 x . 1 4 1 3 1 2 1/1 1 2 1 3 1 4 . 面试真题解析（数学试讲与答辩） 24 学生经过讨论得出结论：若两个自变量互为相反数，则它们对应的函数值也互为 相反数。将对称点之间的关系进行代数推广：)()(xfxxf=。 教师引导学生总结中心对称图形的性质： 解析式f (x) = xf (x) x y 1 = 几何性质图形为中心对称图形，关于原点呈中心对称 代数性质 )()(xfxf= 通过引导学生观察两个具体函数的共性，归纳出奇函数的定义。教师引导学生感 受发现过程中使用的思想方法。 （三）例题分析 教师通过两个例题的分析，在学生充分思考的基础上，引导学生体会并掌握奇函 数的定义域关于原点对称和利用定义法判断一个函数是否为奇函数的步骤。 例 1：f (x) 2 1 + = x y； 例 2：f (x) 2 2 + = x x y。 （四）归纳总结，思维提升 教师通过提问学生本节课的收获，让学生说一说奇函数的定义和判断一个函数是 否为奇函数的代数方法（即定义法）的方式，了解学生的课堂学习效果并引导学生感 受本节课所运用的数学思想和数形结合的魅力。 （五）布置作业 教师布置作业，检验学生课堂学习效果。作业为课后习题中判断函数是否为奇函 数的两道题。 第一部分 试讲真题解析 25 五、板书设计 奇函数 定义 几何性质图形为中心对称图形，关于原点成中心对称 代数性质 )()(xfxf= 例 1：f (x) 2 1 + = x y 例 2：f (x) 2 2 1 + = x 奇函数详案 一、教学目标 | 知识与技能目标 | 理解奇函数概念，知道奇函数的定义域关于原点对称，并能熟练利用定义法判断 一个函数是否为奇函数。 | 过程与方法目标 | 通过探究活动，培养学生类比、观察、归纳、思考与创新能力，使他们体会由特 殊到一般、由具体到抽象的数学思维方法，并从中感受数形结合的巨大魅力。 | 情感态度与价值观目标 | 通过本节课的学习，激发学生的学习信心与参与热情，培养他们良好的数学素养 与学习习惯。 面试真题解析（数学试讲与答辩） 26 二、教学重难点 | 重点 | 理解奇函数概念。 | 难点 | 能熟练利用定义法判断一个函数是否为奇函数。 三、教学方法 讲授法、讨论法、练习法。 四、教学过程 （一）温习旧知，导入新课 教师引导学生看课件上的这两个图形，观察这两个图形具有的对称性，并找学生 来说一下观察结论。 f (x) = x 教师引导学生说出中心对称图形的定义：如果一个图形绕着一个固定点旋转 180后形成的新图形与原来图形重合，那么这个图形就是中心对称图形。 教师引导学生回忆中心对称图形上对称点的性质。 教师引入本节课的学习内容：刚才我们回忆了中心对称图形的定义。函数图象作 为一种特殊图形，也是有中心对称性的，今天我们将进一步研究函数图象的中心对 第一部分 试讲真题解析 27 称性。 （二）新课讲授 教师引导学生观察：对于这两个函数图象而言，对称点的横、纵坐标之间分别有 什么关系？并请学生快速填完下面的两个表格，思考：从这两个表中能看出什么？ x.432101234. f (x) = x.432101234. x.432101234. f (x) = 1 x . 1 4 1 3 1 2 1/1 1 2 1 3 1 4 . 学生经过讨论得出结论： 生：若两个自变量互为相反数，那么它们对应的函数值也互为相反数。 师：很好。由第一个表可以看出 ) 1 (1) 1(ff=，)2(2)2(ff= ， )3(3)3(ff=，)4(4)4(ff=。由第二个表可以看出) 1 (1) 1(ff=， )2(2)2(ff= 1 2 )2(2)2(ff=，)3(3)3(ff= 1 3 )3(3)3(ff=，)4(4)4(ff= 1 4 )4(4)4(ff=。 那么你能否将上面式子进行推广？ 生： )()(xfxxf=。 师：从上面的探究活动中，我们分别得到了关于正比例函数、反比例函数的几何 性质和代数性质，如下表： 解析式f (x) = xf (x) x y 1 = 几何性质图形为中心对称图形，关于原点成中心对称 代数性质 )()(xfxf= 师：同学们观察一下，这两个函数有什么共性啊？ 面试真题解析（数学试讲与答辩） 28 生：从函数解析式来看，这两个函数都是 n xy =（n 为奇数）的情形；从函数的 几何特点来看，这些函数图象都是中心对称图形，具有中心对称性； 从代数性质来看， 对于定义域中的任意 x 值，均有 )()(xfxf= 成立。 师：那你能否给这样的函数起个名字啊？ 生：奇函数。 师：我听到了，很好。我们不妨就利用解析式中指数为奇数的特征，将这些函数 称为奇函数。 师：第一，人们提到的奇函数是广义奇函数，是指在几何上满足中心对称性、在 代数上满足)()(xfxf=的一类函数，而并不仅局限于表达式为 n xy =（n 为奇数） 的情形，不要对它的理解只局限在“奇”字上。 第二，表达式为 n xy =（n 为奇数）的一类函数必为奇函数，但奇函数并不只是 n xy =（n 为奇数）这种情形。 第三，在数学学习的过程中要把握住概念的实质，舍去非本质的东西，留其本质， 使概念更具有一般意义。 教师给出奇函数的定义。 师：到此我们先暂停一下。本节课刚开始回忆了中心对称图形的定义和性质，并 通过两个具体例子得到了一个新概念奇函数。在这个过程中，我们一方面体会到 数学研究过程中从特殊到一般、从具体到抽象的思维特点，另一方面也体会到数学中 数和形的紧密联系。希望同学们能够认真体会， 并把这种理念贯穿于数学学习的始终。 （三）例题分析 教师通过两个例题的分析，在学生充分思考的基础上，引导学生体会并归纳出： 奇函数的定义域关于原点对称；利用定义法判断一个函数是否为奇函数的步骤。 师：我们来看这样一个函数：f (x) 2 1 + = x y，同学们来判断一下这个函数是不是 第一部分 试讲真题解析 29 奇函数呢？ 学生通过思考有的说是，有的说不是。通过讨论和几何验证，教师引导学生总结 出利用定义法判断一个函数是否为奇函数的前提条件。 师：判断函数是不是奇函数，要从函数的定义域入手。大家来看，奇函数的定义 是这样说的，如果对于定义域中的任何一个 x，均有 )()(xfxf= 成立，就将这样的 函数定义为奇函数。那你想，如果一个奇函数可以取到 x，它就一定能够取到 x，对 吧？也就是说，奇函数的定义域一定关于原点对称。定义域不关于原点对称就一定不 是奇函数，对吧？ 师：大家来看这个函数的定义域是什么？ 生： x | x 2 ，不关于原点对称，就一定不是奇函数。 师：很好，大家记住判断一个函数是否为奇函数一定要先判断该函数的定义域特 征。再来看这样一个函数：f (x) 2 2 + = x x y，如何证明它是一个奇函数？ 通过这个例题，学生要学会证明奇函数的步骤与方法，学习和体会常见的步骤和 规范的解答、证明过程： 师：第一步，判断函数的定义域是否关于原点对称。这个函数的定义域是什么？ 生：全体实数，关于原点对称。 师：第二步，我们需要构造出 )( xf 。 22)( )( 22 + = + = x x x x xf 。 师：第三步，要对 f (x) 和 f (x) 之间的关系进行讨论，可以看出)( 2 )( 2 xf x x xf= + = = f (x)，由此判断该函数为奇函数。 师：在证明一个函数为奇函数时，一定要严格按照这三步进行书写。第一步，找 定义域并判断是否关于原点对称；第二步，求 )( xf ；第三步，判断)( xf 与)( 2 )( 2 xf x x xf= + = 是否相等，如果相等即为奇函数。 面试真题解析（数学试讲与答辩） 30 （四）归纳总结，思维提升 教师通过提问学生本节课的收获，让学生说一说奇函数的定义和判断一个函数是 否为奇函数的代数方法：定义法，了解学生的课堂学习效果并引导学生感受本节课所 运用的数学思想和数形结合的魅力。 师：谁来说说，本节课大家都收获了什么？ 生 1：学习了奇函数的概念，能通过定义法判断一个函数是否为奇函数。 生 2：知道判断一个函数是否为奇函数要先判断其定义域是否关于原点对称。 生 3：体会数学研究过程中从特殊到一般、从具体到抽象的思维特点，同时也体 会到数形结合的巨大魅力。 （五）布置作业 教师布置作业，检验学生课堂学习效果。作业为课后习题中判断函数是否为奇函 数的两道题。 五、板书设计 奇函数 定义 几何性质图形为中心对称图形，关于原点成中心对称 代数性质 )()(xfxf= 例 1：f (x) 2 1 + = x y 例 2：f (x) 2 2 1 + = x 第一部分 试讲真题解析 31 第二章 综合实践 例一 1. 题目： 植树问题 （小学）2015 年 5 月 2. 内容： 面试真题解析（数学试讲与答辩） 32 3. 基本要求： （1）如果教学期间需要其他辅助教学工具，进行演示即可； （2）教学中注意师生间的交流互动，有适当的提问环节； （3）要求配合教学内容有适当的板书设计； （4）请在 10 分钟内完成试讲内容。 植树问题简案 一、教学目标 | 知识与技能目标 | 学生能够通过画图方式进一步理解并掌握环形植树问题公式，并利用该公式解决 生活中的实际问题。 第一部分 试讲真题解析 33 | 过程与方法目标 | 1. 学生通过小组合作进行交流、讨论，理解植树问题在生活中的运用； 2. 学生能解决一些简单数学问题，进而提高理解能力、数学运算能力及解决实际 问题的能力。 | 情感态度与价值观目标 | 通过本节课的学习，学生的数学学习兴趣得以提高，学生的合作与探索意识得以 培养，能够进一步体会数学来源于生活并服务于生活的特点。 二、教学重难点 | 教学重点 | 探究植树的棵数和间隔数之间的关系，并能运用发现的规律解决实际问题。 | 教学难点 | 理解环形植树公式的由来。 三、教学方法 讲授法、提问法、讨论法。 四、教学过程 （一）回顾旧知，循序导入 教师带领学生一起回顾直线植树问题，两端都栽树和两端都不栽树的计算公式， 学生回答。 回顾结束后，展示例 3 的情境图，通过提问，引导学生思考，进一步引出本节课 课题环形植树问题。 （二）探究新知 1. 交流讨论，探究公式 师：通过提问，学生尝试列式。 面试真题解析（数学试讲与答辩） 34 生：12010=12，12+1=13。 生：12010=12，121=11。 师：我们同样按照之前的分组，进行交流、讨论。小组交流、讨论结束后，找同 学代表到黑板进行板书。 生：12010=12。 2. 计算结果，总结算法 教师引导学生一起探究上述计算方法哪个正确， 最后总结出环形植树问题计算公式。 计算公式为：棵数 = 间隔数。 （三）巩固练习 为了使学生对本节课的知识有更明确的梳理和掌握，需要通过不同的练习来进行 巩固，做一做 P108 的第一题：让学生独立去做，然后交流是如何计算的，以便学生 进一步明确环形植树问题。 （四）课堂小结 教师引导学生对本节课所学知识进行小结，学生畅谈本节课的收获，教师给予点 评和补充。 （五）布置作业 让学生回家复习本节课所学知识，完成剩余的课后习题，并搜集身边见到的能用 本节课所学知识解决的一些日常生活问题，在下节课进行分享、交流。 五、板书设计 植树问题 12010=12（棵） 练习：15015=10（盏） 答： 答： 环形植树公式：棵数 = 间隔数 第一部分 试讲真题解析 35 植树问题详案 一、教学目标 | 知识与技能目标 | 学生能够通过画图方式进一步理解并掌握环形植树问题公式，并利用该公式解决 生活中的实际问题。 | 过程与方法目标 | 1. 学生通过小组合作进行交流、讨论，理解植树问题在生活中的运用； 2. 能解决一些简单数学问题，进而提高理解能力、数学运算能力及解决实际问题 的能力。 | 情感态度与价值观目标 | 通过本节课的学习，学生的数学学习兴趣得以提高，学生的合作与探索意识得以 培养，并能够进一步体会数学来源于生活并服务于生活的特点。 二、教学重难点 | 教学重点 | 探究植树的棵数和间隔数之间的关系，并能用发现的规律解决实际问题。 | 教学难点 | 理解环形植树公式的由来。 三、教学方法 讲授法、提问法、讨论法。 面试真题解析（数学试讲与答辩） 36 四、教学过程 （一）回顾旧知，循序导入 师：上节课我们已经学习了植树问题的两个公式。知道了这些公式，我们就能计 算要在高速公路两旁植树，植树工人应该准备多少小树苗。那么谁先来跟老师分享下 学习了哪两个公式？ 生 1：在一条公路一边植树，两端都植树，棵数 = 间隔数 +1。 生 2：在一条公路一边植树，两端都不植树，棵数 = 间隔数 1。 师：大家说这两位同学说的对不对呀？同意的举手。都同意呀，非常的不错。他 们说的很准确很详细，那么什么是间隔数呢？是怎么计算的呢？好，第一排穿红色衣 服的这位女生，你来说一下吧，你举手最快啦。 生：间隔是两棵树之间的距离，间隔数是公路总长度除以间隔。 师：反应得非常快，解释得也非常清楚，不错，请坐下。 师：看来大家对上节课我们学习的直线植树问题掌握得很准确，老师非常高 兴，这里给大家一个小掌声。那么我们继续来看下一幅图片（课件出示课本例 3 的情 境图） 。 师：张伯伯准备在圆形池塘周围栽树，池塘的周长是 120 m，如果每隔 10 m 栽 一棵树，那么，一共要栽多少棵树呢？ 通过提问，引导学生思考，进一步引出本节课课题环形植树问题。 （二）探究新知 1. 交流讨论，探究公式 师：之前学习的都是直线植树问题，那么环形植树问题该怎么计算？是否也有公 式呢？哪位同学来尝试写下式子？ 生：12010=12，12+1=13。 生：12010=12，121=11。 师：大家同意哪位同学的计算方法？哦，我听到有说第一位同学的做法是对的， 第一部分 试讲真题解析 37 有说第二位同学的做法是对的，也有说不知道的，没关系。现在我们同样按照之前的 分组，进行交流、讨论。讨论之前呢，老师同样先给大家一个小提示，之前探索直线 植树问题时，由于数据大，我们可以把数据变小，借助画线段图来探究。环形植树问 题是否也可以呢？好了，给大家 10 分钟的时间开始探究讨论吧。 小组交流、讨论结束后，找同学代表到黑板进行板书。 生：12010=12。 2. 计算结果，总结算法 师：大家同意这位同学的计算结果吗？结果相同的请举手。 师：这么多同学都举手了呀！ 师：那到底对不对呢？这与我们之前两位同学的列式都不一样，到底哪个正确 呢？我们一起来探究下，首先，这位同学，你能具体说说你为什么这么计算吗？ 生：我是先在本子上画一个周长为 8 cm 的圆，然后间隔为 2 cm，发现正好能栽 4 棵树，也就是 82=4。 师：跟她想法一样的同学请举手，啊，都一样啊，非常不错，看来同学们的迁移 能力都很棒，请回到座位上。 师：大家再仔细看 PPT 上的动画图，如果把圆拉成直线，你又能发现什么？ 生：我发现栽的树与间隔数一一对应。 生：我还发现拉成直线后，相当于在直线上一端栽树，另一端不栽树。 师：老师发现同学们说的都很对，而且反应很迅速，所以我们知道，这个池塘周 围能栽树的棵数为 12010=12。这就可以了吗？ 生：加上单位，12（棵） 。 师：这位同学非常仔细，应用题计算结果有单位的一定不要漏掉单位。 师：最后，老师再跟大家一起来总结下，对于环形植树问题，计算公式为：棵数 = 间隔数。 （三）巩固练习 为了使学生对本节课的知识有更明确的梳理和掌握，需要通过不同的练习来进行 面试真题解析（数学试讲与答辩） 38 巩固，做一做 P108 的第一题：让学生独立去做，然后交流是如何计算的，以便学生 进一步明确环形植树问题。 （四）课堂小结 教师引导学生对本节课所学知识进行小结，学生畅谈本节课的收获，教师给予点 评和补充。 （五）布置作业 学生回家复习本节课所学知识，完成剩余的课后习题，并搜集身边见到的能用本 节课所学知识解决的一些日常生活问题，在下节课进行分享、交流。 五、板书设计 植树问题 12010=12（棵） 练习：15015=10（盏） 答： 答： 环形植树公式：棵数 = 间隔数 第一部分 试讲真题解析 39 第三章 图形与几何 例一 1. 题目： 三角形的面积 （小学）2015 年 12 月、2016 年 5 月 2. 内容： 面试真题解析（数学试讲与答辩） 40 3. 基本要求： （1）有适当的板书； （2）推导出三角形的面积计算方法； （3）试讲 10 分钟左右； （4）教学中注意师生间的交流互动，有适当的提问环节； （5）如果教学期间需要其他辅助教学工具，进行演示即可。 第一部分 试讲真题解析 41 三角形的面积简案 一、教学目标 | 知识与技能目标 | 学生能够推导出三角形的面积公式。 | 过程与方法目标 | 学生通过观察、讨论、归纳等数学活动，进一步体会转化思想的价值，发展空间 观念和培养初步的推理能力。 | 情感态度与价值观目标 | 在探索活动中，学生能够提高学习数学的兴趣，培养合作与探索意识，进一步体 会数学来源于生活并服务于生活的特点。 二、教学重难点 | 重点 | 理解并掌握三角形的面积计算公式。 | 难点 | 理解三角形面积计算公式的推导过程。 三、教学方法 提问法、讨论法、练习法。 四、教学过程 （一）猜谜语，导入新课 猜谜语： “红旗一角真鲜艳，革命先烈血染成。少先队员胸前系，昂首挺胸真光 面试真题解析（数学试讲与答辩） 42 荣！”利用求红领巾面积引入本节内容。 （板书课题：三角形的面积） （二）探究新知 教师引导学生回忆平行四边形面积公式推导的方法，引导学生利用转化的思想， 通过小组合作，利用学具拼一拼、摆一摆，把三角形转化成已经学过的图形，再计算 它的面积。 自主探究，小组讨论并总结三角形面积的计算方法，教师巡视并指导。 学生汇报探究结果，教师引导学生尝试分别用两个完全相同的直角、锐角、钝角 三角形拼成平行四边形。学生体会利用转化的思想方法解决三角形面积公式的推导问 题。最后给出三角形面积公式的字母表示：S=ah2。 （三）巩固练习 通过给出红领巾的底和高，计算红领巾面积的问题，教师引导学生再次加深对三 角形面积公式的记忆和理解，并强调应用题应注意单位和作答。 （四）课堂小结 学生畅谈本节课的收获，教师给予补充。 （五）布置作业 完成课后的“做一做”三个小题，再找一找生活中的三角形，想办法计算出它们 的面积，在下节课进行分享、交流。 五、板书设计 三角形的面积 a h a h 例 1：三角形的面积 = 底 高 2 例 2：S = ah2 第一部分 试讲真题解析 43 三角形的面积详案 一、教学目标 | 知识与技能目标 | 学生能够推导出三角形的面积公式。 | 过程与方法目标 | 学生通过观察、讨论、归纳等数学活动，进一步体会转化思想的价值，发展空间 观念和培养初步的推理能力。 | 情感态度与价值观目标 | 在探索活动中，学生能够提高学习数学的兴趣，培养合作与探索意识，进一步体 会数学来源于生活并服务于生活的特点。 二、教学重难点 | 重点 | 理解并掌握三角形的面积计算公式。 | 难点 | 理解三角形面积计算公式的推导过程。 三、教学方法 提问法、讨论法、练习法。 四、教学过程 （一）猜谜语，导入新课 猜谜语： “红旗一角真鲜艳，革命先烈血染成。少先队员胸前系，昂首挺胸真光 面试真题解析（数学试讲与答辩） 44 荣！”你知道谜底是什么吗？红领巾！（生答） 。红领巾是我们少先队员的标志，你 了解这个每天都陪着我们的小伙伴吗？它是什么形状的？三角形！ （生答） 。它的面积 又是多少呢？今天，我们就一起来研究怎样计算“三角形的面积” 。 （板书课题：三角 形的面积） （二）探究新知 1. 动手探究，推导三角形的面积公式 老师对学生进行引导式提问： 师：这是一个什么图形？（教师出示平行四边形教具后） 师：怎样计算它的面积呢？（指名说说平行四边形的面积公式） 生：平行四边形的面积等于底乘高。 师：平行四边形的面积是怎样推导出来的啊？（指名叙述） 师：那你能不能根据平行四边形面积公式推导的方法，试着推导出三角形面积的 计算公式呢？大家的学具袋里面有很多三角形，现在请大家小组合作，利用这些学具 拼一拼、摆一摆，看能否把三角形转化成我们已经学过的图形，再计算它的面积呢？ 自主探究，小组讨论并总结三角形面积的计算方法，教师巡视并指导。 学生汇报： （上台展示） 第一种情况： 生：把两个完全相同的直角三角形拼成一个长方形或一个正方形，发现每个三角 形的面积是长方形或正方形面积的一半，三角形的底和高分别与长方形的长和宽或正 方形的边长相等，所以三角形的面积就是底乘高除以 2。 师：任意的两个直角三角形都能拼成长方形或正方形吗？ 生：两个完全相同的直角三角形才能拼成一个长方形或正方形。 第二种情况： 生：把两个完全相同的锐角或钝角三角形拼成了一个平行四边形，发现平行四边 形的底和高与三角形的底和高分别相等。因为一个三角形的面积是拼成的平行四边形 面积的一半，所以三角形的面积就是底乘高除以 2。 第一部分 试讲真题解析 45 （板书：三角形的面积 = 底 高 2） 教师引导学生尝试分别用两个完全相同的直角、锐角、钝角三角形拼成平行四边 形。学生再次体会利用转化的思想方法解决三角形面积公式的推导问题。最后给出三 角形面积公式的字母表示。 2. 用字母表示三角形的面积公式 师：为了记忆和书写的简便，我们可以把三角形面积公式用字母来表示：S=ah2。 （三）巩固练习 师：同学们现在能算出大家胸前这块红领巾的面积了吗？一块红领巾的底是 100 cm，高是 33 cm。它的面积是多少呢？ 师：这道题该怎样列式呢？ 学生站起来说一说。 （请 3 位学生上台做，集体纠正） 师：现在黑板上的同学都已经完成啦，大家看一看他们做的对不对？ 生 1：小明在求面积的过程中没有除以 2。 生 2：小红忘记带单位啦。 生 3：小军做对啦。 教师引导学生再次加深对三角形面积公式的记忆和理解，并强调应用题应注意单 位和作答。 （四）课堂小结 学生畅谈本节课的收获，教师给予补充。 师：通过今天的学习，大家有什么收获？ 生：两个完全相同的三角形可以拼成平行四边形。 生：三角形的面积公式及字母表示，并学会了利用公式求三角形的面积。 生：注意单位问题。 师：在得到公式的过程中，我们运用的是什么思想方法啊？ 生：转化的思想方法，把三角形转化成我们学过的图形。 面试真题解析（数学试讲与答辩） 46 （五）布置作业 师：完成课后的“做一做”三个小题，再找一找生活中的三角形，想办法计算出 它们的面积，下节课我们再来分享、交流。 五、板书设计 三角形的面积 a h a h 例 1：三角形的面积 = 底 高 2 例 2：S = ah2 例二 1. 题目： 平行四边形的性质 （初中）2015 年 12 月 2. 内容： 第一部分 试讲真题解析 47 3. 基本要求： （1）如果教学期间需要其他辅助教学工具，进行演示即可； （2）教学中注意师生间的交流互动，有适当的提问环节； （3）要求配合教学内容有适当的板书设计； （4）请在 10 分钟内完成试讲内容。 面试真题解析（数学试讲与答辩） 48 平行四边形的性质简案 一、教学目标 | 知识与技能目标 | 理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的边、角以及对角线的性质，并能初步 用其来解决实际问题。 | 过程与方法目标 | 通过探索、发现、论证，培养学生类比、转化的数学思维，锻炼学生缜密的逻辑 思维，并向他们渗透“转化”的数学思想。 | 情感态度与价值观目标 | 通过本节课的学习，学生的数学学习兴趣得以提高，同时培养学生善于发现、积 极思考、合作探究的学习态度，能够进一步体会数学来源于生活并服务于生活的特点。 二、教学重难点 | 教学重点 | 掌握平行四边形的性质。 | 教学难点 | 平行四边形性质的应用。 三、教学方法 讲授法、探究法、讨论法。 第一部分 试讲真题解析 49 四、教学过程 （一）创设情境，激情导入 PPT 里播放生活中常见的一些平行四边形的图片，引入课题。 （二）探究新知 1. 交流讨论，探究性质 画图、测量，猜想平