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电磁感应一章习题答案 习题 111如图，矩形区域为均匀稳恒磁场，半圆 形闭合导线回路在纸面内绕轴 O 作逆时针方向匀角 速度旋转，O 点是圆心且恰好落在磁场的边缘上， 半 圆形闭合导线完全在磁场外时开始计时。图(A) (D)的t函数图象中哪一条属于半圆形闭合导线 回路中产生的感应电动势？ 解：本题可以通过定性分析进行选择。依题设，半圆形闭合导线回路作匀角 速度旋转，因此回路内的磁通量变化率的大小是一个常量，但是其每转动半周电 动势的方向改变一次。另一方面，若规定回路绕行的正方向为顺时针的，则通过 回路所围面积的磁通量0，当转角从 0 到时，0 dtd，由法拉第电磁感 应定律，0； 当转角从到2时，0 dtd， 由法拉第电磁感应定律，0， 如此重复变化。因此，应该选择答案(A)。 习题 112如图所示，M、N 为水平 面内两根平行金属导轨，ab 与 cd 为垂 直于导轨并可在其上自由滑动的两根 直裸导线。外磁场垂直水平面向上，当 外力使 ab 向右平移时，cd (A) 不动。(B) 转动。 (C) 向左移动。(D) 向右移动。 解：ab 向右平移时，由动生电动势公式可以判断出 ab 中的电动势的方向是 bacdb， 因而在 cd 中产生的电流方向是 cd，由安培力公式容易判断出 cd 将受到向右的磁场力的作用，因此，cd 也将向右移动。所以应选择答案(D)。 习题 113一闭合正方形线圈放在均匀磁场中，绕通过其中心且与一边平行的 转轴O O 转动，转轴与磁场方向垂直，转动角速度为，如图所示。用下述哪一 种方法可以使线圈中感应电流的幅值增加到原来的两倍(导线的电阻不能忽略)？ (A) 把线圈的匝数增加到原来的两倍。 O B C D 习题 111 图 t O (A) t O (B) t O (C) t O (D) a b c d M N B 习题 112 图 (B) 把线圈的面积增加到原来的两倍，而形状不变。 (C) 把线圈切割磁力线的两条边增长到原 来的两倍。 (D) 把线圈的角速度增大到原来的两倍。 解：线圈中感应电流一般正比于感应电动 势而反比于其自身的电阻， 因此， (A)、 (B)、 (C) 三种方法尽管感应电动势增加了，但线圈的电 阻也随之增加，因而不能达到同比例增加电流 的目的。方法(D)仅使感应电动势增加，而线 圈的电阻却不增加，因此是可行的。所以选择 答案(D)。 习题 114用导线围成如图所示的回路(以 O 点为心的圆，加一直径)，放在轴 线通过 O 点垂直于图面的圆柱形均匀磁场中，如磁场方向垂直于图面向里，其 大小随时间减少，则感应电流的流向为 解：由于磁感应强度随时间减少， 所 以回路里的感应电流方向应该是顺时针 的，因此答案(C)和(D)可以排除。在(A) 和(B)两个答案中我们可以把圆形回路 (加一直径)看成两个半圆形闭合回路，这 两个半圆形回路以直径为共用边， 显然这 两个半圆形回路中的感应电流大小相等 并且都是顺时针方向的， 而在它们的共用 边(直径)上因感应电流方向刚好相反而 抵消， 最终使直径上电流为零， 电流只在 圆形闭合回路内沿顺时针方向流动。 故只 有答案(B)是正确的。 习题 115在圆柱形空间内有一磁感应强 度为B 的均匀磁场， 如图所示。 且B 的大小以 速率 dB/dt 变化。有一长度为 l0的金属棒先后 放在磁场的两个不同位置 1(ab)和 2(b a )，棒 在这两个位置时棒内的感应电动势的大小关 系为 (A)0 12 。(B) 12 。 (C) 12 。(D)0 12 。 解：我们可以考虑两个三角形闭合回路 abO 和Ob a ，若设它们所围成的面 O B O 习题 113 图 I1 I2 I3 O (A) I1 I1 O (B) I3 I1 (C) O I1 I1 (D) O 习题 114 图 a b a b l0 O 习题 115 图 积分别为 S 和 S ，则有 Sr)的大金属圆环共面且同心。在大圆环中通以恒定的电流 I ，方向如 图。 如果小圆环以匀角速度绕其任一方向的直径转动， 并设小圆环的电阻为 R， 则任一时刻 t 通过小圆环的磁通量；小圆环中的感应电流 i 。 解： 设任一时刻 t 小圆环的法线方向与大圆环 中心处的磁感应强度方向夹角为，由于初始时 刻0 0 ，因而t。另外，由于 ar，可以 认为小圆环处的由大圆环电流产生的磁场是均匀 的，且等于大圆环中心处的磁感应强度，即 a I B 2 0 B 的方向垂直于纸面向外。任一时刻 t 通过小圆环的磁通量为 tr a I BSSB cos 2 cos 20 小圆环中的感应电动势为 t a rI dt d i sin 2 2 0 小圆环中的感应电流为 t Ra rI R i i sin 2 2 0 习题 117在图示的电路中， 导线 AC 在 固定导线上向上平移。设 AC=5cm，均匀 磁场随时间的变化率s/T1 . 0dtdB，某 一时刻导线 AC 的速度 v0=2m/s，B=0.5T， x=10cm ， 则 这 时 动 生 电 动 势 的 大 小 为，总感应电动势的大小 为。以后动生电动势的大 小随着 AC 的运动而。 解法：由于 AC 的运动切割磁力线而产生的动生电动势为 mV50V05 . 0 05 . 0 5 . 02 0 Blv 动 ，方向“” ； a r I 习题 116 图 A Cx B 0 v 习题 117 图 由于磁场变化而产生的感生电动势为 10 . 0 05 . 0 ) 1 . 0()(S dt dB BS dt d 感 mV5 . 0V105 4 方向 “” ； 所以，回路总电动势为 mV 5 . 49mV5 . 0mV50 感动总 方向“” 。 由于感应电动势而在回路里激起感应电流，因而使 AC 受到与速度方向相反 的安培力的作用而减速，从而使 动 减少；与此同时，磁感应强度 B 也在随时间 而下降，也使 动 减少。总之，动生电动势的大小将随着 AC 的运动而减少。 解法：t 时刻通过回路的磁通量为 xltBtx)(),( dt dx Bllx dt dB Bxl dt d dt d )( 总 vBllx dt dB 显然，上式右端第一项为感生电动势，第二项为动生电动势。 当 x=10cm，v=v0=2m/s 时，可得 205 . 0 5 . 005 . 0 10 . 0 ) 1 . 0( 总 mV 5 . 49mV50mV5 . 0 这里总电动势为负值，表明其方向是逆时针的。计算结果说明动生电动势的大小 为 50mV。 习题 118如图，aOc 为一折成形的金属 导线(aO=Oc=L)，位于 XY 平面中；磁感应强度 为B 的均匀磁场垂直于 XY 平面。当 aOc 以速 度v 沿 X 轴正向运动时， 导线上 ac 两点间电势 差 Uac=；当 aOc 以速度v 沿 Y 轴正向运动时，a、c 两点中是点 电势高。 解：当 aOc 以速度v 沿 X 轴正向运动时，aO 上的动生电动 势为 sinBL aO v 电动势的方向为 Oa，所以 UO0)的均匀磁场， 其磁感应强度的方向垂直图面向里。在图面 内有两条相交于 O 点夹角为 60的直导线 Oa 和 Ob，而 O 点则是圆柱形空间的轴线与 图面的交点。此外在图面内另有一半径为 r 的半圆环形导线在上述两条直线上以速度v 匀速滑动。v 的方向与aOb 的平分线一致， 并指向 O 点(如图)。在时刻 t，半圆环的圆心 正好与 O 点重合，求此时半圆环导线与两条 直线所围成的闭合回路 cOdc 中的感应电动 势。 解：闭合回路 cOdc 中的感应电动势，由动生和感生两部分组成，即 感动 BrcdBvv 动 方向“”(等效于直导线的动生电动势) Kr dt dBr B r dt d dt d 2 22 6 1 66 感 方向为逆时针的 KrBr 2 6 1 v 若rKB 6 1 v，则为顺时针方向的；若rKB 6 1 v，则为逆时针方向的。 习题 1110如图所示， 在马蹄形磁铁的中间 A 点处放置一半径 r =1cm、匝数 N=10 匝的线 圈，今将此线圈移到足够远处，在这期间若线 圈中流过的总电量为C10 6 Q， 试求 A 点 处磁感应强度是多少？(已知线圈电阻 R=10 ，自感忽略不计) 解： 设 A 点处磁感应强度为 B， 易知离磁铁足够远处的磁感应强度为 B0， a b 30 30 r O c B v 习题 119 图 d r A N S 习题 1110 图 由感应电量公式可得 22 21 1 )0( 1 )( 1 rNB R rNB RR Q 解得 T01 . 0 )01 . 0 (14 . 3 10 1010 2 6 2 rN RQ B 习题 1111两个半径分别为 R 和 r 的同轴 圆形线圈相距 x，且 Rr，xR。若大线圈 通有电流 I 而小线圈沿 X 轴方向以速率 v 运 动，试求 x=NR 时(N 为正数)小线圈回路中产 生的感应电动势的大小。 解：由于 Rr，xR，由大线圈中的电 流 I 在小线圈处产生的磁场可以视为均匀场， 其大小为 2322 2 0 2322 2 0 )(2)( 2 4xR IR xR IR B 因此，穿过小线圈的磁通量为 3 22 02 2322 2 0 2)(2x rIR r xR IR SB 由于小线圈的运动，在小线圈中产生的感应电动势为 v 4 22 0 4 22 0 2 3 2 3 x rIR dt dx x rIR dt d i 当 x=NR 时，小线圈回路内的感应电动势为 24 2 0 2 3 RN Ir i v 习题 1112两相互平行无限长的直导线 载有大小相等方向相反的电流， 长度为 b 的 金属杆 CD 与两导线共面且垂直， 相对位置 如图。 CD 杆以速度v 平行于直线电流运动， 求 CD 杆中的感应电动势，并判断 C、D 两 端哪端电势高？ 解：建立图示坐标系，X 轴水平向右， 原点 O 在左边直导线处。 在 CD 杆上任一点 x 处、由两平行无限长的直电流产生的磁感 R X r I x O v 习题 1111 图 v aab C D II 习题 1112 图 应强度(规定垂直于纸面向外为正)为 x I ax I xB 2)(2 )( 00 在 CD 上 x 处取线元 l d，其方向 CD，即idx l d 。在该线元的元电动势为 dxxB l d Bd i )(vv 整个 CD 杆中的感应电动势为 ba baI dx xax I d ba a ii 2 )(2 ln 2 11 2 0 2 2 0 vv i 的方向 CD，因此，D 端电势高。 注意：为了判断某导体动生电动势的方向，我们应当先在其上取一线元 l d并 规定该线元的方向。 若最终计算出来的动生电动势 i 0， 则说明 i 的方向与我们 所取线元的方向相同；反之，若 i 0， 则说明 i 的方向与 原来假设的回路绕行方向相同；反之，若 i 0，所以该结果就是矩形线圈中感应电动势的大小；并且仍然因为 i 0， 该感应电动势的方向为顺时针的，相应的感应电流亦为顺时针方向的。 (2) 根据定义，导线与线圈的互感系数为 a bl I Mln 2 0 注意：在计算磁通量时，我们只对空间进行积分运算。由于电流 I(t)只是时间 t 的函数，与空间无关，所以完全可以把它作为常数而从积分号内提出来。 习题 1116如图， 在铅直面内有一矩形导 体回路 abcd 置于均匀磁场 B 中， B 的方向 垂直于回路平面。abcd 回路中的 ab 边的长 为 L，质量为 m，可以在保持良好接触的情 况下下滑，且摩擦力不计。ab 边的初速度为 零，回路的电阻集中在 ab 边中。(1) 求任一 时刻 ab 边的速率 v 和 t 的关系；(2) 设两竖 直边足够长，最后达到稳定的速率为若干？ 解：(1) 设任一时刻 t，ab 边的速率为 v，这时 ab 边所受的外力除了其自身 的重力gm外，还有磁场力 m F ，因此，根据牛顿第二运动定律我们有 dt d mBILmgFmg m v 式中 I 为由于 ab 边运动切割磁力线而在回路中产生的感应电流。其大小为 R BL I v 把代入可得 v v mR LB g dt d 22 把上式进行分离变量并积分 ab cd B l，m 习题 1116 图 t dt mR LB g dv 00 22 v v 得 )exp(1 22 22 t mR LB LB mgR v 这就是任一时刻 ab 边的速率 v 和 t 的关系。 (2) 当 t 足够大，相当于 t，则有 22L B mgR 稳 v 这就是 ab 边最后达到稳定的速率。 习题 1117如图所示，一根长为 L 的金属细 杆 ab 绕竖直轴 O1O2以角速度在水平面内旋 转。O1O2在离细杆 a 端 L/5 处。若已知地磁场在 竖直方向的分量为 B。求 ab 两端的电势差 ba UU 。 解：在细杆上距 O 点为 l 处取线元 dl，方向 ab，其上产生的元电动势为 cosB l d Bd i vv 细杆上的总电动势 0 5 54 0 cos0cos L L iab vBdlvBdld 0 5 54 0L L ldlBldlB 222 10 3 50 1 25 8 BLBLBL 0 ab ，说明细杆上的总电动势的方向为 ab，即 UaR，如图 所示。已知磁感应强度随时间的变化率为 dtdB，求长直导线中的感应电动势并讨论其 方向。 解法：在垂直于圆柱中心轴线的平面内，取一平行于题给无限长直导线的 另一根无限长直导线，它在圆柱形空间上方、距圆柱中心轴线也是 a。设这两条 无限长直导线在无限远处相连并形成闭合回路 L， 该回路 L 的绕行方向为顺时针 a R B O 习题 1120 图 的，因而其法向垂直纸面向里。根据法拉第电磁感应定律，回路 L 内的感应电动 势为 dt dB RRB dt d dt d i 22) ( 原题给无限长直导线中的感应电动势应当为整个回路 L 内的感应电动势之一半， 即 dt dB R i 2 2 1 2 1 此感应电动势的大小为 dt dB R 2 2 1 对该感应电动势的方向讨论如下：当0dtdB时，0 i ，这时因整个 L 回路的 感应电动势 i 是逆时针的，因此的方向是自左向右的；当0dtdB时，0 i ， 这时因整个 L 回路的感应电动势 i 是顺时针的，因此的方向是自右向左的。 解法：如图所示，取 O 到无限长直导线的垂直线之交点 O 坐标轴原点， 在无限长直导线上距 O 为 l 处取线元 l d，其方向自左向右；同时假设圆柱形空 间内的磁场是随时间增加的， 即0dtdB， 线元处的涡旋电场 in E 与 l d的夹角为 ，根据感生电动势的定义可得线元上的电动势为 cos 2 cos 2 dl dt dB r R dlE l d Ed inin 由于 tgal ， 2 cos ad dl ，及 cos a r 所以 d dt dB Rd 2 2 1 因此，长直导线中的感应电动势为 dt dB Rd dt dB Rd 2 2 2 2 2 1 2 1 显然，该感应电动势的大小为 dt dB R 2 2 1 其方向讨论如下：当0dtdB时，0，方向与线元 l d方向相同，是自左向 右的；反之，当0dtdB时，0，方向与线元 l d方向相反，是自右向左的。 注意：在解法中用涡旋电场积分求电动势的前提是涡旋电场的分布为已知。 在dtdB的正负未知的情况下，事先假定0dtdB，可以给计算带来方便。 习题 1121截面为矩形的螺绕环共 N 匝，尺寸如图所示。图下部两矩形表示 螺绕环的截面。在螺绕环的轴线上另有一无限长直导线。 (1) 求螺绕环的自感系数； (2) 求长直导线和螺绕环的互感系数； (3) 若在螺绕环内通以稳恒电流 I，求螺 绕环内储存的磁能。 解：(1) 螺绕环内的磁感应强度分布为 r NI B 2 0 (arb) 通过螺绕环截面的磁通量为 a bNIh r drNIh BdSSdB b a S ln 22 00 螺绕环的自感系数为 a bhN I N I Lln 2 2 0 (2) 设长直导线中通有电流I，该电流在螺绕环中产生的场为 r I B 2 0 通过螺绕环截面的磁通量为 a bhI r drhI BdS b a ln 22 00 长直导线和螺绕环的互感系数为 a bNh I N I Mln 2 0 (3) 由自感磁能公式可得螺绕环内储存的磁能为 a bhIN LIWmln 42 1 22 02 注意：只有对于两个特殊的载流体系的互感系数才可以通过计算求得(一般情 况下只能通过实验测定)，由于它们的磁场相互穿过对方，原则上计算它们中的 哪一个的磁通量都可以，可视计算方便而定